Страница 75 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

69. Диагонали выпуклого четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $K$. Площади треугольников $AKB$, $AKD$ и $CKD$ соответственно равны $4 \text{ см}^2$, $12 \text{ см}^2$ и $9 \text{ см}^2$. Найдите площадь четырёхугольника $ABCD$.

69. Диагонали выпуклого четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $K$. Площади треугольников $AKB$, $AKD$ и $CKD$ соответственно равны $4 \text{ см}^2$, $12 \text{ см}^2$ и $9 \text{ см}^2$. Найдите площадь четырёхугольника $ABCD$.

Диагонали выпуклого четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $K$ и делят его на четыре треугольника: $\triangle AKB$, $\triangle BKC$, $\triangle CKD$ и $\triangle AKD$. Обозначим их площади как $S_{\triangle AKB}$, $S_{\triangle BKC}$, $S_{\triangle CKD}$ и $S_{\triangle AKD}$ соответственно. По условию, нам известны площади трех из них: $S_{\triangle AKB} = 4 \text{ см}^2$, $S_{\triangle AKD} = 12 \text{ см}^2$ и $S_{\triangle CKD} = 9 \text{ см}^2$.

Площадь всего четырехугольника $ABCD$ является суммой площадей этих четырех треугольников: $S_{ABCD} = S_{\triangle AKB} + S_{\triangle BKC} + S_{\triangle CKD} + S_{\triangle AKD}$. Для ее нахождения нам нужно определить площадь треугольника $\triangle BKC$.

Воспользуемся свойством, что отношение площадей треугольников, имеющих общую высоту, равно отношению длин их оснований, к которым эта высота проведена. Рассмотрим треугольники $\triangle AKD$ и $\triangle CKD$. Они имеют общую высоту, опущенную из вершины $D$ на диагональ $AC$. Следовательно, отношение их площадей равно отношению оснований $AK$ и $KC$:

$\frac{S_{\triangle AKD}}{S_{\triangle CKD}} = \frac{AK}{KC}$

Подставляя известные значения, получаем:

$\frac{12}{9} = \frac{AK}{KC} \implies \frac{AK}{KC} = \frac{4}{3}$

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle AKB$ и $\triangle BKC$. Они также имеют общую высоту, опущенную из вершины $B$ на диагональ $AC$. Поэтому для них справедливо аналогичное соотношение:

$\frac{S_{\triangle AKB}}{S_{\triangle BKC}} = \frac{AK}{KC}$

Так как оба отношения площадей равны одному и тому же отношению отрезков $\frac{AK}{KC}$, мы можем их приравнять:

$\frac{S_{\triangle AKB}}{S_{\triangle BKC}} = \frac{S_{\triangle AKD}}{S_{\triangle CKD}}$

Это известное свойство площадей треугольников, на которые выпуклый четырехугольник делится диагоналями: произведение площадей треугольников, прилежащих к противоположным сторонам, равны ($S_{\triangle AKB} \cdot S_{\triangle CKD} = S_{\triangle AKD} \cdot S_{\triangle BKC}$). Подставим известные значения и найдем $S_{\triangle BKC}$:

$\frac{4}{S_{\triangle BKC}} = \frac{12}{9}$

$S_{\triangle BKC} = \frac{4 \cdot 9}{12} = \frac{36}{12} = 3 \text{ см}^2$.

Теперь мы можем найти площадь всего четырехугольника $ABCD$, сложив площади всех четырех треугольников:

$S_{ABCD} = S_{\triangle AKB} + S_{\triangle BKC} + S_{\triangle CKD} + S_{\triangle AKD} = 4 + 3 + 9 + 12 = 28 \text{ см}^2$.

Ответ: $28 \text{ см}^2$.

70. В окружность вписан четырёхугольник, стороны которого последовательно равны 7 см, 24 см, 20 см и 15 см. Найдите площадь четырёхугольника.

70. В окружность вписан четырёхугольник, стороны которого последовательно равны 7 см, 24 см, 20 см и 15 см.

Найдите площадь четырёхугольника.

Для нахождения площади четырехугольника, вписанного в окружность, стороны которого известны, применяется формула Брахмагупты. Пусть стороны четырехугольника последовательно равны $a=7$ см, $b=24$ см, $c=20$ см и $d=15$ см.

Формула Брахмагупты для площади $S$ вписанного четырехугольника выглядит следующим образом:

$S = \sqrt{(p - a)(p - b)(p - c)(p - d)}$

Здесь $p$ — это полупериметр четырехугольника, который вычисляется как сумма длин всех сторон, деленная на два: $p = \frac{a+b+c+d}{2}$.

1. Первым шагом вычислим полупериметр $p$ для нашего четырехугольника:

$p = \frac{7 + 24 + 20 + 15}{2} = \frac{66}{2} = 33$ см.

2. Далее найдем значения выражений, стоящих под корнем в формуле:

$p - a = 33 - 7 = 26$

$p - b = 33 - 24 = 9$

$p - c = 33 - 20 = 13$

$p - d = 33 - 15 = 18$

3. Теперь подставим эти значения в формулу Брахмагупты, чтобы найти площадь $S$:

$S = \sqrt{26 \cdot 9 \cdot 13 \cdot 18}$

Для удобства вычисления разложим множители под корнем:

$S = \sqrt{(2 \cdot 13) \cdot (3^2) \cdot 13 \cdot (2 \cdot 3^2)}$

Сгруппируем одинаковые множители, чтобы упростить извлечение корня:

$S = \sqrt{2^2 \cdot 13^2 \cdot (3^2)^2} = \sqrt{(2 \cdot 13 \cdot 3^2)^2}$

4. Извлекая квадратный корень, получаем окончательное значение площади:

$S = 2 \cdot 13 \cdot 3^2 = 26 \cdot 9 = 234$ см².

Ответ: 234 см².

71. Найдите углы правильного восемнадцатиугольника.

71. Найдите углы правильного восемнадцатиугольника.

Для нахождения углов правильного восемнадцатиугольника, то есть многоугольника с 18 равными сторонами и углами, воспользуемся соответствующими формулами. Число сторон и вершин в данном случае $n = 18$.

Внутренний угол

Величина внутреннего угла ($\alpha$) правильного n-угольника вычисляется по формуле, которая исходит из того, что сумма всех внутренних углов равна $(n-2) \cdot 180^\circ$:

$\alpha = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$

Подставим в эту формулу значение $n = 18$:

$\alpha = \frac{(18-2) \cdot 180^\circ}{18} = \frac{16 \cdot 180^\circ}{18}$

Сократим дробь:

$\alpha = 16 \cdot \frac{180^\circ}{18} = 16 \cdot 10^\circ = 160^\circ$

Внешний угол

Внешний угол ($\beta$) при вершине правильного многоугольника является смежным с внутренним углом, поэтому их сумма равна $180^\circ$.

$\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 160^\circ = 20^\circ$

Также его можно найти, зная, что сумма всех внешних углов любого выпуклого многоугольника равна $360^\circ$. Для правильного n-угольника:

$\beta = \frac{360^\circ}{n} = \frac{360^\circ}{18} = 20^\circ$

Центральный угол

Центральный угол ($\gamma$) — это угол, образованный двумя радиусами описанной окружности, проведенными к соседним вершинам. Его величина рассчитывается как:

$\gamma = \frac{360^\circ}{n} = \frac{360^\circ}{18} = 20^\circ$

Таким образом, для правильного восемнадцатиугольника внутренний угол равен $160^\circ$, а внешний и центральный углы равны по $20^\circ$. Как правило, в ответе на подобный вопрос требуется указать величину внутреннего угла.

Ответ: $160^\circ$.

72. Найдите количество сторон правильного многоугольника, если:

1) его угол равен $177^\circ$;

2) угол, смежный с углом многоугольника, равен $12^\circ$.

72. Найдите количество сторон правильного многоугольника, если:

1) его угол равен $177^\circ$;

2) угол, смежный с углом многоугольника, равен $12^\circ$.

Пусть $n$ — количество сторон правильного многоугольника. Величина внутреннего угла $\alpha$ и внешнего угла $\beta$ правильного многоугольника связаны соотношением $\alpha + \beta = 180^\circ$, так как они являются смежными.

По условию задачи, внутренний угол равен $\alpha = 177^\circ$. Найдем величину внешнего угла многоугольника:
$\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 177^\circ = 3^\circ$.

Сумма всех внешних углов любого выпуклого многоугольника равна $360^\circ$. Поскольку в правильном многоугольнике все $n$ внешних углов равны, то количество сторон $n$ можно найти по формуле:
$n = \frac{360^\circ}{\beta}$.

Подставим в формулу найденное значение внешнего угла:
$n = \frac{360^\circ}{3^\circ} = 120$.

Ответ: 120.

Угол, смежный с углом многоугольника, — это его внешний угол. По условию, величина внешнего угла равна $\beta = 12^\circ$.

Для нахождения количества сторон $n$ правильного многоугольника воспользуемся формулой, связывающей число сторон с величиной внешнего угла:
$n = \frac{360^\circ}{\beta}$.

Подставим в формулу известное значение внешнего угла:
$n = \frac{360^\circ}{12^\circ} = 30$.

Ответ: 30.

73. На рисунке 58 изображён правильный пятиугольник $ABCDE$, $M$ — точка пересечения прямых $AE$ и $CD$. Найдите угол $\angle AMC$.

Рис. 58

73. На рисунке 58 изображён правильный пятиугольник $ABCDE$, $M$ — точка пересечения прямых $AE$ и $CD$. Найдите угол $\angle AMC$.

Рис. 58

Поскольку ABCDE — правильный пятиугольник, все его внутренние углы равны. Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника вычисляется по формуле $S_n = (n-2) \cdot 180^{\circ}$.

Для правильного пятиугольника (где $n=5$) сумма внутренних углов составляет:

$S_5 = (5-2) \cdot 180^{\circ} = 3 \cdot 180^{\circ} = 540^{\circ}$.

Так как все углы равны, величина каждого внутреннего угла равна:

$\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = \angle E = \frac{540^{\circ}}{5} = 108^{\circ}$.

Точка M — это точка пересечения прямых AE и CD. Рассмотрим треугольник $\triangle EDM$.

Угол $\angle DEM$ и внутренний угол пятиугольника $\angle AED$ являются смежными, так как точки A, E, M лежат на одной прямой. Их сумма равна $180^{\circ}$.

$\angle DEM = 180^{\circ} - \angle AED = 180^{\circ} - 108^{\circ} = 72^{\circ}$.

Аналогично, угол $\angle EDM$ и внутренний угол пятиугольника $\angle CDE$ являются смежными, так как точки C, D, M лежат на одной прямой. Их сумма также равна $180^{\circ}$.

$\angle EDM = 180^{\circ} - \angle CDE = 180^{\circ} - 108^{\circ} = 72^{\circ}$.

Теперь мы знаем два угла в треугольнике $\triangle EDM$. Сумма углов любого треугольника равна $180^{\circ}$. Найдем третий угол, $\angle DME$, который является искомым углом $\angle AMC$.

$\angle AMC = \angle DME = 180^{\circ} - (\angle DEM + \angle EDM) = 180^{\circ} - (72^{\circ} + 72^{\circ}) = 180^{\circ} - 144^{\circ} = 36^{\circ}$.

Ответ: $36^{\circ}$.

74. Определите количество сторон правильного многоугольника, если угол, смежный с углом многоугольника, в 2 раза меньше угла многоугольника.

74. Определите количество сторон правильного многоугольника, если угол, смежный с углом многоугольника, в 2 раза меньше угла многоугольника.

Обозначим величину внутреннего угла правильного многоугольника как $\alpha$, а величину смежного с ним внешнего угла — как $\beta$.

Сумма смежных углов равна $180^\circ$, следовательно, справедливо соотношение:
$\alpha + \beta = 180^\circ$

Согласно условию задачи, угол, смежный с углом многоугольника (внешний угол), в 2 раза меньше угла многоугольника (внутреннего угла). Это можно записать в виде уравнения:
$\beta = \frac{\alpha}{2}$ или $\alpha = 2\beta$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными. Подставим выражение $\alpha = 2\beta$ в первое уравнение:
$2\beta + \beta = 180^\circ$
$3\beta = 180^\circ$
$\beta = \frac{180^\circ}{3}$
$\beta = 60^\circ$

Мы нашли, что внешний угол правильного многоугольника равен $60^\circ$.

Сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника всегда равна $360^\circ$. Поскольку в правильном многоугольнике все внешние углы равны, количество сторон $n$ можно найти по формуле:
$n = \frac{360^\circ}{\beta}$
Подставим найденное значение $\beta$:
$n = \frac{360^\circ}{60^\circ} = 6$

Таким образом, искомый правильный многоугольник имеет 6 сторон (это правильный шестиугольник).

Ответ: 6

75. Найдите центральный угол правильного сорокаугольника.

75. Найдите центральный угол правильного сорокаугольника.

Центральный угол правильного n-угольника — это угол, образованный двумя радиусами, проведенными к соседним вершинам многоугольника. Сумма всех центральных углов правильного многоугольника составляет $360^\circ$.

Поскольку у правильного n-угольника все стороны и углы равны, то и все $n$ центральных углов также равны между собой. Чтобы найти величину одного такого угла, необходимо разделить $360^\circ$ на количество сторон $n$.

Формула для нахождения центрального угла $(\alpha)$ правильного n-угольника:

$\alpha = \frac{360^\circ}{n}$

В условии задачи дан правильный сорокаугольник, следовательно, число его сторон $n = 40$.

Подставим это значение в формулу:

$\alpha = \frac{360^\circ}{40} = 9^\circ$

Ответ: $9^\circ$

76. Центральный угол правильного многоугольника равен $20^{\circ}$. Найдите количество сторон многоугольника.

76. Центральный угол правильного многоугольника равен $20^\circ$. Найдите количество сторон многоугольника.

Центральный угол правильного многоугольника — это угол, под которым видна его сторона из его центра. Сумма всех центральных углов правильного многоугольника составляет $360^\circ$.

Если у правильного многоугольника $n$ сторон, то у него $n$ равных центральных углов. Величина одного центрального угла $ \alpha $ вычисляется по формуле:

$ \alpha = \frac{360^\circ}{n} $

В условии задачи дано, что центральный угол равен $20^\circ$. Подставим это значение в формулу:

$ 20^\circ = \frac{360^\circ}{n} $

Чтобы найти количество сторон $n$, выразим его из этого уравнения:

$ n = \frac{360^\circ}{20^\circ} $

$ n = 18 $

Таким образом, многоугольник имеет 18 сторон.

Ответ: 18