Страница 84 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

163. Точки $A(-6; 21)$, $B(2; -7)$ и $C(0; -4)$ — вершины треугольника $ABC$. Составьте уравнение прямой, содержащей медиану $CM$ треугольника $ABC$.

163. Точки $A (-6; 21)$, $B (2; -7)$ и $C (0; -4)$ — вершины треугольника $ABC$. Составьте уравнение прямой, содержащей медиану $CM$ треугольника $ABC$.

Медиана CM треугольника ABC соединяет вершину C с серединой M стороны AB. Чтобы составить уравнение прямой, содержащей медиану CM, нам нужно найти координаты точки M, а затем использовать координаты точек C и M для составления уравнения прямой.

1. Нахождение координат точки M.
Точка M является серединой отрезка AB. Координаты середины отрезка находятся по формулам: $x_M = \frac{x_A + x_B}{2}$ и $y_M = \frac{y_A + y_B}{2}$.
Используя координаты точек A(-6; 21) и B(2; -7), получаем:
$x_M = \frac{-6 + 2}{2} = \frac{-4}{2} = -2$
$y_M = \frac{21 + (-7)}{2} = \frac{14}{2} = 7$
Следовательно, координаты точки M(-2; 7).

2. Составление уравнения прямой CM.
Теперь у нас есть две точки, через которые проходит искомая прямая: C(0; -4) и M(-2; 7).
Уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, можно записать в виде:
$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$
Подставим координаты точек C и M:
$\frac{x - 0}{-2 - 0} = \frac{y - (-4)}{7 - (-4)}$
$\frac{x}{-2} = \frac{y + 4}{11}$
Используя свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получим:
$11x = -2(y + 4)$
$11x = -2y - 8$
Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить уравнение в общем виде:
$11x + 2y + 8 = 0$

Ответ: $11x + 2y + 8 = 0$

164. При каком значении $a$ точки A $(2a; -3)$, B $(1; -2)$ и C $(3; 4)$ лежат на одной прямой?

164. При каком значении $a$ точки $A (2a; -3)$, $B (1; -2)$ и $C (3; 4)$ лежат на одной прямой?

Для того чтобы три точки A, B и C лежали на одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы угловые коэффициенты прямых, проходящих через пары этих точек (например, AB и BC), были равны.

Координаты данных точек:

A$(2a; -3)$

B$(1; -2)$

C$(3; 4)$

Угловой коэффициент прямой, проходящей через две точки с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, находится по формуле: $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

1. Найдем угловой коэффициент прямой, проходящей через точки B и C:

$k_{BC} = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \frac{4 - (-2)}{3 - 1} = \frac{4 + 2}{2} = \frac{6}{2} = 3$

2. Найдем угловой коэффициент прямой, проходящей через точки A и B. Он должен быть равен $k_{BC}$:

$k_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{-2 - (-3)}{1 - 2a} = \frac{-2 + 3}{1 - 2a} = \frac{1}{1 - 2a}$

3. Приравняем угловые коэффициенты и решим уравнение относительно $a$:

$k_{AB} = k_{BC}$

$\frac{1}{1 - 2a} = 3$

$1 = 3 \cdot (1 - 2a)$

$1 = 3 - 6a$

$6a = 3 - 1$

$6a = 2$

$a = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Таким образом, при $a = \frac{1}{3}$ все три точки будут лежать на одной прямой.

Ответ: $a = \frac{1}{3}$

165. Докажите, что окружность $(x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 20$ и прямая $x - y = 3$ пересекаются, и найдите координаты точек их пересечения.

165. Докажите, что окружность $(x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 20$ и прямая $x - y = 3$ пересекаются, и найдите координаты точек их пересечения.

Для того чтобы доказать, что окружность $(x-3)^2 + (y-2)^2 = 20$ и прямая $x - y = 3$ пересекаются, и найти координаты точек их пересечения, необходимо решить систему уравнений:
$ \begin{cases} (x-3)^2 + (y-2)^2 = 20 \\ x - y = 3 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим переменную $x$:
$x = y + 3$

Подставим полученное выражение для $x$ в уравнение окружности:
$((y+3)-3)^2 + (y-2)^2 = 20$
$y^2 + (y-2)^2 = 20$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение относительно $y$:
$y^2 + (y^2 - 4y + 4) = 20$
$2y^2 - 4y + 4 - 20 = 0$
$2y^2 - 4y - 16 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения:
$y^2 - 2y - 8 = 0$

Чтобы доказать, что пересечение существует, нужно показать, что это уравнение имеет действительные корни. Для этого найдем его дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$

Поскольку $D = 36 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Это доказывает, что прямая и окружность пересекаются в двух точках.

Теперь найдем эти корни, которые являются $y$-координатами точек пересечения:
$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 6}{2}$
$y_1 = \frac{2 - 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2$
$y_2 = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Для каждого значения $y$ найдем соответствующее значение $x$ из уравнения прямой $x = y + 3$:
Если $y_1 = -2$, то $x_1 = -2 + 3 = 1$.
Если $y_2 = 4$, то $x_2 = 4 + 3 = 7$.

Таким образом, точки пересечения имеют координаты $(1, -2)$ и $(7, 4)$.

Ответ: факт пересечения доказан, так как система уравнений имеет два действительных решения. Координаты точек пересечения: $(1, -2)$ и $(7, 4)$.

166. Найдите расстояние от начала координат до прямой

$4x - y = 8$.

166. Найдите расстояние от начала координат до прямой $4x - y = 8$.

Расстояние $d$ от точки с координатами $(x_0, y_0)$ до прямой, заданной общим уравнением $Ax + By + C = 0$, вычисляется по формуле:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

В нашем случае точка — это начало координат, то есть ее координаты $x_0 = 0$ и $y_0 = 0$.

Уравнение прямой дано в виде $4x - y = 8$. Чтобы привести его к общему виду $Ax + By + C = 0$, перенесем константу в левую часть:

$4x - y - 8 = 0$

Отсюда мы можем определить коэффициенты: $A = 4$, $B = -1$, $C = -8$.

Теперь подставим значения координат точки и коэффициентов прямой в формулу расстояния:

$d = \frac{|4 \cdot 0 + (-1) \cdot 0 - 8|}{\sqrt{4^2 + (-1)^2}}$

Вычислим значение в числителе:

$|4 \cdot 0 - 1 \cdot 0 - 8| = |0 - 0 - 8| = |-8| = 8$

Вычислим значение в знаменателе:

$\sqrt{4^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}$

Таким образом, расстояние равно:

$d = \frac{8}{\sqrt{17}}$

Для удобства можно избавиться от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{17}$:

$d = \frac{8 \cdot \sqrt{17}}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{17}} = \frac{8\sqrt{17}}{17}$

Ответ: $\frac{8\sqrt{17}}{17}$

167. Составьте уравнение геометрического места центров окружностей, проходящих через точки $A (6; -8)$ и $B (10; -2)$.

167. Составьте уравнение геометрического места центров окружностей, проходящих через точки $A(6; -8)$ и $B(10; -2)$.

Геометрическое место центров окружностей, проходящих через две заданные точки A и B, представляет собой серединный перпендикуляр к отрезку AB. Это следует из того, что центр любой такой окружности должен быть равноудален от точек A и B, так как расстояния от центра до этих точек являются радиусами одной и той же окружности.

Пусть C(x; y) – произвольная точка искомого геометрического места, то есть центр окружности, проходящей через точки A(6; -8) и B(10; -2). По определению окружности, расстояние от центра C до точки A должно быть равно расстоянию от центра C до точки B:

$CA = CB$

Для удобства вычислений будем использовать квадраты этих расстояний:

$CA^2 = CB^2$

Используем формулу квадрата расстояния между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.

Для точек C(x; y) и A(6; -8) квадрат расстояния равен:

$CA^2 = (x - 6)^2 + (y - (-8))^2 = (x - 6)^2 + (y + 8)^2$

Для точек C(x; y) и B(10; -2) квадрат расстояния равен:

$CB^2 = (x - 10)^2 + (y - (-2))^2 = (x - 10)^2 + (y + 2)^2$

Приравняем эти два выражения:

$(x - 6)^2 + (y + 8)^2 = (x - 10)^2 + (y + 2)^2$

Раскроем скобки, используя формулы квадрата разности и квадрата суммы $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$:

$(x^2 - 12x + 36) + (y^2 + 16y + 64) = (x^2 - 20x + 100) + (y^2 + 4y + 4)$

Приведем подобные слагаемые в левой и правой частях уравнения:

$x^2 + y^2 - 12x + 16y + 100 = x^2 + y^2 - 20x + 4y + 104$

Члены $x^2$ и $y^2$ в обеих частях уравнения взаимно уничтожаются:

$-12x + 16y + 100 = -20x + 4y + 104$

Перенесем все слагаемые с переменными в левую часть, а постоянные — в правую:

$-12x + 20x + 16y - 4y = 104 - 100$

Упростим полученное выражение:

$8x + 12y = 4$

Это уравнение можно упростить, разделив все его члены на их наибольший общий делитель, равный 4:

$\frac{8x}{4} + \frac{12y}{4} = \frac{4}{4}$

$2x + 3y = 1$

Также уравнение можно записать в общем виде $Ax + By + C = 0$:

$2x + 3y - 1 = 0$

Это и есть искомое уравнение геометрического места центров, которое представляет собой прямую линию.

Ответ: $2x + 3y - 1 = 0$

168. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку $K(2; -3)$, угловой коэффициент которой равен:

1) $-4$;

2) $0$.

168. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку $K(2; -3)$, угловой коэффициент которой равен:

1) -4;

2) 0.

Для составления уравнения прямой, проходящей через заданную точку $(x_1; y_1)$ с известным угловым коэффициентом $k$, используется формула:

$y - y_1 = k(x - x_1)$

В нашем случае дана точка $K(2; -3)$, следовательно, $x_1 = 2$ и $y_1 = -3$.

1)

Угловой коэффициент $k = -4$.

Подставим известные значения в формулу:

$y - (-3) = -4(x - 2)$

Упростим полученное выражение:

$y + 3 = -4x + 8$

Перенесем 3 в правую часть уравнения, чтобы привести его к стандартному виду $y = kx + b$:

$y = -4x + 8 - 3$

$y = -4x + 5$

Ответ: $y = -4x + 5$

2)

Угловой коэффициент $k = 0$.

Подставим известные значения в формулу:

$y - (-3) = 0 \cdot (x - 2)$

Упростим полученное выражение:

$y + 3 = 0$

Выразим $y$:

$y = -3$

Это уравнение горизонтальной прямой, параллельной оси абсцисс и проходящей через все точки с ординатой -3, включая точку $K(2; -3)$.

Ответ: $y = -3$

169. Найдите угловой коэффициент прямой, проходящей через точки:

1) A $(5; -4)$ и B $(1; -6)$;

2) A $(1; 1)$ и B $(-3; 1)$.

169. Найдите угловой коэффициент прямой, проходящей через точки:

1) $A (5; -4)$ и $B (1; -6)$;

2) $A (1; 1)$ и $B (-3; 1)$.

1) Угловой коэффициент прямой (обозначим его как $k$), проходящей через две точки с координатами $A(x_1; y_1)$ и $B(x_2; y_2)$, вычисляется по формуле:
$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
В нашем случае даны точки $A(5; -4)$ и $B(1; -6)$.
Подставим их координаты в формулу:
$x_1 = 5, y_1 = -4$
$x_2 = 1, y_2 = -6$
$k = \frac{-6 - (-4)}{1 - 5} = \frac{-6 + 4}{-4} = \frac{-2}{-4} = 0.5$
Ответ: 0.5

2) Используем ту же формулу для нахождения углового коэффициента для точек $A(1; 1)$ и $B(-3; 1)$.
$x_1 = 1, y_1 = 1$
$x_2 = -3, y_2 = 1$
Подставим координаты в формулу:
$k = \frac{1 - 1}{-3 - 1} = \frac{0}{-4} = 0$
Угловой коэффициент равен 0, что означает, что прямая параллельна оси абсцисс (оси Ox).
Ответ: 0

170. Составьте уравнение прямой, которая проходит через точку $M (4; -2)$ и параллельна прямой $y = 3x + 1$.

170. Составьте уравнение прямой, которая проходит через точку $M (4; -2)$ и параллельна прямой $y = 3x + 1$.

Общий вид уравнения прямой: $y = kx + b$, где $k$ — это угловой коэффициент, а $b$ — свободный член, показывающий точку пересечения с осью ординат.

По условию задачи, искомая прямая параллельна прямой $y = 3x + 1$. Условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов. Угловой коэффициент данной прямой $y = 3x + 1$ равен $k=3$. Следовательно, угловой коэффициент искомой прямой также будет равен 3.

Таким образом, уравнение искомой прямой принимает вид $y = 3x + b$.

Для нахождения коэффициента $b$ используем второе условие: прямая проходит через точку $M(4; -2)$. Это означает, что координаты этой точки удовлетворяют уравнению прямой. Подставим значения $x = 4$ и $y = -2$ в наше уравнение:

$-2 = 3 \cdot 4 + b$

Выполним вычисления:

$-2 = 12 + b$

Теперь найдем $b$:

$b = -2 - 12$

$b = -14$

Подставив найденные значения $k=3$ и $b=-14$ в общее уравнение прямой, получаем искомое уравнение.

Ответ: $y = 3x - 14$

171. Составьте уравнение прямой, которая проходит через точку $A(1;-2)$ и образует с положительным направлением оси абсцисс угол:

1) $60^\circ$

2) $150^\circ$

171. Составьте уравнение прямой, которая проходит через точку A (1; -2) и образует с положительным направлением оси абсцисс угол:

1) 60°

2) 150°

Для составления уравнения прямой воспользуемся уравнением прямой, проходящей через заданную точку $(x_0, y_0)$ с известным угловым коэффициентом $k$: $y - y_0 = k(x - x_0)$.

Угловой коэффициент $k$ равен тангенсу угла $\alpha$, который прямая образует с положительным направлением оси абсцисс: $k = \tan(\alpha)$.

По условию задачи, прямая проходит через точку A(1; -2), значит $x_0 = 1$ и $y_0 = -2$.

1) 60°

Сначала найдем угловой коэффициент $k$ для угла $\alpha = 60^\circ$.

$k = \tan(60^\circ) = \sqrt{3}$

Теперь подставим значения $x_0=1$, $y_0=-2$ и $k=\sqrt{3}$ в уравнение прямой:

$y - (-2) = \sqrt{3}(x - 1)$

Раскроем скобки и упростим выражение, чтобы получить уравнение вида $y = kx + b$:

$y + 2 = \sqrt{3}x - \sqrt{3}$

$y = \sqrt{3}x - \sqrt{3} - 2$

Ответ: $y = \sqrt{3}x - \sqrt{3} - 2$

2) 150°

Найдем угловой коэффициент $k$ для угла $\alpha = 150^\circ$.

$k = \tan(150^\circ) = \tan(180^\circ - 30^\circ) = -\tan(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

Подставим значения $x_0=1$, $y_0=-2$ и $k=-\frac{\sqrt{3}}{3}$ в уравнение прямой:

$y - (-2) = -\frac{\sqrt{3}}{3}(x - 1)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$y + 2 = -\frac{\sqrt{3}}{3}x + \frac{\sqrt{3}}{3}$

$y = -\frac{\sqrt{3}}{3}x + \frac{\sqrt{3}}{3} - 2$

Ответ: $y = -\frac{\sqrt{3}}{3}x + \frac{\sqrt{3}}{3} - 2$

172. Запишите уравнение прямой, изображённой на рисунке 62.

Рис. 62

а

$y$, $x$, $0$, $120^\circ$

б

$y$, $x$, $0$, $-6$, $45^\circ$

в

$y$, $x$, $0$, $-1$, $150^\circ$

172. Запишите уравнение прямой, изображённой на рисунке 62.

Рис. 62

a

0 $120^\circ$

б

0 -6 $45^\circ$

B

0 -1 $150^\circ$

а

Общее уравнение прямой имеет вид $y = kx + b$, где $k$ – это угловой коэффициент, а $b$ – ордината точки пересечения прямой с осью $y$. Угловой коэффициент $k$ равен тангенсу угла $\alpha$, который прямая образует с положительным направлением оси $x$: $k = \tan(\alpha)$.
Из графика видно, что прямая проходит через начало координат (0, 0). Это означает, что свободный член $b$ равен 0. Угол наклона прямой к положительному направлению оси $x$ составляет $\alpha = 120^\circ$.
Найдем угловой коэффициент $k$:
$k = \tan(120^\circ) = \tan(180^\circ - 60^\circ) = -\tan(60^\circ) = -\sqrt{3}$.
Подставляем найденные значения $k$ и $b$ в общее уравнение прямой:
$y = -\sqrt{3}x + 0$
$y = -\sqrt{3}x$
Ответ: $y = -\sqrt{3}x$.

б

Используем уравнение прямой $y = kx + b$.
Из графика видно, что прямая пересекает ось $y$ в точке (0, -6). Следовательно, $b = -6$.
Угол наклона прямой к положительному направлению оси $x$ составляет $\alpha = 45^\circ$.
Найдем угловой коэффициент $k$:
$k = \tan(45^\circ) = 1$.
Подставляем найденные значения $k$ и $b$ в уравнение прямой:
$y = 1 \cdot x + (-6)$
$y = x - 6$
Ответ: $y = x - 6$.

в

Используем уравнение прямой $y = kx + b$.
Из графика видно, что прямая пересекает ось $y$ в точке (0, -1). Следовательно, $b = -1$.
Угол наклона прямой к положительному направлению оси $x$ составляет $\alpha = 150^\circ$.
Найдем угловой коэффициент $k$:
$k = \tan(150^\circ) = \tan(180^\circ - 30^\circ) = -\tan(30^\circ) = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Подставляем найденные значения $k$ и $b$ в уравнение прямой:
$y = -\frac{\sqrt{3}}{3}x - 1$
Ответ: $y = -\frac{\sqrt{3}}{3}x - 1$.