Страница 103 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 4

Тема. Векторы

1. Даны точки A (-2; 3), B (1; -1), C (2; 4). Найдите:

1) координаты векторов $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CA}$;

2) модули векторов $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CA}$;

3) координаты вектора $\overrightarrow{MN} = 3\overrightarrow{AB} - 2\overrightarrow{CA}$;

4) скалярное произведение векторов $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CA}$;

5) косинус угла между векторами $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CA}$.

2. Начертите треугольник ABC. Постройте вектор:

1) $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB}$;

2) $\overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BA}$;

3) $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$.

3. Даны векторы $\vec{a}(2; 6)$ и $\vec{b}(-3; k)$. При каком значении $k$ векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$: 1) коллинеарны; 2) перпендикулярны?

4. На сторонах AB и BC параллелограмма ABCD отметили соответственно точки F и E так, что $AF : FB = 1 : 4$, $BE : EC = 1 : 3$. Выразите вектор $\overrightarrow{EF}$ через векторы $\overrightarrow{AB} = \vec{a}$ и $\overrightarrow{AD} = \vec{b}$.

5. Найдите косинус угла между векторами $\vec{a} = \vec{n} + 2\vec{m}$ и $\vec{b} = 3\vec{n} - \vec{m}$, если $\vec{m} \perp \vec{n}$, $|\vec{m}| = |\vec{n}| = 1$.

Контрольная работа № 4

Тема. Векторы

1. Даны точки A (-2; 3), B (1; -1), C (2; 4). Найдите:

1) координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CA}$;

2) модули векторов $|\vec{AB}|$ и $|\vec{CA}|$;

3) координаты вектора $\vec{MN} = 3\vec{AB} - 2\vec{CA}$;

4) скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CA}$;

5) косинус угла между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{CA}$.

2. Начертите треугольник ABC. Постройте вектор:

1) $\vec{AC} + \vec{CB}$;

2) $\vec{BC} - \vec{BA}$;

3) $\vec{AB} + \vec{AC}$.

3. Даны векторы $\vec{a}(2; 6)$ и $\vec{b}(-3; k)$. При каком значении k векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$: 1) коллинеарны; 2) перпендикулярны?

4. На сторонах AB и BC параллелограмма ABCD отметили соответственно точки F и E так, что AF : FB = 1 : 4, BE : EC = 1 : 3. Выразите вектор $\vec{EF}$ через векторы $\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{AD} = \vec{b}$.

5. Найдите косинус угла между векторами $\vec{a} = \vec{n} + 2\vec{m}$ и $\vec{b} = 3\vec{n} - \vec{m}$, если $\vec{m} \perp \vec{n}$, $|\vec{m}| = |\vec{n}| = 1$.

1) координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CA}$
Координаты вектора, заданного начальной точкой $M(x_1; y_1)$ и конечной точкой $N(x_2; y_2)$, вычисляются по формуле $\vec{MN} = (x_2 - x_1; y_2 - y_1)$.
Даны точки $A(-2; 3)$, $B(1; -1)$, $C(2; 4)$.
Для вектора $\vec{AB}$:
$x = 1 - (-2) = 1 + 2 = 3$
$y = -1 - 3 = -4$
Таким образом, $\vec{AB} = (3; -4)$.
Для вектора $\vec{CA}$:
$x = -2 - 2 = -4$
$y = 3 - 4 = -1$
Таким образом, $\vec{CA} = (-4; -1)$.
Ответ: $\vec{AB}(3; -4)$, $\vec{CA}(-4; -1)$.

2) модули векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CA}$
Модуль (длина) вектора $\vec{v}(x; y)$ вычисляется по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}$.
Для вектора $\vec{AB}(3; -4)$:
$|\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
Для вектора $\vec{CA}(-4; -1)$:
$|\vec{CA}| = \sqrt{(-4)^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$.
Ответ: $|\vec{AB}| = 5$, $|\vec{CA}| = \sqrt{17}$.

3) координаты вектора $\vec{MN} = 3\vec{AB} - 2\vec{CA}$
Для нахождения координат вектора $\vec{MN}$, нужно выполнить операции умножения векторов на скаляр и вычитания векторов.
Найдем координаты векторов $3\vec{AB}$ и $2\vec{CA}$:
$3\vec{AB} = (3 \cdot 3; 3 \cdot (-4)) = (9; -12)$.
$2\vec{CA} = (2 \cdot (-4); 2 \cdot (-1)) = (-8; -2)$.
Теперь вычтем из координат первого вектора координаты второго:
$\vec{MN} = (9 - (-8); -12 - (-2)) = (9 + 8; -12 + 2) = (17; -10)$.
Ответ: $\vec{MN}(17; -10)$.

4) скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CA}$
Скалярное произведение векторов $\vec{u}(x_1; y_1)$ и $\vec{v}(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле $\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2$.
Для векторов $\vec{AB}(3; -4)$ и $\vec{CA}(-4; -1)$:
$\vec{AB} \cdot \vec{CA} = 3 \cdot (-4) + (-4) \cdot (-1) = -12 + 4 = -8$.
Ответ: $\vec{AB} \cdot \vec{CA} = -8$.

5) косинус угла между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{CA}$
Косинус угла $\theta$ между двумя ненулевыми векторами вычисляется по формуле: $\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$.
Мы уже нашли скалярное произведение $\vec{AB} \cdot \vec{CA} = -8$ и модули векторов $|\vec{AB}| = 5$ и $|\vec{CA}| = \sqrt{17}$.
Подставим эти значения в формулу:
$\cos(\widehat{\vec{AB}, \vec{CA}}) = \frac{-8}{5 \cdot \sqrt{17}} = -\frac{8}{5\sqrt{17}}$.
Избавимся от иррациональности в знаменателе:
$-\frac{8 \cdot \sqrt{17}}{5\sqrt{17} \cdot \sqrt{17}} = -\frac{8\sqrt{17}}{5 \cdot 17} = -\frac{8\sqrt{17}}{85}$.
Ответ: $\cos(\widehat{\vec{AB}, \vec{CA}}) = -\frac{8\sqrt{17}}{85}$.

1) $\vec{AC} + \vec{CB}$
Согласно правилу треугольника для сложения векторов, если начало второго вектора ($\vec{CB}$) совпадает с концом первого вектора ($\vec{AC}$), то сумма этих векторов есть вектор, начало которого совпадает с началом первого (точка A), а конец — с концом второго (точка B). Таким образом, $\vec{AC} + \vec{CB} = \vec{AB}$.
Ответ: $\vec{AB}$.

2) $\vec{BC} - \vec{BA}$
Разность векторов $\vec{u} - \vec{v}$ можно представить как сумму $\vec{u} + (-\vec{v})$. Вектор $-\vec{BA}$ равен вектору $\vec{AB}$.
Следовательно, $\vec{BC} - \vec{BA} = \vec{BC} + \vec{AB}$. По правилу треугольника (после перестановки слагаемых) $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.
Альтернативно, для векторов, выходящих из одной точки (B), их разность $\vec{BC} - \vec{BA}$ есть вектор, соединяющий конец вычитаемого (A) с концом уменьшаемого (C). Таким образом, результатом является вектор $\vec{AC}$.
Ответ: $\vec{AC}$.

3) $\vec{AB} + \vec{AC}$
Для сложения двух векторов, выходящих из одной точки (A), используется правило параллелограмма. На векторах $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ как на сторонах строится параллелограмм $ABDC$. Суммой векторов является вектор диагонали этого параллелограмма, выходящий из их общего начала. Таким образом, $\vec{AB} + \vec{AC} = \vec{AD}$.
Ответ: Вектор $\vec{AD}$, где $D$ — вершина параллелограмма $ABDC$.

1) коллинеарны
Два ненулевых вектора $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2)$ коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны: $\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2}$.
Для векторов $\vec{a}(2; 6)$ и $\vec{b}(-3; k)$:
$\frac{2}{-3} = \frac{6}{k}$.
Из пропорции находим $k$:
$2 \cdot k = 6 \cdot (-3)$
$2k = -18$
$k = -9$.
Ответ: $k = -9$.

2) перпендикулярны
Два ненулевых вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.
Для векторов $\vec{a}(2; 6)$ и $\vec{b}(-3; k)$:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot (-3) + 6 \cdot k = 0$.
$-6 + 6k = 0$
$6k = 6$
$k = 1$.
Ответ: $k = 1$.

Пусть $\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{AD} = \vec{b}$. В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны равны и параллельны, поэтому $\vec{BC} = \vec{AD} = \vec{b}$.
Для выражения вектора $\vec{EF}$ воспользуемся правилом ломаной линии: $\vec{EF} = \vec{EB} + \vec{BF}$.
Точка $E$ лежит на стороне $BC$ так, что $BE : EC = 1 : 3$. Это значит, что вектор $\vec{BE}$ составляет $\frac{1}{1+3} = \frac{1}{4}$ от вектора $\vec{BC}$.
$\vec{BE} = \frac{1}{4}\vec{BC} = \frac{1}{4}\vec{b}$. Тогда $\vec{EB} = -\vec{BE} = -\frac{1}{4}\vec{b}$.
Точка $F$ лежит на стороне $AB$ так, что $AF : FB = 1 : 4$. Это значит, что отрезок $FB$ составляет $\frac{4}{1+4} = \frac{4}{5}$ от отрезка $AB$. Вектор $\vec{BF}$ направлен от $B$ к $F$, то есть в сторону, противоположную вектору $\vec{AB}$.
$\vec{BF} = -\frac{4}{5}\vec{AB} = -\frac{4}{5}\vec{a}$.
Теперь сложим векторы:
$\vec{EF} = \vec{EB} + \vec{BF} = -\frac{1}{4}\vec{b} - \frac{4}{5}\vec{a}$.
Ответ: $\vec{EF} = -\frac{4}{5}\vec{a} - \frac{1}{4}\vec{b}$.

Косинус угла $\theta$ между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ находится по формуле $\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$.
Найдем скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (\vec{n} + 2\vec{m}) \cdot (3\vec{n} - \vec{m}) = 3(\vec{n} \cdot \vec{n}) - \vec{n} \cdot \vec{m} + 6(\vec{m} \cdot \vec{n}) - 2(\vec{m} \cdot \vec{m})$.
Используя свойства скалярного произведения ($\vec{u} \cdot \vec{u} = |\vec{u}|^2$ и $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$), получаем:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3|\vec{n}|^2 + 5(\vec{n} \cdot \vec{m}) - 2|\vec{m}|^2$.
По условию $\vec{m} \perp \vec{n}$, значит их скалярное произведение $\vec{n} \cdot \vec{m} = 0$. Также $|\vec{m}| = |\vec{n}| = 1$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3(1)^2 + 5(0) - 2(1)^2 = 3 - 2 = 1$.
Найдем модули векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:
$|\vec{a}|^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} = (\vec{n} + 2\vec{m}) \cdot (\vec{n} + 2\vec{m}) = |\vec{n}|^2 + 4(\vec{n} \cdot \vec{m}) + 4|\vec{m}|^2 = 1^2 + 4(0) + 4(1)^2 = 1 + 4 = 5$. Значит, $|\vec{a}| = \sqrt{5}$.
$|\vec{b}|^2 = \vec{b} \cdot \vec{b} = (3\vec{n} - \vec{m}) \cdot (3\vec{n} - \vec{m}) = 9|\vec{n}|^2 - 6(\vec{n} \cdot \vec{m}) + |\vec{m}|^2 = 9(1)^2 - 6(0) + 1^2 = 9 + 1 = 10$. Значит, $|\vec{b}| = \sqrt{10}$.
Теперь найдем косинус угла:
$\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{50}} = \frac{1}{5\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{10}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{10}$.

Контрольная работа № 5

Тема. Геометрические преобразования

1. Найдите координаты точек, симметричных точкам $A (-3; 4)$ и $B (0; 5)$ относительно: 1) оси абсцисс; 2) оси ординат; 3) начала координат.

2. Начертите треугольник $ABC$. Постройте образ треугольника $ABC$: 1) при параллельном переносе на вектор $\vec{BC}$; 2) при симметрии относительно точки $A$; 3) при симметрии относительно прямой $AB$.

3. Точка $A_1 (8; y)$ является образом точки $A (x; -3)$ при гомотетии с центром $H (2; 1)$ и коэффициентом $k = -4$. Найдите $x$ и $y$.

4. Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $M$. Найдите площадь трапеции, если $BC : AD = 2 : 5$, а площадь треугольника $BMC$ равна $12\text{ см}^2$.

5. Из точек $A$ и $C$, лежащих в одной полуплоскости относительно прямой $m$, опущены перпендикуляры $AA_1$ и $CC_1$ на эту прямую. $AA_1 = 7$ см, $CC_1 = 1$ см, $A_1C_1 = 6$ см. Какое наименьшее значение может принимать сумма $AX + XC$, где $X$ — точка, принадлежащая прямой $m$?

Контрольная работа № 5

Тема. Геометрические преобразования

1. Найдите координаты точек, симметричных точкам $A (-3; 4)$ и $B (0; 5)$ относительно: 1) оси абсцисс; 2) оси ординат; 3) начала координат.

2. Начертите треугольник $ABC$. Постройте образ треугольника $ABC$: 1) при параллельном переносе на вектор $\vec{BC}$; 2) при симметрии относительно точки $A$; 3) при симметрии относительно прямой $AB$.

3. Точка $A_1 (8; y)$ является образом точки $A (x; -3)$ при гомотетии с центром $H (2; 1)$ и коэффициентом $k = -4$. Найдите $x$ и $y$.

4. Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $M$. Найдите площадь трапеции, если $BC : AD = 2 : 5$, а площадь треугольника $BMC$ равна $12 \text{ см}^2$.

5. Из точек $A$ и $C$, лежащих в одной полуплоскости относительно прямой $m$, опущены перпендикуляры $AA_1$ и $CC_1$ на эту прямую. $AA_1 = 7 \text{ см}$, $CC_1 = 1 \text{ см}$, $A_1C_1 = 6 \text{ см}$. Какое наименьшее значение может принимать сумма $AX + XC$, где $X$ — точка, принадлежащая прямой $m$?

1.

1) Симметрия относительно оси абсцисс (оси Ox)

При симметрии относительно оси абсцисс координата $y$ меняет знак на противоположный, а координата $x$ остается без изменений. Точка с координатами $(x; y)$ переходит в точку $(x; -y)$.

Для точки $A(-3; 4)$, симметричная ей точка $A_1$ будет иметь координаты $(-3; -4)$.

Для точки $B(0; 5)$, симметричная ей точка $B_1$ будет иметь координаты $(0; -5)$.

2) Симметрия относительно оси ординат (оси Oy)

При симметрии относительно оси ординат координата $x$ меняет знак на противоположный, а координата $y$ остается без изменений. Точка с координатами $(x; y)$ переходит в точку $(-x; y)$.

Для точки $A(-3; 4)$, симметричная ей точка $A_2$ будет иметь координаты $(-(-3); 4)$, то есть $(3; 4)$.

Для точки $B(0; 5)$, симметричная ей точка $B_2$ будет иметь координаты $(-0; 5)$, то есть $(0; 5)$. Точка $B$ лежит на оси ординат, поэтому она отображается на саму себя.

3) Симметрия относительно начала координат

При симметрии относительно начала координат обе координаты, $x$ и $y$, меняют знак на противоположный. Точка с координатами $(x; y)$ переходит в точку $(-x; -y)$.

Для точки $A(-3; 4)$, симметричная ей точка $A_3$ будет иметь координаты $(-(-3); -4)$, то есть $(3; -4)$.

Для точки $B(0; 5)$, симметричная ей точка $B_3$ будет иметь координаты $(-0; -5)$, то есть $(0; -5)$.

Ответ: 1) $A_1(-3; -4)$, $B_1(0; -5)$; 2) $A_2(3; 4)$, $B_2(0; 5)$; 3) $A_3(3; -4)$, $B_3(0; -5)$.

2.

Для выполнения построений зададим произвольный треугольник $ABC$.

1) Построение образа треугольника $ABC$ при параллельном переносе на вектор $\vec{BC}$.

При параллельном переносе на вектор $\vec{v}$ каждая точка $M$ фигуры переходит в точку $M'$ так, что $\vec{MM'} = \vec{v}$. В нашем случае $\vec{v} = \vec{BC}$.

- Точка $B$ переходит в точку $C$, так как $\vec{BC} = \vec{BC}$. Обозначим образ $B'$, тогда $B' = C$.

- Точка $C$ переходит в точку $C'$ так, что $\vec{CC'} = \vec{BC}$. Чтобы построить точку $C'$, нужно отложить от точки $C$ вектор, равный вектору $\vec{BC}$. В результате четырехугольник $BCC'B$ (где вторая B - это начальное положение) является параллелограммом.

- Точка $A$ переходит в точку $A'$ так, что $\vec{AA'} = \vec{BC}$. Это означает, что четырехугольник $ABCA'$ является параллелограммом.

Соединив точки $A'$, $B'$ (которая совпадает с $C$) и $C'$, получим искомый треугольник $A'B'C'$ (или $A'CC'$), который является образом треугольника $ABC$.

2) Построение образа треугольника $ABC$ при симметрии относительно точки $A$.

При симметрии относительно центра $A$ каждая точка $M$ фигуры переходит в точку $M'$ так, что $A$ является серединой отрезка $MM'$.

- Точка $A$ является центром симметрии, поэтому она отображается на саму себя. Образ $A'$ совпадает с $A$.

- Точка $B$ переходит в точку $B'$. Для ее построения нужно провести луч $BA$ и отложить на нем за точкой $A$ отрезок $AB'$, равный отрезку $AB$.

- Точка $C$ переходит в точку $C'$. Для ее построения нужно провести луч $CA$ и отложить на нем за точкой $A$ отрезок $AC'$, равный отрезку $AC$.

Соединив точки $A'$, $B'$ и $C'$, получим искомый треугольник $A'B'C'$ (или $AB'C'$).

3) Построение образа треугольника $ABC$ при симметрии относительно прямой $AB$.

При симметрии относительно прямой $AB$ каждая точка, лежащая на этой прямой, отображается на саму себя.

- Точки $A$ и $B$ лежат на оси симметрии $AB$, поэтому их образы $A'$ и $B'$ совпадают с ними: $A' = A$, $B' = B$.

- Для построения образа точки $C$, точки $C'$, нужно провести через точку $C$ прямую, перпендикулярную прямой $AB$. Пусть $H$ - точка их пересечения. На продолжении отрезка $CH$ за точку $H$ нужно отложить отрезок $HC'$, равный $CH$. Точка $C'$ будет образом точки $C$.

Соединив точки $A'$, $B'$ и $C'$, получим искомый треугольник $A'B'C'$ (или $ABC'$), который симметричен треугольнику $ABC$ относительно прямой $AB$.

Ответ: Построения выполняются согласно описанным выше алгоритмам.

3.

Гомотетия точки $A(x_A; y_A)$ относительно центра $H(x_H; y_H)$ с коэффициентом $k$ переводит ее в точку $A_1(x_1; y_1)$, координаты которой вычисляются по формулам:

$x_1 = x_H + k \cdot (x_A - x_H)$

$y_1 = y_H + k \cdot (y_A - y_H)$

По условию дано:

Точка $A(x; -3)$, то есть $x_A = x, y_A = -3$.

Образ точки, $A_1(8; y)$, то есть $x_1 = 8, y_1 = y$.

Центр гомотетии $H(2; 1)$, то есть $x_H = 2, y_H = 1$.

Коэффициент гомотетии $k = -4$.

Подставим известные значения в формулы и найдем $x$ и $y$.

Для координаты $x$:

$8 = 2 + (-4) \cdot (x - 2)$

$8 = 2 - 4x + 8$

$8 = 10 - 4x$

$4x = 10 - 8$

$4x = 2$

$x = \frac{2}{4} = 0.5$

Для координаты $y$:

$y = 1 + (-4) \cdot (-3 - 1)$

$y = 1 + (-4) \cdot (-4)$

$y = 1 + 16$

$y = 17$

Ответ: $x = 0.5, y = 17$.

4.

Рассмотрим треугольники $\triangle BMC$ и $\triangle AMD$.

Поскольку $ABCD$ - трапеция, ее основания $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$).

Угол $\angle M$ является общим для обоих треугольников.

Углы $\angle MBC$ и $\angle MAD$ равны как соответственные углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AM$.

Следовательно, треугольник $\triangle BMC$ подобен треугольнику $\triangle AMD$ по двум углам.

Коэффициент подобия $k$ равен отношению соответственных сторон:

$k = \frac{BC}{AD} = \frac{2}{5}$

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

$\frac{S_{BMC}}{S_{AMD}} = k^2 = \left(\frac{2}{5}\right)^2 = \frac{4}{25}$

По условию, площадь треугольника $BMC$ равна 12 см², то есть $S_{BMC} = 12$. Найдем площадь треугольника $AMD$:

$\frac{12}{S_{AMD}} = \frac{4}{25}$

$S_{AMD} = \frac{12 \cdot 25}{4} = 3 \cdot 25 = 75$ см².

Площадь трапеции $ABCD$ равна разности площадей треугольников $\triangle AMD$ и $\triangle BMC$:

$S_{ABCD} = S_{AMD} - S_{BMC} = 75 - 12 = 63$ см².

Ответ: 63 см².

5.

Для нахождения наименьшего значения суммы $AX + XC$, где точки $A$ и $C$ лежат по одну сторону от прямой $m$, а точка $X$ лежит на прямой $m$, используем метод симметрии.

Отразим одну из точек, например $C$, симметрично относительно прямой $m$. Получим точку $C'$. По определению осевой симметрии, для любой точки $X$ на прямой $m$ будет выполняться равенство $XC = XC'$.

Тогда сумма $AX + XC$ равна сумме $AX + XC'$. Эта сумма будет наименьшей, когда точки $A, X, C'$ лежат на одной прямой. В этом случае наименьшее значение суммы будет равно длине отрезка $AC'$.

Для нахождения длины $AC'$ построим прямоугольный треугольник. Проведем через точку $A$ прямую, параллельную $A_1C_1$, и через точку $C'$ — прямую, перпендикулярную ей. Пусть они пересекутся в точке $P$. Получим прямоугольный треугольник $\triangle AC'P$.

Катеты этого треугольника:

1. Горизонтальный катет $AP$ равен расстоянию $A_1C_1$, то есть $AP = 6$ см.

2. Вертикальный катет $PC'$ равен сумме длин перпендикуляров $AA_1$ и $C_1C'$ (который равен $CC_1$). То есть $PC' = AA_1 + CC_1 = 7 + 1 = 8$ см.

По теореме Пифагора найдем гипотенузу $AC'$:

$AC' = \sqrt{AP^2 + (PC')^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ см.

Следовательно, наименьшее значение суммы $AX + XC$ равно 10 см.

Ответ: 10 см.