Страница 98 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

287. Проведите луч OC. Постройте образ этого луча при повороте на угол $65^\circ$ по часовой стрелке вокруг:

1) точки P, принадлежащей лучу;

2) точки N, не принадлежащей лучу.

287. Проведите луч $OC$. Постройте образ этого луча при повороте на угол $65^\circ$ по часовой стрелке вокруг:

1) точки $P$, принадлежащей лучу;

2) точки $N$, не принадлежащей лучу.

1) точки P, принадлежащей лучу

Для построения образа луча OC при повороте вокруг точки P, принадлежащей этому лучу, необходимо рассмотреть два возможных случая расположения точки P.

Случай а: Центр поворота P совпадает с началом луча O (P = O).

1. Проведем луч OC. Центр поворота — точка O.

2. Поскольку центр поворота является началом луча, точка O при повороте остается на месте (ее образ O' совпадает с O).

3. Чтобы найти образ луча, достаточно повернуть его направление. С помощью транспортира отложим от луча OC угол, равный 65°, по часовой стрелке. Для этого можно взять любую точку C на луче, повернуть ее вокруг O на 65° по часовой стрелке и получить точку C'.

4. Проведем новый луч OC'. Этот луч и будет образом исходного луча OC. Угол $ \angle COC' $ будет равен 65°.

Случай б: Центр поворота P лежит на луче OC, но не совпадает с его началом O.

1. Проведем луч OC и отметим на нем точку P, отличную от O.

2. Чтобы построить образ луча OC, найдем образ его начальной точки O. Обозначим его O'.

3. Соединим точки P и O отрезком (этот отрезок является частью луча). С помощью транспортира построим угол $ \angle OPO' $, равный 65°, откладывая его от отрезка PO по часовой стрелке.

4. С помощью циркуля отмерим расстояние PO и отложим его на новой стороне угла от точки P. Получим точку O' так, что $ PO' = PO $.

5. Точка P, являясь центром поворота, остается неподвижной (P' = P).

6. Образом луча OC является луч, который начинается в образе начальной точки (O') и проходит через образ любой другой точки луча (например, P). Таким образом, искомый образ — это луч, исходящий из точки O' и проходящий через точку P.

Ответ: Если центр поворота P совпадает с началом луча O, образом является луч OC', образующий с исходным лучом угол 65° по часовой стрелке. Если P — точка на луче, отличная от O, то образом является луч, начинающийся в точке O' и проходящий через P, где O' — точка, полученная поворотом точки O вокруг P на 65° по часовой стрелке.

2) точки N, не принадлежащей лучу

Для построения образа луча OC при повороте вокруг точки N, не принадлежащей этому лучу, необходимо найти образы как минимум двух точек исходного луча. Возьмем начальную точку O и произвольную другую точку C на луче.

Порядок построения:

1. Построение образа O' точки O.

а. Соединим отрезком центр поворота N с точкой O.

б. С помощью транспортира отложим от отрезка NO по часовой стрелке угол $ \angle ONO' = 65° $.

в. С помощью циркуля измерим длину отрезка NO и отложим на новой стороне угла отрезок NO' такой же длины ($ NO' = NO $). Точка O' — искомый образ точки O.

2. Построение образа C' точки C.

а. Соединим отрезком центр поворота N с точкой C.

б. Аналогично предыдущему шагу, отложим от отрезка NC по часовой стрелке угол $ \angle CNC' = 65° $.

в. Отложим на новой стороне угла отрезок NC' равной длины ($ NC' = NC $). Точка C' — искомый образ точки C.

3. Построение искомого луча O'C'.

Проведем луч с началом в точке O' через точку C'. Этот луч O'C' и является образом луча OC при заданном повороте.

Ответ: Образом луча OC является луч O'C', где точки O' и C' являются образами точек O и C соответственно при повороте на 65° по часовой стрелке вокруг точки N.

288. Постройте образы точек $M (-2; 0)$, $N (0; -5)$, $K (1; 3)$, $P (-3; -1)$ при повороте на угол $90^\circ$ против часовой стрелки вокруг начала координат. Укажите координаты полученных точек.

288. Постройте образы точек $M (-2; 0)$, $N (0; -5)$, $K (1; 3)$, $P (-3; -1)$ при повороте на угол $90^\circ$ против часовой стрелки вокруг начала координат. Укажите координаты полученных точек.

При повороте точки с координатами $(x; y)$ на угол 90° против часовой стрелки вокруг начала координат, ее новые координаты $(x'; y')$ можно найти по формулам преобразования поворота:

$x' = x \cdot \cos(90°) - y \cdot \sin(90°)$

$y' = x \cdot \sin(90°) + y \cdot \cos(90°)$

Так как $\cos(90°) = 0$ и $\sin(90°) = 1$, формулы упрощаются:

$x' = x \cdot 0 - y \cdot 1 = -y$

$y' = x \cdot 1 + y \cdot 0 = x$

Таким образом, точка $(x; y)$ переходит в точку $(-y; x)$. Применим это правило для каждой из заданных точек.

M (-2; 0)

Для точки $M(-2; 0)$ имеем $x = -2$ и $y = 0$.
Новые координаты $M'(x'; y')$:

$x' = -y = -0 = 0$

$y' = x = -2$

Образ точки $M$ — это точка $M'(0; -2)$.
Ответ: $M'(0; -2)$

N (0; -5)

Для точки $N(0; -5)$ имеем $x = 0$ и $y = -5$.
Новые координаты $N'(x'; y')$:

$x' = -y = -(-5) = 5$

$y' = x = 0$

Образ точки $N$ — это точка $N'(5; 0)$.
Ответ: $N'(5; 0)$

K (1; 3)

Для точки $K(1; 3)$ имеем $x = 1$ и $y = 3$.
Новые координаты $K'(x'; y')$:

$x' = -y = -3$

$y' = x = 1$

Образ точки $K$ — это точка $K'(-3; 1)$.
Ответ: $K'(-3; 1)$

P (-3; -1)

Для точки $P(-3; -1)$ имеем $x = -3$ и $y = -1$.
Новые координаты $P'(x'; y')$:

$x' = -y = -(-1) = 1$

$y' = x = -3$

Образ точки $P$ — это точка $P'(1; -3)$.
Ответ: $P'(1; -3)$

289. Образом точки $M (-3; m)$ при повороте на угол $90^\circ$ по часовой стрелке вокруг точки $O (0; 0)$ является точка $N (-5; n)$. Найдите $m$ и $n$.

289. Образом точки $M (-3; m)$ при повороте на угол $90^{\circ}$ по часовой стрелке вокруг точки $O (0; 0)$ является точка $N (-5; n)$. Найдите $m$ и $n$.

При повороте точки с координатами $(x; y)$ на 90° по часовой стрелке вокруг начала координат, ее новые координаты $(x'; y')$ находятся по формулам:

$x' = y$

$y' = -x$

В условии задачи дана исходная точка $M(-3; m)$ и ее образ после поворота — точка $N(-5; n)$.

Таким образом, мы имеем:

$x = -3$, $y = m$

$x' = -5$, $y' = n$

Подставим эти значения в формулы поворота:

Для координаты $x'$:

$x' = y \implies -5 = m$

Для координаты $y'$:

$y' = -x \implies n = -(-3)$

Из этих уравнений находим искомые значения $m$ и $n$:

$m = -5$

$n = 3$

Ответ: $m = -5$, $n = 3$.

290. На какой наименьший угол надо повернуть правильный восьмиугольник вокруг его центра, чтобы его образом был этот же восьмиугольник?

290. На какой наименьший угол надо повернуть правильный восьмиугольник вокруг его центра, чтобы его образом был этот же восьмиугольник?

Правильный n-угольник при повороте вокруг своего центра совмещается сам с собой, если угол поворота кратен центральному углу, стягивающему одну из его сторон. Чтобы найти этот наименьший угол, необходимо разделить полный угол ($360^\circ$) на количество сторон (или вершин) многоугольника.

Для правильного восьмиугольника количество сторон $n = 8$.

Наименьший угол поворота $\alpha$ вычисляется по формуле:
$\alpha = \frac{360^\circ}{n}$

Подставим значение $n=8$ в формулу:
$\alpha = \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ$

Это означает, что при повороте на $45^\circ$ каждая вершина восьмиугольника перейдет в положение соседней вершины, и, следовательно, весь восьмиугольник совместится сам с собой. Это и есть наименьший требуемый угол.

Ответ: $45^\circ$.

291. Начертите отрезок MN длиной 3 см и отметьте точку O, не принадлежащую этому отрезку. Постройте отрезок, гомотетичный отрезку MN, с центром гомотетии в точке O и коэффициентом гомотетии:

1) $k = -2$;

2) $k = \frac{1}{3}$.

291. Начертите отрезок $MN$ длиной 3 см и отметьте точку $O$, не принадлежащую этому отрезку. Постройте отрезок, гомотетичный отрезок $MN$, с центром гомотетии в точке $O$ и коэффициентом гомотетии:

1) $k = -2$;

2) $k = \frac{1}{3}$.

Для решения задачи сначала начертим произвольный отрезок $MN$ длиной 3 см и отметим точку $O$, не лежащую на прямой $MN$. Гомотетия с центром $O$ и коэффициентом $k$ преобразует каждую точку $X$ в точку $X'$ так, что выполняется векторное равенство $\vec{OX'} = k \cdot \vec{OX}$. Это означает, что точки $O$, $X$ и $X'$ лежат на одной прямой, а расстояние $OX'$ равно $|k| \cdot OX$. Если $k>0$, точки $X$ и $X'$ лежат по одну сторону от $O$. Если $k<0$, точки $X$ и $X'$ лежат по разные стороны от $O$.

Чтобы построить отрезок, гомотетичный отрезку $MN$, нужно построить образы его концов, точек $M$ и $N$, а затем соединить их.

1) k = -2;

1. Построение образа точки M (точки M'): Проведем прямую через точки $O$ и $M$. Так как коэффициент гомотетии $k = -2$ отрицательный, точка $M'$ будет лежать на этой прямой по другую сторону от точки $O$, нежели точка $M$. Расстояние от $O$ до $M'$ вычисляется по формуле: $OM' = |k| \cdot OM = |-2| \cdot OM = 2 \cdot OM$. Таким образом, нужно отложить на луче, противоположном лучу $OM$, отрезок $OM'$, длина которого в два раза больше длины отрезка $OM$.

2. Построение образа точки N (точки N'): Аналогично проведем прямую через точки $O$ и $N$. Так как $k = -2$, точка $N'$ будет лежать на этой прямой по другую сторону от $O$. Расстояние от $O$ до $N'$ будет равно: $ON' = |k| \cdot ON = |-2| \cdot ON = 2 \cdot ON$. Откладываем на луче, противоположном лучу $ON$, отрезок $ON'$, в два раза длиннее отрезка $ON$.

3. Построение искомого отрезка M'N': Соединим полученные точки $M'$ и $N'$. Отрезок $M'N'$ и есть искомый отрезок, гомотетичный отрезку $MN$. Его длина будет равна $M'N' = |k| \cdot MN = |-2| \cdot 3 \text{ см} = 6 \text{ см}$.

Ответ: Построен отрезок $M'N'$, гомотетичный отрезку $MN$. Длина отрезка $M'N'$ равна 6 см.

2) k = 1/3

1. Построение образа точки M (точки M'): Проведем прямую через точки $O$ и $M$. Так как коэффициент гомотетии $k = \frac{1}{3}$ положительный, точка $M'$ будет лежать на отрезке $OM$. Расстояние от $O$ до $M'$ вычисляется по формуле: $OM' = |k| \cdot OM = \frac{1}{3} \cdot OM$. Отмечаем точку $M'$ на отрезке $OM$ так, чтобы она делила его в отношении 1:2, считая от точки $O$.

2. Построение образа точки N (точки N'): Аналогично проведем прямую через точки $O$ и $N$. Так как $k = \frac{1}{3} > 0$, точка $N'$ будет лежать на отрезке $ON$. Расстояние от $O$ до $N'$ будет равно: $ON' = |k| \cdot ON = \frac{1}{3} \cdot ON$. Отмечаем точку $N'$ на отрезке $ON$ так, чтобы она делила его в отношении 1:2, считая от точки $O$.

3. Построение искомого отрезка M'N': Соединим полученные точки $M'$ и $N'$. Отрезок $M'N'$ является искомым. Его длина будет равна $M'N' = |k| \cdot MN = \frac{1}{3} \cdot 3 \text{ см} = 1 \text{ см}$.

Ответ: Построен отрезок $M'N'$, гомотетичный отрезку $MN$. Длина отрезка $M'N'$ равна 1 см.

292. Начертите острый угол и отметьте точку $M$, лежащую вне этого угла. Постройте угол, гомотетичный данному, с центром гомотетии в точке $M$ и коэффициентом гомотетии $k = \frac{1}{4}$.

292. Начертите острый угол и отметьте точку $M$, лежащую вне этого угла. Постройте угол, гомотетичный данному, с центром гомотетии в точке $M$ и коэффициентом гомотетии $k = \frac{1}{4}$.

Гомотетия — это преобразование плоскости, при котором каждой точке $A$ плоскости сопоставляется точка $A'$ так, что $\vec{MA'} = k \cdot \vec{MA}$, где $M$ — фиксированная точка (центр гомотетии), а $k$ — заданное число (коэффициент гомотетии).

В данной задаче нам нужно построить угол, гомотетичный данному острому углу, с центром гомотетии в точке $M$ и коэффициентом $k = \frac{1}{4}$.

Построение

1. Начертим произвольный острый угол. Обозначим его вершину буквой $O$, а его стороны (лучи) — $a$ и $b$.
2. Отметим точку $M$, лежащую вне этого угла, как указано в условии.
3. На сторонах исходного угла выберем по одной произвольной точке (кроме вершины). Пусть это будут точка $A$ на стороне $a$ и точка $B$ на стороне $b$. Таким образом, мы будем работать с углом $∠AOB$.
4. Теперь найдем образы точек $O$, $A$ и $B$ при гомотетии с центром $M$ и коэффициентом $k = \frac{1}{4}$.
   • Построение точки $O'$ (образа точки $O$): Проведем отрезок $MO$. Разделим этот отрезок на 4 равные части (например, с помощью теоремы Фалеса). Отметим на отрезке $MO$ точку $O'$ так, чтобы ее расстояние от $M$ составляло одну четверть длины отрезка $MO$. То есть, $MO' = \frac{1}{4} MO$.
   • Построение точки $A'$ (образа точки $A$): Проведем отрезок $MA$. Аналогично разделим его на 4 равные части и отметим на нем точку $A'$ так, чтобы $MA' = \frac{1}{4} MA$.
   • Построение точки $B'$ (образа точки $B$): Проведем отрезок $MB$. Разделим его на 4 равные части и отметим на нем точку $B'$ так, чтобы $MB' = \frac{1}{4} MB$.
5. Соединим полученные точки. Проведем луч с началом в точке $O'$, проходящий через точку $A'$. Это будет образ стороны $a$. Затем проведем луч с началом в точке $O'$, проходящий через точку $B'$. Это будет образ стороны $b$.
6. Полученный угол $∠A'O'B'$ и есть искомый угол, гомотетичный данному.

По свойству гомотетии, образ угла является углом, равным исходному. Стороны нового угла параллельны соответствующим сторонам исходного угла.

Ответ: Угол $∠A'O'B'$, построенный по описанному выше алгоритму, является гомотетичным данному углу $∠AOB$ с центром гомотетии в точке $M$ и коэффициентом $k = \frac{1}{4}$.

293. Постройте ромб, гомотетичный данному ромбу, с центром гомотетии в точке пересечения его диагоналей и коэффициентом гомотетии:

1) $k = 1.5$

2) $k = -2$

293. Постройте ромб, гомотетичный данному ромбу, с центром гомотетии в точке пересечения его диагоналей и коэффициентом гомотетии:

1) $k = 1,5$

2) $k = -2$

Гомотетия — это преобразование подобия, при котором каждая точка $M$ фигуры переходит в точку $M'$ так, что вектор $\vec{OM'}$ связан с вектором $\vec{OM}$ соотношением $\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$, где $O$ — центр гомотетии, а $k$ — коэффициент гомотетии. Для построения гомотетичного ромба необходимо применить это преобразование к каждой его вершине.

Пусть дан ромб $ABCD$. Центром гомотетии является точка $O$ — точка пересечения его диагоналей $AC$ и $BD$.

Построение выполняется в несколько шагов. Сначала начертим ромб $ABCD$ и найдем его центр $O$ как точку пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. Затем построим образ $A'$ вершины $A$. Так как коэффициент гомотетии $k = 1,5 > 0$, точка $A'$ будет лежать на луче $OA$ (то есть в том же направлении от $O$, что и $A$). Расстояние от центра $O$ до точки $A'$ вычисляется по формуле $OA' = k \cdot OA = 1,5 \cdot OA$. Для построения можно продлить отрезок $OA$ за точку $A$ на половину его длины. Аналогично строятся образы остальных вершин: точка $B'$ лежит на луче $OB$ так, что $OB' = 1,5 \cdot OB$; точка $C'$ лежит на луче $OC$ так, что $OC' = 1,5 \cdot OC$; точка $D'$ лежит на луче $OD$ так, что $OD' = 1,5 \cdot OD$. В завершение соединим последовательно точки $A', B', C', D'$, чтобы получить искомый ромб.

Ответ: Полученный ромб $A'B'C'D'$ гомотетичен исходному ромбу $ABCD$ с центром гомотетии в точке $O$ и коэффициентом $k=1,5$. Он имеет ту же ориентацию, что и исходный, а его стороны в 1,5 раза длиннее.

Построение выполняется в несколько шагов. Сначала начертим ромб $ABCD$ и найдем его центр $O$ как точку пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. Затем построим образ $A'$ вершины $A$. Так как коэффициент гомотетии $k = -2 < 0$, точка $A'$ будет лежать на луче, противоположном лучу $OA$ (то есть на луче $OC$). Расстояние от центра $O$ до точки $A'$ вычисляется по формуле $OA' = |k| \cdot OA = |-2| \cdot OA = 2 \cdot OA$. Аналогично строятся образы остальных вершин: точка $B'$ лежит на луче, противоположном лучу $OB$ (на луче $OD$), так, что $OB' = 2 \cdot OB$; точка $C'$ лежит на луче, противоположном лучу $OC$ (на луче $OA$), так, что $OC' = 2 \cdot OC$; точка $D'$ лежит на луче, противоположном лучу $OD$ (на луче $OB$), так, что $OD' = 2 \cdot OD$. В завершение соединим последовательно точки $A', B', C', D'$, чтобы получить искомый ромб.

Ответ: Полученный ромб $A'B'C'D'$ гомотетичен исходному ромбу $ABCD$ с центром гомотетии в точке $O$ и коэффициентом $k=-2$. Он повернут на 180 градусов относительно исходного, а его стороны в 2 раза длиннее.

294. Отметьте точки $M$ и $N$. Найдите такую точку $K$, чтобы точка $M$ была образом точки $N$ при гомотетии с центром $K$ и коэффициентом гомотетии $k=3$.

294. Отметьте точки $M$ и $N$. Найдите такую точку $K$, чтобы точка $M$ была образом точки $N$ при гомотетии с центром $K$ и коэффициентом гомотетии $k=3$.

По определению гомотетии с центром в точке K и коэффициентом k, для любой точки N и ее образа M (точки, в которую переходит точка N) выполняется следующее векторное равенство:

$\vec{KM} = k \cdot \vec{KN}$

В условии задачи сказано, что точка M является образом точки N при гомотетии с центром K и коэффициентом $k=3$. Подставим значение коэффициента в формулу:

$\vec{KM} = 3 \cdot \vec{KN}$

Это векторное равенство означает следующее:

• Точки K, M и N лежат на одной прямой (коллинеарны).
• Так как коэффициент гомотетии $k = 3$ является положительным числом, векторы $\vec{KM}$ и $\vec{KN}$ направлены в одну и ту же сторону (сонаправлены). Это возможно только в том случае, если точка N лежит между точками K и M.
• Длина вектора $\vec{KM}$ в 3 раза больше длины вектора $\vec{KN}$. В виде длин отрезков это можно записать как $|KM| = 3 \cdot |KN|$.

Рассмотрим отрезки на прямой, на которой лежат точки K, N и M. Так как точка N находится между K и M, длина отрезка KM равна сумме длин отрезков KN и NM:

$|KM| = |KN| + |NM|$

Теперь воспользуемся соотношением, полученным из определения гомотетии, $|KM| = 3 \cdot |KN|$, и подставим его в предыдущее равенство:

$3 \cdot |KN| = |KN| + |NM|$

Вычтем $|KN|$ из обеих частей уравнения:

$2 \cdot |KN| = |NM|$

Отсюда находим длину отрезка KN:

$|KN| = \frac{1}{2} |NM|$

Таким образом, мы получили точное описание расположения точки K. Чтобы найти точку K, необходимо:

1. Провести прямую через данные точки M и N.
2. На этой прямой, на продолжении отрезка MN за точку N, отложить отрезок NK.
3. Длина отрезка NK должна быть равна половине длины отрезка NM.

Ответ: Точка K лежит на прямой MN на продолжении отрезка MN за точку N, причем расстояние от K до N равно половине расстояния от N до M ($|KN| = \frac{1}{2}|NM|$).

295. Точка $M (1; -3)$ — образ точки $P (-2; 6)$ при гомотетии с центром в начале координат. Найдите коэффициент гомотетии.

295. Точка $M(1;-3)$ — образ точки $P(-2;6)$ при гомотетии с центром в начале координат. Найдите коэффициент гомотетии.

Гомотетия — это преобразование подобия, при котором каждая точка $P$ фигуры переходит в точку $M$ так, что точка $M$ лежит на луче, исходящем из центра гомотетии $O$ и проходящем через точку $P$. Если центр гомотетии находится в начале координат $O(0; 0)$, то координаты точки-образа $M(x'; y')$ связаны с координатами исходной точки $P(x; y)$ через коэффициент гомотетии $k$ следующими формулами:

$x' = k \cdot x$

$y' = k \cdot y$

В условии задачи даны координаты исходной точки $P(-2; 6)$ и её образа $M(1; -3)$. Нам нужно найти коэффициент гомотетии $k$.

Подставим координаты $x$ и $x'$ в первую формулу:

$1 = k \cdot (-2)$

Из этого уравнения выразим $k$:

$k = \frac{1}{-2} = -0.5$

Для проверки можно использовать вторую формулу, подставив в неё координаты $y$ и $y'$:

$-3 = k \cdot 6$

Выразим $k$ из этого уравнения:

$k = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2} = -0.5$

Значения коэффициента, вычисленные по обеим координатам, совпали.

Ответ: -0.5