Страница 73 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

49. Большая сторона треугольника равна 4 см, а вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, градусные меры которых относятся как $3 : 4 : 11$. Найдите неизвестные стороны треугольника.

49. Большая сторона треугольника равна 4 см, а вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, градусные меры которых относятся как 3 : 4 : 11. Найдите неизвестные стороны треугольника.

Пусть вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, градусные меры которых, согласно условию, относятся как $3:4:11$. Сумма градусных мер всех дуг окружности составляет $360^\circ$.

Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда градусные меры дуг будут равны $3x$, $4x$ и $11x$. Составим и решим уравнение:

$3x + 4x + 11x = 360^\circ$

$18x = 360^\circ$

$x = \frac{360^\circ}{18} = 20^\circ$

Теперь найдем градусные меры каждой из трех дуг:

• Первая дуга: $3 \cdot 20^\circ = 60^\circ$
• Вторая дуга: $4 \cdot 20^\circ = 80^\circ$
• Третья дуга: $11 \cdot 20^\circ = 220^\circ$

Углы вписанного в окружность треугольника равны половине градусной меры дуг, на которые они опираются. Найдем углы нашего треугольника. Обозначим их как $\alpha, \beta, \gamma$.

$\alpha = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$

$\beta = \frac{80^\circ}{2} = 40^\circ$

$\gamma = \frac{220^\circ}{2} = 110^\circ$

Для проверки сложим полученные углы: $30^\circ + 40^\circ + 110^\circ = 180^\circ$. Сумма углов верна.

В любом треугольнике напротив большего угла лежит большая сторона. Наибольший угол в нашем треугольнике равен $110^\circ$. Следовательно, сторона, лежащая напротив этого угла, является самой большой. По условию задачи, ее длина равна 4 см. Обозначим стороны треугольника, противолежащие углам $\alpha, \beta, \gamma$, как $a, b, c$ соответственно. Таким образом, $c = 4$ см.

Для нахождения двух других, неизвестных сторон ($a$ и $b$) воспользуемся теоремой синусов:

$\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma}$

Подставим известные значения:

$\frac{a}{\sin 30^\circ} = \frac{b}{\sin 40^\circ} = \frac{4}{\sin 110^\circ}$

Теперь найдем длины неизвестных сторон.

Найдем сторону $a$:

$a = \frac{4 \cdot \sin 30^\circ}{\sin 110^\circ}$

Используя значение $\sin 30^\circ = 0.5$ и формулу приведения $\sin 110^\circ = \sin(180^\circ - 70^\circ) = \sin 70^\circ$, получим:

$a = \frac{4 \cdot 0.5}{\sin 70^\circ} = \frac{2}{\sin 70^\circ}$ см.

Найдем сторону $b$:

$b = \frac{4 \cdot \sin 40^\circ}{\sin 110^\circ} = \frac{4 \sin 40^\circ}{\sin 70^\circ}$ см.

Ответ: две неизвестные стороны треугольника равны $\frac{2}{\sin 70^\circ}$ см и $\frac{4 \sin 40^\circ}{\sin 70^\circ}$ см.

50. Меньшая сторона треугольника равна 7 см. В треугольник вписана окружность, которая делится точками касания со сторонами на дуги, градусные меры которых относятся как $9 : 10 : 11$. Найдите неизвестные стороны треугольника.

50. Меньшая сторона треугольника равна 7 см. В треугольник вписана окружность, которая делится точками касания со сторонами на дуги, градусные меры которых относятся как 9 : 10 : 11. Найдите неизвестные стороны треугольника.

Пусть дан треугольник $ABC$, в который вписана окружность. Точки касания $M, N, P$ делят окружность на три дуги, градусные меры которых соотносятся как $9:10:11$.

1. Найдем градусные меры дуг вписанной окружности.
Полная окружность составляет $360^\circ$. Пусть коэффициент пропорциональности равен $x$. Тогда градусные меры дуг равны $9x, 10x$ и $11x$.
Составим уравнение: $9x + 10x + 11x = 360^\circ$
$30x = 360^\circ$
$x = 12^\circ$
Следовательно, градусные меры дуг равны:

• $9 \cdot 12^\circ = 108^\circ$
• $10 \cdot 12^\circ = 120^\circ$
• $11 \cdot 12^\circ = 132^\circ$

2. Найдем углы треугольника.
Угол треугольника, образованный двумя касательными, проведенными из одной вершины, связан с градусной мерой дуги, заключенной между точками касания. Величина угла треугольника равна полуразности большей и меньшей дуг, отсекаемых сторонами угла. В нашем случае, угол $\alpha$ треугольника и центральный угол $\beta$, опирающийся на дугу между точками касания, связаны соотношением $\alpha + \beta = 180^\circ$. Так как градусная мера дуги равна соответствующему центральному углу, то мы можем найти углы треугольника.

Пусть углы треугольника равны $\angle A, \angle B, \angle C$. Они соответствуют дугам, которые *не* лежат напротив этих вершин.
$\angle A = 180^\circ - 132^\circ = 48^\circ$
$\angle B = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$
$\angle C = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$
Проверка: $48^\circ + 60^\circ + 72^\circ = 180^\circ$. Углы найдены верно.

3. Найдем неизвестные стороны треугольника.
В треугольнике напротив меньшего угла лежит меньшая сторона. Наименьший угол треугольника равен $48^\circ$. По условию, меньшая сторона равна 7 см. Значит, сторона, лежащая напротив угла $48^\circ$, равна 7 см.

Пусть $a=7$ см, $b$ и $c$ — неизвестные стороны. Тогда угол напротив стороны $a$ равен $\alpha = 48^\circ$, угол напротив стороны $b$ — $\beta = 60^\circ$, а угол напротив стороны $c$ — $\gamma = 72^\circ$.
Воспользуемся теоремой синусов: $\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}$
$\frac{7}{\sin 48^\circ} = \frac{b}{\sin 60^\circ} = \frac{c}{\sin 72^\circ}$
Найдем сторону $b$: $b = \frac{7 \cdot \sin 60^\circ}{\sin 48^\circ} \approx \frac{7 \cdot 0.8660}{0.7431} \approx \frac{6.062}{0.7431} \approx 8.16$ см.
Найдем сторону $c$: $c = \frac{7 \cdot \sin 72^\circ}{\sin 48^\circ} \approx \frac{7 \cdot 0.9511}{0.7431} \approx \frac{6.6577}{0.7431} \approx 8.96$ см.

Ответ: две другие стороны треугольника равны примерно 8,16 см и 8,96 см.

51. Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 6 см и 5 см, а угол между ними равен:

1) $60^{\circ}$;

2) $135^{\circ}$.

51. Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 6 см и 5 см, а угол между ними равен:

1) $60^\circ$;

2) $135^\circ$.

Для нахождения площади треугольника воспользуемся формулой, по которой площадь равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними: $S = \frac{1}{2}ab \sin\gamma$.

По условию задачи, стороны треугольника равны $a = 6$ см и $b = 5$ см.

1) 60°
В этом случае угол между сторонами $\gamma = 60^\circ$.
Подставляем значения в формулу:
$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 \cdot \sin(60^\circ)$.
Мы знаем, что значение синуса 60 градусов равно $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Вычисляем площадь:
$S = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 15 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 7.5\sqrt{3}$ (см²).
Ответ: $7.5\sqrt{3}$ см².

2) 135°
В этом случае угол между сторонами $\gamma = 135^\circ$.
Подставляем значения в формулу:
$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 \cdot \sin(135^\circ)$.
Используя формулу приведения, находим значение синуса 135 градусов: $\sin(135^\circ) = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Вычисляем площадь:
$S = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 15 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 7.5\sqrt{2}$ (см²).
Ответ: $7.5\sqrt{2}$ см².

52. Найдите площадь параллелограмма, стороны которого равны 8 см и 6 см, а угол между ними — $45^\circ$.

52. Найдите площадь параллелограмма, стороны которого равны 8 см и 6 см, а угол между ними — $45^\circ$.

Для нахождения площади параллелограмма, когда известны две его смежные стороны и угол между ними, используется формула, связывающая площадь с произведением сторон на синус угла между ними.

Формула площади параллелограмма выглядит так:
$S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$
где $a$ и $b$ — длины смежных сторон, а $\alpha$ — угол между ними.

По условию задачи имеем:
Сторона $a = 8$ см.
Сторона $b = 6$ см.
Угол $\alpha = 45^\circ$.

Подставляем данные значения в формулу:
$S = 8 \cdot 6 \cdot \sin(45^\circ)$

Из тригонометрии известно, что значение синуса 45 градусов равно:
$\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Выполняем вычисление площади:
$S = 48 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 24\sqrt{2}$

Площадь параллелограмма составляет $24\sqrt{2}$ квадратных сантиметров.

Ответ: $24\sqrt{2}$ см².

53. Стороны параллелограмма равны 6 см и 9 см. Может ли его площадь быть равной $55 \, \text{см}^2$?

53. Стороны параллелограмма равны 6 см и 9 см. Может ли его площадь быть равной $55 \text{ см}^2$?

Площадь параллелограмма вычисляется по формуле $S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$, где $a$ и $b$ — это длины его смежных сторон, а $\alpha$ — угол между этими сторонами.

В данном случае стороны параллелограмма равны $a = 6$ см и $b = 9$ см. Подставив эти значения в формулу, получим: $S = 6 \cdot 9 \cdot \sin(\alpha) = 54 \sin(\alpha)$.

Функция синуса угла $\sin(\alpha)$ может принимать значения в диапазоне от -1 до 1. Поскольку угол в параллелограмме $\alpha$ должен быть больше $0^\circ$ и меньше $180^\circ$, значение $\sin(\alpha)$ будет находиться в пределах $0 < \sin(\alpha) \le 1$.

Площадь параллелограмма будет максимальной, когда $\sin(\alpha)$ принимает свое наибольшее возможное значение, то есть $\sin(\alpha) = 1$. Это соответствует углу $\alpha = 90^\circ$, то есть случаю, когда параллелограмм является прямоугольником.

Найдем максимальную возможную площадь для параллелограмма с заданными сторонами: $S_{\text{max}} = 54 \cdot 1 = 54$ см$^2$.

В задаче ставится вопрос, может ли площадь быть равной 55 см$^2$. Сравнивая это значение с максимально возможной площадью, мы видим, что $55 \text{ см}^2 > 54 \text{ см}^2$.

Следовательно, площадь параллелограмма со сторонами 6 см и 9 см не может быть больше 54 см$^2$, а значит, не может быть равна 55 см$^2$.

Ответ: нет, не может.

54. Найдите площадь ромба, сторона которого равна $5\sqrt{3}$ см, а один из углов — $120^\circ$.

54. Найдите площадь ромба, сторона которого равна $5\sqrt{3}$ см, а один из углов – $120^\circ$.

Для нахождения площади ромба воспользуемся формулой, связывающей сторону ромба и угол между сторонами: $S = a^2 \sin \alpha$, где $a$ — сторона ромба, а $\alpha$ — угол между смежными сторонами.
Согласно условию задачи, у нас есть следующие данные:
Сторона ромба $a = 5\sqrt{3}$ см.
Один из углов $\alpha = 120^\circ$.
Сначала найдем значение синуса угла. Синус угла $120^\circ$ равен синусу смежного с ним угла $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.
$\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Теперь подставим известные значения в формулу площади:
$S = (5\sqrt{3})^2 \cdot \sin(120^\circ)$
$S = (5^2 \cdot (\sqrt{3})^2) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
$S = (25 \cdot 3) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
$S = 75 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{75\sqrt{3}}{2}$
Таким образом, площадь ромба составляет $\frac{75\sqrt{3}}{2}$ см².
Ответ: $\frac{75\sqrt{3}}{2}$ см².

55. Две стороны треугольника равны 5 см и 12 см. Может ли его площадь быть равной: 1) $24\text{ см}^2$; 2) $42\text{ см}^2$?

55. Две стороны треугольника равны 5 см и 12 см. Может ли его площадь быть равной:

1) $24 \text{ см}^2;$

2) $42 \text{ см}^2?$

Площадь треугольника ($S$) через две стороны ($a$ и $b$) и угол ($\alpha$) между ними вычисляется по формуле:

$S = \frac{1}{2}ab \sin(\alpha)$

В нашем случае даны стороны $a = 5$ см и $b = 12$ см. Подставим эти значения в формулу:

$S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 \cdot \sin(\alpha) = 30 \sin(\alpha)$

Угол в треугольнике $\alpha$ может изменяться в пределах от 0° до 180° (не включая эти значения, иначе треугольник "схлопнется" в отрезок). Значение синуса для таких углов находится в интервале $(0, 1]$.

Максимальное значение площади треугольника достигается при максимальном значении $\sin(\alpha)$, то есть когда $\sin(\alpha) = 1$. Это соответствует углу $\alpha = 90^\circ$.

Найдем максимальную возможную площадь $S_{max}$:

$S_{max} = 30 \cdot 1 = 30$ см²

Это означает, что площадь любого треугольника со сторонами 5 см и 12 см не может превышать 30 см². Теперь рассмотрим предложенные варианты.

1) 24 см²

Сравним это значение с максимальной возможной площадью:

$24 \text{ см}^2 \le 30 \text{ см}^2$

Так как 24 см² меньше максимально возможной площади, то такая площадь достижима. Это произойдет при угле $\alpha$, для которого:

$30 \sin(\alpha) = 24$

$\sin(\alpha) = \frac{24}{30} = 0.8$

Поскольку значение $0.8$ находится в диапазоне $(0, 1]$, такой угол $\alpha$ существует.

Ответ: да, может.

2) 42 см²

Сравним это значение с максимальной возможной площадью:

$42 \text{ см}^2 > 30 \text{ см}^2$

Значение 42 см² превышает максимальную возможную площадь для треугольника с заданными сторонами. Следовательно, площадь треугольника не может быть равной 42 см².

Ответ: нет, не может.

56. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен $45^\circ$, а его площадь — $20\sqrt{2}$ см$^2$. Найдите боковую сторону треугольника.

56. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен $45^{\circ}$, а его площадь — $20\sqrt{2} \text{ см}^2$. Найдите боковую сторону треугольника.

Площадь треугольника можно вычислить по формуле, использующей две стороны и угол между ними: $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$.

В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны. Обозначим длину боковой стороны как $a$. Угол при вершине, то есть угол между боковыми сторонами, по условию равен $45^\circ$.

Применим формулу площади к нашему треугольнику: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a \cdot \sin(45^\circ) = \frac{1}{2}a^2\sin(45^\circ)$

По условию задачи площадь $S = 20\sqrt{2}$ см². Значение синуса $45^\circ$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Подставим известные значения в формулу: $20\sqrt{2} = \frac{1}{2}a^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Упростим полученное уравнение: $20\sqrt{2} = \frac{a^2\sqrt{2}}{4}$

Для того чтобы найти $a^2$, умножим обе части уравнения на 4 и разделим на $\sqrt{2}$: $80\sqrt{2} = a^2\sqrt{2}$ $a^2 = 80$

Теперь найдем длину боковой стороны $a$, извлекая квадратный корень из 80. Поскольку длина стороны является положительной величиной, нас интересует только положительный корень. $a = \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$ см.

Ответ: $4\sqrt{5}$ см.

57. Отрезки AB и CD пересекаются в точке K (рис. 56),

$AK = \frac{1}{2}KB$, $CK = 3KD$. Найдите отношение площадей треугольников AKC и BKD.

Рис. 56

57. Отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $K$ (рис. 56),

$AK = \frac{1}{2}KB, CK = 3KD.$

Найдите отношение площадей треугольников $AKC$ и $BKD$.

Рис. 56

Для нахождения отношения площадей треугольников AKC и BKD воспользуемся формулой площади треугольника через две стороны и угол между ними: $S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma$.

Площадь треугольника AKC можно выразить как:

$S_{AKC} = \frac{1}{2} \cdot AK \cdot CK \cdot \sin(\angle AKC)$

Площадь треугольника BKD можно выразить как:

$S_{BKD} = \frac{1}{2} \cdot BK \cdot DK \cdot \sin(\angle BKD)$

Углы $\angle AKC$ и $\angle BKD$ являются вертикальными, так как они образованы при пересечении отрезков AB и CD. Следовательно, эти углы равны: $\angle AKC = \angle BKD$. Это означает, что и синусы этих углов также равны: $\sin(\angle AKC) = \sin(\angle BKD)$.

Теперь найдем отношение площадей этих треугольников:

$\frac{S_{AKC}}{S_{BKD}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AK \cdot CK \cdot \sin(\angle AKC)}{\frac{1}{2} \cdot BK \cdot DK \cdot \sin(\angle BKD)}$

Так как $\frac{1}{2}$ и синусы углов в числителе и знаменателе равны, мы можем их сократить:

$\frac{S_{AKC}}{S_{BKD}} = \frac{AK \cdot CK}{BK \cdot DK}$

Из условия задачи нам известны соотношения сторон: $AK = \frac{1}{2}KB$ и $CK = 3KD$. Подставим эти значения в нашу формулу:

$\frac{S_{AKC}}{S_{BKD}} = \frac{(\frac{1}{2}KB) \cdot (3KD)}{BK \cdot KD}$

Упростим выражение, сократив KB и KD:

$\frac{S_{AKC}}{S_{BKD}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot KB \cdot KD}{BK \cdot KD} = \frac{3}{2}$

Ответ: $\frac{3}{2}$.