Страница 94 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

251. Даны точки $A (-1; -6)$ и $B (5; -2)$. При параллельном переносе образом середины отрезка $AB$ является точка $C (3; 7)$. Найдите образы точек $A$ и $B$ при этом параллельном переносе.

251. Даны точки $A (-1; -6)$ и $B (5; -2)$. При параллельном переносе образом середины отрезка $AB$ является точка $C (3; 7)$. Найдите образы точек $A$ и $B$ при этом параллельном переносе.

Для решения задачи необходимо выполнить три шага: найти координаты середины отрезка $AB$, определить вектор параллельного переноса и, наконец, найти образы точек $A$ и $B$.

1. Нахождение координат середины отрезка AB.
Пусть $M(x_M; y_M)$ — середина отрезка с концами в точках $A(x_A; y_A)$ и $B(x_B; y_B)$. Её координаты вычисляются по формулам:
$x_M = \frac{x_A + x_B}{2}$
$y_M = \frac{y_A + y_B}{2}$
Подставляем координаты точек $A(-1; -6)$ и $B(5; -2)$:
$x_M = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$y_M = \frac{-6 + (-2)}{2} = \frac{-8}{2} = -4$
Таким образом, середина отрезка $AB$ — это точка $M(2; -4)$.

2. Определение вектора параллельного переноса.
Параллельный перенос, который отображает точку $(x; y)$ на точку $(x'; y')$, задается вектором $\vec{v}(a; b)$, где $x' = x + a$ и $y' = y + b$.
По условию, образом точки $M(2; -4)$ является точка $C(3; 7)$. Найдем компоненты вектора переноса $a$ и $b$:
$a = x_C - x_M = 3 - 2 = 1$
$b = y_C - y_M = 7 - (-4) = 7 + 4 = 11$
Следовательно, параллельный перенос задается вектором $\vec{v}(1; 11)$.

3. Нахождение образов точек A и B.
Теперь, зная вектор переноса, мы можем найти образы исходных точек, прибавив к их координатам компоненты вектора переноса.

Образ точки A
Найдем образ точки $A(-1; -6)$, обозначив его $A'$.
$x_{A'} = x_A + a = -1 + 1 = 0$
$y_{A'} = y_A + b = -6 + 11 = 5$
Координаты образа точки $A$ — $A'(0; 5)$.
Ответ: $(0; 5)$.

Образ точки B
Найдем образ точки $B(5; -2)$, обозначив его $B'$.
$x_{B'} = x_B + a = 5 + 1 = 6$
$y_{B'} = y_B + b = -2 + 11 = 9$
Координаты образа точки $B$ — $B'(6; 9)$.
Ответ: $(6; 9)$.

252. Точки $A (4; -3)$, $C (9; 2)$ и $D (-5; 1)$ являются вершинами параллелограмма ABCD. При параллельном переносе образом точки A является точка $D_1 (2; -7)$. Найдите образы точек A, B и C при таком параллельном переносе.

252. Точки $A (4; -3)$, $C (9; 2)$ и $D (-5; 1)$ являются вершинами параллелограмма $ABCD$. При параллельном переносе образом точки $A$ является точка $D_1 (2; -7)$. Найдите образы точек $A$, $B$ и $C$ при таком параллельном переносе.

Для решения задачи необходимо выполнить три шага: сначала найти параметры параллельного переноса, затем определить координаты недостающей вершины B параллелограмма и, наконец, найти образы точек A, B и C при этом переносе.

1. Определение параметров параллельного переноса

Параллельный перенос, который переводит точку с координатами $(x; y)$ в точку с координатами $(x'; y')$, задается формулами $x' = x + a$ и $y' = y + b$.

По условию, образом точки $A(4; -3)$ является точка $D_1(2; -7)$. Подставим координаты этих точек в формулы, чтобы найти параметры $a$ и $b$:

$2 = 4 + a \Rightarrow a = 2 - 4 = -2$
$-7 = -3 + b \Rightarrow b = -7 - (-3) = -7 + 3 = -4$

Таким образом, искомые формулы параллельного переноса: $x' = x - 2$, $y' = y - 4$.

2. Нахождение координат вершины B

В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. Это значит, что середина диагонали AC совпадает с серединой диагонали BD. Найдем координаты точки O — середины диагонали AC, используя координаты точек $A(4; -3)$ и $C(9; 2)$:

$x_O = \frac{x_A + x_C}{2} = \frac{4 + 9}{2} = \frac{13}{2}$
$y_O = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{-3 + 2}{2} = -\frac{1}{2}$

Точка $O(\frac{13}{2}; -\frac{1}{2})$ также является серединой диагонали BD. Используя координаты O и $D(-5; 1)$, найдем координаты вершины $B(x_B; y_B)$:

$\frac{13}{2} = \frac{x_B + x_D}{2} = \frac{x_B - 5}{2} \Rightarrow 13 = x_B - 5 \Rightarrow x_B = 18$
$-\frac{1}{2} = \frac{y_B + y_D}{2} = \frac{y_B + 1}{2} \Rightarrow -1 = y_B + 1 \Rightarrow y_B = -2$

Следовательно, координаты вершины $B$ равны $(18; -2)$.

3. Нахождение образов точек A, B и C

Теперь применим формулы переноса $x' = x - 2$ и $y' = y - 4$ к каждой из вершин.

Образ точки A

Для точки $A(4; -3)$:
$x' = 4 - 2 = 2$
$y' = -3 - 4 = -7$
Ответ: $(2; -7)$.

Образ точки B

Для точки $B(18; -2)$:
$x' = 18 - 2 = 16$
$y' = -2 - 4 = -6$
Ответ: $(16; -6)$.

Образ точки C

Для точки $C(9; 2)$:
$x' = 9 - 2 = 7$
$y' = 2 - 4 = -2$
Ответ: $(7; -2)$.

253. Найдите уравнение окружности, являющейся образом окружности $(x + 4)^2 + (y - 2)^2 = 8$ при параллельном переносе на вектор $\vec{c}(-3; 2)$.

253. Найдите уравнение окружности, являющейся образом окружности $(x + 4)^2 + (y - 2)^2 = 8$ при параллельном переносе на вектор $\vec{c}(-3; 2)$.

Общее уравнение окружности имеет вид $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где $(a; b)$ — это координаты центра окружности, а $R$ — её радиус.

Из уравнения исходной окружности $(x + 4)^2 + (y - 2)^2 = 8$ определим координаты её центра и радиус. Уравнение можно переписать в виде $(x - (-4))^2 + (y - 2)^2 = (\sqrt{8})^2$.

Следовательно, центр исходной окружности $O_1$ имеет координаты $(-4; 2)$, а квадрат её радиуса $R^2 = 8$.

Параллельный перенос является движением, поэтому образом окружности будет окружность с тем же радиусом. Центр новой окружности будет образом центра исходной окружности при данном параллельном переносе.

Найдем координаты нового центра $O_2(a'; b')$, сдвинув центр $O_1(-4; 2)$ на вектор $\vec{c}(-3; 2)$. Для этого к координатам точки $O_1$ прибавим соответствующие координаты вектора $\vec{c}$:

$a' = -4 + (-3) = -7$

$b' = 2 + 2 = 4$

Таким образом, центр новой окружности $O_2$ имеет координаты $(-7; 4)$.

Радиус новой окружности равен радиусу исходной, поэтому квадрат радиуса $R'^2$ также равен 8.

Теперь составим уравнение новой окружности, подставив координаты её центра $(a'; b') = (-7; 4)$ и квадрат радиуса $R'^2 = 8$ в общее уравнение окружности:

$(x - (-7))^2 + (y - 4)^2 = 8$

$(x + 7)^2 + (y - 4)^2 = 8$

Ответ: $(x + 7)^2 + (y - 4)^2 = 8$

254. Выполнили параллельный перенос прямой $3x + 5y = 2$.

Запишите уравнение полученной прямой, если она про- ходит через точку:

1) $O (0; 0)$;

2) $A (-2; 1)$.

254. Выполнили параллельный перенос прямой $3x + 5y = 2$. Запишите уравнение полученной прямой, если она проходит через точку:

1) $O (0; 0)$

2) $A (-2; 1)$

При параллельном переносе прямой получается прямая, параллельная исходной. Это означает, что у новой прямой будут те же коэффициенты при $x$ и $y$, что и у исходной прямой $3x + 5y = 2$. Следовательно, уравнение полученной в результате переноса прямой будет иметь вид $3x + 5y = C$, где $C$ — некоторая константа. Чтобы найти значение $C$, нужно подставить в это уравнение координаты точки, через которую проходит новая прямая.

1) O (0; 0)

Полученная прямая проходит через точку $O(0; 0)$. Подставим координаты этой точки ($x = 0$, $y = 0$) в уравнение $3x + 5y = C$:

$3 \cdot 0 + 5 \cdot 0 = C$

$0 + 0 = C$

$C = 0$

Таким образом, уравнение полученной прямой: $3x + 5y = 0$.

Ответ: $3x + 5y = 0$.

2) A (-2; 1)

Полученная прямая проходит через точку $A(-2; 1)$. Подставим координаты этой точки ($x = -2$, $y = 1$) в уравнение $3x + 5y = C$:

$3 \cdot (-2) + 5 \cdot 1 = C$

$-6 + 5 = C$

$C = -1$

Таким образом, уравнение полученной прямой: $3x + 5y = -1$.

Ответ: $3x + 5y = -1$.

255. Прямая $a$ перпендикулярна основанию $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$. Можно ли утверждать, что прямая $a$ является осью симметрии треугольника $ABC$?

255. Прямая $a$ перпендикулярна основанию $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$. Можно ли утверждать, что прямая $a$ является осью симметрии треугольника $ABC$?

Осью симметрии равнобедренного треугольника $ABC$ с основанием $AC$ является прямая, содержащая высоту, проведенную из вершины $B$ к основанию. Эта прямая обладает двумя ключевыми свойствами:
1. Она перпендикулярна основанию $AC$.
2. Она проходит через середину основания $AC$ (то есть является также и медианой).

В условии задачи дано, что прямая $a$ перпендикулярна основанию $AC$. Это означает, что первое условие выполнено. Однако в условии ничего не сказано о том, через какую именно точку основания $AC$ проходит прямая $a$.

Прямая $a$ будет являться осью симметрии только в том случае, если она проходит через середину отрезка $AC$. Если же прямая $a$ перпендикулярна $AC$, но пересекает основание в любой другой точке (или пересекает прямую $AC$ за пределами отрезка), то она не будет осью симметрии. Например, если прямая $a$ проходит через точку $A$ и перпендикулярна $AC$, то при отражении относительно этой прямой точка $C$ перейдет в новую точку $C'$, и треугольник $ABC$ не совпадет со своим образом.

Таким образом, одного лишь условия перпендикулярности прямой к основанию равнобедренного треугольника недостаточно, чтобы утверждать, что эта прямая является его осью симметрии.

Ответ: Нет, нельзя.

256. Даны прямая $a$ и точка $C$, не принадлежащая ей (рис. 74). Постройте точку, симметричную точке $C$ относительно прямой $a$.

Рис. 74

256. Даны прямая $a$ и точка $C$, не принадлежащая ей (рис. 74). Постройте точку, симметричную точке $C$ относительно прямой $a$.

Рис. 74

Точка $C'$ называется симметричной точке $C$ относительно прямой $a$, если прямая $a$ является серединным перпендикуляром к отрезку $CC'$. Это означает, что отрезок $CC'$ должен быть перпендикулярен прямой $a$, и точка их пересечения (обозначим ее $H$) должна быть серединой отрезка $CC'$ (то есть $CH = C'H$).

Для построения симметричной точки на клетчатой бумаге, как в данном задании, можно воспользоваться свойствами сетки. Построение выполняется в несколько шагов:

1. Определение наклона прямой $a$. Рассмотрим, как прямая $a$ проходит по сетке. Мы видим, что она проходит через узлы сетки (пересечения линий). Чтобы переместиться из одного узла на прямой в другой, можно сдвинуться на 1 клетку вправо и на 2 клетки вниз. Это и есть "шаг", определяющий наклон прямой.
2. Определение перпендикулярного направления. Направление, перпендикулярное прямой $a$, будет задаваться "шагом", в котором горизонтальное и вертикальное смещения меняются местами, и у одного из них меняется знак. Если "шаг" для прямой $a$ был (1 клетка вправо, 2 клетки вниз), то перпендикулярный "шаг" будет (2 клетки вправо, 1 клетка вверх) или (2 клетки влево, 1 клетка вниз).
3. Проведение перпендикуляра из точки $C$ к прямой $a$. Начнем двигаться из точки $C$ по перпендикулярному направлению до пересечения с прямой $a$. Поскольку точка $C$ находится справа от прямой, нам нужно двигаться влево. Выбираем "шаг" (2 клетки влево, 1 клетка вниз). Сделав ровно один такой шаг из точки $C$, мы попадаем в точку $H$, которая лежит на прямой $a$. Отрезок $CH$ является перпендикуляром, опущенным из точки $C$ на прямую $a$.
4. Нахождение симметричной точки $C'$. Симметричная точка $C'$ должна лежать на продолжении отрезка $CH$ за точку $H$, причем на том же расстоянии от $H$, что и точка $C$. Для этого нужно повторить "шаг", который привел нас из $C$ в $H$. То есть, из точки $H$ мы снова смещаемся на 2 клетки влево и 1 клетку вниз. Полученная точка и будет искомой точкой $C'$, симметричной точке $C$ относительно прямой $a$.

Таким образом, точка $C'$ построена.

Ответ: Искомая точка $C'$ получается следующим построением: от точки $C$ нужно отступить на 2 клетки влево и 1 клетку вниз, чтобы попасть в точку $H$ на прямой $a$. Затем от точки $H$ нужно снова отступить на 2 клетки влево и 1 клетку вниз. Конечная точка этого движения и есть искомая точка $C'$.