Страница 107 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 3

Тема. Декартовы координаты

1. Найдите длину отрезка $DF$ и координаты его середины, если $D (4; -5)$ и $F (-3; -1)$.

2. Составьте уравнение окружности, которая проходит через точку $P (-2; -5)$ и центр которой находится в точке $E (1; -3)$.

3. Найдите координаты вершины $C$ параллелограмма $ABCD$, если $A (-3; -2)$, $B (4; 7)$, $D (-2; -5)$.

4. Составьте уравнение прямой, проходящей через точки $M (-2; -2)$ и $N (2; 10)$.

5. Найдите координаты точки, принадлежащей оси ординат и равноудалённой от точек $C (2; -1)$ и $D (-4; 5)$.

6. Составьте уравнение прямой, которая параллельна прямой $y = 5x - 9$ и проходит через центр окружности $x^2 + y^2 - 6x + 2y + 6 = 0$.

Контрольная работа № 3

Тема. Декартовы координаты

1. Найдите длину отрезка $DF$ и координаты его середины, если $D (4; -5)$ и $F (-3; -1)$.

2. Составьте уравнение окружности, которая проходит через точку $P (-2; -5)$ и центр которой находится в точке $E (1; -3)$.

3. Найдите координаты вершины $C$ параллелограмма $ABCD$, если $A (-3; -2)$, $B (4; 7)$, $D (-2; -5)$.

4. Составьте уравнение прямой, проходящей через точки $M (-2; -2)$ и $N (2; 10)$.

5. Найдите координаты точки, принадлежащей оси ординат и равноудалённой от точек $C (2; -1)$ и $D (-4; 5)$.

6. Составьте уравнение прямой, которая параллельна прямой $y = 5x - 9$ и проходит через центр окружности $x_2 + y_2 - 6x + 2y + 6 = 0$.

1.

Для нахождения длины отрезка $DF$ воспользуемся формулой расстояния между двумя точками $D(x_1; y_1)$ и $F(x_2; y_2)$:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Подставим координаты точек $D(4; -5)$ и $F(-3; -1)$:

$DF = \sqrt{(-3 - 4)^2 + (-1 - (-5))^2} = \sqrt{(-7)^2 + (4)^2} = \sqrt{49 + 16} = \sqrt{65}$

Для нахождения координат середины отрезка $M(x_m; y_m)$ воспользуемся формулами:

$x_m = \frac{x_1 + x_2}{2}$ и $y_m = \frac{y_1 + y_2}{2}$

Подставим координаты точек $D$ и $F$:

$x_m = \frac{4 + (-3)}{2} = \frac{1}{2} = 0.5$

$y_m = \frac{-5 + (-1)}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Координаты середины отрезка: $(0.5; -3)$.

Ответ: Длина отрезка $DF = \sqrt{65}$, координаты середины $(0.5; -3)$.

2.

Уравнение окружности в общем виде: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где $(a; b)$ — координаты центра, а $R$ — радиус.

Центр окружности находится в точке $E(1; -3)$, следовательно, $a=1$ и $b=-3$.

Радиус $R$ — это расстояние от центра $E$ до точки $P(-2; -5)$, лежащей на окружности. Найдем квадрат радиуса $R^2$ по формуле квадрата расстояния:

$R^2 = (x_P - a)^2 + (y_P - b)^2$

$R^2 = (-2 - 1)^2 + (-5 - (-3))^2 = (-3)^2 + (-2)^2 = 9 + 4 = 13$

Теперь подставим координаты центра и значение $R^2$ в уравнение окружности:

$(x - 1)^2 + (y - (-3))^2 = 13$

$(x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 13$

Ответ: $(x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 13$.

3.

В параллелограмме $ABCD$ диагонали пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Это значит, что середина диагонали $AC$ совпадает с серединой диагонали $BD$.

Пусть координаты вершины $C$ равны $(x_C; y_C)$.

Найдем координаты середины диагонали $BD$, используя точки $B(4; 7)$ и $D(-2; -5)$:

$x_M = \frac{4 + (-2)}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$y_M = \frac{7 + (-5)}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Координаты точки пересечения диагоналей: $M(1; 1)$.

Теперь запишем формулы для координат середины диагонали $AC$, используя точки $A(-3; -2)$ и $C(x_C; y_C)$, и приравняем их к координатам точки $M$:

$\frac{-3 + x_C}{2} = 1 \implies -3 + x_C = 2 \implies x_C = 5$

$\frac{-2 + y_C}{2} = 1 \implies -2 + y_C = 2 \implies y_C = 4$

Координаты вершины $C$ равны $(5; 4)$.

Ответ: $C(5; 4)$.

4.

Уравнение прямой, проходящей через две точки $M(x_1; y_1)$ и $N(x_2; y_2)$, можно найти по формуле:

$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

Подставим координаты точек $M(-2; -2)$ и $N(2; 10)$:

$\frac{x - (-2)}{2 - (-2)} = \frac{y - (-2)}{10 - (-2)}$

$\frac{x + 2}{4} = \frac{y + 2}{12}$

Умножим обе части уравнения на 12, чтобы избавиться от знаменателей:

$3(x + 2) = y + 2$

$3x + 6 = y + 2$

$y = 3x + 4$

Ответ: $y = 3x + 4$.

5.

Точка, принадлежащая оси ординат (оси $y$), имеет координату $x=0$. Обозначим эту точку как $P(0; y)$.

Эта точка равноудалена от точек $C(2; -1)$ и $D(-4; 5)$, что означает, что расстояние $PC$ равно расстоянию $PD$. Удобнее работать с квадратами расстояний: $PC^2 = PD^2$.

Найдем квадраты расстояний:

$PC^2 = (2 - 0)^2 + (-1 - y)^2 = 4 + (-1 - y)^2 = 4 + 1 + 2y + y^2 = 5 + 2y + y^2$

$PD^2 = (-4 - 0)^2 + (5 - y)^2 = 16 + (5 - y)^2 = 16 + 25 - 10y + y^2 = 41 - 10y + y^2$

Приравняем выражения:

$5 + 2y + y^2 = 41 - 10y + y^2$

$5 + 2y = 41 - 10y$

$12y = 36$

$y = 3$

Таким образом, искомая точка имеет координаты $(0; 3)$.

Ответ: $(0; 3)$.

6.

Уравнение прямой в общем виде $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент.

Искомая прямая параллельна прямой $y = 5x - 9$. У параллельных прямых угловые коэффициенты равны, следовательно, $k=5$. Уравнение искомой прямой имеет вид $y = 5x + b$.

Найдем центр окружности $x^2 + y^2 - 6x + 2y + 6 = 0$. Для этого приведем уравнение к каноническому виду $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, выделив полные квадраты:

$(x^2 - 6x) + (y^2 + 2y) + 6 = 0$

$(x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2) - 3^2 + (y^2 + 2 \cdot y \cdot 1 + 1^2) - 1^2 + 6 = 0$

$(x - 3)^2 - 9 + (y + 1)^2 - 1 + 6 = 0$

$(x - 3)^2 + (y + 1)^2 - 4 = 0$

$(x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 4$

Координаты центра окружности: $(3; -1)$.

Искомая прямая $y = 5x + b$ проходит через эту точку. Подставим координаты центра в уравнение прямой, чтобы найти $b$:

$-1 = 5 \cdot 3 + b$

$-1 = 15 + b$

$b = -16$

Уравнение искомой прямой: $y = 5x - 16$.

Ответ: $y = 5x - 16$.

Контрольная работа № 4

Тема. Векторы

1. Даны точки $M(-2; -4)$, $P(4; 4)$, $K(-1; 3)$. Найдите:

1) координаты векторов $\vec{MK}$ и $\vec{PM}$;

2) модули векторов $\vec{MK}$ и $\vec{PM}$;

3) координаты вектора $\vec{EF} = 2\vec{MK} - 3\vec{PM}$;

4) скалярное произведение векторов $\vec{MK}$ и $\vec{PM}$;

5) косинус угла между векторами $\vec{MK}$ и $\vec{PM}$.

2. Начертите треугольник $ABC$. Постройте вектор:

1) $\vec{BA} + \vec{AC}$;

2) $\vec{CA} - \vec{CB}$;

3) $\vec{BC} + \vec{BA}$.

3. Даны векторы $\vec{m}(p; 4)$ и $\vec{n}(20; -10)$. При каком значении $p$ векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$: 1) коллинеарны; 2) перпендикулярны?

4. На сторонах $CD$ и $AD$ параллелограмма $ABCD$ отметили соответственно точки $M$ и $K$ так, что $CM : MD = 2 : 5$, $AK : KD = 1 : 2$. Выразите вектор $\vec{MK}$ через векторы $\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{AD} = \vec{b}$.

5. Найдите косинус угла между векторами $\vec{a} = 3\vec{k} - \vec{p}$ и $\vec{b} = \vec{k} - 3\vec{p}$, если $\vec{k} \perp \vec{p}$, $|\vec{k}| = |\vec{p}| = 1$.

Контрольная работа № 4

Тема. Векторы

1. Даны точки M (-2; -4), P (4; 4), K (-1; 3). Найдите:

1) координаты векторов $\vec{MK}$ и $\vec{PM}$;

2) модули векторов $\vec{MK}$ и $\vec{PM}$;

3) координаты вектора $\vec{EF} = 2\vec{MK} - 3\vec{PM}$;

4) скалярное произведение векторов $\vec{MK}$ и $\vec{PM}$;

5) косинус угла между векторами $\vec{MK}$ и $\vec{PM}$.

2. Начертите треугольник ABC. Постройте вектор:

1) $\vec{BA} + \vec{AC}$;

2) $\vec{CA} - \vec{CB}$;

3) $\vec{BC} + \vec{BA}$.

3. Даны векторы $\vec{m}(p; 4)$ и $\vec{n}(20; -10)$. При каком значении $p$ векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$: 1) коллинеарны; 2) перпендикулярны?

4. На сторонах CD и AD параллелограмма ABCD отметили соответственно точки M и K так, что $CM : MD = 2 : 5$, $AK : KD = 1 : 2$. Выразите вектор $\vec{MK}$ через векторы $\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{AD} = \vec{b}$.

5. Найдите косинус угла между векторами $\vec{a} = 3\vec{k} - \vec{p}$ и $\vec{b} = \vec{k} - 3\vec{p}$, если $\vec{k} \perp \vec{p}$, $|\vec{k}| = |\vec{p}| = 1$.

1) координаты векторов $\vec{MK}$ и $\vec{PM}$;

Координаты вектора, идущего из точки A$(x_1; y_1)$ в точку B$(x_2; y_2)$, вычисляются по формуле $\vec{AB} = \{x_2 - x_1; y_2 - y_1\}$. Даны точки $M(-2; -4)$, $P(4; 4)$, $K(-1; 3)$. Для вектора $\vec{MK}$ (начало в M, конец в K): $\vec{MK} = \{-1 - (-2); 3 - (-4)\} = \{-1 + 2; 3 + 4\} = \{1; 7\}$. Для вектора $\vec{PM}$ (начало в P, конец в M): $\vec{PM} = \{-2 - 4; -4 - 4\} = \{-6; -8\}$.

Ответ: $\vec{MK}\{1; 7\}$, $\vec{PM}\{-6; -8\}$.

2) модули векторов $\vec{MK}$ и $\vec{PM}$;

Модуль (длина) вектора $\vec{v}\{x; y\}$ вычисляется по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}$. Используя координаты, найденные в предыдущем пункте: $|\vec{MK}| = \sqrt{1^2 + 7^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$. $|\vec{PM}| = \sqrt{(-6)^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.

Ответ: $|\vec{MK}| = 5\sqrt{2}$, $|\vec{PM}| = 10$.

3) координаты вектора $\vec{EF} = 2\vec{MK} - 3\vec{PM}$;

Чтобы найти координаты вектора $\vec{EF}$, выполним операции с векторами $\vec{MK}\{1; 7\}$ и $\vec{PM}\{-6; -8\}$: $2\vec{MK} = \{2 \cdot 1; 2 \cdot 7\} = \{2; 14\}$. $3\vec{PM} = \{3 \cdot (-6); 3 \cdot (-8)\} = \{-18; -24\}$. $\vec{EF} = 2\vec{MK} - 3\vec{PM} = \{2; 14\} - \{-18; -24\} = \{2 - (-18); 14 - (-24)\} = \{20; 38\}$.

Ответ: $\vec{EF}\{20; 38\}$.

4) скалярное произведение векторов $\vec{MK}$ и $\vec{PM}$;

Скалярное произведение векторов $\vec{a}\{x_1; y_1\}$ и $\vec{b}\{x_2; y_2\}$ вычисляется по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2$. $\vec{MK} \cdot \vec{PM} = 1 \cdot (-6) + 7 \cdot (-8) = -6 - 56 = -62$.

Ответ: -62.

5) косинус угла между векторами $\vec{MK}$ и $\vec{PM}$.

Косинус угла $\alpha$ между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ находится по формуле $\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$. Используем результаты из пунктов 2 и 4: $\cos \alpha = \frac{\vec{MK} \cdot \vec{PM}}{|\vec{MK}| \cdot |\vec{PM}|} = \frac{-62}{5\sqrt{2} \cdot 10} = \frac{-62}{50\sqrt{2}}$. Упростим выражение: $\frac{-62}{50\sqrt{2}} = \frac{-31}{25\sqrt{2}} = \frac{-31\sqrt{2}}{25 \cdot 2} = -\frac{31\sqrt{2}}{50}$.

Ответ: $-\frac{31\sqrt{2}}{50}$.

1) $\vec{BA} + \vec{AC}$;

По правилу треугольника (правило Шаля) для сложения векторов, если начало второго вектора совпадает с концом первого, то их сумма — это вектор, идущий от начала первого к концу второго. $\vec{BA} + \vec{AC} = \vec{BC}$.

Ответ: Вектор $\vec{BC}$.

2) $\vec{CA} - \vec{CB}$;

Разность векторов $\vec{a} - \vec{b}$ — это вектор, идущий от конца вектора $\vec{b}$ к концу вектора $\vec{a}$, если они отложены от одной точки. Векторы $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$ отложены от точки C. Следовательно, $\vec{CA} - \vec{CB}$ — это вектор, идущий от точки B к точке A, то есть $\vec{BA}$. Альтернативно: $\vec{CA} - \vec{CB} = \vec{CA} + (-\vec{CB}) = \vec{CA} + \vec{BC} = \vec{BC} + \vec{CA} = \vec{BA}$.

Ответ: Вектор $\vec{BA}$.

3) $\vec{BC} + \vec{BA}$.

Для сложения векторов, выходящих из одной точки (B), используется правило параллелограмма. Нужно достроить треугольник ABC до параллелограмма ABDC (где D - четвертая вершина). Суммой векторов $\vec{BC}$ и $\vec{BA}$ будет диагональ этого параллелограмма, выходящая из точки B. Это вектор $\vec{BD}$.

Ответ: Вектор, являющийся диагональю параллелограмма, построенного на векторах $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$ как на сторонах, и выходящий из их общего начала.

1) коллинеарны;

Два вектора $\vec{m}\{p; 4\}$ и $\vec{n}\{20; -10\}$ коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны: $\frac{p}{20} = \frac{4}{-10}$. Решим пропорцию: $p = 20 \cdot \frac{4}{-10} = 20 \cdot (-\frac{2}{5}) = -8$.

Ответ: при $p = -8$.

2) перпендикулярны?

Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю: $\vec{m} \cdot \vec{n} = 0$. $p \cdot 20 + 4 \cdot (-10) = 0$. $20p - 40 = 0$. $20p = 40$. $p = 2$.

Ответ: при $p = 2$.

4. На сторонах CD и AD параллелограмма ABCD отметили соответственно точки M и K так, что CM : MD = 2 : 5, AK : KD = 1 : 2. Выразите вектор $\vec{MK}$ через векторы $\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{AD} = \vec{b}$.

Выразим вектор $\vec{MK}$ по правилу ломаной линии, например: $\vec{MK} = \vec{MD} + \vec{DA} + \vec{AK}$. 1. Точка M лежит на стороне CD, причём $CM : MD = 2 : 5$. Это значит, что $\vec{MD} = \frac{5}{2+5}\vec{CD} = \frac{5}{7}\vec{CD}$. В параллелограмме ABCD вектор $\vec{CD} = -\vec{AB} = -\vec{a}$. Таким образом, $\vec{MD} = -\frac{5}{7}\vec{a}$. 2. Вектор $\vec{DA} = -\vec{AD} = -\vec{b}$. 3. Точка K лежит на стороне AD, причём $AK : KD = 1 : 2$. Это значит, что $\vec{AK} = \frac{1}{1+2}\vec{AD} = \frac{1}{3}\vec{AD} = \frac{1}{3}\vec{b}$. Соберем все вместе: $\vec{MK} = -\frac{5}{7}\vec{a} - \vec{b} + \frac{1}{3}\vec{b} = -\frac{5}{7}\vec{a} + (-\frac{3}{3} + \frac{1}{3})\vec{b} = -\frac{5}{7}\vec{a} - \frac{2}{3}\vec{b}$.

Ответ: $\vec{MK} = -\frac{5}{7}\vec{a} - \frac{2}{3}\vec{b}$.

5. Найдите косинус угла между векторами $\vec{a} = 3\vec{k} - \vec{p}$ и $\vec{b} = \vec{k} - 3\vec{p}$, если $\vec{k} \perp \vec{p}$, $|\vec{k}| = |\vec{p}| = 1$.

Косинус угла $\alpha$ между векторами находится по формуле $\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$. Из условий задачи: - $\vec{k} \perp \vec{p} \implies \vec{k} \cdot \vec{p} = 0$. - $|\vec{k}| = 1 \implies \vec{k} \cdot \vec{k} = |\vec{k}|^2 = 1$. - $|\vec{p}| = 1 \implies \vec{p} \cdot \vec{p} = |\vec{p}|^2 = 1$. 1. Найдем скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (3\vec{k} - \vec{p}) \cdot (\vec{k} - 3\vec{p}) = 3(\vec{k} \cdot \vec{k}) - 9(\vec{k} \cdot \vec{p}) - (\vec{p} \cdot \vec{k}) + 3(\vec{p} \cdot \vec{p}) = 3|\vec{k}|^2 - 10(\vec{k} \cdot \vec{p}) + 3|\vec{p}|^2$. Подставляем известные значения: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3(1) - 10(0) + 3(1) = 6$. 2. Найдем модули векторов $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$: $|\vec{a}|^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} = (3\vec{k} - \vec{p})^2 = 9|\vec{k}|^2 - 6(\vec{k} \cdot \vec{p}) + |\vec{p}|^2 = 9(1)^2 - 6(0) + (1)^2 = 10 \implies |\vec{a}| = \sqrt{10}$. $|\vec{b}|^2 = \vec{b} \cdot \vec{b} = (\vec{k} - 3\vec{p})^2 = |\vec{k}|^2 - 6(\vec{k} \cdot \vec{p}) + 9|\vec{p}|^2 = (1)^2 - 6(0) + 9(1)^2 = 10 \implies |\vec{b}| = \sqrt{10}$. 3. Вычислим косинус угла: $\cos \alpha = \frac{6}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.

Ответ: 0.6.