Страница 77 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

86. Около правильного треугольника со стороной $a$ описана окружность. Около этой окружности описан квадрат. Найдите радиус описанной около квадрата окружности.

86. Около правильного треугольника со стороной $a$ описана окружность. Около этой окружности описан квадрат. Найдите радиус описанной около квадрата окружности.

Решение задачи можно разбить на три этапа.

1. Нахождение радиуса окружности, описанной около правильного треугольника.
Радиус $R_1$ окружности, описанной около правильного (равностороннего) треугольника со стороной $a$, определяется по формуле:
$R_1 = \frac{a}{\sqrt{3}}$

2. Определение стороны квадрата.
Согласно условию, около окружности с радиусом $R_1$ описан квадрат. Это означает, что данная окружность является вписанной в этот квадрат. Сторона квадрата $b$ равна диаметру вписанной в него окружности.
$b = 2 \cdot R_1 = 2 \cdot \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{2a}{\sqrt{3}}$

3. Нахождение радиуса окружности, описанной около квадрата.
Искомый радиус $R_2$ — это радиус окружности, описанной около квадрата со стороной $b$. Этот радиус равен половине диагонали $d$ квадрата.
Диагональ квадрата вычисляется по формуле $d = b\sqrt{2}$.
Следовательно, радиус $R_2$ равен:
$R_2 = \frac{d}{2} = \frac{b\sqrt{2}}{2}$
Подставим в эту формулу найденное ранее значение стороны квадрата $b$:
$R_2 = \frac{(\frac{2a}{\sqrt{3}})\sqrt{2}}{2} = \frac{2a\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$
Для получения окончательного ответа избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:
$R_2 = \frac{a\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}$

Ответ: $\frac{a\sqrt{6}}{3}$

87. В окружность радиуса $6\sqrt{3}$ см вписан правильный треугольник. На его высоте как на стороне построен правильный шестиугольник, и в него вписана окружность. Найдите радиус этой окружности.

87. В окружность радиуса $6\sqrt{3}$ см вписан правильный треугольник. На его высоте как на стороне построен правильный шестиугольник, и в него вписана окружность. Найдите радиус этой окружности.

Пусть $R$ — радиус окружности, описанной около правильного треугольника. По условию задачи, $R = 6\sqrt{3}$ см.

Сначала найдем сторону вписанного треугольника ($a_3$). Формула, связывающая сторону правильного треугольника с радиусом описанной окружности: $a_3 = R\sqrt{3}$. Подставим значение $R$: $a_3 = 6\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 6 \cdot 3 = 18$ см.

Далее найдем высоту этого треугольника ($h_3$). Высота правильного треугольника вычисляется по формуле $h_3 = \frac{a_3\sqrt{3}}{2}$. Подставим значение $a_3$: $h_3 = \frac{18\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3}$ см.

Согласно условию, на высоте треугольника как на стороне построен правильный шестиугольник. Это означает, что сторона шестиугольника ($a_6$) равна найденной высоте треугольника: $a_6 = h_3 = 9\sqrt{3}$ см.

Наконец, найдем радиус окружности ($r_6$), вписанной в этот правильный шестиугольник. Радиус вписанной в правильный шестиугольник окружности связан с его стороной формулой $r_6 = \frac{a_6\sqrt{3}}{2}$. Подставим значение $a_6$: $r_6 = \frac{9\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{9 \cdot 3}{2} = \frac{27}{2} = 13,5$ см.

Ответ: 13,5 см.

88. Радиус окружности, вписанной в правильный восьмиугольник $A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7A_8$, равен 4 см. Найдите диагонали $A_1A_3$, $A_1A_4$ и $A_1A_5$.

88. Радиус окружности, вписанной в правильный восьмиугольник $A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7A_8$, равен 4 см. Найдите диагонали $A_1A_3$, $A_1A_4$ и $A_1A_5$.

Пусть дан правильный восьмиугольник $A_1A_2...A_8$ с центром в точке $O$. Радиус вписанной в него окружности, который также является апофемой многоугольника, равен $r = 4$ см. Обозначим через $R$ радиус описанной окружности.

Центральный угол, опирающийся на одну сторону правильного восьмиугольника, составляет $\alpha = \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ$. Рассмотрим равнобедренный треугольник $\triangle OA_1A_2$. Его высота $OM$ (где $M$ — середина $A_1A_2$) равна радиусу вписанной окружности $r$. Эта высота также является биссектрисой угла $\angle A_1OA_2$. В прямоугольном треугольнике $\triangle OMA_1$ угол $\angle MOA_1 = \frac{45^\circ}{2} = 22.5^\circ$. Гипотенуза $OA_1$ равна радиусу описанной окружности $R$. Связь между $r$ и $R$ выражается формулой: $r = R \cos(22.5^\circ)$.

Отсюда мы можем выразить $R$: $R = \frac{r}{\cos(22.5^\circ)} = \frac{4}{\cos(22.5^\circ)}$. Для дальнейших вычислений найдем значение $\cos(22.5^\circ)$ с помощью формулы половинного угла: $\cos^2(22.5^\circ) = \frac{1 + \cos(45^\circ)}{2} = \frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{2+\sqrt{2}}{4}$. Так как угол $22.5^\circ$ находится в первой четверти, его косинус положителен: $\cos(22.5^\circ) = \sqrt{\frac{2+\sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$.

Теперь найдем численное значение для $R$: $R = \frac{4}{\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}} = \frac{8}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}$. Теперь, зная $R$, мы можем найти длины требуемых диагоналей.

Диагональ $A_1A_3$ соединяет вершины через одну. Рассмотрим треугольник $\triangle A_1OA_3$. Этот треугольник равнобедренный, так как $OA_1 = OA_3 = R$. Угол $\angle A_1OA_3$ стягивает две стороны восьмиугольника, поэтому он равен $2 \cdot 45^\circ = 90^\circ$. Таким образом, $\triangle A_1OA_3$ является прямоугольным равнобедренным треугольником. По теореме Пифагора: $A_1A_3^2 = R^2 + R^2 = 2R^2$. Отсюда $A_1A_3 = R\sqrt{2}$.

Подставим найденное значение $R$: $A_1A_3 = \frac{8}{\sqrt{2+\sqrt{2}}} \cdot \sqrt{2} = \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}$. Упростим выражение: $A_1A_3 = 8\sqrt{\frac{2}{2+\sqrt{2}}} = 8\sqrt{\frac{2(2-\sqrt{2})}{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}} = 8\sqrt{\frac{4-2\sqrt{2}}{4-2}} = 8\sqrt{\frac{4-2\sqrt{2}}{2}} = 8\sqrt{2-\sqrt{2}}$.

Ответ: $A_1A_3 = 8\sqrt{2-\sqrt{2}}$ см.

Диагональ $A_1A_4$ соединяет вершины через две. Рассмотрим равнобедренный треугольник $\triangle A_1OA_4$ со сторонами $OA_1 = OA_4 = R$. Угол $\angle A_1OA_4$ стягивает три стороны восьмиугольника, поэтому $\angle A_1OA_4 = 3 \cdot 45^\circ = 135^\circ$. По теореме косинусов для $\triangle A_1OA_4$: $A_1A_4^2 = R^2 + R^2 - 2R^2\cos(135^\circ) = 2R^2(1-\cos(135^\circ))$. Поскольку $\cos(135^\circ) = -\cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, то: $A_1A_4^2 = 2R^2\left(1 - \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right) = 2R^2\left(1+\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = R^2(2+\sqrt{2})$.

Подставим выражение $R^2 = \left(\frac{r}{\cos(22.5^\circ)}\right)^2 = \frac{r^2}{\cos^2(22.5^\circ)}$. $A_1A_4^2 = \frac{r^2}{\cos^2(22.5^\circ)} \cdot (2+\sqrt{2}) = \frac{r^2}{\frac{2+\sqrt{2}}{4}} \cdot (2+\sqrt{2}) = \frac{4r^2}{2+\sqrt{2}} \cdot (2+\sqrt{2}) = 4r^2$. Следовательно, $A_1A_4 = \sqrt{4r^2} = 2r$. Так как по условию $r=4$ см, то $A_1A_4 = 2 \cdot 4 = 8$ см.

Ответ: $A_1A_4 = 8$ см.

Диагональ $A_1A_5$ соединяет противоположные вершины восьмиугольника и проходит через его центр $O$. Таким образом, эта диагональ является диаметром описанной окружности. Ее длина равна $A_1A_5 = 2R$. Используя ранее найденное значение $R$: $A_1A_5 = 2 \cdot \frac{8}{\sqrt{2+\sqrt{2}}} = \frac{16}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}$.

Упростим выражение, избавившись от иррациональности в знаменателе: $A_1A_5 = \frac{16\sqrt{2-\sqrt{2}}}{\sqrt{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}} = \frac{16\sqrt{2-\sqrt{2}}}{\sqrt{4-2}} = \frac{16\sqrt{2-\sqrt{2}}}{\sqrt{2}} = 8\sqrt{2}\sqrt{2-\sqrt{2}} = 8\sqrt{4-2\sqrt{2}}$.

Ответ: $A_1A_5 = 8\sqrt{4-2\sqrt{2}}$ см.

89. Найдите сторону правильного двенадцатиугольника $A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7A_8A_9A_{10}A_{11}A_{12}$, если его диагональ $A_2A_4$ равна 6 см.

89. Найдите сторону правильного двенадцатиугольника $A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7A_8A_9A_{10}A_{11}A_{12}$, если его диагональ $A_2A_4$ равна $6$ см.

Пусть правильный двенадцатиугольник $A_1A_2...A_{12}$ вписан в окружность. Обозначим радиус этой окружности как $R$.

Длина стороны правильного n-угольника ($a_n$) и длина его диагонали, соединяющей вершины через $k$ сторон ($d_k$), могут быть выражены через радиус описанной окружности $R$ следующими формулами:

• Сторона: $a_n = 2R \sin\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$
• Диагональ: $d_k = 2R \sin\left(\frac{(k+1) \cdot 180^\circ}{n}\right)$

В нашем случае мы имеем правильный двенадцатиугольник, поэтому $n=12$. Нам дана диагональ $A_2A_4$, которая соединяет вершины $A_2$ и $A_4$. Между этими вершинами находится одна вершина ($A_3$), то есть диагональ стягивает дугу, содержащую две стороны многоугольника ($A_2A_3$ и $A_3A_4$). Таким образом, для этой диагонали $k=2-1=1$ по количеству промежуточных вершин или, что эквивалентно, она соединяет вершины $A_i$ и $A_{i+2}$, то есть стягивает дугу в $2 \cdot \frac{360^\circ}{12} = 60^\circ$.

Воспользуемся более общей формулой для длины хорды, стягивающей центральный угол $\alpha$: $d = 2R \sin(\alpha/2)$.

Центральный угол, соответствующий одной стороне двенадцатиугольника, равен $\frac{360^\circ}{12} = 30^\circ$. Диагональ $A_2A_4$ стягивает дугу, которая опирается на две стороны ($A_2A_3$ и $A_3A_4$), поэтому соответствующий ей центральный угол $\angle A_2OA_4$ (где O — центр окружности) равен $2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$.

Длина диагонали (хорды) $A_2A_4$ равна:

$A_2A_4 = 2R \sin\left(\frac{\angle A_2OA_4}{2}\right) = 2R \sin\left(\frac{60^\circ}{2}\right) = 2R \sin(30^\circ)$

По условию $A_2A_4 = 6$ см. Также известно, что $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$. Подставим эти значения в формулу:

$6 = 2R \cdot \frac{1}{2}$

$6 = R$

Итак, радиус описанной окружности равен 6 см.

Теперь найдем сторону двенадцатиугольника, обозначим ее как $a$. Длина стороны соответствует центральному углу $30^\circ$.

$a = 2R \sin\left(\frac{30^\circ}{2}\right) = 2R \sin(15^\circ)$

Подставим найденное значение $R=6$:

$a = 2 \cdot 6 \cdot \sin(15^\circ) = 12 \sin(15^\circ)$

Чтобы найти значение $\sin(15^\circ)$, используем формулу синуса разности:

$\sin(15^\circ) = \sin(45^\circ - 30^\circ) = \sin(45^\circ)\cos(30^\circ) - \cos(45^\circ)\sin(30^\circ)$

$\sin(15^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

Наконец, вычисляем длину стороны $a$:

$a = 12 \cdot \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} = 3(\sqrt{6}-\sqrt{2})$

Ответ: $3(\sqrt{6}-\sqrt{2})$ см.

90. Сторона правильного шестиугольника равна 3 см. Его стороны, взятые через одну, продлили до пересечения так, что образовался правильный треугольник. Найдите сторону этого треугольника.

90. Сторона правильного шестиугольника равна 3 см. Его стороны, взятые через одну, продлили до пересечения так, что образовался правильный треугольник. Найдите сторону этого треугольника.

Пусть дан правильный шестиугольник ABCDEF со стороной $a = 3$ см.

Согласно условию, его стороны, взятые через одну, продлили до пересечения. Это означает, что были продлены прямые, содержащие, например, стороны BC, DE и FA. Эти три прямые, попарно пересекаясь, образуют новый большой треугольник. Обозначим вершины этого треугольника P, Q и R.

Внутренний угол правильного шестиугольника вычисляется по формуле $\frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$, где $n=6$.
Угол равен $\frac{(6-2) \cdot 180^\circ}{6} = \frac{4 \cdot 180^\circ}{6} = 120^\circ$.
Таким образом, все внутренние углы шестиугольника равны $120^\circ$.

Рассмотрим один из трех маленьких треугольников, которые образуются в углах большого треугольника PQR, "пристроенных" к сторонам шестиугольника. Например, рассмотрим треугольник, образованный пересечением прямых, содержащих стороны FA и BC. Пусть эти прямые пересекаются в точке P. Этот маленький треугольник — $\triangle PAB$.

Найдем его углы. Угол $\angle PAB$ является смежным с внутренним углом шестиугольника $\angle FAB$. Следовательно, $\angle PAB = 180^\circ - \angle FAB = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.
Аналогично, угол $\angle PBA$ является смежным с внутренним углом $\angle ABC$. Следовательно, $\angle PBA = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Поскольку два угла в треугольнике $\triangle PAB$ равны $60^\circ$, то и третий угол $\angle APB$ равен $180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ$. Это означает, что треугольник $\triangle PAB$ — равносторонний.

Сторона AB этого треугольника является стороной исходного шестиугольника, поэтому ее длина равна 3 см. Следовательно, все стороны $\triangle PAB$ равны 3 см: $PA = PB = AB = 3$ см.

По аналогии, два других треугольника, образованных при пересечении других пар прямых, также являются равносторонними со стороной 3 см.

• При пересечении прямых, содержащих стороны BC и DE, образуется равносторонний треугольник $\triangle QCD$, где $QC = QD = CD = 3$ см.
• При пересечении прямых, содержащих стороны DE и FA, образуется равносторонний треугольник $\triangle REF$, где $RE = RF = EF = 3$ см.

Теперь найдем длину стороны образовавшегося большого треугольника PQR. Возьмем, к примеру, сторону PQ. Она лежит на прямой, содержащей сторону BC шестиугольника. Длина стороны PQ складывается из длин трех отрезков: PB, BC и CQ.

$PQ = PB + BC + CQ$
Из наших вычислений мы знаем, что:

• $PB = 3$ см (сторона равностороннего $\triangle PAB$)
• $BC = 3$ см (сторона исходного шестиугольника)
• $QC = 3$ см (сторона равностороннего $\triangle QCD$)

Таким образом, длина стороны PQ равна:
$PQ = 3 \text{ см} + 3 \text{ см} + 3 \text{ см} = 9 \text{ см}.$

Поскольку большой треугольник PQR является правильным, все его стороны равны.

Ответ: 9 см.

91. Найдите длину окружности, радиус которой равен 5 см.

91. Найдите длину окружности, радиус которой равен 5 см.

Для того чтобы найти длину окружности, используется формула, связывающая длину окружности $C$ с её радиусом $r$.

Формула для вычисления длины окружности:

$C = 2 \pi r$

В условии задачи дан радиус окружности $r = 5$ см.

Подставим значение радиуса в формулу:

$C = 2 \cdot \pi \cdot 5$

$C = 10 \pi$ см.

Это точное значение длины окружности. Если требуется получить приближенное десятичное значение, можно использовать приближенное значение $\pi \approx 3,14$:

$C \approx 10 \cdot 3,14 = 31,4$ см.

В математических задачах, если не указано иное, принято оставлять ответ с символом $\pi$.

Ответ: $10 \pi$ см.

92. Найдите площадь круга, радиус которого равен:

1) 6 см;

2) $\frac{7}{\sqrt{\pi}}$ см.

92. Найдите площадь круга, радиус которого равен:

1) 6 см;

2) $ \frac{7}{\sqrt{\pi}} $ см.

Площадь круга вычисляется по формуле $S = \pi r^2$, где $S$ — площадь, а $r$ — радиус круга.

1)

Дан радиус $r = 6$ см. Подставим это значение в формулу площади:

$S = \pi \cdot (6 \text{ см})^2 = \pi \cdot 36 \text{ см}^2 = 36\pi \text{ см}^2$.

Ответ: $36\pi$ см$^2$.

2)

Дан радиус $r = \frac{7}{\sqrt{\pi}}$ см. Подставим это значение в формулу площади:

$S = \pi \cdot \left(\frac{7}{\sqrt{\pi}} \text{ см}\right)^2 = \pi \cdot \frac{7^2}{(\sqrt{\pi})^2} \text{ см}^2 = \pi \cdot \frac{49}{\pi} \text{ см}^2 = 49 \text{ см}^2$.

Ответ: $49$ см$^2$.

93. Чему равен радиус окружности, длина которой равна $5\pi$ см?

93. Чему равен радиус окружности, длина которой равна $5\pi$ см?

Длина окружности $C$ и ее радиус $r$ связаны формулой $C = 2\pi r$.

По условию задачи, длина окружности равна $5\pi$ см. Подставим это значение в формулу, чтобы найти радиус:

$5\pi = 2\pi r$

Теперь выразим радиус $r$, разделив обе части уравнения на $2\pi$:

$r = \frac{5\pi}{2\pi} = \frac{5}{2} = 2,5$ см.

Ответ: 2,5 см.

94. Найдите радиус круга, площадь которого равна $16\pi \text{ см}^2$.

94. Найдите радиус круга, площадь которого равна $16\pi \text{ cm}^2$.

Площадь круга ($S$) вычисляется по формуле $S = \pi R^2$, где $R$ — это радиус круга.

По условию задачи, площадь круга равна $16\pi \text{ см}^2$. Приравняем это значение к формуле площади:

$\pi R^2 = 16\pi$

Для того чтобы найти $R^2$, разделим обе части уравнения на $\pi$:

$R^2 = \frac{16\pi}{\pi}$

$R^2 = 16$

Теперь, чтобы найти радиус $R$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Поскольку радиус является геометрической величиной, он может быть только положительным числом.

$R = \sqrt{16}$

$R = 4 \text{ см}$

Ответ: 4 см.

95. Радиус окружности уменьшили: 1) в 6 раз; 2) на 6 см.

Как при этом изменилась длина окружности?

95. Радиус окружности уменьшили:

1) в 6 раз;

2) на 6 см.

Как при этом изменилась длина окружности?

Длина окружности $C$ и её радиус $R$ связаны формулой $C = 2\pi R$. Из этой формулы видно, что длина окружности прямо пропорциональна её радиусу. Рассмотрим, как изменится длина окружности в каждом из случаев.

1) Радиус уменьшили в 6 раз

Пусть первоначальный радиус окружности был $R_1$, тогда её длина была $C_1 = 2\pi R_1$.

После уменьшения радиуса в 6 раз новый радиус $R_2$ стал равен $R_2 = \frac{R_1}{6}$.

Новая длина окружности $C_2$ будет равна:

$C_2 = 2\pi R_2 = 2\pi \left(\frac{R_1}{6}\right) = \frac{2\pi R_1}{6} = \frac{C_1}{6}$.

Это означает, что новая длина окружности стала в 6 раз меньше первоначальной.

Ответ: Длина окружности уменьшилась в 6 раз.

2) Радиус уменьшили на 6 см

Пусть первоначальный радиус окружности был $R_1$ см, тогда её длина была $C_1 = 2\pi R_1$ см.

После уменьшения радиуса на 6 см новый радиус $R_2$ стал равен $R_2 = (R_1 - 6)$ см.

Новая длина окружности $C_2$ будет равна:

$C_2 = 2\pi R_2 = 2\pi(R_1 - 6) = 2\pi R_1 - 12\pi$.

Чтобы найти, на сколько изменилась длина, вычтем из старой длины новую:

$C_1 - C_2 = 2\pi R_1 - (2\pi R_1 - 12\pi) = 2\pi R_1 - 2\pi R_1 + 12\pi = 12\pi$ см.

Следовательно, длина окружности уменьшилась на $12\pi$ см.

Ответ: Длина окружности уменьшилась на $12\pi$ см.

96. Радиус круга уменьшили в 9 раз. Как при этом изменилась площадь круга?

96. Радиус круга уменьшили в 9 раз. Как при этом изменилась площадь круга?

Площадь круга $S$ вычисляется по формуле $S = \pi r^2$, где $r$ — это радиус круга, а $\pi$ — постоянная величина (число пи).

Пусть $r_1$ — это первоначальный радиус круга. Тогда его площадь $S_1$ была равна:
$S_1 = \pi r_1^2$

Согласно условию, радиус уменьшили в 9 раз. Новый радиус $r_2$ стал:
$r_2 = \frac{r_1}{9}$

Теперь найдем новую площадь круга $S_2$ с радиусом $r_2$:
$S_2 = \pi r_2^2 = \pi \left(\frac{r_1}{9}\right)^2 = \pi \frac{r_1^2}{9^2} = \pi \frac{r_1^2}{81}$

Чтобы определить, во сколько раз изменилась площадь, найдем отношение старой площади $S_1$ к новой площади $S_2$:
$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\pi r_1^2}{\pi \frac{r_1^2}{81}}$

Сократив одинаковые множители ($\pi$ и $r_1^2$) в числителе и знаменателе, получим:
$\frac{S_1}{S_2} = \frac{1}{\frac{1}{81}} = 81$

Таким образом, площадь круга уменьшилась в 81 раз.

Ответ: Площадь круга уменьшилась в 81 раз.

97. Площади двух кругов относятся как $25 : 36$. Чему равно отношение их радиусов?

97. Площади двух кругов относятся как $25:36$. Чему равно отношение их радиусов?

Пусть площади двух кругов равны $S_1$ и $S_2$, а их радиусы — $r_1$ и $r_2$ соответственно.

Площадь круга вычисляется по формуле $S = \pi r^2$, где $r$ — радиус круга.

Из условия задачи известно, что отношение площадей двух кругов составляет 25 : 36. Запишем это в виде пропорции:
$\frac{S_1}{S_2} = \frac{25}{36}$

Теперь подставим в эту пропорцию формулы площадей для каждого круга:
$\frac{\pi r_1^2}{\pi r_2^2} = \frac{25}{36}$

Сократим константу $\pi$ в левой части уравнения:
$\frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{25}{36}$

Это уравнение можно представить в виде:
$(\frac{r_1}{r_2})^2 = \frac{25}{36}$

Чтобы найти отношение радиусов $\frac{r_1}{r_2}$, необходимо извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения. Поскольку радиус — это длина, он может быть только положительным числом, поэтому мы рассматриваем только арифметический (положительный) корень.
$\frac{r_1}{r_2} = \sqrt{\frac{25}{36}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{36}} = \frac{5}{6}$

Таким образом, отношение радиусов этих кругов равно 5 : 6.

Ответ: 5 : 6.

98. Найдите площадь круга, длина окружности которого равна $10\pi$ см.

98. Найдите площадь круга, длина окружности которого равна $10\pi$ см.

Для того чтобы найти площадь круга, сначала нужно определить его радиус. Радиус можно найти, зная длину окружности.

Формула длины окружности: $C = 2\pi R$, где $C$ — это длина окружности, а $R$ — её радиус.

По условию задачи, $C = 10\pi$ см. Подставим это значение в формулу и найдем радиус:

$10\pi = 2\pi R$

Чтобы найти $R$, разделим обе части уравнения на $2\pi$:

$R = \frac{10\pi}{2\pi} = 5$ см.

Теперь, когда мы знаем радиус, мы можем вычислить площадь круга. Формула площади круга: $S = \pi R^2$.

Подставим найденное значение радиуса $R = 5$ см в формулу площади:

$S = \pi \cdot (5)^2 = \pi \cdot 25 = 25\pi$ см².

Ответ: $25\pi$ см².

99. Найдите площадь кольца, расположенного между двумя окружностями, имеющими общий центр, радиусы которых равны 3 см и 7 см.

99. Найдите площадь кольца, расположенного между двумя окружностями, имеющими общий центр, радиусы которых равны 3 см и 7 см.

Площадь кольца (также известного как аннулус) определяется как разность площадей двух кругов, имеющих общий центр (концентрических кругов).

Формула для вычисления площади круга: $S = \pi R^2$, где $R$ — радиус круга.

В данной задаче у нас есть два круга с радиусами:
$R_1 = 7$ см (радиус большего круга)
$R_2 = 3$ см (радиус меньшего круга)

1. Сначала найдем площадь большего круга ($S_1$):
$S_1 = \pi R_1^2 = \pi \cdot (7 \text{ см})^2 = 49\pi \text{ см}^2$

2. Затем найдем площадь меньшего круга ($S_2$):
$S_2 = \pi R_2^2 = \pi \cdot (3 \text{ см})^2 = 9\pi \text{ см}^2$

3. Площадь кольца ($S_{кольца}$) равна разности площади большего круга и площади меньшего круга:
$S_{кольца} = S_1 - S_2 = 49\pi - 9\pi = 40\pi \text{ см}^2$

Можно также использовать общую формулу для площади кольца:
$S_{кольца} = \pi (R_1^2 - R_2^2) = \pi (7^2 - 3^2) = \pi (49 - 9) = 40\pi \text{ см}^2$

Ответ: $40\pi$ см$^2$