Страница 68 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

1. Чему равен:

1) $ \sin (180^\circ - \alpha) $, если $ \sin \alpha = \frac{3}{8} $;

2) $ \cos (180^\circ - \alpha) $, если $ \cos \alpha = -\frac{5}{14} $;

3) $ \tan (180^\circ - \alpha) $, если $ \tan \alpha = \frac{4}{9} $;

4) $ \cot (180^\circ - \alpha) $, если $ \cot \alpha = -6 $?

1. Чему равен:

1) $ \sin (180^\circ - \alpha) $, если $ \sin \alpha = \frac{3}{8} $;

2) $ \cos (180^\circ - \alpha) $, если $ \cos \alpha = -\frac{5}{14} $;

3) $ \operatorname{tg} (180^\circ - \alpha) $, если $ \operatorname{tg} \alpha = \frac{4}{9} $;

4) $ \operatorname{ctg} (180^\circ - \alpha) $, если $ \operatorname{ctg} \alpha = -6 $?

1) Для решения этой задачи используются формулы приведения. Формула приведения для синуса угла $(180^\circ - \alpha)$ выглядит так: $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$.

По условию задачи дано, что $\sin \alpha = \frac{3}{8}$.

Подставляя данное значение в формулу, получаем:

$\sin(180^\circ - \alpha) = \frac{3}{8}$.

Ответ: $\frac{3}{8}$.

2) Формула приведения для косинуса угла $(180^\circ - \alpha)$ имеет вид: $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha$.

В условии указано, что $\cos \alpha = -\frac{5}{14}$.

Подставим это значение в формулу:

$\cos(180^\circ - \alpha) = -(-\frac{5}{14}) = \frac{5}{14}$.

Ответ: $\frac{5}{14}$.

3) Формула приведения для тангенса угла $(180^\circ - \alpha)$ следующая: $\operatorname{tg}(180^\circ - \alpha) = -\operatorname{tg} \alpha$.

По условию, $\operatorname{tg} \alpha = \frac{4}{9}$.

Применяем формулу:

$\operatorname{tg}(180^\circ - \alpha) = -\frac{4}{9}$.

Ответ: $-\frac{4}{9}$.

4) Формула приведения для котангенса угла $(180^\circ - \alpha)$ записывается так: $\operatorname{ctg}(180^\circ - \alpha) = -\operatorname{ctg} \alpha$.

Из условия известно, что $\operatorname{ctg} \alpha = -6$.

Подставляем значение в формулу:

$\operatorname{ctg}(180^\circ - \alpha) = -(-6) = 6$.

Ответ: $6$.

2. Найдите значение выражения:

1) $5\sin 0^\circ + 3\cos 180^\circ$;

2) $9\sin 90^\circ - 2\text{tg } 180^\circ$;

3) $\sin^2 24^\circ + \cos^2 24^\circ$;

4) $\cos^2 65^\circ + \sin^2 115^\circ$.

2. Найдите значение выражения:

1) $5\sin 0^\circ + 3\cos 180^\circ$;

2) $9\sin 90^\circ - 2\operatorname{tg} 180^\circ$;

3) $\sin^2 24^\circ + \cos^2 24^\circ$;

4) $\cos^2 65^\circ + \sin^2 115^\circ$.

1) Для нахождения значения выражения $5\sin 0^\circ + 3\cos 180^\circ$ воспользуемся известными значениями тригонометрических функций для углов $0^\circ$ и $180^\circ$:
$\sin 0^\circ = 0$
$\cos 180^\circ = -1$
Подставим эти значения в исходное выражение:
$5 \cdot 0 + 3 \cdot (-1) = 0 - 3 = -3$
Ответ: -3

2) Для нахождения значения выражения $9\sin 90^\circ - 2\operatorname{tg} 180^\circ$ воспользуемся известными значениями тригонометрических функций для углов $90^\circ$ и $180^\circ$:
$\sin 90^\circ = 1$
$\operatorname{tg} 180^\circ = \frac{\sin 180^\circ}{\cos 180^\circ} = \frac{0}{-1} = 0$
Подставим эти значения в исходное выражение:
$9 \cdot 1 - 2 \cdot 0 = 9 - 0 = 9$
Ответ: 9

3) Выражение $\sin^2 24^\circ + \cos^2 24^\circ$ является частным случаем основного тригонометрического тождества $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.
В данном случае угол $\alpha = 24^\circ$.
Следовательно, значение выражения равно 1.
$\sin^2 24^\circ + \cos^2 24^\circ = 1$
Ответ: 1

4) Для нахождения значения выражения $\cos^2 65^\circ + \sin^2 115^\circ$ преобразуем второй член, используя формулы приведения.
Представим угол $115^\circ$ в виде разности $180^\circ - 65^\circ$.
Согласно формуле приведения $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$, получим:
$\sin 115^\circ = \sin(180^\circ - 65^\circ) = \sin 65^\circ$
Теперь подставим полученное значение в исходное выражение:
$\cos^2 65^\circ + \sin^2 115^\circ = \cos^2 65^\circ + (\sin 65^\circ)^2 = \cos^2 65^\circ + \sin^2 65^\circ$
Используя основное тригонометрическое тождество $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$, где $\alpha = 65^\circ$, получаем:
$\cos^2 65^\circ + \sin^2 65^\circ = 1$
Ответ: 1

3. Найдите:

1) $ \cos \alpha $, если $ \sin \alpha = \frac{1}{6} $ и $ 0^\circ \leq \alpha \leq 90^\circ $;

2) $ \sin \alpha $, если $ \cos \alpha = \frac{1}{7} $;

3) $ \cos \alpha $, если $ \sin \alpha = \frac{3}{8} $.

3. Найдите:

1) $\cos \alpha$, если $\sin \alpha = \frac{1}{6}$ и $0^\circ \leq \alpha \leq 90^\circ$;

2) $\sin \alpha$, если $\cos \alpha = \frac{1}{7}$;

3) $\cos \alpha$, если $\sin \alpha = \frac{3}{8}$.

1) cos α, если sin α = 1/6 и 0° ≤ α ≤ 90°

Для решения используем основное тригонометрическое тождество: $sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$.

Выразим из этого тождества $cos^2 \alpha$:

$cos^2 \alpha = 1 - sin^2 \alpha$

Подставим известное значение $sin \alpha = \frac{1}{6}$ в формулу:

$cos^2 \alpha = 1 - (\frac{1}{6})^2 = 1 - \frac{1}{36} = \frac{36}{36} - \frac{1}{36} = \frac{35}{36}$

Теперь найдем $cos \alpha$, извлекая квадратный корень:

$cos \alpha = \pm\sqrt{\frac{35}{36}} = \pm\frac{\sqrt{35}}{6}$

По условию задачи, угол $\alpha$ находится в диапазоне $0^\circ \le \alpha \le 90^\circ$, что соответствует I координатной четверти. В этой четверти значения косинуса положительны. Поэтому мы выбираем положительный корень.

Ответ: $\frac{\sqrt{35}}{6}$.

2) sin α, если cos α = 1/7

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$.

Выразим из тождества $sin^2 \alpha$:

$sin^2 \alpha = 1 - cos^2 \alpha$

Подставим известное значение $cos \alpha = \frac{1}{7}$:

$sin^2 \alpha = 1 - (\frac{1}{7})^2 = 1 - \frac{1}{49} = \frac{49}{49} - \frac{1}{49} = \frac{48}{49}$

Извлекая квадратный корень, находим $sin \alpha$:

$sin \alpha = \pm\sqrt{\frac{48}{49}} = \pm\frac{\sqrt{48}}{7}$

Упростим выражение под корнем: $\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$.

Таким образом, $sin \alpha = \pm\frac{4\sqrt{3}}{7}$.

Поскольку в условии не указана четверть, в которой находится угол $\alpha$, возможны два значения для синуса.

Ответ: $\pm\frac{4\sqrt{3}}{7}$.

3) cos α, если sin α = 3/8

Снова применяем основное тригонометрическое тождество: $sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$.

Выразим $cos^2 \alpha$:

$cos^2 \alpha = 1 - sin^2 \alpha$

Подставим известное значение $sin \alpha = \frac{3}{8}$:

$cos^2 \alpha = 1 - (\frac{3}{8})^2 = 1 - \frac{9}{64} = \frac{64}{64} - \frac{9}{64} = \frac{55}{64}$

Находим $cos \alpha$, извлекая квадратный корень:

$cos \alpha = \pm\sqrt{\frac{55}{64}} = \pm\frac{\sqrt{55}}{8}$

Так как четверть, в которой находится угол $\alpha$, не задана, косинус может принимать как положительное, так и отрицательное значение.

Ответ: $\pm\frac{\sqrt{55}}{8}$.

4. Сравните с нулём значение выражения:

1) $\cos 14^\circ \operatorname{tg} 102^\circ;$

2) $\cos 175^\circ \sin 180^\circ \operatorname{ctg} 12^\circ.$

4. Сравните с нулём значение выражения:

1) $\cos 14^\circ \operatorname{tg} 102^\circ$;

2) $\cos 175^\circ \sin 180^\circ \operatorname{ctg} 12^\circ$.

1) cos 14° tg 102°

Чтобы сравнить значение выражения с нулём, необходимо определить знаки тригонометрических функций для данных углов.

1. Определим знак $\cos(14^\circ)$. Угол $14^\circ$ находится в первой координатной четверти ($0^\circ < 14^\circ < 90^\circ$). В этой четверти косинус имеет положительное значение. Следовательно, $\cos(14^\circ) > 0$.

2. Определим знак $\tan(102^\circ)$. Угол $102^\circ$ находится во второй координатной четверти ($90^\circ < 102^\circ < 180^\circ$). В этой четверти тангенс имеет отрицательное значение. Следовательно, $\tan(102^\circ) < 0$.

3. Теперь найдём знак всего выражения. Мы перемножаем положительное число ($\cos(14^\circ)$) на отрицательное число ($\tan(102^\circ)$). Произведение положительного и отрицательного чисел всегда отрицательно.

$(+) \cdot (-) = (-)$

Таким образом, $\cos(14^\circ) \tan(102^\circ) < 0$.

Ответ: $\cos(14^\circ) \tan(102^\circ) < 0$.

2) cos 175° sin 180° ctg 12°

Чтобы сравнить значение этого выражения с нулём, рассмотрим каждый из множителей.

1. Множитель $\sin(180^\circ)$ является табличным значением. Известно, что $\sin(180^\circ) = 0$.

2. Поскольку один из множителей в произведении равен нулю, всё произведение будет равно нулю, независимо от значений других множителей.

$\cos(175^\circ) \cdot \sin(180^\circ) \cdot \cot(12^\circ) = \cos(175^\circ) \cdot 0 \cdot \cot(12^\circ) = 0$.

Таким образом, значение выражения равно нулю.

Ответ: $\cos(175^\circ) \sin(180^\circ) \cot(12^\circ) = 0$.

5. Найдите значение выражения:

1) $ \sin 150^\circ \cos 135^\circ \tan 120^\circ $;

2) $ \cot^2 150^\circ - 2\sin^2 135^\circ + 6\sin 0^\circ \tan 179^\circ $.

5. Найдите значение выражения:

1) $\sin 150^\circ \cos 135^\circ \text{tg } 120^\circ$;

2) $\text{ctg}^2 150^\circ - 2\sin^2 135^\circ + 6\sin 0^\circ \text{tg } 179^\circ$.

1) $\sin 150^\circ \cos 135^\circ \tg 120^\circ$

Для решения этого примера необходимо найти значения каждой тригонометрической функции, используя формулы приведения. Формулы приведения позволяют свести вычисление тригонометрических функций от произвольных углов к вычислению их значений для углов в пределах от $0^\circ$ до $90^\circ$.

Найдем значение $\sin 150^\circ$:

Угол $150^\circ$ находится во второй четверти, где синус положителен. Используем формулу приведения $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$:

$\sin 150^\circ = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$

Найдем значение $\cos 135^\circ$:

Угол $135^\circ$ находится во второй четверти, где косинус отрицателен. Используем формулу приведения $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos \alpha$:

$\cos 135^\circ = \cos(180^\circ - 45^\circ) = -\cos 45^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Найдем значение $\tg 120^\circ$:

Угол $120^\circ$ находится во второй четверти, где тангенс отрицателен. Используем формулу приведения $\tg(180^\circ - \alpha) = -\tg \alpha$:

$\tg 120^\circ = \tg(180^\circ - 60^\circ) = -\tg 60^\circ = -\sqrt{3}$

Теперь перемножим полученные значения:

$\sin 150^\circ \cos 135^\circ \tg 120^\circ = \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot (-\sqrt{3}) = \frac{1 \cdot (-\sqrt{2}) \cdot (-\sqrt{3})}{2 \cdot 2} = \frac{\sqrt{6}}{4}$

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{4}$

2) $\text{ctg}^2 150^\circ - 2\sin^2 135^\circ + 6\sin 0^\circ \tg 179^\circ$

Решим это выражение по частям, вычисляя значение каждого слагаемого.

Вычислим первое слагаемое $\text{ctg}^2 150^\circ$:

Сначала найдем значение $\text{ctg} 150^\circ$. Угол $150^\circ$ находится во второй четверти, где котангенс отрицателен. Используем формулу приведения $\text{ctg}(180^\circ - \alpha) = -\text{ctg} \alpha$:

$\text{ctg} 150^\circ = \text{ctg}(180^\circ - 30^\circ) = -\text{ctg} 30^\circ = -\sqrt{3}$

Теперь возведем в квадрат:

$\text{ctg}^2 150^\circ = (-\sqrt{3})^2 = 3$

Вычислим второе слагаемое $2\sin^2 135^\circ$:

Сначала найдем значение $\sin 135^\circ$. Угол $135^\circ$ находится во второй четверти, где синус положителен. Используем формулу приведения $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$:

$\sin 135^\circ = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Теперь возведем в квадрат и умножим на 2:

$2\sin^2 135^\circ = 2 \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 2 \cdot \frac{2}{4} = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$

Вычислим третье слагаемое $6\sin 0^\circ \tg 179^\circ$:

Значение синуса нуля градусов равно нулю:

$\sin 0^\circ = 0$

При умножении любого числа на ноль получается ноль. Поэтому нам не требуется вычислять значение $\tg 179^\circ$:

$6\sin 0^\circ \tg 179^\circ = 6 \cdot 0 \cdot \tg 179^\circ = 0$

Теперь подставим все найденные значения в исходное выражение:

$\text{ctg}^2 150^\circ - 2\sin^2 135^\circ + 6\sin 0^\circ \tg 179^\circ = 3 - 1 + 0 = 2$

Ответ: $2$

6. Найдите значение выражения, не пользуясь таблицами и калькулятором:

1) $\frac{\cos 11^\circ}{\cos 169^\circ} - \frac{\sin 112^\circ}{\sin 68^\circ}$

2) $\frac{\text{tg} 133^\circ}{\text{tg} 47^\circ} - \frac{\text{ctg} 152^\circ}{\text{ctg} 128^\circ}$

6. Найдите значение выражения, не пользуясь таблицами и калькулятором:

1) $\frac{\cos 11^\circ}{\cos 169^\circ} - \frac{\sin 112^\circ}{\sin 68^\circ}$;

2) $\frac{\operatorname{tg} 133^\circ}{\operatorname{tg} 47^\circ} - \frac{\operatorname{ctg} 152^\circ}{\operatorname{ctg} 128^\circ}$.

1) $\frac{\cos{11^\circ}}{\cos{169^\circ}} - \frac{\sin{112^\circ}}{\sin{68^\circ}}$

Для решения этой задачи воспользуемся формулами приведения, которые позволяют упрощать тригонометрические функции углов, превышающих $90^\circ$.

Рассмотрим первую дробь: $\frac{\cos{11^\circ}}{\cos{169^\circ}}$.

Угол в знаменателе, $169^\circ$, можно представить как $180^\circ - 11^\circ$. Применим формулу приведения $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)$.

Таким образом, $\cos(169^\circ) = \cos(180^\circ - 11^\circ) = -\cos(11^\circ)$.

Подставим это значение в первую дробь: $\frac{\cos{11^\circ}}{-\cos{11^\circ}} = -1$.

Теперь рассмотрим вторую дробь: $\frac{\sin{112^\circ}}{\sin{68^\circ}}$.

Угол в числителе, $112^\circ$, можно представить как $180^\circ - 68^\circ$. Применим формулу приведения $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)$.

Таким образом, $\sin(112^\circ) = \sin(180^\circ - 68^\circ) = \sin(68^\circ)$.

Подставим это значение во вторую дробь: $\frac{\sin{68^\circ}}{\sin{68^\circ}} = 1$.

Наконец, найдем значение всего выражения, подставив полученные значения дробей:

$-1 - 1 = -2$.

Ответ: -2.

2) $\frac{\tan{133^\circ}}{\tan{47^\circ}} - \frac{\cot{152^\circ}}{\cot{128^\circ}}$

Решим задачу по частям, используя формулы приведения.

Сначала упростим первую дробь: $\frac{\tan{133^\circ}}{\tan{47^\circ}}$.

Угол $133^\circ$ можно представить как $180^\circ - 47^\circ$. По формуле приведения $\tan(180^\circ - \alpha) = -\tan(\alpha)$, получаем:

$\tan(133^\circ) = \tan(180^\circ - 47^\circ) = -\tan(47^\circ)$.

Следовательно, первая дробь равна $\frac{-\tan{47^\circ}}{\tan{47^\circ}} = -1$.

Теперь рассмотрим вторую дробь: $\frac{\cot{152^\circ}}{\cot{128^\circ}}$.

Упростим числитель и знаменатель с помощью формул приведения:

$\cot(152^\circ) = \cot(180^\circ - 28^\circ) = -\cot(28^\circ)$.

$\cot(128^\circ) = \cot(180^\circ - 52^\circ) = -\cot(52^\circ)$.

Подставив эти значения в дробь, получим: $\frac{-\cot(28^\circ)}{-\cot(52^\circ)} = \frac{\cot(28^\circ)}{\cot(52^\circ)}$.

Это выражение не упрощается до целого или простого рационального числа без использования калькулятора, что нетипично для задач такого типа. Вероятнее всего, в условии допущена опечатка. В подобных задачах углы обычно связаны соотношениями, которые позволяют провести сокращение (например, их сумма равна $180^\circ$ или $90^\circ$). Наиболее вероятная опечатка заключается в том, что угол в знаменателе второй дроби должен быть $28^\circ$ вместо $128^\circ$, так как в этом случае углы в числителе и знаменателе становятся смежными ($152^\circ + 28^\circ = 180^\circ$), что соответствует структуре первой дроби.

Решим задачу с предполагаемым исправлением. Выражение принимает вид: $\frac{\tan{133^\circ}}{\tan{47^\circ}} - \frac{\cot{152^\circ}}{\cot{28^\circ}}$.

Первая дробь, как мы уже выяснили, равна $-1$.

Вторая дробь теперь равна: $\frac{\cot(152^\circ)}{\cot(28^\circ)} = \frac{\cot(180^\circ - 28^\circ)}{\cot(28^\circ)} = \frac{-\cot(28^\circ)}{\cot(28^\circ)} = -1$.

Итоговое значение выражения: $-1 - (-1) = -1 + 1 = 0$.

Ответ: 0 (при предположении, что в условии задачи опечатка и вместо $\cot{128^\circ}$ должно быть $\cot{28^\circ}$).

7. Найдите сторону AB треугольника ABC, если:

1) $BC = 5$ см, $AC = 4\sqrt{2}$ см, $\angle C = 45^\circ$;

2) $BC = 8$ см, $AC = 3\sqrt{3}$ см, $\angle C = 150^\circ$.

7. Найдите сторону $AB$ треугольника $ABC$, если:

1) $BC = 5 \text{ см}$, $AC = 4\sqrt{2} \text{ см}$, $\angle C = 45^\circ$;

2) $BC = 8 \text{ см}$, $AC = 3\sqrt{3} \text{ см}$, $\angle C = 150^\circ$.

Для нахождения стороны $AB$ в обоих случаях используется теорема косинусов. Теорема косинусов утверждает, что квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Формула для нахождения стороны $AB$ (обозначим ее как $c$) через стороны $BC$ (обозначим как $a$) и $AC$ (обозначим как $b$) и угол $\angle C$ между ними выглядит так:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\angle C)$

Или, используя обозначения из задачи:

$AB^2 = BC^2 + AC^2 - 2 \cdot BC \cdot AC \cdot \cos(\angle C)$

1) Дано: $BC = 5$ см, $AC = 4\sqrt{2}$ см, $\angle C = 45^\circ$.

Подставляем значения в формулу теоремы косинусов:

$AB^2 = 5^2 + (4\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 5 \cdot 4\sqrt{2} \cdot \cos(45^\circ)$

Вычисляем квадраты сторон и значение косинуса:

$5^2 = 25$

$(4\sqrt{2})^2 = 16 \cdot 2 = 32$

$\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Подставляем вычисленные значения обратно в формулу:

$AB^2 = 25 + 32 - 2 \cdot 5 \cdot 4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$AB^2 = 57 - 40\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$AB^2 = 57 - \frac{40 \cdot (\sqrt{2} \cdot \sqrt{2})}{2}$

$AB^2 = 57 - \frac{40 \cdot 2}{2}$

$AB^2 = 57 - 40$

$AB^2 = 17$

Извлекаем квадратный корень, чтобы найти длину стороны $AB$:

$AB = \sqrt{17}$ см.

Ответ: $\sqrt{17}$ см.

2) Дано: $BC = 8$ см, $AC = 3\sqrt{3}$ см, $\angle C = 150^\circ$.

Снова подставляем значения в формулу теоремы косинусов:

$AB^2 = 8^2 + (3\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 8 \cdot 3\sqrt{3} \cdot \cos(150^\circ)$

Вычисляем квадраты сторон и значение косинуса:

$8^2 = 64$

$(3\sqrt{3})^2 = 9 \cdot 3 = 27$

$\cos(150^\circ) = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Подставляем вычисленные значения обратно в формулу:

$AB^2 = 64 + 27 - 2 \cdot 8 \cdot 3\sqrt{3} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})$

$AB^2 = 91 - 48\sqrt{3} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})$

$AB^2 = 91 + \frac{48\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2}$

$AB^2 = 91 + \frac{48 \cdot 3}{2}$

$AB^2 = 91 + \frac{144}{2}$

$AB^2 = 91 + 72$

$AB^2 = 163$

Извлекаем квадратный корень, чтобы найти длину стороны $AB$:

$AB = \sqrt{163}$ см.

Ответ: $\sqrt{163}$ см.