Страница 80 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

124. Найдите площадь круга, вписанного в сектор круга радиуса 20 см с хордой 10 см.

124. Найдите площадь круга, вписанного в сектор круга радиуса 20 см с хордой 10 см.

Пусть $R$ — радиус сектора, $L$ — длина хорды, $r$ — радиус вписанного в сектор круга. По условию, $R = 20$ см и $L = 10$ см. Необходимо найти площадь вписанного круга $S = \pi r^2$.

Обозначим сектор как $AOB$, где $O$ — центр большого круга (вершина сектора), а $A$ и $B$ — концы дуги. Тогда $OA = OB = R = 20$ см. Хорда, стягивающая дугу, это отрезок $AB$, длина которого $L = 10$ см.

Пусть вписанный круг имеет центр в точке $C$ и радиус $r$. Вписанный круг касается двух радиусов $OA$, $OB$ и дуги $AB$. Из симметрии следует, что центр $C$ лежит на биссектрисе угла $\angle AOB$. Эта биссектриса также является высотой и медианой равнобедренного треугольника $AOB$, проведенной к основанию $AB$.

Поскольку вписанный круг касается радиуса $OA$ (например, в точке $K$), то отрезок $CK$ перпендикулярен $OA$ и его длина равна радиусу $r$, то есть $CK = r$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OCK$. Обозначим половину угла сектора $\angle AOB$ как $\alpha$. То есть $\angle KOC = \alpha$. В этом треугольнике гипотенуза $OC$ соединяет центр сектора и центр вписанного круга. Так как вписанный круг касается дуги, расстояние от центра $O$ до точки касания на дуге равно $R$. Это расстояние складывается из отрезков $OC$ и радиуса $r$. Таким образом, $R = OC + r$, откуда $OC = R - r = 20 - r$.

Из треугольника $OCK$ можно выразить синус угла $\alpha$:
$\sin(\alpha) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{CK}{OC} = \frac{r}{20-r}$.

Теперь найдем значение $\sin(\alpha)$ из параметров самого сектора. Проведем из центра $O$ высоту к хорде $AB$. Эта высота является биссектрисой угла $\angle AOB$ и медианой для хорды $AB$. Пусть $M$ — середина хорды $AB$. Тогда $AM = \frac{AB}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см. Рассмотрим прямоугольный треугольник $OAM$. В нем гипотенуза $OA = R = 20$ см, катет $AM = 5$ см, а угол $\angle AOM = \alpha$.

Из треугольника $OAM$ находим $\sin(\alpha)$:
$\sin(\alpha) = \frac{AM}{OA} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}$.

Теперь мы можем приравнять два полученных выражения для $\sin(\alpha)$ и найти радиус $r$:
$\frac{r}{20-r} = \frac{1}{4}$.

Решим это уравнение:
$4r = 1 \cdot (20-r)$
$4r = 20 - r$
$5r = 20$
$r = 4$ см.

Радиус вписанного круга найден. Теперь вычислим его площадь по формуле $S = \pi r^2$:
$S = \pi \cdot (4)^2 = 16\pi$ см².

Ответ: $16\pi$ см².

125. Найдите площадь заштрихованной фигуры, изображённой на рисунке 60 (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 60

a

B C

4

A D

4

б

B

$60^\circ$

A $60^\circ$ C

2 1 1

в

1

$O_3$

3

$O_1$

2

$O_2$

125. Найдите площадь заштрихованной фигуры, изображённой на рисунке 60 (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 60

a

б

а
Заштрихованная фигура — это часть квадрата $ABCD$ со стороной 4, из которой вырезаны два незаштрихованных участка. Площадь квадрата равна $S_{\text{квадрата}} = 4^2 = 16$ см².
Первый незаштрихованный участок — это сектор круга с центром в точке $C$ и радиусом $R=4$. Этот сектор является четвертью круга, его площадь $S_1 = \frac{1}{4} \pi R^2 = \frac{1}{4} \pi (4^2) = 4\pi$ см².
Второй незаштрихованный участок — это круг, касающийся сторон $AB$, $AD$ и дуги $BD$ сектора.
Для нахождения радиуса $r$ этого круга введём систему координат с началом в точке $A(0,0)$. Тогда вершины квадрата будут иметь координаты $A(0,0)$, $B(0,4)$, $D(4,0)$ и $C(4,4)$.
Центр малого круга, касающегося осей $x$ ($AD$) и $y$ ($AB$), будет иметь координаты $O(r,r)$.
Большой круг, частью которого является дуга $BD$, имеет центр в точке $C(4,4)$ и радиус $R=4$.
Малый круг находится в "углу" квадрата, ограниченном сторонами $AB$, $AD$ и дугой $BD$, то есть он находится вне большого круга. Расстояние от центра малого круга $O(r,r)$ до ближайшей точки на большом круге равно радиусу малого круга $r$. Это расстояние также равно разности между расстоянием от $O$ до $C$ и радиусом $R$.
Расстояние между центрами $O(r,r)$ и $C(4,4)$:
$OC = \sqrt{(4-r)^2 + (4-r)^2} = \sqrt{2(4-r)^2} = (4-r)\sqrt{2}$ (поскольку $r<4$).
Приравниваем радиус $r$ к расстоянию от точки $O$ до большого круга:
$r = OC - R = (4-r)\sqrt{2} - 4$
$r+4 = 4\sqrt{2} - r\sqrt{2}$
$r(1+\sqrt{2}) = 4\sqrt{2} - 4 = 4(\sqrt{2}-1)$
$r = \frac{4(\sqrt{2}-1)}{\sqrt{2}+1} = \frac{4(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = \frac{4(2 - 2\sqrt{2} + 1)}{2-1} = 4(3-2\sqrt{2}) = 12 - 8\sqrt{2}$.
Площадь малого круга $S_2 = \pi r^2 = \pi (12 - 8\sqrt{2})^2 = \pi (144 - 192\sqrt{2} + 128) = \pi(272 - 192\sqrt{2})$.
Площадь заштрихованной фигуры равна площади квадрата за вычетом площадей двух незаштрихованных фигур:
$S_{\text{заштр.}} = S_{\text{квадрата}} - S_1 - S_2 = 16 - 4\pi - \pi(272 - 192\sqrt{2}) = 16 - \pi(4 + 272 - 192\sqrt{2}) = 16 - \pi(276 - 192\sqrt{2})$.
Ответ: $16 - \pi(276 - 192\sqrt{2})$ см².

б
На рисунке изображён треугольник $ABC$, у которого $\angle A = 60^\circ$ и $\angle B = 60^\circ$. Следовательно, $\angle C = 180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ$, и треугольник $ABC$ является равносторонним.
Длина основания $AC = 2 + 1 + 1 = 4$ см. Значит, все стороны треугольника равны 4 см.
Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.
$S_{\triangle ABC} = \frac{4^2\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}$ см².
Площадь заштрихованной фигуры равна площади треугольника минус площади трёх незаштрихованных секторов.
1. Сектор с центром в вершине $A$. Угол сектора равен $60^\circ$, радиус $R_A = 2$ см.
Площадь сектора $S_A = \frac{60}{360} \pi R_A^2 = \frac{1}{6} \pi (2^2) = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$ см².
2. Сектор с центром в вершине $C$. Угол сектора равен $60^\circ$, радиус $R_C = 1$ см.
Площадь сектора $S_C = \frac{60}{360} \pi R_C^2 = \frac{1}{6} \pi (1^2) = \frac{\pi}{6}$ см².
3. Центральный сектор представляет собой полукруг. Его центр находится на основании $AC$ на расстоянии 2 см от точки $A$, а его радиус $R_H = 1$ см.
Площадь полукруга $S_H = \frac{1}{2} \pi R_H^2 = \frac{1}{2} \pi (1^2) = \frac{\pi}{2}$ см².
Общая площадь незаштрихованной части:
$S_{\text{незаштр.}} = S_A + S_C + S_H = \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} = \frac{4\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + \frac{3\pi}{6} = \frac{8\pi}{6} = \frac{4\pi}{3}$ см².
Площадь заштрихованной фигуры:
$S_{\text{заштр.}} = S_{\triangle ABC} - S_{\text{незаштр.}} = 4\sqrt{3} - \frac{4\pi}{3}$ см².
Ответ: $4\sqrt{3} - \frac{4\pi}{3}$ см².

в
На рисунке изображены три взаимно касающиеся окружности с центрами $O_1, O_2, O_3$ и радиусами $r_1=3$ см, $r_2=2$ см и $r_3=1$ см соответственно.
Заштрихованная область — это криволинейный треугольник, ограниченный дугами этих окружностей. Его площадь можно найти, вычтя из площади треугольника $O_1O_2O_3$ площади секторов этих окружностей, находящихся внутри треугольника.
Найдём длины сторон треугольника $O_1O_2O_3$, которые равны суммам радиусов соответствующих окружностей:
$O_1O_2 = r_1 + r_2 = 3 + 2 = 5$ см.
$O_2O_3 = r_2 + r_3 = 2 + 1 = 3$ см.
$O_3O_1 = r_3 + r_1 = 1 + 3 = 4$ см.
Мы получили треугольник со сторонами 3, 4, 5. Проверим, является ли он прямоугольным по теореме Пифагора: $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$.
Треугольник $O_1O_2O_3$ — прямоугольный, с прямым углом при вершине $O_3$ (напротив гипотенузы $O_1O_2$).
Площадь треугольника $S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot (O_2O_3) \cdot (O_3O_1) = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$ см².
Теперь найдём площади секторов. Углы треугольника:
$\angle O_3 = 90^\circ = \frac{\pi}{2}$ радиан.
$\cos(\angle O_1) = \frac{O_3O_1}{O_1O_2} = \frac{4}{5}$, значит $\angle O_1 = \arccos\frac{4}{5}$.
$\cos(\angle O_2) = \frac{O_2O_3}{O_1O_2} = \frac{3}{5}$, значит $\angle O_2 = \arccos\frac{3}{5}$.
Площадь сектора вычисляется по формуле $S_{\text{сект}} = \frac{1}{2}r^2\alpha$, где $\alpha$ — угол в радианах.
$S_1$ (центр $O_1$, радиус $r_1=3$): $S_1 = \frac{1}{2} \cdot 3^2 \cdot \angle O_1 = \frac{9}{2} \arccos\frac{4}{5}$.
$S_2$ (центр $O_2$, радиус $r_2=2$): $S_2 = \frac{1}{2} \cdot 2^2 \cdot \angle O_2 = 2 \arccos\frac{3}{5}$.
$S_3$ (центр $O_3$, радиус $r_3=1$): $S_3 = \frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}$.
Суммарная площадь секторов: $S_{\text{секторов}} = S_1 + S_2 + S_3 = \frac{9}{2} \arccos\frac{4}{5} + 2 \arccos\frac{3}{5} + \frac{\pi}{4}$.
Площадь заштрихованной фигуры:
$S_{\text{заштр.}} = S_{\triangle} - S_{\text{секторов}} = 6 - \left( \frac{9}{2} \arccos\frac{4}{5} + 2 \arccos\frac{3}{5} + \frac{\pi}{4} \right)$.
Ответ: $6 - \frac{9}{2} \arccos\frac{4}{5} - 2 \arccos\frac{3}{5} - \frac{\pi}{4}$ см².

126. Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен $6\sqrt{3}$ см. На стороне этого треугольника как на диаметре построен полукруг, лежащий в той же полуплоскости, что и треугольник. Определите площадь части треугольника, находящейся вне полукруга.

126. Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен $6\sqrt{3}$ см. На стороне этого треугольника как на диаметре построен полукруг, лежащий в той же полуплоскости, что и треугольник. Определите площадь части треугольника, находящейся вне полукруга.

Для решения задачи нам нужно найти площадь правильного треугольника, а затем вычесть из нее площадь той его части, которая находится внутри полукруга.

1. Нахождение стороны и площади правильного треугольника

Связь между радиусом $R$ описанной окружности и стороной $a$ правильного (равностороннего) треугольника выражается формулой:$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Из этой формулы выразим сторону треугольника $a$:$a = R \cdot \sqrt{3}$

Подставим данное значение радиуса $R = 6\sqrt{3}$ см:$a = 6\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 6 \cdot 3 = 18$ см.

Теперь найдем площадь правильного треугольника $S_{\triangle}$ по формуле:$S_{\triangle} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

$S_{\triangle} = \frac{18^2\sqrt{3}}{4} = \frac{324\sqrt{3}}{4} = 81\sqrt{3}$ см².

2. Нахождение площади части треугольника, лежащей внутри полукруга

Пусть наш правильный треугольник — это $\triangle ABC$, а полукруг построен на стороне $AB$ как на диаметре. Центр полукруга $O$ будет являться серединой стороны $AB$. Диаметр полукруга равен стороне треугольника $a = 18$ см, следовательно, его радиус $r$ равен:$r = \frac{a}{2} = \frac{18}{2} = 9$ см.

Полукруг пересекает стороны треугольника $AC$ и $BC$ в некоторых точках, назовем их $D$ и $E$ соответственно. Нам нужно найти площадь фигуры, ограниченной отрезками $AD$, $BE$, $AB$ и дугой $DE$. Эту площадь ($S_{внутр}$) можно разложить на три части: площадь треугольника $\triangle OAD$, площадь треугольника $\triangle OBE$ и площадь сектора $DOE$.

Рассмотрим треугольник $\triangle OAD$.

• $OA$ — это половина стороны $AB$, то есть $OA = r = 9$ см.
• $OD$ — это радиус полукруга, так как точка $D$ лежит на дуге, поэтому $OD = r = 9$ см.
• Угол $\angle OAD$ (он же $\angle CAB$) — это угол правильного треугольника, он равен $60^\circ$.

Так как $\triangle OAD$ является равнобедренным ($OA=OD$) с углом при основании $60^\circ$, то он является равносторонним. Все его углы равны $60^\circ$.

Площадь равностороннего треугольника $\triangle OAD$ со стороной 9 см равна:$S_{\triangle OAD} = \frac{9^2\sqrt{3}}{4} = \frac{81\sqrt{3}}{4}$ см².

Аналогично, треугольник $\triangle OBE$ также является равносторонним со стороной 9 см, и его площадь:$S_{\triangle OBE} = \frac{81\sqrt{3}}{4}$ см².

Теперь найдем центральный угол сектора $DOE$. Угол $\angle AOB$ является развернутым и равен $180^\circ$. Он состоит из трех углов: $\angle AOD$, $\angle DOE$ и $\angle EOB$. Так как треугольники $\triangle OAD$ и $\triangle OBE$ равносторонние, то $\angle AOD = 60^\circ$ и $\angle EOB = 60^\circ$.Тогда:$\angle DOE = \angle AOB - \angle AOD - \angle EOB = 180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ$.

Площадь сектора $DOE$ с радиусом $r=9$ см и центральным углом $60^\circ$ равна:$S_{сектор DOE} = \frac{60^\circ}{360^\circ} \cdot \pi r^2 = \frac{1}{6} \pi \cdot 9^2 = \frac{81\pi}{6} = \frac{27\pi}{2}$ см².

Общая площадь части треугольника, находящейся внутри полукруга, равна сумме площадей этих трех фигур:$S_{внутр} = S_{\triangle OAD} + S_{\triangle OBE} + S_{сектор DOE} = \frac{81\sqrt{3}}{4} + \frac{81\sqrt{3}}{4} + \frac{27\pi}{2} = \frac{162\sqrt{3}}{4} + \frac{27\pi}{2} = \frac{81\sqrt{3}}{2} + \frac{27\pi}{2}$ см².

3. Вычисление искомой площади

Искомая площадь $S$ — это площадь части треугольника, находящаяся вне полукруга. Она равна разности площади всего треугольника и площади его части внутри полукруга:$S = S_{\triangle} - S_{внутр}$

$S = 81\sqrt{3} - \left(\frac{81\sqrt{3}}{2} + \frac{27\pi}{2}\right) = 81\sqrt{3} - \frac{81\sqrt{3}}{2} - \frac{27\pi}{2}$

Приводя подобные слагаемые, получаем:$S = \frac{162\sqrt{3} - 81\sqrt{3}}{2} - \frac{27\pi}{2} = \frac{81\sqrt{3}}{2} - \frac{27\pi}{2} = \frac{81\sqrt{3} - 27\pi}{2}$ см².

Результат также можно записать в виде:$S = \frac{27}{2}(3\sqrt{3} - \pi)$ см².

Ответ: $\frac{27}{2}(3\sqrt{3} - \pi)$ см².

127. Найдите площадь кругового сегмента, если радиус круга равен 10 см, а градусная мера дуги сегмента равна:

1) $120^\circ$;

2) $240^\circ$.

127. Найдите площадь кругового сегмента, если радиус круга равен 10 см, а градусная мера дуги сегмента равна:

1) $120^\circ$;

2) $240^\circ$.

Площадь кругового сегмента вычисляется как разность площади кругового сектора и площади треугольника, образованного радиусами и хордой, стягивающей дугу.

Общая формула для площади сегмента:

$S_{сегмента} = S_{сектора} - S_{\triangle} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360} - \frac{1}{2}R^2\sin(\alpha)$

где $R$ — радиус круга, а $\alpha$ — градусная мера дуги сегмента.

По условию задачи, радиус круга $R = 10$ см.

1) 120°

Подставим в формулу значения $R = 10$ см и $\alpha = 120°$.

Сначала найдем площадь соответствующего кругового сектора:

$S_{сектора} = \frac{\pi \cdot 10^2 \cdot 120}{360} = \frac{100\pi}{3}$ (см²).

Теперь найдем площадь равнобедренного треугольника, образованного двумя радиусами и хордой. Стороны треугольника, являющиеся радиусами, равны 10 см, а угол между ними равен $120°$.

$S_{\triangle} = \frac{1}{2}R^2\sin(\alpha) = \frac{1}{2} \cdot 10^2 \cdot \sin(120°)$

Используем значение синуса: $\sin(120°) = \sin(180° - 60°) = \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot 100 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 25\sqrt{3}$ (см²).

Площадь сегмента равна разности площади сектора и площади треугольника:

$S_{сегмента} = S_{сектора} - S_{\triangle} = \frac{100\pi}{3} - 25\sqrt{3}$ (см²).

Ответ: $(\frac{100\pi}{3} - 25\sqrt{3})$ см².

2) 240°

Подставим в общую формулу значения $R = 10$ см и $\alpha = 240°$.

Площадь кругового сектора:

$S_{сектора} = \frac{\pi \cdot 10^2 \cdot 240}{360} = \frac{100\pi \cdot 2}{3} = \frac{200\pi}{3}$ (см²).

Площадь треугольника, образованного радиусами и хордой, с углом $\alpha = 240°$ между радиусами.

$S_{\triangle} = \frac{1}{2}R^2\sin(\alpha) = \frac{1}{2} \cdot 10^2 \cdot \sin(240°)$

Используем значение синуса: $\sin(240°) = \sin(180° + 60°) = -\sin(60°) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot 100 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -25\sqrt{3}$ (см²).

Теперь вычисляем площадь сегмента по общей формуле:

$S_{сегмента} = S_{сектора} - S_{\triangle} = \frac{200\pi}{3} - (-25\sqrt{3}) = \frac{200\pi}{3} + 25\sqrt{3}$ (см²).

В данном случае, когда дуга больше $180°$, площадь сегмента равна сумме площадей сектора и треугольника, что и подтверждается расчетами, так как $\sin(240°)$ имеет отрицательное значение.

Ответ: $(\frac{200\pi}{3} + 25\sqrt{3})$ см².

128. Найдите площадь кругового сегмента, если его основание равно 8 см, а градусная мера дуги сегмента равна:

1) $60^\circ$;

2) $225^\circ$.

128. Найдите площадь кругового сегмента, если его основание равно 8 см, а градусная мера дуги сегмента равна:

1) $60^\circ$;

2) $225^\circ$.

Площадь кругового сегмента ($S_{сегмента}$) вычисляется как разность или сумма площади кругового сектора ($S_{сектора}$) и площади треугольника ($S_{треугольника}$), образованного радиусами и хордой (основанием сегмента).

• Если центральный угол, стягиваемый дугой, $\alpha < 180°$, то площадь сегмента равна $S_{сегмента} = S_{сектора} - S_{треугольника}$.
• Если центральный угол $\alpha > 180°$, то это большой сегмент, и его площадь равна $S_{сегмента} = S_{сектора} + S_{треугольника}$.

Длина хорды $c$ связана с радиусом $R$ и центральным углом $\alpha$, соответствующим этой хорде, по формуле $c = 2R \sin(\frac{\alpha}{2})$.

1) 60°

Дано: основание (хорда) $c = 8$ см, градусная мера дуги $\alpha = 60°$.Поскольку угол дуги меньше 180°, мы ищем площадь малого сегмента. Его площадь равна разности площади сектора и площади треугольника.

1. Найдем радиус окружности $R$.Рассмотрим треугольник, образованный двумя радиусами и хордой. Этот треугольник равнобедренный, а угол между радиусами равен центральному углу, то есть $\alpha = 60°$. Равнобедренный треугольник с углом 60° при вершине является равносторонним. Следовательно, длина хорды равна радиусу:$R = c = 8$ см.

2. Найдем площадь кругового сектора.Площадь сектора вычисляется по формуле $S_{сектора} = \frac{\alpha}{360°} \pi R^2$.$S_{сектора} = \frac{60°}{360°} \pi \cdot 8^2 = \frac{1}{6} \cdot 64\pi = \frac{32\pi}{3}$ см².

3. Найдем площадь треугольника.Так как треугольник равносторонний со стороной 8 см, его площадь можно найти по формуле $S_{треугольника} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$, где $a$ – сторона треугольника.$S_{треугольника} = \frac{8^2\sqrt{3}}{4} = \frac{64\sqrt{3}}{4} = 16\sqrt{3}$ см².

4. Найдем площадь кругового сегмента.$S_{сегмента} = S_{сектора} - S_{треугольника} = \frac{32\pi}{3} - 16\sqrt{3}$ см².

Ответ: $S = \frac{32\pi}{3} - 16\sqrt{3}$ см².

2) 225°

Дано: основание (хорда) $c = 8$ см, градусная мера дуги $\alpha_{сегм} = 225°$.Поскольку угол дуги больше 180°, мы ищем площадь большого сегмента. Его площадь равна сумме площади сектора и площади треугольника. Центральный угол, соответствующий треугольнику, образованному радиусами и хордой, равен $\alpha_{тр} = 360° - 225° = 135°$.

1. Найдем радиус окружности $R$.Используем формулу длины хорды $c = 2R \sin(\frac{\alpha_{тр}}{2})$.$8 = 2R \sin(\frac{135°}{2})$$R = \frac{4}{\sin(67.5°)}$Для вычисления $\sin(67.5°)$ используем формулу половинного угла $\sin(\frac{x}{2})=\sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}$:$\sin(67.5°) = \sqrt{\frac{1-\cos(135°)}{2}} = \sqrt{\frac{1-(-\frac{\sqrt{2}}{2})}{2}} = \sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2+\sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$.Тогда радиус:$R = \frac{4}{\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}} = \frac{8}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}$.Найдем квадрат радиуса для дальнейших вычислений:$R^2 = (\frac{8}{\sqrt{2+\sqrt{2}}})^2 = \frac{64}{2+\sqrt{2}} = \frac{64(2-\sqrt{2})}{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})} = \frac{64(2-\sqrt{2})}{4-2} = 32(2-\sqrt{2})$.

2. Найдем площадь кругового сектора.Площадь сектора соответствует дуге в 225°.$S_{сектора} = \frac{\alpha_{сегм}}{360°} \pi R^2 = \frac{225°}{360°} \pi \cdot 32(2-\sqrt{2})$.Сократим дробь $\frac{225}{360} = \frac{5 \cdot 45}{8 \cdot 45} = \frac{5}{8}$.$S_{сектора} = \frac{5}{8} \pi \cdot 32(2-\sqrt{2}) = 5 \pi \cdot 4(2-\sqrt{2}) = 20\pi(2-\sqrt{2})$ см².

3. Найдем площадь треугольника.Угол при вершине треугольника $\alpha_{тр} = 135°$.$S_{треугольника} = \frac{1}{2} R^2 \sin(\alpha_{тр}) = \frac{1}{2} \cdot 32(2-\sqrt{2}) \cdot \sin(135°)$.Так как $\sin(135°) = \sin(180°-45°) = \sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$:$S_{треугольника} = \frac{1}{2} \cdot 32(2-\sqrt{2}) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 8\sqrt{2}(2-\sqrt{2}) = 16\sqrt{2} - 8 \cdot 2 = 16\sqrt{2} - 16 = 16(\sqrt{2}-1)$ см².

4. Найдем площадь кругового сегмента.$S_{сегмента} = S_{сектора} + S_{треугольника} = 20\pi(2-\sqrt{2}) + 16(\sqrt{2}-1)$ см².

Ответ: $S = 20\pi(2-\sqrt{2}) + 16(\sqrt{2}-1)$ см².

129. Радиус круга равен 12 см. В нём проведена хорда, равная стороне правильного шестиугольника, вписанного в этот круг. Найдите площадь большего из сегментов, основанием которых является эта хорда.

129. Радиус круга равен 12 см. В нём проведена хорда, равная стороне правильного шестиугольника, вписанного в этот круг. Найдите площадь большего из сегментов, основанием которых является эта хорда.

Для решения задачи воспользуемся свойствами правильного шестиугольника, вписанного в окружность, а также формулами для площади сектора и треугольника.

1. Определение длины хорды и центрального угла

По условию, радиус круга $R = 12$ см. Хорда равна стороне правильного шестиугольника, вписанного в этот круг. Из геометрии известно, что сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна радиусу этой окружности. Обозначим длину хорды как $a$. Таким образом, длина хорды равна радиусу:

$a = R = 12$ см.

Рассмотрим треугольник, образованный этой хордой и двумя радиусами, проведенными к ее концам. Стороны этого треугольника равны $R$, $R$ и $a$. Поскольку $a = R$, все три стороны треугольника равны 12 см, а значит, он является равносторонним. Центральный угол $\alpha$, стягиваемый этой хордой, является углом в равностороннем треугольнике и, следовательно, равен $60^\circ$.

2. Вычисление площади большего сегмента

Любая хорда делит круг на два сегмента. Площадь большего из этих сегментов можно найти как сумму площади большего кругового сектора и площади треугольника, образованного хордой и радиусами.

Центральный угол, соответствующий большему сектору, составляет $360^\circ - \alpha = 360^\circ - 60^\circ = 300^\circ$.

Площадь этого большего сектора ($S_{сект}$) вычисляется по формуле:

$S_{сект} = \frac{300}{360} \cdot \pi R^2 = \frac{5}{6} \cdot \pi \cdot (12)^2 = \frac{5}{6} \cdot 144\pi = 5 \cdot 24\pi = 120\pi$ см².

Площадь равностороннего треугольника ($S_{\triangle}$) со стороной $a=12$ см вычисляется по формуле:

$S_{\triangle} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{12^2\sqrt{3}}{4} = \frac{144\sqrt{3}}{4} = 36\sqrt{3}$ см².

Площадь искомого большего сегмента ($S_{сегм}$) равна сумме площади большего сектора и площади треугольника:

$S_{сегм} = S_{сект} + S_{\triangle} = 120\pi + 36\sqrt{3}$ см².

Ответ: $(120\pi + 36\sqrt{3})$ см².