Страница 85 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

173. Среди данных прямых укажите пары параллельных прямых:

1) $2x + 3y = 5;$

2) $4x - 3y = -1;$

3) $8x + 12y = 9;$

4) $10x + 15y = 11;$

5) $8x - 6y = -7.$

173. Среди данных прямых укажите пары параллельных прямых:

1) $2x + 3y = 5$;

2) $4x - 3y = -1$;

3) $8x + 12y = 9$;

4) $10x + 15y = 11$;

5) $8x - 6y = -7$.

Две прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны. Чтобы найти угловые коэффициенты, приведем каждое уравнение к виду $y = mx + c$, где $m$ - угловой коэффициент.

1) $2x + 3y = 5$
Выразим $y$ через $x$:
$3y = -2x + 5$
$y = -\frac{2}{3}x + \frac{5}{3}$
Угловой коэффициент $m_1 = -\frac{2}{3}$.

2) $4x - 3y = -1$
Выразим $y$ через $x$:
$-3y = -4x - 1$
$y = \frac{4}{3}x + \frac{1}{3}$
Угловой коэффициент $m_2 = \frac{4}{3}$.

3) $8x + 12y = 9$
Выразим $y$ через $x$:
$12y = -8x + 9$
$y = -\frac{8}{12}x + \frac{9}{12}$
$y = -\frac{2}{3}x + \frac{3}{4}$
Угловой коэффициент $m_3 = -\frac{2}{3}$.

4) $10x + 15y = 11$
Выразим $y$ через $x$:
$15y = -10x + 11$
$y = -\frac{10}{15}x + \frac{11}{15}$
$y = -\frac{2}{3}x + \frac{11}{15}$
Угловой коэффициент $m_4 = -\frac{2}{3}$.

5) $8x - 6y = -7$
Выразим $y$ через $x$:
$-6y = -8x - 7$
$y = \frac{8}{6}x + \frac{7}{6}$
$y = \frac{4}{3}x + \frac{7}{6}$
Угловой коэффициент $m_5 = \frac{4}{3}$.

Теперь сравним найденные угловые коэффициенты:
$m_1 = -\frac{2}{3}$
$m_2 = \frac{4}{3}$
$m_3 = -\frac{2}{3}$
$m_4 = -\frac{2}{3}$
$m_5 = \frac{4}{3}$

Прямые с одинаковыми угловыми коэффициентами параллельны.
У прямых 1, 3 и 4 угловой коэффициент равен $-\frac{2}{3}$, следовательно, они параллельны друг другу.
У прямых 2 и 5 угловой коэффициент равен $\frac{4}{3}$, следовательно, они также параллельны друг другу.

Ответ: Пары параллельных прямых: 1 и 3; 1 и 4; 3 и 4; 2 и 5.

174. На рисунке 63 изображён вектор $\vec{MB}$. Укажите начало и конец этого вектора. Отложите от точки F вектор, равный вектору $\vec{MB}$, и вектор, противоположно направленный вектору $\vec{MB}$, модуль которого равен модулю вектора $\vec{MB}$.

174. На рисунке 63 изображён вектор $ \vec{MB} $. Укажите начало и конец этого вектора. Отложите от точки F вектор, равный вектору $ \vec{MB} $, и вектор, противоположно направленный вектору $ \vec{MB} $, модуль которого равен модулю вектора $ \vec{MB} $.

Рис. 63

Начало и конец вектора $\vec{MB}$

Вектор — это направленный отрезок. В обозначении $\vec{MB}$ первая буква M указывает на начало вектора (точку приложения), а вторая буква B — на его конец. Направление вектора на рисунке также показано стрелкой, идущей от M к B.

Ответ: Начало вектора — точка M, конец вектора — точка B.

Вектор, отложенный от точки F и равный вектору $\vec{MB}$

Равные векторы имеют одинаковое направление и одинаковую длину (модуль). Чтобы отложить от точки F вектор, равный $\vec{MB}$, нужно выполнить параллельный перенос вектора $\vec{MB}$ так, чтобы его начало совпало с точкой F.

Для этого сначала определим координаты вектора $\vec{MB}$. Из рисунка видно, что для перемещения из начальной точки M в конечную точку B необходимо сдвинуться на 4 клетки вправо и на 3 клетки вверх. Следовательно, координаты вектора $\vec{MB}$ равны $(4; 3)$.

Теперь отложим вектор с такими же координатами от точки F. Для этого от точки F отсчитываем 4 клетки вправо и 3 клетки вверх. Полученная точка будет концом нового вектора, равного $\vec{MB}$.

Ответ: Необходимо построить вектор с началом в точке F, конец которого находится на 4 клетки правее и на 3 клетки выше точки F.

Вектор, отложенный от точки F, противоположно направленный вектору $\vec{MB}$ и равный ему по модулю

Вектор, который имеет такую же длину, как и данный вектор, но направлен в противоположную сторону, называется противоположным вектором. Если вектор $\vec{MB}$ имеет координаты $(4; 3)$, то противоположный ему вектор $-\vec{MB}$ будет иметь координаты $(-4; -3)$.

Чтобы отложить этот вектор от точки F, необходимо от точки F сдвинуться на 4 клетки влево (противоположно направлению «вправо») и на 3 клетки вниз (противоположно направлению «вверх»).

Ответ: Необходимо построить вектор с началом в точке F, конец которого находится на 4 клетки левее и на 3 клетки ниже точки F.

175. Какие из векторов, изображённых на рисунке 64:

1) равны;

2) сонаправлены;

3) противоположно направлены;

4) коллинеарны;

5) имеют равные модули?

Рис. 64

Векторы на рисунке:

$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$, $\vec{d}$, $\vec{k}$, $\vec{m}$, $\vec{n}$, $\vec{p}$, $\vec{q}$, $\vec{s}$, $\vec{x}$, $\vec{y}$

175. Какие из векторов, изображённых на рисунке 64:

1) равны;

2) сонаправлены;

3) противоположно направлены;

4) коллинеарны;

5) имеют равные модули?

Рис. 64

$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$, $\vec{d}$, $\vec{k}$, $\vec{m}$, $\vec{n}$, $\vec{p}$, $\vec{q}$, $\vec{s}$, $\vec{x}$, $\vec{y}$

1) равны
Два вектора равны, если они сонаправлены и их длины равны. Это означает, что их соответствующие координаты должны совпадать. Для того чтобы определить координаты векторов, примем сторону одной клетки за единицу.
Координаты векторов:
$ \vec{a} = (-2, 0) $
$ \vec{b} = (-2, -1) $
$ \vec{c} = (-4, -2) $
$ \vec{d} = (-2, -2) $
$ \vec{k} = (-1, -3) $
$ \vec{m} = (-1, 0) $
$ \vec{n} = (1, 0) $
$ \vec{p} = (3, 0) $
$ \vec{q} = (1, -1) $
$ \vec{s} = (-2, 2) $
$ \vec{x} = (2, 3) $
$ \vec{y} = (1, -3) $
Среди представленных векторов нет ни одной пары с полностью совпадающими координатами.
Ответ: Равных векторов среди изображённых нет.

2) сонаправлены
Два ненулевых вектора называются сонаправленными, если они коллинеарны и имеют одинаковое направление. Это означает, что один вектор можно получить из другого умножением на положительное число $k > 0$.
- Векторы $ \vec{b} = (-2, -1) $ и $ \vec{c} = (-4, -2) $. Заметим, что $ \vec{c} = 2 \cdot \vec{b} $. Так как коэффициент $2 > 0$, эти векторы сонаправлены.
- Векторы $ \vec{a} = (-2, 0) $ и $ \vec{m} = (-1, 0) $. Заметим, что $ \vec{a} = 2 \cdot \vec{m} $. Так как коэффициент $2 > 0$, эти векторы сонаправлены.
- Векторы $ \vec{n} = (1, 0) $ и $ \vec{p} = (3, 0) $. Заметим, что $ \vec{p} = 3 \cdot \vec{n} $. Так как коэффициент $3 > 0$, эти векторы сонаправлены.
Ответ: Сонаправленными являются пары векторов: $ \vec{a} $ и $ \vec{m} $; $ \vec{n} $ и $ \vec{p} $; $ \vec{b} $ и $ \vec{c} $.

3) противоположно направлены
Два ненулевых вектора называются противоположно направленными, если они коллинеарны и имеют противоположные направления. Это означает, что один вектор можно получить из другого умножением на отрицательное число $k < 0$.
- Горизонтальные векторы: $ \vec{a} = (-2, 0) $, $ \vec{m} = (-1, 0) $ направлены влево, а $ \vec{n} = (1, 0) $, $ \vec{p} = (3, 0) $ направлены вправо. Любой вектор из первой группы будет противоположно направлен любому вектору из второй. Например, $ \vec{a} = -2 \vec{n} $ (коэффициент $-2 < 0$) и $ \vec{m} = -\frac{1}{3} \vec{p} $ (коэффициент $-\frac{1}{3} < 0$).
- Векторы $ \vec{q} = (1, -1) $ и $ \vec{s} = (-2, 2) $. Заметим, что $ \vec{s} = -2 \cdot \vec{q} $. Так как коэффициент $-2 < 0$, эти векторы противоположно направлены.
Ответ: Противоположно направленными являются пары векторов: $ \vec{a} $ и $ \vec{n} $; $ \vec{a} $ и $ \vec{p} $; $ \vec{m} $ и $ \vec{n} $; $ \vec{m} $ и $ \vec{p} $; $ \vec{q} $ и $ \vec{s} $.

4) коллинеарны
Векторы коллинеарны, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Коллинеарные векторы могут быть сонаправленными или противоположно направленными. Объединим результаты из пунктов 2 и 3.
- Горизонтальные векторы $ \vec{a}, \vec{m}, \vec{n}, \vec{p} $ лежат на параллельных прямых, следовательно, они все коллинеарны друг другу.
- Векторы $ \vec{b} $ и $ \vec{c} $ сонаправлены, значит, они коллинеарны.
- Векторы $ \vec{q} $ и $ \vec{s} $ противоположно направлены, значит, они коллинеарны.
Ответ: Коллинеарными являются следующие группы векторов: ($ \vec{a}, \vec{m}, \vec{n}, \vec{p} $); ($ \vec{b}, \vec{c} $); ($ \vec{q}, \vec{s} $).

5) имеют равные модули
Модуль (длина) вектора $ \vec{v}=(v_x, v_y) $ вычисляется по формуле $ |\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} $. Найдем модули всех векторов:
$ |\vec{a}| = \sqrt{(-2)^2 + 0^2} = 2 $
$ |\vec{b}| = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{5} $
$ |\vec{c}| = \sqrt{(-4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} $
$ |\vec{d}| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} $
$ |\vec{k}| = \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{10} $
$ |\vec{m}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2} = 1 $
$ |\vec{n}| = \sqrt{1^2 + 0^2} = 1 $
$ |\vec{p}| = \sqrt{3^2 + 0^2} = 3 $
$ |\vec{q}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} $
$ |\vec{s}| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} $
$ |\vec{x}| = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13} $
$ |\vec{y}| = \sqrt{1^2 + (-3)^2} = \sqrt{10} $
Сравнивая полученные значения, находим пары векторов с равными модулями:
- $ |\vec{m}| = |\vec{n}| = 1 $
- $ |\vec{d}| = |\vec{s}| = \sqrt{8} $
- $ |\vec{k}| = |\vec{y}| = \sqrt{10} $
Ответ: Равные модули имеют следующие пары векторов: $ \vec{m} $ и $ \vec{n} $; $ \vec{d} $ и $ \vec{s} $; $ \vec{k} $ и $ \vec{y} $.