Страница 100 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

305. Точка $N$ делит сторону $BC$ квадрата $ABCD$ в отношении 4 : 3, считая от точки $B$. Отрезки $AC$ и $DN$ пересекаются в точке $F$. Найдите площадь треугольника $AFD$, если площадь треугольника $CFN$ равна $27 \text{ см}^2$.

305. Точка $N$ делит сторону $BC$ квадрата $ABCD$ в отношении 4 : 3, считая от точки $B$. Отрезки $AC$ и $DN$ пересекаются в точке $F$. Найдите площадь треугольника $AFD$, если площадь треугольника $CFN$ равна $27 \text{ см}^2$.

1. Рассмотрим треугольники $AFD$ и $CFN$. Поскольку $ABCD$ является квадратом, его противоположные стороны параллельны, следовательно, $AD \parallel BC$. Так как точка $N$ лежит на стороне $BC$, то $AD \parallel NC$.

2. При пересечении параллельных прямых $AD$ и $BC$ секущей $AC$ образуются равные накрест лежащие углы: $\angle DAC = \angle BCN$. Значит, $\angle FAD = \angle FCN$.

3. При пересечении тех же параллельных прямых $AD$ и $BC$ секущей $DN$ образуются равные накрест лежащие углы: $\angle ADN = \angle BND$. Значит, $\angle ADF = \angle CNF$.

4. Таким образом, треугольник $AFD$ подобен треугольнику $CFN$ по двум углам ($\triangle AFD \sim \triangle CFN$).

5. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия $k$:

$\frac{S_{AFD}}{S_{CFN}} = k^2$

Коэффициент подобия равен отношению длин соответственных сторон:

$k = \frac{AD}{CN}$

6. Пусть сторона квадрата равна $a$. Тогда $AD = BC = a$. Точка $N$ делит сторону $BC$ в отношении $BN:NC = 4:3$. Это означает, что вся сторона $BC$ состоит из $4+3=7$ частей. Длина отрезка $NC$ составляет 3 части из 7, то есть:

$NC = \frac{3}{7}BC = \frac{3}{7}a$

7. Теперь найдем коэффициент подобия:

$k = \frac{AD}{NC} = \frac{a}{\frac{3}{7}a} = \frac{7}{3}$

8. Подставим значение коэффициента подобия в формулу для отношения площадей:

$\frac{S_{AFD}}{S_{CFN}} = (\frac{7}{3})^2 = \frac{49}{9}$

9. По условию, площадь треугольника $CFN$ равна 27 см$^2$ ($S_{CFN} = 27$ см$^2$). Найдем площадь треугольника $AFD$:

$S_{AFD} = \frac{49}{9} \cdot S_{CFN} = \frac{49}{9} \cdot 27 = 49 \cdot 3 = 147$ см$^2$.

Ответ: 147 см$^2$.

306. Прямая, параллельная медиане $AK$ треугольника $ABC$, пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Площади треугольника $BEF$ и четырёхугольника $ACFE$ относятся как $5 : 7$. Найдите отрезок $EF$, если $AK = 6$ см.

306. Прямая, параллельная медиане $AK$ треугольника $ABC$, пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Площади треугольника $BEF$ и четырёхугольника $ACFE$ относятся как $5 : 7$. Найдите отрезок $EF$, если $AK = 6$ см.

Пусть $S_{BEF}$ — площадь треугольника $BEF$, а $S_{ACFE}$ — площадь четырехугольника $ACFE$. По условию задачи, их отношение равно $S_{BEF} : S_{ACFE} = 5 : 7$.Площадь всего треугольника $ABC$ складывается из этих двух площадей: $S_{ABC} = S_{BEF} + S_{ACFE}$.Если принять $S_{BEF} = 5x$, то $S_{ACFE} = 7x$, и тогда $S_{ABC} = 5x + 7x = 12x$.Отсюда мы можем найти отношение площади треугольника $BEF$ к площади всего треугольника $ABC$:$\frac{S_{BEF}}{S_{ABC}} = \frac{5x}{12x} = \frac{5}{12}$.

По условию, $AK$ является медианой треугольника $ABC$. Медиана делит треугольник на два треугольника равной площади. Следовательно, площадь треугольника $ABK$ составляет половину площади треугольника $ABC$:$S_{ABK} = \frac{1}{2} S_{ABC}$.

Теперь найдем отношение площади треугольника $BEF$ к площади треугольника $ABK$:$\frac{S_{BEF}}{S_{ABK}} = \frac{S_{BEF}}{\frac{1}{2} S_{ABC}} = 2 \cdot \frac{S_{BEF}}{S_{ABC}} = 2 \cdot \frac{5}{12} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$.

Рассмотрим треугольники $EBF$ и $ABK$. В условии сказано, что прямая $EF$ параллельна медиане $AK$ ($EF \parallel AK$). Так как точки $E$ и $F$ лежат на сторонах $AB$ и $BC$ соответственно, то треугольник $EBF$ подобен треугольнику $ABK$ ($\triangle EBF \sim \triangle ABK$). У них общий угол $\angle B$, а углы $\angle BEF$ и $\angle BAK$ равны как соответственные при параллельных прямых $EF$ и $AK$ и секущей $AB$.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия, то есть квадрату отношения соответствующих сторон:$\frac{S_{BEF}}{S_{ABK}} = \left(\frac{EF}{AK}\right)^2$.

Мы уже нашли, что $\frac{S_{BEF}}{S_{ABK}} = \frac{5}{6}$, и по условию $AK = 6$ см. Подставим эти значения в формулу:$\frac{5}{6} = \left(\frac{EF}{6}\right)^2$$\frac{5}{6} = \frac{EF^2}{36}$$EF^2 = 36 \cdot \frac{5}{6} = 6 \cdot 5 = 30$$EF = \sqrt{30}$ см.

Ответ: $\sqrt{30}$ см.