Страница 106 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 1

Тема. Решение треугольников

Две стороны треугольника равны 6 см и 4 см, а угол между ними — $120^\circ$. Найдите третью сторону треугольника и его площадь.

Два угла треугольника равны $60^\circ$ и $45^\circ$, а сторона, лежащая против большего из них, равна $3\sqrt{2}$ см. Найдите сторону треугольника, лежащую против меньшего из данных углов.

Определите, остроугольным, прямоугольным или тупоугольным является треугольник со сторонами 3 см, 8 см и 10 см.

Одна сторона треугольника на 6 см меньше другой, а угол между ними равен $60^\circ$. Найдите периметр треугольника, если его третья сторона равна 14 см.

Найдите радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами 17 см, 25 см и 28 см.

Две стороны треугольника равны 7 см и 9 см, а медиана, проведённая к третьей стороне, — 4 см. Найдите неизвестную сторону треугольника.

Вариант 2

Контрольная работа № 1

Тема. Решение треугольников

1. Две стороны треугольника равны 6 см и 4 см, а угол между ними — $120^\circ$. Найдите третью сторону треугольника и его площадь.

2. Два угла треугольника равны $60^\circ$ и $45^\circ$, а сторона, лежащая против большего из них, равна $3\sqrt{2}$ см. Найдите сторону треугольника, лежащую против меньшего из данных углов.

3. Определите, остроугольным, прямоугольным или тупоугольным является треугольник со сторонами 3 см, 8 см и 10 см.

4. Одна сторона треугольника на 6 см меньше другой, а угол между ними равен $60^\circ$. Найдите периметр треугольника, если его третья сторона равна 14 см.

5. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами 17 см, 25 см и 28 см.

6. Две стороны треугольника равны 7 см и 9 см, а медиана, проведённая к третьей стороне, — 4 см. Найдите неизвестную сторону треугольника.

1. Пусть стороны треугольника $a = 6$ см, $b = 4$ см, а угол между ними $\gamma = 120^\circ$.
Для нахождения третьей стороны $c$ воспользуемся теоремой косинусов: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$.
Подставим известные значения:
$c^2 = 6^2 + 4^2 - 2 \cdot 6 \cdot 4 \cdot \cos(120^\circ)$
Так как $\cos(120^\circ) = - \cos(60^\circ) = - \frac{1}{2}$, получим:
$c^2 = 36 + 16 - 48 \cdot (-\frac{1}{2}) = 52 + 24 = 76$
$c = \sqrt{76} = \sqrt{4 \cdot 19} = 2\sqrt{19}$ см.
Площадь треугольника $S$ найдем по формуле: $S = \frac{1}{2} ab \sin(\gamma)$.
Так как $\sin(120^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получим:
$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 \cdot \sin(120^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см$^2$.
Ответ: третья сторона равна $2\sqrt{19}$ см, площадь равна $6\sqrt{3}$ см$^2$.

2. Пусть в треугольнике углы $\alpha = 60^\circ$ и $\beta = 45^\circ$. Сторона $a$, лежащая против большего угла $\alpha$, равна $3\sqrt{2}$ см. Нужно найти сторону $b$, лежащую против меньшего угла $\beta$.
Воспользуемся теоремой синусов: $\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)}$.
Выразим $b$: $b = \frac{a \cdot \sin(\beta)}{\sin(\alpha)}$.
Подставим известные значения:
$b = \frac{3\sqrt{2} \cdot \sin(45^\circ)}{\sin(60^\circ)}$
Так как $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получим:
$b = \frac{3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{3 \cdot 2 / 2}{\sqrt{3} / 2} = \frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.
Ответ: $2\sqrt{3}$ см.

3. Пусть стороны треугольника $a = 3$ см, $b = 8$ см и $c = 10$ см.
Чтобы определить тип треугольника, нужно сравнить квадрат большей стороны с суммой квадратов двух других сторон. Большая сторона $c = 10$ см.
Найдем $c^2$: $c^2 = 10^2 = 100$.
Найдем сумму квадратов двух других сторон: $a^2 + b^2 = 3^2 + 8^2 = 9 + 64 = 73$.
Сравним полученные значения: $100 > 73$, то есть $c^2 > a^2 + b^2$.
Согласно следствию из теоремы косинусов, если квадрат большей стороны треугольника больше суммы квадратов двух других сторон, то угол, лежащий против большей стороны, является тупым. Следовательно, треугольник является тупоугольным.
Ответ: тупоугольным.

4. Пусть одна сторона треугольника равна $x$ см, тогда другая сторона равна $(x-6)$ см. Угол между ними $\gamma = 60^\circ$. Третья сторона $c = 14$ см.
По теореме косинусов: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$.
$14^2 = x^2 + (x-6)^2 - 2x(x-6)\cos(60^\circ)$
$196 = x^2 + x^2 - 12x + 36 - 2x(x-6)\cdot\frac{1}{2}$
$196 = 2x^2 - 12x + 36 - x(x-6)$
$196 = 2x^2 - 12x + 36 - x^2 + 6x$
$196 = x^2 - 6x + 36$
$x^2 - 6x - 160 = 0$
Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-160) = 36 + 640 = 676 = 26^2$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + 26}{2} = 16$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - 26}{2} = -10$
Так как длина стороны не может быть отрицательной, $x=16$ см. Тогда вторая сторона равна $16-6=10$ см.
Стороны треугольника равны 16 см, 10 см и 14 см.
Периметр треугольника $P = 16 + 10 + 14 = 40$ см.
Ответ: 40 см.

5. Даны стороны треугольника $a = 17$ см, $b = 25$ см, $c = 28$ см.
Радиус описанной окружности $R$ можно найти по формуле $R = \frac{abc}{4S}$, где $S$ — площадь треугольника.
Площадь найдем по формуле Герона $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр.
$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{17+25+28}{2} = \frac{70}{2} = 35$ см.
$S = \sqrt{35(35-17)(35-25)(35-28)} = \sqrt{35 \cdot 18 \cdot 10 \cdot 7} = \sqrt{(5 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 9) \cdot (2 \cdot 5) \cdot 7} = \sqrt{5^2 \cdot 2^2 \cdot 7^2 \cdot 3^2} = 5 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 3 = 210$ см$^2$.
Теперь найдем радиус описанной окружности:
$R = \frac{17 \cdot 25 \cdot 28}{4 \cdot 210} = \frac{17 \cdot 25 \cdot 7}{210} = \frac{17 \cdot 25}{30} = \frac{17 \cdot 5}{6} = \frac{85}{6}$ см.
Ответ: $\frac{85}{6}$ см или $14\frac{1}{6}$ см.

6. Пусть стороны треугольника $a=7$ см и $b=9$ см, а медиана, проведенная к третьей стороне $c$, равна $m_c = 4$ см.
Воспользуемся формулой для длины медианы: $m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}$.
Возведем обе части в квадрат: $m_c^2 = \frac{2a^2 + 2b^2 - c^2}{4}$.
Выразим отсюда $c^2$: $4m_c^2 = 2a^2 + 2b^2 - c^2$, откуда $c^2 = 2a^2 + 2b^2 - 4m_c^2$.
Подставим известные значения:
$c^2 = 2 \cdot 7^2 + 2 \cdot 9^2 - 4 \cdot 4^2$
$c^2 = 2 \cdot 49 + 2 \cdot 81 - 4 \cdot 16$
$c^2 = 98 + 162 - 64$
$c^2 = 260 - 64 = 196$
$c = \sqrt{196} = 14$ см.
Ответ: 14 см.

Контрольная работа № 2

1) Тема. Правильные многоугольники

1. Найдите углы правильного 72-угольника.

2. Найдите площадь круга, вписанного в правильный тре-угольник со стороной 6 см.

3. В окружность вписан правильный шестиугольник со стороной 4 см. Найдите сторону квадрата, описанного около этой окружности.

4. Радиус окружности, описанной около правильного мно-гоугольника, равен $4\sqrt{2}$ см, а сторона многоугольни-ка — 8 см. Найдите: 1) радиус окружности, вписанной в многоугольник; 2) количество сторон многоугольника.

5. Сторона треугольника равна $6\sqrt{3}$ см, а прилежащие к ней углы равны $50^\circ$ и $70^\circ$. Найдите длины дуг, на кото-рые делят окружность, описанную около треугольни-ка, его вершины.

6. Найдите диагональ $AD$ правильного восьмиугольника $ABCDEFKP$, если $AB = a$.

Контрольная работа № 2

Тема. Правильные многоугольники

1. Найдите углы правильного 72-угольника.

2. Найдите площадь круга, вписанного в правильный треугольник со стороной 6 см.

3. В окружность вписан правильный шестиугольник со стороной 4 см. Найдите сторону квадрата, описанного около этой окружности.

4. Радиус окружности, описанной около правильного многоугольника, равен $4\sqrt{2}$ см, а сторона многоугольника — 8 см. Найдите: 1) радиус окружности, вписанной в многоугольник; 2) количество сторон многоугольника.

5. Сторона треугольника равна $6\sqrt{3}$ см, а прилежащие к ней углы равны $50^\circ$ и $70^\circ$. Найдите длины дуг, на которые делят окружность, описанную около треугольника, его вершины.

6. Найдите диагональ $AD$ правильного восьмиугольника $ABCDEFGKP$, если $AB = a$.

1. Величина каждого внутреннего угла правильного n-угольника вычисляется по формуле $\alpha = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$. Для 72-угольника $n=72$.
Подставим значение n в формулу:
$\alpha = \frac{(72-2) \cdot 180^\circ}{72} = \frac{70 \cdot 180^\circ}{72} = 70 \cdot \frac{180}{72} = 70 \cdot 2.5 = 175^\circ$.
Ответ: $175^\circ$.

2. Площадь круга вычисляется по формуле $S = \pi r^2$, где $r$ – радиус круга. В данном случае круг вписан в правильный (равносторонний) треугольник, поэтому его радиус $r$ равен радиусу вписанной окружности.
Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной $a$, находится по формуле $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.
Сторона треугольника $a = 6$ см.
Найдем радиус: $r = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$ см.
Теперь найдем площадь круга: $S = \pi (\sqrt{3})^2 = 3\pi$ см².
Ответ: $3\pi$ см².

3. Сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность ($a_6$), равна радиусу этой окружности ($R$).
По условию, $a_6 = 4$ см, следовательно, радиус окружности $R = 4$ см.
Квадрат описан около этой же окружности. Сторона квадрата, описанного около окружности ($a_4'$), равна диаметру этой окружности ($D$).
Диаметр $D = 2R = 2 \cdot 4 = 8$ см.
Следовательно, сторона квадрата равна 8 см.
Ответ: 8 см.

4. Дано: радиус описанной окружности $R = 4\sqrt{2}$ см, сторона многоугольника $a_n = 8$ см.
1) Радиус вписанной окружности $r$, радиус описанной окружности $R$ и половина стороны многоугольника $a_n/2$ образуют прямоугольный треугольник, где $R$ является гипотенузой. По теореме Пифагора:
$R^2 = r^2 + (\frac{a_n}{2})^2$.
$r^2 = R^2 - (\frac{a_n}{2})^2 = (4\sqrt{2})^2 - (\frac{8}{2})^2 = (16 \cdot 2) - 4^2 = 32 - 16 = 16$.
$r = \sqrt{16} = 4$ см.
2) Для нахождения количества сторон $n$ используем формулу, связывающую сторону правильного многоугольника и радиус описанной окружности: $a_n = 2R \sin(\frac{180^\circ}{n})$.
$8 = 2 \cdot 4\sqrt{2} \cdot \sin(\frac{180^\circ}{n})$.
$8 = 8\sqrt{2} \cdot \sin(\frac{180^\circ}{n})$.
$\sin(\frac{180^\circ}{n}) = \frac{8}{8\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Отсюда следует, что $\frac{180^\circ}{n} = 45^\circ$.
$n = \frac{180^\circ}{45^\circ} = 4$.
Ответ: 1) 4 см; 2) 4.

5. Сначала найдем третий угол треугольника. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$.
Третий угол = $180^\circ - (50^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.
Теперь у нас есть треугольник со стороной $6\sqrt{3}$ см и противолежащим углом $60^\circ$.
Найдем радиус $R$ описанной окружности по теореме синусов: $\frac{a}{\sin \alpha} = 2R$.
$2R = \frac{6\sqrt{3}}{\sin 60^\circ} = \frac{6\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 6\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 12$ см.
Радиус $R = 6$ см.
Вершины треугольника делят окружность на три дуги. Градусная мера дуги, стягиваемой хордой (стороной треугольника), равна удвоенной величине противолежащего вписанного угла.
Дуга 1 (напротив угла $50^\circ$): $2 \cdot 50^\circ = 100^\circ$.
Дуга 2 (напротив угла $70^\circ$): $2 \cdot 70^\circ = 140^\circ$.
Дуга 3 (напротив угла $60^\circ$): $2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$.
Длина дуги вычисляется по формуле $L = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi R$, где $\alpha$ — градусная мера дуги.
$L_1 = \frac{100}{360} \cdot 2\pi \cdot 6 = \frac{10}{36} \cdot 12\pi = \frac{10}{3}\pi$ см.
$L_2 = \frac{140}{360} \cdot 2\pi \cdot 6 = \frac{14}{36} \cdot 12\pi = \frac{14}{3}\pi$ см.
$L_3 = \frac{120}{360} \cdot 2\pi \cdot 6 = \frac{1}{3} \cdot 12\pi = 4\pi$ см.
Ответ: $\frac{10\pi}{3}$ см, $\frac{14\pi}{3}$ см, $4\pi$ см.

6. Рассмотрим правильный восьмиугольник $ABCDEFKP$, вписанный в окружность с центром $O$ и радиусом $R$. Диагональ $AD$ соединяет вершины $A$ и $D$.
Рассмотрим треугольник $OAD$. $OA = OD = R$. Угол $\angle AOD$ — центральный угол, опирающийся на дугу $AD$. Эта дуга стягивает три стороны восьмиугольника ($AB, BC, CD$).
Центральный угол, соответствующий одной стороне правильного восьмиугольника, равен $\frac{360^\circ}{8} = 45^\circ$.
Следовательно, $\angle AOD = 3 \cdot 45^\circ = 135^\circ$.
По теореме косинусов для треугольника $OAD$:
$AD^2 = OA^2 + OD^2 - 2 \cdot OA \cdot OD \cdot \cos(\angle AOD) = R^2 + R^2 - 2R^2 \cos(135^\circ)$.
Так как $\cos(135^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$:
$AD^2 = 2R^2 - 2R^2(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = 2R^2 + R^2\sqrt{2} = R^2(2+\sqrt{2})$.
Теперь выразим $R$ через сторону $a$. В треугольнике $OAB$, $OA=OB=R$, $AB=a$, $\angle AOB = 45^\circ$.
По теореме косинусов для треугольника $OAB$:
$a^2 = R^2 + R^2 - 2R^2 \cos(45^\circ) = 2R^2 - 2R^2(\frac{\sqrt{2}}{2}) = R^2(2-\sqrt{2})$.
Отсюда $R^2 = \frac{a^2}{2-\sqrt{2}}$.
Подставим это выражение в формулу для $AD^2$:
$AD^2 = \frac{a^2}{2-\sqrt{2}} \cdot (2+\sqrt{2}) = a^2 \frac{2+\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}$.
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю выражение $(2+\sqrt{2})$:
$AD^2 = a^2 \frac{(2+\sqrt{2})(2+\sqrt{2})}{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})} = a^2 \frac{(2+\sqrt{2})^2}{4-2} = \frac{a^2(2+\sqrt{2})^2}{2}$.
Извлечем квадратный корень:
$AD = \sqrt{\frac{a^2(2+\sqrt{2})^2}{2}} = \frac{a(2+\sqrt{2})}{\sqrt{2}} = a(\frac{2}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}) = a(\sqrt{2} + 1)$.
Ответ: $a(\sqrt{2} + 1)$.