Страница 92 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

231. Найдите координаты вектора, который перпендикулярен вектору $ \vec{a}(3; -1) $ и модуль которого равен модулю вектора $ \vec{a} $.

231. Найдите координаты вектора, который перпендикулярен вектору $ \vec{a}(3; -1) $ и модуль которого равен модулю вектора $ \vec{a} $.

Пусть искомый вектор имеет координаты $\vec{b}(x; y)$.

Согласно условию задачи, вектор $\vec{b}$ должен быть перпендикулярен вектору $\vec{a}(3; -1)$. Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.

Скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ вычисляется по формуле:$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b$.

Подставим координаты данных векторов в формулу:

$3 \cdot x + (-1) \cdot y = 0$

$3x - y = 0$

Из этого уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = 3x$ (1)

Второе условие задачи гласит, что модуль (длина) искомого вектора $\vec{b}$ должен быть равен модулю вектора $\vec{a}$.

Модуль вектора с координатами $(x_v; y_v)$ вычисляется по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{x_v^2 + y_v^2}$.

Сначала найдем модуль вектора $\vec{a}$:

$|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$.

Модуль вектора $\vec{b}$ равен $|\vec{b}| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

Приравняем модули векторов $|\vec{b}| = |\vec{a}|$:

$\sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{10}$

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$x^2 + y^2 = 10$ (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} y = 3x \\ x^2 + y^2 = 10 \end{cases}$

Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:

$x^2 + (3x)^2 = 10$

$x^2 + 9x^2 = 10$

$10x^2 = 10$

$x^2 = 1$

Это уравнение имеет два решения для $x$:

$x_1 = 1$

$x_2 = -1$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого значения $x$, используя уравнение $y = 3x$:

1. Если $x_1 = 1$, то $y_1 = 3 \cdot 1 = 3$. Координаты первого возможного вектора: $(1; 3)$.

2. Если $x_2 = -1$, то $y_2 = 3 \cdot (-1) = -3$. Координаты второго возможного вектора: $(-1; -3)$.

Таким образом, мы нашли два вектора, удовлетворяющих условиям задачи.

Ответ: $(1; 3)$ и $(-1; -3)$.

232. Даны векторы $\vec{a}(3;-5)$ и $\vec{b}(4;-1)$. Найдите значение $k$, при котором векторы $k\vec{a}-\vec{b}$ и $\vec{a}$ перпендикулярны.

232. Даны векторы $\vec{a}(3; -5)$ и $\vec{b}(4; -1)$. Найдите значение $k$, при котором векторы $k\vec{a} - \vec{b}$ и $\vec{a}$ перпендикулярны.

По условию задачи даны векторы $\vec{a}(3; -5)$ и $\vec{b}(4; -1)$. Нам необходимо найти значение $k$, при котором векторы $k\vec{a} - \vec{b}$ и $\vec{a}$ перпендикулярны.

Два ненулевых вектора называются перпендикулярными (или ортогональными), если их скалярное произведение равно нулю.
Таким образом, мы должны найти такое значение $k$, при котором будет выполняться равенство:
$(k\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{a} = 0$

1. Найдём координаты вектора $k\vec{a} - \vec{b}$
Сначала умножим координаты вектора $\vec{a}$ на скаляр $k$:
$k\vec{a} = k \cdot (3; -5) = (3k; -5k)$
Затем вычтем из полученного вектора вектор $\vec{b}$:
$k\vec{a} - \vec{b} = (3k; -5k) - (4; -1) = (3k - 4; -5k - (-1)) = (3k - 4; -5k + 1)$

2. Составим и решим уравнение на основе скалярного произведения
Скалярное произведение векторов с координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле $x_1x_2 + y_1y_2$.
Подставим координаты векторов $k\vec{a} - \vec{b} = (3k - 4; -5k + 1)$ и $\vec{a} = (3; -5)$ в условие равенства скалярного произведения нулю:
$(3k - 4) \cdot 3 + (-5k + 1) \cdot (-5) = 0$
Раскроем скобки:
$9k - 12 + 25k - 5 = 0$
Приведём подобные слагаемые:
$34k - 17 = 0$
Решим полученное линейное уравнение:
$34k = 17$
$k = \frac{17}{34}$
$k = \frac{1}{2}$

Таким образом, при $k = \frac{1}{2}$ векторы $k\vec{a} - \vec{b}$ и $\vec{a}$ перпендикулярны.
Ответ: $k = \frac{1}{2}$.

233. Даны векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, $|\vec{a}|=5$, $|\vec{b}|=4$, $\angle(\vec{a}, \vec{b})=45^\circ$. Найдите:

1) $|\vec{a}-\vec{b}|$;

2) $|\vec{a}+4\vec{b}|$.

233. Даны векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, $|\vec{a}|=5$, $|\vec{b}|=4$, $\angle(\vec{a}, \vec{b})=45^\circ$. Найдите:

1) $|\vec{a}-\vec{b}|;$

2) $|\vec{a}+4\vec{b}|.$

Для решения задачи воспользуемся свойством скалярного произведения векторов: квадрат модуля вектора равен скалярному квадрату этого вектора, то есть $|\vec{c}|^2 = \vec{c} \cdot \vec{c}$. Также нам понадобится формула скалярного произведения через модули векторов и косинус угла между ними: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\angle(\vec{a}, \vec{b}))$.

Сначала вычислим скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 5 \cdot 4 \cdot \cos(45^\circ) = 20 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 10\sqrt{2}$.

1) $|\vec{a}-\vec{b}|$

Найдем квадрат модуля вектора $\vec{a}-\vec{b}$:

$|\vec{a}-\vec{b}|^2 = (\vec{a}-\vec{b}) \cdot (\vec{a}-\vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$.

Подставим известные значения:

$|\vec{a}-\vec{b}|^2 = 5^2 - 2(10\sqrt{2}) + 4^2 = 25 - 20\sqrt{2} + 16 = 41 - 20\sqrt{2}$.

Теперь извлечем квадратный корень, чтобы найти модуль вектора:

$|\vec{a}-\vec{b}| = \sqrt{41 - 20\sqrt{2}}$.

Ответ: $\sqrt{41 - 20\sqrt{2}}$

2) $|\vec{a}+4\vec{b}|$

Аналогично найдем квадрат модуля вектора $\vec{a}+4\vec{b}$:

$|\vec{a}+4\vec{b}|^2 = (\vec{a}+4\vec{b}) \cdot (\vec{a}+4\vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} + 2 \cdot 4 (\vec{a} \cdot \vec{b}) + (4\vec{b}) \cdot (4\vec{b}) = |\vec{a}|^2 + 8(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 16|\vec{b}|^2$.

Подставим известные значения:

$|\vec{a}+4\vec{b}|^2 = 5^2 + 8(10\sqrt{2}) + 16 \cdot 4^2 = 25 + 80\sqrt{2} + 16 \cdot 16 = 25 + 80\sqrt{2} + 256 = 281 + 80\sqrt{2}$.

Извлечем квадратный корень:

$|\vec{a}+4\vec{b}| = \sqrt{281 + 80\sqrt{2}}$.

Ответ: $\sqrt{281 + 80\sqrt{2}}$

234. Найдите косинус угла между векторами $\vec{a} = 2\vec{m} + 3\vec{n}$ и $\vec{b} = 3\vec{m} - \vec{n}$, если $|\vec{m}| = |\vec{n}| = 1$ и $\vec{m} \perp \vec{n}$.

234. Найдите косинус угла между векторами $\vec{a} = 2\vec{m} + 3\vec{n}$ и $\vec{b} = 3\vec{m} - \vec{n}$, если $|\vec{m}| = |\vec{n}| = 1$ и $\vec{m} \perp \vec{n}$.

Косинус угла $\alpha$ между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ определяется формулой:

$\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$

где $\vec{a} \cdot \vec{b}$ — скалярное произведение векторов, а $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — их длины (модули).

Даны векторы $\vec{a} = 2\vec{m} + 3\vec{n}$ и $\vec{b} = 3\vec{m} - \vec{n}$.

По условию, $|\vec{m}| = 1$, $|\vec{n}| = 1$ и векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$ перпендикулярны ($\vec{m} \perp \vec{n}$).

Из перпендикулярности векторов $\vec{m}$ и $\vec{n}$ следует, что их скалярное произведение равно нулю: $\vec{m} \cdot \vec{n} = 0$.

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2\vec{m} + 3\vec{n}) \cdot (3\vec{m} - \vec{n})$

Используя свойства скалярного произведения, раскроем скобки:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2\vec{m} \cdot 3\vec{m} - 2\vec{m} \cdot \vec{n} + 3\vec{n} \cdot 3\vec{m} - 3\vec{n} \cdot \vec{n}$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 6(\vec{m} \cdot \vec{m}) - 2(\vec{m} \cdot \vec{n}) + 9(\vec{n} \cdot \vec{m}) - 3(\vec{n} \cdot \vec{n})$

Учитывая, что $\vec{v} \cdot \vec{v} = |\vec{v}|^2$ и $\vec{m} \cdot \vec{n} = \vec{n} \cdot \vec{m} = 0$, получаем:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 6|\vec{m}|^2 + 7(\vec{m} \cdot \vec{n}) - 3|\vec{n}|^2$

Подставим известные значения $|\vec{m}| = 1$ и $|\vec{n}| = 1$:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 6(1)^2 + 7(0) - 3(1)^2 = 6 - 3 = 3$.

Найдем длины (модули) векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$

Длина вектора находится через скалярный квадрат: $|\vec{v}| = \sqrt{\vec{v}^2} = \sqrt{\vec{v} \cdot \vec{v}}$.

Для вектора $\vec{a}$:

$|\vec{a}|^2 = (2\vec{m} + 3\vec{n})^2 = (2\vec{m} + 3\vec{n}) \cdot (2\vec{m} + 3\vec{n})$

$|\vec{a}|^2 = 4(\vec{m} \cdot \vec{m}) + 12(\vec{m} \cdot \vec{n}) + 9(\vec{n} \cdot \vec{n})$

$|\vec{a}|^2 = 4|\vec{m}|^2 + 12(0) + 9|\vec{n}|^2 = 4(1)^2 + 9(1)^2 = 4 + 9 = 13$.

Таким образом, $|\vec{a}| = \sqrt{13}$.

Для вектора $\vec{b}$:

$|\vec{b}|^2 = (3\vec{m} - \vec{n})^2 = (3\vec{m} - \vec{n}) \cdot (3\vec{m} - \vec{n})$

$|\vec{b}|^2 = 9(\vec{m} \cdot \vec{m}) - 6(\vec{m} \cdot \vec{n}) + (\vec{n} \cdot \vec{n})$

$|\vec{b}|^2 = 9|\vec{m}|^2 - 6(0) + |\vec{n}|^2 = 9(1)^2 + (1)^2 = 9 + 1 = 10$.

Таким образом, $|\vec{b}| = \sqrt{10}$.

Вычислим косинус угла

Подставляем найденные значения в исходную формулу:

$\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{3}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{10}} = \frac{3}{\sqrt{130}}$.

Ответ: $\frac{3}{\sqrt{130}}$

235. Найдите косинусы углов, которые образует вектор $\overrightarrow{AB}$, если $A (3; 7)$, $B (5; 1)$, с отрицательными направлениями координатных осей.

235. Найдите косинусы углов, которые образует вектор $\vec{AB}$, если $A (3; 7)$, $B (5; 1)$, с отрицательными направлениями координатных осей.

Для нахождения косинусов углов, которые вектор $\vec{AB}$ образует с отрицательными направлениями координатных осей, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти координаты вектора $\vec{AB}$.

2. Найти длину (модуль) вектора $\vec{AB}$.

3. Вычислить косинусы углов между вектором $\vec{AB}$ и векторами, задающими отрицательные направления осей.

1. Нахождение координат вектора $\vec{AB}$

Координаты вектора находятся путем вычитания координат начальной точки из координат конечной точки. Для точек $A(3; 7)$ и $B(5; 1)$ имеем:

$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A) = (5 - 3; 1 - 7) = (2; -6)$.

2. Нахождение длины вектора $\vec{AB}$

Длина вектора $\vec{a} = (x; y)$ вычисляется по формуле $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

$|\vec{AB}| = \sqrt{2^2 + (-6)^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10}$.

3. Вычисление косинусов углов

Косинус угла $\theta$ между двумя векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ можно найти, используя их скалярное произведение: $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$.

Косинус угла с отрицательным направлением оси Ox

Отрицательное направление оси Ox задается единичным вектором $\vec{i'} = (-1; 0)$. Найдем косинус угла $\alpha'$ между вектором $\vec{AB}$ и вектором $\vec{i'}$:

$\cos \alpha' = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{i'}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{i'}|} = \frac{(2; -6) \cdot (-1; 0)}{2\sqrt{10} \cdot \sqrt{(-1)^2 + 0^2}} = \frac{2 \cdot (-1) + (-6) \cdot 0}{2\sqrt{10} \cdot 1} = \frac{-2}{2\sqrt{10}} = -\frac{1}{\sqrt{10}}$.

Избавляясь от иррациональности в знаменателе, получаем:

$\cos \alpha' = -\frac{1 \cdot \sqrt{10}}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}} = -\frac{\sqrt{10}}{10}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{10}}{10}$.

Косинус угла с отрицательным направлением оси Oy

Отрицательное направление оси Oy задается единичным вектором $\vec{j'} = (0; -1)$. Найдем косинус угла $\beta'$ между вектором $\vec{AB}$ и вектором $\vec{j'}$:

$\cos \beta' = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{j'}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{j'}|} = \frac{(2; -6) \cdot (0; -1)}{2\sqrt{10} \cdot \sqrt{0^2 + (-1)^2}} = \frac{2 \cdot 0 + (-6) \cdot (-1)}{2\sqrt{10} \cdot 1} = \frac{6}{2\sqrt{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}}$.

Избавляясь от иррациональности в знаменателе, получаем:

$\cos \beta' = \frac{3 \cdot \sqrt{10}}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$.

Ответ: $\frac{3\sqrt{10}}{10}$.

236. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами $A(-5; -2)$, $B(-1; 2)$, $C(2; -1)$ и $D(-2; -5)$ является прямоугольником.

236. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами $A (-5; -2)$, $B (-1; 2)$, $C (2; -1)$ и $D (-2; -5)$ является прямоугольником.

Чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, можно воспользоваться одним из его свойств. Например, доказать, что это параллелограмм, у которого равны диагонали, или что это параллелограмм, у которого есть прямой угол. Воспользуемся вторым подходом.

1. Докажем, что ABCD – параллелограмм.
Четырёхугольник является параллелограммом, если его противоположные стороны параллельны. Параллельность прямых можно определить по их угловым коэффициентам. Угловой коэффициент прямой, проходящей через точки $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$, вычисляется по формуле $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

Найдём угловые коэффициенты сторон AB и CD:
$k_{AB} = \frac{2 - (-2)}{-1 - (-5)} = \frac{4}{4} = 1$.
$k_{CD} = \frac{-5 - (-1)}{-2 - 2} = \frac{-4}{-4} = 1$.
Так как $k_{AB} = k_{CD}$, то стороны AB и CD параллельны.

Найдём угловые коэффициенты сторон BC и AD:
$k_{BC} = \frac{-1 - 2}{2 - (-1)} = \frac{-3}{3} = -1$.
$k_{AD} = \frac{-5 - (-2)}{-2 - (-5)} = \frac{-3}{3} = -1$.
Так как $k_{BC} = k_{AD}$, то стороны BC и AD параллельны.

Поскольку противоположные стороны четырёхугольника ABCD попарно параллельны, то ABCD – параллелограмм.

2. Проверим наличие прямого угла.
Две прямые перпендикулярны, если произведение их угловых коэффициентов равно -1. Проверим это условие для смежных сторон, например, AB и BC.

$k_{AB} \cdot k_{BC} = 1 \cdot (-1) = -1$.

Так как произведение угловых коэффициентов смежных сторон AB и BC равно -1, эти стороны перпендикулярны, то есть угол $\angle B = 90^{\circ}$.

Параллелограмм, у которого есть хотя бы один прямой угол, является прямоугольником. Следовательно, четырёхугольник ABCD является прямоугольником.

Ответ: Четырёхугольник ABCD является прямоугольником, что и требовалось доказать.

237. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами $A (1; 2)$, $B (2; 5)$, $C (5; 4)$ и $D (4; 1)$ является квадратом.

237. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами $A(1; 2)$, $B(2; 5)$, $C(5; 4)$ и $D(4; 1)$ является квадратом.

Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является квадратом, необходимо показать, что все его стороны равны и диагонали также равны. Для этого воспользуемся формулой расстояния между двумя точками с координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

1. Вычислим длины сторон четырехугольника ABCD.

Длина стороны AB между точками A(1; 2) и B(2; 5):
$AB = \sqrt{(2 - 1)^2 + (5 - 2)^2} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$.

Длина стороны BC между точками B(2; 5) и C(5; 4):
$BC = \sqrt{(5 - 2)^2 + (4 - 5)^2} = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$.

Длина стороны CD между точками C(5; 4) и D(4; 1):
$CD = \sqrt{(4 - 5)^2 + (1 - 4)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$.

Длина стороны DA между точками D(4; 1) и A(1; 2):
$DA = \sqrt{(1 - 4)^2 + (2 - 1)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$.

Так как $AB = BC = CD = DA = \sqrt{10}$, все стороны четырехугольника равны. Это означает, что ABCD является ромбом.

2. Вычислим длины диагоналей четырехугольника.

Длина диагонали AC между точками A(1; 2) и C(5; 4):
$AC = \sqrt{(5 - 1)^2 + (4 - 2)^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}$.

Длина диагонали BD между точками B(2; 5) и D(4; 1):
$BD = \sqrt{(4 - 2)^2 + (1 - 5)^2} = \sqrt{2^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}$.

Так как $AC = BD = \sqrt{20}$, диагонали четырехугольника равны.

Вывод

Поскольку четырехугольник ABCD является ромбом (все стороны равны) и его диагонали равны, то он является квадратом. Что и требовалось доказать.

Ответ: Четырехугольник ABCD является квадратом, так как было доказано, что все его стороны равны ($\sqrt{10}$) и его диагонали равны ($\sqrt{20}$).

238. Каким треугольником, остроугольным, тупоугольным или прямоугольным, является треугольник $ABC$, если $A (1; -4), B (4; 7), C (-2; 1)$?

238. Каким треугольником, остроугольным, тупоугольным или прямоугольным, является треугольник $ABC$, если $A (1; -4)$, $B (4; 7)$, $C (-2; 1)?$

Для определения вида треугольника (остроугольный, прямоугольный или тупоугольный) воспользуемся следствием из теоремы косинусов. Сначала найдем квадраты длин сторон треугольника $ABC$ по формуле квадрата расстояния между двумя точками с координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.

Даны вершины треугольника: $A(1; -4)$, $B(4; 7)$, $C(-2; 1)$.

1. Найдем квадрат длины стороны $AB$:

$AB^2 = (4 - 1)^2 + (7 - (-4))^2 = 3^2 + (7 + 4)^2 = 3^2 + 11^2 = 9 + 121 = 130$.

2. Найдем квадрат длины стороны $BC$:

$BC^2 = (-2 - 4)^2 + (1 - 7)^2 = (-6)^2 + (-6)^2 = 36 + 36 = 72$.

3. Найдем квадрат длины стороны $AC$:

$AC^2 = (-2 - 1)^2 + (1 - (-4))^2 = (-3)^2 + (1 + 4)^2 = (-3)^2 + 5^2 = 9 + 25 = 34$.

Теперь сравним квадрат наибольшей стороны с суммой квадратов двух других сторон. Наибольшая сторона - $AB$, так как $AB^2 = 130$ является наибольшим значением.

Сравним $AB^2$ с $BC^2 + AC^2$:

$130$ и $72 + 34$

$130$ и $106$

Поскольку $130 > 106$, то $AB^2 > BC^2 + AC^2$.

Согласно следствию из теоремы косинусов, если квадрат одной стороны треугольника больше суммы квадратов двух других сторон, то угол, лежащий против этой стороны, является тупым. В данном случае угол $C$, лежащий против стороны $AB$, тупой.

Следовательно, треугольник $ABC$ является тупоугольным.

Ответ: тупоугольным.

239. Найдите косинус угла между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$, если $|\vec{a}|=|\vec{b}|=1$, а векторы $\vec{a}-2\vec{b}$ и $4\vec{a}+3\vec{b}$ перпендикулярны.

239. Найдите косинус угла между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$, если $|\vec{a}|=|\vec{b}|=1$, а векторы $\vec{a}-2\vec{b}$ и $4\vec{a}+3\vec{b}$ перпендикулярны.

Обозначим угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ как $\theta$. Косинус этого угла можно найти по формуле скалярного произведения:

$\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$

В условии задачи дано, что векторы $\vec{a} - 2\vec{b}$ и $4\vec{a} + 3\vec{b}$ перпендикулярны. Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Запишем это условие:

$(\vec{a} - 2\vec{b}) \cdot (4\vec{a} + 3\vec{b}) = 0$

Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения:

$\vec{a} \cdot (4\vec{a}) + \vec{a} \cdot (3\vec{b}) - (2\vec{b}) \cdot (4\vec{a}) - (2\vec{b}) \cdot (3\vec{b}) = 0$

$4(\vec{a} \cdot \vec{a}) + 3(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 8(\vec{b} \cdot \vec{a}) - 6(\vec{b} \cdot \vec{b}) = 0$

Зная, что скалярное произведение коммутативно ($\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$) и что скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля ($\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$), мы можем упростить выражение:

$4|\vec{a}|^2 - 5(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 6|\vec{b}|^2 = 0$

Теперь подставим в уравнение данные из условия задачи: $|\vec{a}| = 1$ и $|\vec{b}| = 1$.

$4(1)^2 - 5(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 6(1)^2 = 0$

$4 - 5(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 6 = 0$

$-2 - 5(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0$

Выразим скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$:

$5(\vec{a} \cdot \vec{b}) = -2$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = -\frac{2}{5}$

Теперь мы можем найти косинус угла $\theta$, подставив все известные значения в исходную формулу:

$\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{-2/5}{1 \cdot 1} = -\frac{2}{5}$

Ответ: $-\frac{2}{5}$.

240. Найдите геометрическое место точек N (x; y) координатной плоскости таких, что для точек A (-4; 5) и B (2; 1) выполняется равенство:

1) $\overrightarrow{AN} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$;

2) $\overrightarrow{AN} \cdot \overrightarrow{BN} = 6$.

240. Найдите геометрическое место точек N (x; y) координатной плоскости таких, что для точек A (-4; 5) и B (2; 1) выполняется равенство:

1) $\overrightarrow{AN} \cdot \overrightarrow{AB} = 0;$

2) $\overrightarrow{AN} \cdot \overrightarrow{BN} = 6.$

1)

Геометрическое место точек $N(x; y)$ определяется равенством $\vec{AN} \cdot \vec{AB} = 0$.

Сначала найдем координаты векторов $\vec{AN}$ и $\vec{AB}$.

Имеем точки $A(-4; 5)$, $B(2; 1)$ и $N(x; y)$.

Координаты вектора $\vec{AN}$ находятся как разность координат конца и начала вектора:

$\vec{AN} = (x - (-4); y - 5) = (x + 4; y - 5)$.

Аналогично для вектора $\vec{AB}$:

$\vec{AB} = (2 - (-4); 1 - 5) = (6; -4)$.

Скалярное произведение векторов в координатах равно сумме произведений их соответствующих координат. Запишем условие $\vec{AN} \cdot \vec{AB} = 0$ в координатной форме:

$(x + 4) \cdot 6 + (y - 5) \cdot (-4) = 0$.

Раскроем скобки и упростим полученное выражение:

$6x + 24 - 4y + 20 = 0$

$6x - 4y + 44 = 0$

Разделим все члены уравнения на 2:

$3x - 2y + 22 = 0$.

Полученное уравнение является уравнением прямой. Условие равенства нулю скалярного произведения означает, что векторы $\vec{AN}$ и $\vec{AB}$ перпендикулярны. Таким образом, искомое геометрическое место точек — это прямая, проходящая через точку $A$ перпендикулярно вектору $\vec{AB}$.

Ответ: $3x - 2y + 22 = 0$ (прямая).

2)

Геометрическое место точек $N(x; y)$ определяется равенством $\vec{AN} \cdot \vec{BN} = 6$.

Найдем координаты векторов $\vec{AN}$ и $\vec{BN}$.

$\vec{AN} = (x + 4; y - 5)$.

$\vec{BN} = (x - 2; y - 1)$.

Запишем скалярное произведение $\vec{AN} \cdot \vec{BN}$ в координатной форме:

$(x + 4)(x - 2) + (y - 5)(y - 1) = 6$.

Раскроем скобки:

$(x^2 - 2x + 4x - 8) + (y^2 - y - 5y + 5) = 6$

$x^2 + 2x - 8 + y^2 - 6y + 5 = 6$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены в левую часть:

$x^2 + 2x + y^2 - 6y - 3 - 6 = 0$

$x^2 + 2x + y^2 - 6y - 9 = 0$.

Чтобы определить вид кривой, которую задает это уравнение, выделим полные квадраты для переменных $x$ и $y$:

$(x^2 + 2x + 1) - 1 + (y^2 - 6y + 9) - 9 - 9 = 0$

$(x + 1)^2 - 1 + (y - 3)^2 - 18 = 0$

$(x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 19$.

Это каноническое уравнение окружности вида $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$, где $(x_0; y_0)$ — центр окружности, а $R$ — ее радиус.

В нашем случае центр окружности находится в точке $(-1; 3)$, а квадрат радиуса $R^2 = 19$, следовательно, радиус $R = \sqrt{19}$.

Ответ: $(x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 19$ (окружность с центром в точке $(-1; 3)$ и радиусом $\sqrt{19}$).

241. Составьте уравнение прямой, которая касается окружности с центром $M (-3; 2)$ в точке $E (3; 1)$.

241. Составьте уравнение прямой, которая касается окружности с центром $M(-3; 2)$ в точке $E(3; 1)$.

Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Таким образом, прямая, которую мы ищем, проходит через точку $E(3; 1)$ и перпендикулярна вектору $\vec{ME}$, который соединяет центр окружности $M(-3; 2)$ и точку касания $E(3; 1)$.

Вектор $\vec{ME}$ будет являться вектором нормали для искомой касательной прямой. Найдем его координаты:

$\vec{ME} = (x_E - x_M; y_E - y_M) = (3 - (-3); 1 - 2) = (6; -1)$.

Общее уравнение прямой, имеющей вектор нормали $\vec{n} = (A; B)$, выглядит как $Ax + By + C = 0$. В нашем случае, $\vec{n} = \vec{ME} = (6; -1)$, поэтому уравнение касательной принимает вид:

$6x - 1y + C = 0$ или $6x - y + C = 0$.

Для нахождения коэффициента $C$, подставим в это уравнение координаты точки $E(3; 1)$, через которую проходит касательная:

$6 \cdot 3 - 1 + C = 0$

$18 - 1 + C = 0$

$17 + C = 0$

$C = -17$

Следовательно, искомое уравнение прямой:

$6x - y - 17 = 0$.

Ответ: $6x - y - 17 = 0$.

242. Составьте уравнение прямой, содержащей высоту $CE$ треугольника $ABC$, если $A (-6; 2)$, $B (3; -2)$, $C (-4; 3)$.

242. Составьте уравнение прямой, содержащей высоту $CE$ треугольника $ABC$, если $A (-6; 2)$, $B (3; -2)$, $C (-4; 3)$.

Высота $CE$ треугольника $ABC$ — это перпендикуляр, опущенный из вершины $C$ на прямую, содержащую сторону $AB$. Таким образом, чтобы найти уравнение прямой, содержащей высоту $CE$, нам нужно:

1. Найти угловой коэффициент прямой $AB$.
2. Используя условие перпендикулярности, найти угловой коэффициент высоты $CE$.
3. Составить уравнение прямой, проходящей через точку $C$ с найденным угловым коэффициентом.

1. Нахождение углового коэффициента прямой $AB$

Угловой коэффициент $k$ прямой, проходящей через точки $A(x_1; y_1)$ и $B(x_2; y_2)$, вычисляется по формуле:

$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Подставим координаты точек $A(-6; 2)$ и $B(3; -2)$:

$k_{AB} = \frac{-2 - 2}{3 - (-6)} = \frac{-4}{3 + 6} = -\frac{4}{9}$

2. Нахождение углового коэффициента высоты $CE$

Высота $CE$ перпендикулярна стороне $AB$. Условие перпендикулярности двух прямых гласит, что произведение их угловых коэффициентов равно $-1$ (если ни одна из прямых не является вертикальной).

$k_{CE} \cdot k_{AB} = -1$

Отсюда находим угловой коэффициент $k_{CE}$:

$k_{CE} = -\frac{1}{k_{AB}} = -\frac{1}{-\frac{4}{9}} = \frac{9}{4}$

3. Составление уравнения прямой $CE$

Теперь у нас есть угловой коэффициент прямой $CE$ ($k_{CE} = \frac{9}{4}$) и точка, через которую она проходит, — $C(-4; 3)$. Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через заданную точку $(x_0; y_0)$ с известным угловым коэффициентом $k$:

$y - y_0 = k(x - x_0)$

Подставим координаты точки $C$ и значение $k_{CE}$:

$y - 3 = \frac{9}{4}(x - (-4))$

$y - 3 = \frac{9}{4}(x + 4)$

Для приведения уравнения к общему виду $Ax + By + C = 0$, умножим обе части на 4, чтобы избавиться от знаменателя:

$4(y - 3) = 9(x + 4)$

$4y - 12 = 9x + 36$

Перенесем все слагаемые в одну часть уравнения:

$9x - 4y + 36 + 12 = 0$

$9x - 4y + 48 = 0$

Ответ: $9x - 4y + 48 = 0$

243. Точки $F$ и $E$ — середины сторон $BC$ и $CD$ квадрата $ABCD$ соответственно. Найдите косинус угла между прямыми $AF$ и $AE$.

243. Точки $F$ и $E$ — середины сторон $BC$ и $CD$ квадрата $ABCD$ соответственно. Найдите косинус угла между прямыми $AF$ и $AE$.

Для решения данной задачи воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A$, направив ось $Ox$ вдоль стороны $AB$ и ось $Oy$ вдоль стороны $AD$.

Пусть сторона квадрата $ABCD$ равна $a$. Для упрощения расчетов можно принять $a=2$ (выбор конкретного значения стороны не повлияет на величину угла). Тогда вершины квадрата будут иметь следующие координаты:

• $A(0, 0)$
• $B(2, 0)$
• $C(2, 2)$
• $D(0, 2)$

Точка $F$ является серединой стороны $BC$. Найдем ее координаты как среднее арифметическое координат точек $B$ и $C$:

$F = \left(\frac{x_B + x_C}{2}; \frac{y_B + y_C}{2}\right) = \left(\frac{2 + 2}{2}; \frac{0 + 2}{2}\right) = (2; 1)$.

Точка $E$ является серединой стороны $CD$. Найдем ее координаты как среднее арифметическое координат точек $C$ и $D$:

$E = \left(\frac{x_C + x_D}{2}; \frac{y_C + y_D}{2}\right) = \left(\frac{2 + 0}{2}; \frac{2 + 2}{2}\right) = (1; 2)$.

Угол между прямыми $AF$ и $AE$ — это угол между векторами $\vec{AF}$ и $\vec{AE}$. Найдем координаты этих векторов:

$\vec{AF} = \{x_F - x_A; y_F - y_A\} = \{2 - 0; 1 - 0\} = \{2; 1\}$.

$\vec{AE} = \{x_E - x_A; y_E - y_A\} = \{1 - 0; 2 - 0\} = \{1; 2\}$.

Косинус угла $\alpha$ между векторами находится по формуле скалярного произведения:

$\cos \alpha = \frac{\vec{AF} \cdot \vec{AE}}{|\vec{AF}| \cdot |\vec{AE}|}$

Найдем скалярное произведение векторов:

$\vec{AF} \cdot \vec{AE} = 2 \cdot 1 + 1 \cdot 2 = 2 + 2 = 4$.

Найдем длины (модули) векторов:

$|\vec{AF}| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$.

$|\vec{AE}| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$.

Теперь подставим все найденные значения в формулу для косинуса угла:

$\cos \alpha = \frac{4}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{4}{5}$.

Ответ: $\frac{4}{5}$.