Страница 70 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

19. Одна из сторон параллелограмма на 4 см меньше другой, а его диагонали равны 14 см и 12 см. Найдите стороны параллелограмма.

19. Одна из сторон параллелограмма на 4 см меньше другой, а его диагонали равны 14 см и 12 см. Найдите стороны параллелограмма.

Решение

Для решения задачи воспользуемся свойством параллелограмма, согласно которому сумма квадратов его диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон. Если обозначить стороны параллелограмма как $a$ и $b$, а диагонали как $d_1$ и $d_2$, то формула будет выглядеть следующим образом:

$d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$

По условию задачи нам даны длины диагоналей: $d_1 = 14$ см и $d_2 = 12$ см.

Также известно, что одна из сторон на 4 см меньше другой. Обозначим длину одной стороны как $x$ см. Тогда длина другой стороны будет $(x + 4)$ см.

Теперь подставим все известные значения в формулу:

$14^2 + 12^2 = 2(x^2 + (x + 4)^2)$

Выполним вычисления в левой части уравнения:

$196 + 144 = 340$

Уравнение принимает вид:

$340 = 2(x^2 + (x + 4)^2)$

Разделим обе части уравнения на 2:

$170 = x^2 + (x + 4)^2$

Раскроем квадрат суммы в правой части: $(x + 4)^2 = x^2 + 8x + 16$.

$170 = x^2 + x^2 + 8x + 16$

Приведем подобные слагаемые:

$170 = 2x^2 + 8x + 16$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$2x^2 + 8x + 16 - 170 = 0$

$2x^2 + 8x - 154 = 0$

Для упрощения разделим все уравнение на 2:

$x^2 + 4x - 77 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-77) = 16 + 308 = 324$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-4 + \sqrt{324}}{2} = \frac{-4 + 18}{2} = \frac{14}{2} = 7$

$x_2 = \frac{-4 - \sqrt{324}}{2} = \frac{-4 - 18}{2} = \frac{-22}{2} = -11$

Поскольку длина стороны геометрической фигуры не может быть отрицательной, корень $x_2 = -11$ не является решением задачи.

Таким образом, длина одной стороны равна $x = 7$ см.

Длина второй стороны равна $x + 4 = 7 + 4 = 11$ см.

Ответ: стороны параллелограмма равны 7 см и 11 см.

20. В четырёхугольнике $ABCD$ $AB = CD = 13$ см, $BC = 11$ см, $AD = 21$ см. Найдите диагональ $BD$, если около четырёхугольника $ABCD$ можно описать окружность.

20. В четырёхугольнике $ABCD$ $AB = CD = 13$ см, $BC = 11$ см, $AD = 21$ см. Найдите диагональ $BD$, если около четырёхугольника $ABCD$ можно описать окружность.

Поскольку около четырёхугольника $ABCD$ можно описать окружность, он является вписанным. Одно из свойств вписанного четырёхугольника заключается в том, что сумма его противоположных углов равна $180^\circ$. Таким образом, $\angle A + \angle C = 180^\circ$. Из этого следует, что $\cos C = \cos(180^\circ - A) = -\cos A$.

Мы можем выразить диагональ $BD$ через стороны и углы в двух треугольниках: $\triangle ABD$ и $\triangle BCD$, используя теорему косинусов.

1. В треугольнике $ABD$ по теореме косинусов:

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos A$

Подставим известные значения сторон ($AB = 13$ см, $AD = 21$ см):

$BD^2 = 13^2 + 21^2 - 2 \cdot 13 \cdot 21 \cdot \cos A$

$BD^2 = 169 + 441 - 546 \cos A$

$BD^2 = 610 - 546 \cos A$ (1)

2. В треугольнике $BCD$ по теореме косинусов:

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos C$

Подставим известные значения сторон ($BC = 11$ см, $CD = 13$ см):

$BD^2 = 11^2 + 13^2 - 2 \cdot 11 \cdot 13 \cdot \cos C$

$BD^2 = 121 + 169 - 286 \cos C$

$BD^2 = 290 - 286 \cos C$

Используя соотношение $\cos C = -\cos A$, получим:

$BD^2 = 290 - 286(-\cos A) = 290 + 286 \cos A$ (2)

Теперь у нас есть два выражения для $BD^2$. Приравняем правые части уравнений (1) и (2):

$610 - 546 \cos A = 290 + 286 \cos A$

Решим это уравнение относительно $\cos A$:

$610 - 290 = 546 \cos A + 286 \cos A$

$320 = 832 \cos A$

$\cos A = \frac{320}{832}$

Сократим дробь. Оба числа делятся на 64 ($320 = 5 \cdot 64$, $832 = 13 \cdot 64$):

$\cos A = \frac{5 \cdot 64}{13 \cdot 64} = \frac{5}{13}$

Теперь подставим найденное значение $\cos A$ в любое из уравнений для $BD^2$. Используем уравнение (2):

$BD^2 = 290 + 286 \cos A = 290 + 286 \cdot \frac{5}{13}$

$BD^2 = 290 + 22 \cdot 5$

$BD^2 = 290 + 110$

$BD^2 = 400$

Отсюда находим длину диагонали $BD$:

$BD = \sqrt{400} = 20$ см.

Ответ: 20 см.

21. В трапеции $ABCD$ ($AD \parallel BC$) $AB = 7$ см, $BC = 8$ см, $CD = 11$ см, $AD = 14$ см. Найдите косинус угла $D$ трапеции.

21. В трапеции $ABCD$ ($AD \parallel BC$) $AB = 7$ см, $BC = 8$ см, $CD = 11$ см, $AD = 14$ см. Найдите косинус угла $D$ трапеции.

Дано: трапеция $ABCD$, основания $AD \parallel BC$, $AB = 7$ см, $BC = 8$ см, $CD = 11$ см, $AD = 14$ см.

Для нахождения косинуса угла $D$ выполним дополнительное построение. Проведём из вершины $C$ отрезок $CE$, параллельный боковой стороне $AB$, так, что точка $E$ лежит на основании $AD$.

Рассмотрим получившийся четырёхугольник $ABCE$. Так как $BC \parallel AD$ (по определению трапеции), то $BC \parallel AE$. По построению $AB \parallel CE$. Следовательно, $ABCE$ — параллелограмм.

По свойству параллелограмма, его противоположные стороны равны:

$AE = BC = 8$ см,

$CE = AB = 7$ см.

Теперь мы можем найти длину отрезка $ED$ на основании $AD$:

$ED = AD - AE = 14 - 8 = 6$ см.

Рассмотрим треугольник $CDE$. В этом треугольнике известны длины всех трёх сторон:

$CD = 11$ см,

$CE = 7$ см,

$ED = 6$ см.

Угол $D$ трапеции совпадает с углом $CDE$ треугольника $CDE$. Чтобы найти косинус этого угла, воспользуемся теоремой косинусов, согласно которой квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Применительно к треугольнику $CDE$ и углу $D$, теорема косинусов выглядит так:

$CE^2 = CD^2 + ED^2 - 2 \cdot CD \cdot ED \cdot \cos(\angle D)$

Подставим известные значения в формулу:

$7^2 = 11^2 + 6^2 - 2 \cdot 11 \cdot 6 \cdot \cos(\angle D)$

$49 = 121 + 36 - 132 \cdot \cos(\angle D)$

$49 = 157 - 132 \cdot \cos(\angle D)$

Теперь выразим из уравнения $132 \cdot \cos(\angle D)$:

$132 \cdot \cos(\angle D) = 157 - 49$

$132 \cdot \cos(\angle D) = 108$

Найдём значение $\cos(\angle D)$:

$\cos(\angle D) = \frac{108}{132}$

Сократим полученную дробь на их наибольший общий делитель, который равен 12:

$\cos(\angle D) = \frac{108 \div 12}{132 \div 12} = \frac{9}{11}$

Ответ: $\frac{9}{11}$

22. Стороны треугольника равны 9 см, 16 см и 20 см. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины его наименьшего угла.

22. Стороны треугольника равны 9 см, 16 см и 20 см. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины его наименьшего угла.

Пусть стороны треугольника равны $a = 9$ см, $b = 16$ см и $c = 20$ см.

В треугольнике напротив меньшей стороны лежит меньший угол. Наименьшая сторона – $a = 9$ см. Следовательно, необходимо найти длину биссектрисы, проведенной из вершины угла, противолежащего этой стороне. Обозначим эту биссектрису $l_a$.

Длину биссектрисы можно вычислить по формуле: $l_a^2 = bc - mn$, где $b$ и $c$ – стороны, образующие угол, из которого проведена биссектриса, а $m$ и $n$ – отрезки, на которые биссектриса делит противолежащую сторону $a$.

По свойству биссектрисы треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: $\frac{m}{n} = \frac{c}{b}$.

В нашем случае прилежащие стороны $b = 16$ см и $c = 20$ см. Противолежащая сторона $a = 9$ см, значит $m + n = 9$.

Составим и решим систему уравнений. Из пропорции $\frac{m}{n} = \frac{20}{16} = \frac{5}{4}$ получаем $m = \frac{5}{4}n$.

Подставим это выражение в уравнение $m + n = 9$:
$\frac{5}{4}n + n = 9$
$\frac{9}{4}n = 9$
$n = 4$ см.

Теперь найдем $m$:
$m = 9 - n = 9 - 4 = 5$ см.

Теперь, зная все необходимые значения, вычислим длину биссектрисы $l_a$:
$l_a^2 = b \cdot c - m \cdot n = 16 \cdot 20 - 5 \cdot 4 = 320 - 20 = 300$.

Отсюда, $l_a = \sqrt{300} = \sqrt{100 \cdot 3} = 10\sqrt{3}$ см.

Ответ: $10\sqrt{3}$ см.

23. Стороны треугольника равны 6 см, 7 см и 11 см. Найдите медиану треугольника, проведённую к его наибольшей стороне.

23. Стороны треугольника равны 6 см, 7 см и 11 см. Найдите медиану треугольника, проведённую к его наибольшей стороне.

Для решения задачи воспользуемся формулой для нахождения длины медианы треугольника через его стороны. Пусть стороны треугольника равны $a, b, c$. Длина медианы $m_c$, проведенной к стороне $c$, вычисляется по формуле:

$m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}$

По условию задачи, стороны треугольника равны $6$ см, $7$ см и $11$ см. Наибольшая сторона — $11$ см. Обозначим стороны следующим образом:

$a = 6$ см
$b = 7$ см
$c = 11$ см (наибольшая сторона, к которой проведена медиана)

Теперь подставим значения длин сторон в формулу для нахождения медианы $m_c$:

$m_{11} = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 6^2 + 2 \cdot 7^2 - 11^2}$

Выполним вычисления поэтапно:

$m_{11} = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 36 + 2 \cdot 49 - 121}$

$m_{11} = \frac{1}{2}\sqrt{72 + 98 - 121}$

$m_{11} = \frac{1}{2}\sqrt{170 - 121}$

$m_{11} = \frac{1}{2}\sqrt{49}$

$m_{11} = \frac{1}{2} \cdot 7$

$m_{11} = 3,5$

Следовательно, длина медианы, проведённой к наибольшей стороне треугольника, равна 3,5 см.

Ответ: 3,5.

24. Основание равнобедренного треугольника равно 10 см, а медиана, проведённая к боковой стороне, — 8 см. Найдите боковую сторону треугольника.

24. Основание равнобедренного треугольника равно 10 см, а медиана, проведённая к боковой стороне, — 8 см. Найдите боковую сторону треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором основание $AC = 10$ см, а боковые стороны $AB = BC$. Обозначим длину боковой стороны за $x$, то есть $AB = BC = x$.

Пусть $AM$ — медиана, проведённая к боковой стороне $BC$. По условию, длина этой медианы равна $8$ см, то есть $AM = 8$ см.

Воспользуемся формулой для длины медианы треугольника. Длина медианы $m_a$, проведённой к стороне $a$, в треугольнике со сторонами $a, b, c$ вычисляется по формуле:$m_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}$

В нашем случае медиана $AM$ проведена к стороне $BC$. Применим формулу к треугольнику $ABC$, где:

• Сторона, к которой проведена медиана: $BC = x$
• Две другие стороны: $AB = x$ и $AC = 10$
• Длина медианы: $AM = 8$

Подставим эти значения в формулу, где $AM$ является медианой к стороне $BC$:$AM^2 = \frac{2(AB^2) + 2(AC^2) - BC^2}{4}$$8^2 = \frac{2x^2 + 2(10^2) - x^2}{4}$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$:$64 = \frac{2x^2 + 2 \cdot 100 - x^2}{4}$$64 = \frac{x^2 + 200}{4}$

Умножим обе части уравнения на 4:$64 \cdot 4 = x^2 + 200$$256 = x^2 + 200$

Выразим $x^2$:$x^2 = 256 - 200$$x^2 = 56$

Найдём $x$, взяв квадратный корень. Так как $x$ — это длина стороны, нас интересует только положительное значение:$x = \sqrt{56}$$x = \sqrt{4 \cdot 14}$$x = 2\sqrt{14}$ см.

Таким образом, длина боковой стороны треугольника равна $2\sqrt{14}$ см.

Ответ: $2\sqrt{14}$ см.

25. Стороны треугольника равны $5\sqrt{2}$ см и 2 см, а угол между ними — $45^\circ$. Найдите медиану треугольника, проведённую к его третьей стороне.

25. Стороны треугольника равны $5\sqrt{2}$ см и 2 см, а угол между ними — $45^\circ$. Найдите медиану треугольника, проведённую к его третьей стороне.

Пусть в треугольнике известны две стороны $b = 5\sqrt{2}$ см и $c = 2$ см, и угол $\alpha = 45^\circ$ между ними. Требуется найти медиану $m_a$, проведенную к третьей стороне $a$. Решение можно разбить на два этапа.

1. Нахождение длины третьей стороны $a$.
Для нахождения длины третьей стороны воспользуемся теоремой косинусов, которая устанавливает соотношение между сторонами треугольника и косинусом одного из его углов:
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha$
Подставим в формулу известные значения:
$a^2 = (5\sqrt{2})^2 + 2^2 - 2 \cdot 5\sqrt{2} \cdot 2 \cdot \cos 45^\circ$
Так как $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, уравнение примет вид:
$a^2 = (25 \cdot 2) + 4 - 20\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$
$a^2 = 50 + 4 - 20 \cdot \frac{2}{2}$
$a^2 = 54 - 20$
$a^2 = 34$

2. Нахождение длины медианы $m_a$.
Длину медианы, проведенной к стороне $a$, можно вычислить по формуле:
$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}$
Подставим в эту формулу известные значения для $b$ и $c$, а также найденное значение для $a^2$:
$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot (5\sqrt{2})^2 + 2 \cdot 2^2 - 34}$
$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 50 + 2 \cdot 4 - 34}$
$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{100 + 8 - 34}$
$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{74}$
$m_a = \frac{\sqrt{74}}{2}$ см.

Ответ: $\frac{\sqrt{74}}{2}$ см.

26. В треугольнике $ABC$ $AB = 14$ см, $AC = 22$ см. Найдите сторону $BC$ и медиану $AM$, если $AM : BC = 3 : 7$.

26. В треугольнике $ABC$ $AB = 14$ см, $AC = 22$ см. Найдите сторону $BC$ и медиану $AM$, если $AM : BC = 3 : 7$.

Для решения задачи воспользуемся формулой длины медианы треугольника. Медиана $m_a$, проведенная к стороне $a$ (в нашем случае медиана $AM$ к стороне $BC$), связана со сторонами треугольника $a, b, c$ следующим соотношением:

$m_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}$

По условию, в треугольнике $ABC$ стороны $AB = c = 14$ см, $AC = b = 22$ см. Также дано отношение $AM : BC = 3 : 7$.

Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда можем выразить длины медианы $AM$ и стороны $BC$ через $x$:

$AM = m_a = 3x$

$BC = a = 7x$

Подставим все известные значения в формулу длины медианы:

$(3x)^2 = \frac{2 \cdot (22)^2 + 2 \cdot (14)^2 - (7x)^2}{4}$

Решим полученное уравнение относительно $x$:

$9x^2 = \frac{2 \cdot 484 + 2 \cdot 196 - 49x^2}{4}$

$9x^2 = \frac{968 + 392 - 49x^2}{4}$

$9x^2 = \frac{1360 - 49x^2}{4}$

Умножим обе части уравнения на 4:

$36x^2 = 1360 - 49x^2$

Перенесем члены с $x^2$ в левую часть уравнения:

$36x^2 + 49x^2 = 1360$

$85x^2 = 1360$

$x^2 = \frac{1360}{85} = 16$

Поскольку длина не может быть отрицательной, находим положительное значение $x$:

$x = \sqrt{16} = 4$

Зная значение коэффициента $x$, мы можем найти искомые величины.

Сторона BC

Длина стороны $BC$ выражается как $7x$. Подставляем найденное значение $x=4$:

$BC = 7 \cdot 4 = 28$ см.

Ответ: $BC = 28$ см.

Медиана AM

Длина медианы $AM$ выражается как $3x$. Подставляем найденное значение $x=4$:

$AM = 3 \cdot 4 = 12$ см.

Ответ: $AM = 12$ см.

27. Сторона треугольника равна 20 см, а медианы, проведённые к двум другим сторонам, — 21 см и 24 см. Найдите третью медиану треугольника.

27. Сторона треугольника равна 20 см, а медианы, проведённые к двум другим сторонам, — 21 см и 24 см. Найдите третью медиану треугольника.

Пусть дан треугольник, в котором сторона $a = 20$ см, а медианы, проведенные к двум другим сторонам, равны $m_b = 21$ см и $m_c = 24$ см. Требуется найти длину третьей медианы $m_a$.

Все медианы треугольника пересекаются в одной точке $O$, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Пусть медианы из вершин $B$ и $C$ пересекаются в точке $O$. Тогда мы можем найти длины отрезков $BO$ и $CO$:

$BO = \frac{2}{3} m_b = \frac{2}{3} \cdot 21 = 14$ см.

$CO = \frac{2}{3} m_c = \frac{2}{3} \cdot 24 = 16$ см.

Рассмотрим треугольник $BOC$. Его стороны равны $BO = 14$ см, $CO = 16$ см, и $BC = a = 20$ см. Третья медиана $m_a$ проводится из вершины $A$ к середине стороны $BC$. Обозначим середину стороны $BC$ как $A_1$. Тогда отрезок $OA_1$ является медианой треугольника $BOC$, проведенной из вершины $O$ к стороне $BC$.

Для нахождения длины медианы треугольника воспользуемся формулой, выражающей ее через длины сторон. Для медианы $m_z$, проведенной к стороне $z$, формула имеет вид:

$m_z^2 = \frac{2x^2 + 2y^2 - z^2}{4}$

Применим эту формулу для нахождения длины медианы $OA_1$ в треугольнике $BOC$ со сторонами $BO=14$, $CO=16$ и $BC=20$:

$OA_1^2 = \frac{2 \cdot (BO)^2 + 2 \cdot (CO)^2 - (BC)^2}{4} = \frac{2 \cdot 14^2 + 2 \cdot 16^2 - 20^2}{4}$

$OA_1^2 = \frac{2 \cdot 196 + 2 \cdot 256 - 400}{4} = \frac{392 + 512 - 400}{4} = \frac{504}{4} = 126$

Таким образом, длина отрезка $OA_1 = \sqrt{126}$ см.

По свойству точки пересечения медиан, отрезок $OA_1$ составляет $\frac{1}{3}$ от всей длины медианы $m_a$. То есть, $m_a = 3 \cdot OA_1$.

$m_a = 3 \cdot \sqrt{126}$

Упростим корень из 126:

$\sqrt{126} = \sqrt{9 \cdot 14} = 3\sqrt{14}$

Подставим упрощенное значение обратно в выражение для $m_a$:

$m_a = 3 \cdot 3\sqrt{14} = 9\sqrt{14}$ см.

Ответ: $9\sqrt{14}$ см.

28. В треугольнике $ABC$ $AB = 7\sqrt{2}$ см, $\angle B = 60^{\circ}$, $\angle C = 45^{\circ}$.

Найдите сторону $AC$.

28. В треугольнике $ABC$ $AB = 7\sqrt{2}$ см, $\angle B = 60^\circ$, $\angle C = 45^\circ$.

Найдите сторону $AC$.

Для нахождения стороны $AC$ треугольника $ABC$ воспользуемся теоремой синусов. Теорема синусов гласит, что отношение сторон треугольника к синусам противолежащих им углов равно:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

В нашем случае:

• Сторона $AB$ лежит напротив угла $C$, поэтому $c = AB = 7\sqrt{2}$ см.
• Сторона $AC$ лежит напротив угла $B$, поэтому мы ищем сторону $b = AC$.
• Угол $\angle B = 60^\circ$.
• Угол $\angle C = 45^\circ$.

Составим пропорцию, используя известные нам данные:

$\frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{AB}{\sin(\angle C)}$

Подставим значения в формулу:

$\frac{AC}{\sin(60^\circ)} = \frac{7\sqrt{2}}{\sin(45^\circ)}$

Теперь выразим $AC$:

$AC = \frac{7\sqrt{2} \cdot \sin(60^\circ)}{\sin(45^\circ)}$

Нам известны значения синусов для данных углов:

$\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Подставим эти значения в наше выражение для $AC$:

$AC = \frac{7\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

Чтобы упростить дробь, мы можем умножить числитель и знаменатель на 2, что приведет к сокращению $\frac{1}{2}$:

$AC = \frac{7\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

Теперь сократим $\sqrt{2}$ в числителе и знаменателе:

$AC = 7\sqrt{3}$

Таким образом, длина стороны $AC$ составляет $7\sqrt{3}$ см.

Ответ: $7\sqrt{3}$ см.

29. В треугольнике ABC $AB = 9\sqrt{3}$ см, $\angle B = 75^\circ$, $\angle C = 60^\circ$. Найдите сторону BC.

29. В треугольнике ABC $AB = 9\sqrt{3}$ см, $\angle B = 75^{\circ}$, $\angle C = 60^{\circ}$. Найдите сторону BC.

Для того чтобы найти сторону $BC$ треугольника $ABC$, воспользуемся теоремой синусов. Но сначала необходимо найти величину угла $A$, противолежащего искомой стороне.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Следовательно, угол $A$ можно вычислить следующим образом:

$\angle A = 180^\circ - (\angle B + \angle C) = 180^\circ - (75^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$.

Теперь применим теорему синусов, которая гласит, что стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:

$\frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A}$

Выразим из этой пропорции сторону $BC$:

$BC = \frac{AB \cdot \sin A}{\sin C}$

Подставим известные значения: $AB = 9\sqrt{3}$ см, $\angle A = 45^\circ$, $\angle C = 60^\circ$.

$BC = \frac{9\sqrt{3} \cdot \sin 45^\circ}{\sin 60^\circ}$

Используем табличные значения синусов: $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$BC = \frac{9\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

Упростим полученное выражение, умножив числитель на дробь, обратную знаменателю:

$BC = 9\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 9\sqrt{2}$ см.

Ответ: $9\sqrt{2}$ см.

30. Найдите угол $B$ треугольника $ABC$, если:

1) $AC = 2$ см, $BC = \sqrt{6}$ см, $\angle A = 60^{\circ}$;

2) $AC = 9$ см, $BC = 3\sqrt{3}$ см, $\angle A = 30^{\circ}$.

Сколько решений в каждом случае имеет задача?

30. Найдите угол $B$ треугольника $ABC$, если:

1) $AC = 2 \text{ см}$, $BC = \sqrt{6} \text{ см}$, $\angle A = 60^\circ$;

2) $AC = 9 \text{ см}$, $BC = 3\sqrt{3} \text{ см}$, $\angle A = 30^\circ$.

Сколько решений в каждом случае имеет задача?

1)

В треугольнике ABC известны стороны $AC = 2$ см, $BC = \sqrt{6}$ см и угол $\angle A = 60^\circ$. Сторона AC (обозначим ее как $b$) лежит напротив угла B, а сторона BC (обозначим ее как $a$) - напротив угла A. Для нахождения угла B воспользуемся теоремой синусов:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$

Подставим известные значения:

$\frac{\sqrt{6}}{\sin 60^\circ} = \frac{2}{\sin B}$

Выразим $\sin B$:

$\sin B = \frac{2 \cdot \sin 60^\circ}{\sqrt{6}}$

Зная, что $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$\sin B = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Уравнение $\sin B = \frac{\sqrt{2}}{2}$ имеет два возможных решения для угла в треугольнике: $\angle B_1 = 45^\circ$ или $\angle B_2 = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

Проверим, может ли существовать треугольник в каждом из этих случаев. Сумма двух углов в треугольнике должна быть меньше $180^\circ$.

Случай 1: $\angle B = 45^\circ$.
Сумма углов A и B: $\angle A + \angle B = 60^\circ + 45^\circ = 105^\circ$. Поскольку $105^\circ < 180^\circ$, такой треугольник существует.

Случай 2: $\angle B = 135^\circ$.
Сумма углов A и B: $\angle A + \angle B = 60^\circ + 135^\circ = 195^\circ$. Поскольку $195^\circ > 180^\circ$, такой треугольник существовать не может.

Следовательно, задача имеет только одно решение.

Ответ: $\angle B = 45^\circ$. Задача имеет одно решение.

2)

В треугольнике ABC известны стороны $AC = 9$ см, $BC = 3\sqrt{3}$ см и угол $\angle A = 30^\circ$. Применим теорему синусов:

$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}$

Подставим известные значения:

$\frac{3\sqrt{3}}{\sin 30^\circ} = \frac{9}{\sin B}$

Выразим $\sin B$:

$\sin B = \frac{9 \cdot \sin 30^\circ}{3\sqrt{3}}$

Зная, что $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, получаем:

$\sin B = \frac{9 \cdot \frac{1}{2}}{3\sqrt{3}} = \frac{\frac{9}{2}}{3\sqrt{3}} = \frac{9}{2 \cdot 3\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Уравнение $\sin B = \frac{\sqrt{3}}{2}$ имеет два возможных решения для угла в треугольнике: $\angle B_1 = 60^\circ$ или $\angle B_2 = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Проверим оба случая, убедившись, что сумма углов A и B меньше $180^\circ$.

Случай 1: $\angle B = 60^\circ$.
Сумма углов A и B: $\angle A + \angle B = 30^\circ + 60^\circ = 90^\circ$. Поскольку $90^\circ < 180^\circ$, такой треугольник существует.

Случай 2: $\angle B = 120^\circ$.
Сумма углов A и B: $\angle A + \angle B = 30^\circ + 120^\circ = 150^\circ$. Поскольку $150^\circ < 180^\circ$, такой треугольник тоже существует.

Следовательно, в этом случае задача имеет два решения.

Ответ: $\angle B = 60^\circ$ или $\angle B = 120^\circ$. Задача имеет два решения.