Страница 74 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

58. На сторонах угла $A$ отложены отрезки $AM = 6 \text{ см}$, $MB = 4 \text{ см}$, $AK = 3 \text{ см}$, $KC = 9 \text{ см}$ (рис. 57).

Найдите отношение площадей треугольника $AMK$ и четырёхугольника $BCKM$.

Рис. 57

58. На сторонах угла $A$ отложены отрезки $AM = 6$ см, $MB = 4$ см, $AK = 3$ см, $KC = 9$ см (рис. 57).

Найдите отношение площадей треугольника $AMK$ и четырёхугольника $BCKM$.

Рис. 57

Для решения задачи воспользуемся формулой площади треугольника через две стороны и угол между ними: $S = \frac{1}{2}ab \sin{\alpha}$, где $a$ и $b$ — стороны треугольника, а $\alpha$ — угол между ними.

Рассмотрим треугольники $\triangle AMK$ и $\triangle ABC$. Они имеют общий угол $A$.

Площадь треугольника $\triangle AMK$ можно выразить, используя длины сторон $AM$ и $AK$, которые известны из условия: $AM = 6$ см и $AK = 3$ см.$S_{AMK} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot AK \cdot \sin{A} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3 \cdot \sin{A} = 9 \sin{A}$.

Теперь найдем длины сторон $AB$ и $AC$ треугольника $\triangle ABC$.Сторона $AB$ состоит из отрезков $AM$ и $MB$:$AB = AM + MB = 6 + 4 = 10$ см.Сторона $AC$ состоит из отрезков $AK$ и $KC$:$AC = AK + KC = 3 + 9 = 12$ см.

Площадь треугольника $\triangle ABC$ выражается аналогично:$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin{A} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 \cdot \sin{A} = 60 \sin{A}$.

Площадь четырехугольника $BCKM$ равна разности площадей треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle AMK$:$S_{BCKM} = S_{ABC} - S_{AMK} = 60 \sin{A} - 9 \sin{A} = 51 \sin{A}$.

Теперь мы можем найти искомое отношение площади треугольника $AMK$ к площади четырехугольника $BCKM$:$\frac{S_{AMK}}{S_{BCKM}} = \frac{9 \sin{A}}{51 \sin{A}}$.

Поскольку угол $A$ является углом треугольника, $\sin{A} \neq 0$, поэтому мы можем сократить $\sin{A}$ в числителе и знаменателе:$\frac{S_{AMK}}{S_{BCKM}} = \frac{9}{51}$.

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 3:$\frac{9}{51} = \frac{9 \div 3}{51 \div 3} = \frac{3}{17}$.

Ответ: $\frac{3}{17}$.

59. Найдите площадь треугольника со сторонами 7 см, 15 см и 20 см.

59. Найдите площадь треугольника со сторонами 7 см, 15 см и 20 см.

Для нахождения площади треугольника по трем известным сторонам используется формула Герона. Пусть стороны треугольника равны $a = 7$ см, $b = 15$ см и $c = 20$ см.

Прежде всего, необходимо убедиться, что треугольник с такими сторонами существует. Для этого применим неравенство треугольника, которое гласит, что сумма длин любых двух сторон треугольника должна быть больше длины третьей стороны:

$a + b > c \implies 7 + 15 > 20 \implies 22 > 20$ (верно)

$a + c > b \implies 7 + 20 > 15 \implies 27 > 15$ (верно)

$b + c > a \implies 15 + 20 > 7 \implies 35 > 7$ (верно)

Все условия выполняются, следовательно, такой треугольник существует и его площадь можно вычислить.

Формула Герона для вычисления площади $S$ треугольника:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

Здесь $p$ — это полупериметр треугольника.

1. Найдем периметр $P$ и полупериметр $p$ треугольника:

Периметр $P = a + b + c = 7 + 15 + 20 = 42$ см.

Полупериметр $p = \frac{P}{2} = \frac{42}{2} = 21$ см.

2. Подставим значения в формулу Герона:

$S = \sqrt{21 \cdot (21-7) \cdot (21-15) \cdot (21-20)}$

$S = \sqrt{21 \cdot 14 \cdot 6 \cdot 1}$

3. Вычислим значение площади. Для удобства разложим числа под корнем на простые множители:

$S = \sqrt{(3 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 3)}$

Сгруппируем одинаковые множители:

$S = \sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = \sqrt{(2 \cdot 3 \cdot 7)^2}$

Извлекая квадратный корень, получаем:

$S = 2 \cdot 3 \cdot 7 = 42$

Таким образом, площадь треугольника составляет 42 квадратных сантиметра.

Ответ: 42 $\text{см}^2$.

60. Три окружности, радиусы которых равны 6 см, 2 см и 1 см, попарно касаются друг друга внешним образом. Найдите площадь треугольника, вершинами которого являются центры этих окружностей.

60. Три окружности, радиусы которых равны 6 см, 2 см и 1 см, попарно касаются друг друга внешним образом. Найдите площадь треугольника, вершинами которого являются центры этих окружностей.

Пусть центры трех окружностей являются вершинами треугольника. Обозначим радиусы окружностей как $r_1 = 6$ см, $r_2 = 2$ см и $r_3 = 1$ см.

Поскольку окружности попарно касаются друг друга внешним образом, расстояние между центрами любых двух касающихся окружностей равно сумме их радиусов. Таким образом, стороны треугольника, образованного центрами этих окружностей, будут равны:

• Сторона $a$, соединяющая центры окружностей с радиусами $r_1$ и $r_2$:
  $a = r_1 + r_2 = 6 + 2 = 8$ см.
• Сторона $b$, соединяющая центры окружностей с радиусами $r_1$ и $r_3$:
  $b = r_1 + r_3 = 6 + 1 = 7$ см.
• Сторона $c$, соединяющая центры окружностей с радиусами $r_2$ и $r_3$:
  $c = r_2 + r_3 = 2 + 1 = 3$ см.

Теперь мы имеем треугольник со сторонами 8 см, 7 см и 3 см. Для нахождения площади этого треугольника воспользуемся формулой Герона:$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр треугольника.

Сначала вычислим полупериметр $p$:
$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{8+7+3}{2} = \frac{18}{2} = 9$ см.

Теперь подставим все значения в формулу Герона:
$S = \sqrt{9(9-8)(9-7)(9-3)}$
$S = \sqrt{9 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 6}$
$S = \sqrt{108}$

Упростим полученное значение:
$S = \sqrt{36 \cdot 3} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{3} = 6\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $6\sqrt{3}$ см$^2$.

61. Стороны треугольника равны 11 см, 13 см и 20 см. Найдите наименьшую высоту треугольника, радиусы его вписанной и описанной окружностей.

61. Стороны треугольника равны 11 см, 13 см и 20 см. Найдите наименьшую высоту треугольника, радиусы его вписанной и описанной окружностей.

Для решения задачи нам понадобятся полупериметр и площадь треугольника. Пусть стороны треугольника равны $a = 11$ см, $b = 13$ см и $c = 20$ см.

1. Вычислим полупериметр (p) треугольника:
$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{11+13+20}{2} = \frac{44}{2} = 22$ см.

2. Вычислим площадь (S) треугольника по формуле Герона:
$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$
$S = \sqrt{22(22-11)(22-13)(22-20)} = \sqrt{22 \cdot 11 \cdot 9 \cdot 2}$
$S = \sqrt{(2 \cdot 11) \cdot 11 \cdot 3^2 \cdot 2} = \sqrt{2^2 \cdot 11^2 \cdot 3^2} = \sqrt{(2 \cdot 11 \cdot 3)^2} = 2 \cdot 11 \cdot 3 = 66$ см².

Теперь, зная площадь и полупериметр, мы можем найти требуемые величины.

Наименьшая высота треугольника
Наименьшая высота в треугольнике всегда проведена к его наибольшей стороне. Наибольшая сторона в данном треугольнике равна $c = 20$ см. Площадь треугольника также вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c$, где $h_c$ — высота, проведенная к стороне $c$. Выразим высоту $h_c$ (которая является наименьшей):
$h_{min} = h_c = \frac{2S}{c} = \frac{2 \cdot 66}{20} = \frac{132}{20} = 6,6$ см.
Ответ: 6,6 см.

Радиус вписанной окружности
Радиус вписанной окружности ($r$) находится по формуле, связывающей его с площадью и полупериметром треугольника: $r = \frac{S}{p}$.
$r = \frac{66}{22} = 3$ см.
Ответ: 3 см.

Радиус описанной окружности
Радиус описанной окружности ($R$) находится по формуле: $R = \frac{abc}{4S}$.
$R = \frac{11 \cdot 13 \cdot 20}{4 \cdot 66} = \frac{2860}{264}$.
Сократим полученную дробь: $R = \frac{11 \cdot 13 \cdot 20}{4 \cdot 6 \cdot 11} = \frac{13 \cdot 20}{4 \cdot 6} = \frac{13 \cdot 5}{6} = \frac{65}{6}$ см.
Можно также представить ответ в виде смешанного числа: $10 \frac{5}{6}$ см.
Ответ: $\frac{65}{6}$ см (или $10 \frac{5}{6}$ см).

62. В треугольник со сторонами 17 см, 25 см и 26 см вписана окружность, центр которой соединён с вершинами треугольника. Найдите площади трёх образовавшихся треугольников.

Вписанной и описанной окружностей.

62. В треугольник со сторонами 17 см, 25 см и 26 см вписана окружность, центр которой соединён с вершинами треугольника. Найдите площади трёх образовавшихся треугольников.

Пусть стороны данного треугольника равны $a = 17$ см, $b = 25$ см и $c = 26$ см. Когда центр вписанной окружности соединяют с вершинами треугольника, исходный треугольник разделяется на три меньших треугольника. Основаниями этих трех треугольников являются стороны исходного треугольника ($a$, $b$ и $c$), а их высоты, проведенные из общего центра к этим сторонам, равны радиусу вписанной окружности $r$.

Таким образом, площади трех образовавшихся треугольников ($S_1$, $S_2$, $S_3$) вычисляются по формулам:

$S_1 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot r$

$S_2 = \frac{1}{2} \cdot b \cdot r$

$S_3 = \frac{1}{2} \cdot c \cdot r$

Для нахождения этих площадей необходимо сначала вычислить радиус вписанной окружности $r$. Для этого воспользуемся формулой, связывающей площадь треугольника $S$ с его полупериметром $p$ и радиусом вписанной окружности: $S = p \cdot r$, откуда $r = \frac{S}{p}$.

1. Найдём полупериметр треугольника $p$

Полупериметр — это половина суммы длин всех сторон:

$p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{17 + 25 + 26}{2} = \frac{68}{2} = 34$ см.

2. Найдём площадь исходного треугольника $S$ по формуле Герона

Формула Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$.

Подставим наши значения:

$p-a = 34 - 17 = 17$

$p-b = 34 - 25 = 9$

$p-c = 34 - 26 = 8$

$S = \sqrt{34 \cdot 17 \cdot 9 \cdot 8} = \sqrt{(2 \cdot 17) \cdot 17 \cdot 3^2 \cdot (2^2 \cdot 2)} = \sqrt{17^2 \cdot 3^2 \cdot 2^4} = 17 \cdot 3 \cdot 2^2 = 17 \cdot 3 \cdot 4 = 204$ см².

3. Найдём радиус вписанной окружности $r$

$r = \frac{S}{p} = \frac{204}{34} = 6$ см.

4. Найдём площади трёх образовавшихся треугольников

Теперь, зная радиус, мы можем найти площади каждого из трёх треугольников:

• Площадь треугольника с основанием 17 см:
  $S_1 = \frac{1}{2} \cdot 17 \cdot r = \frac{1}{2} \cdot 17 \cdot 6 = 51$ см².
• Площадь треугольника с основанием 25 см:
  $S_2 = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot r = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot 6 = 75$ см².
• Площадь треугольника с основанием 26 см:
  $S_3 = \frac{1}{2} \cdot 26 \cdot r = \frac{1}{2} \cdot 26 \cdot 6 = 78$ см².

Ответ: площади трёх образовавшихся треугольников равны 51 см², 75 см² и 78 см².

63. Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки длиной 6 см и 10 см. Большая из двух других сторон равна 25 см. Найдите площадь треугольника.

63. Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки длиной 6 см и 10 см. Большая из двух других сторон равна 25 см. Найдите площадь треугольника.

Пусть дан треугольник, в котором биссектриса делит одну из его сторон на отрезки длиной 6 см и 10 см. Обозначим эту сторону как $b$. Тогда ее длина составляет $b = 6 + 10 = 16$ см. Две другие стороны обозначим как $a$ и $c$.

Согласно свойству биссектрисы треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам. Таким образом, отношение сторон $a$ и $c$ равно отношению отрезков, на которые делится сторона $b$:

$\frac{a}{c} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$

Из условия задачи известно, что большая из двух других сторон ($a$ и $c$) равна 25 см. Из полученного соотношения $\frac{a}{c} = \frac{5}{3}$ видно, что сторона $a$ больше стороны $c$. Следовательно, $a = 25$ см.

Теперь найдем длину стороны $c$:

$c = a \cdot \frac{3}{5} = 25 \cdot \frac{3}{5} = 15$ см.

Таким образом, мы определили длины всех трех сторон треугольника:

• $a = 25$ см
• $b = 16$ см
• $c = 15$ см

Для нахождения площади треугольника ($S$) воспользуемся формулой Герона, так как известны все три стороны:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр треугольника.

Сначала вычислим полупериметр $p$:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{25+16+15}{2} = \frac{56}{2} = 28$ см.

Далее вычислим значения выражений в скобках:

• $p-a = 28 - 25 = 3$
• $p-b = 28 - 16 = 12$
• $p-c = 28 - 15 = 13$

Подставим все значения в формулу Герона:

$S = \sqrt{28 \cdot 3 \cdot 12 \cdot 13} = \sqrt{(4 \cdot 7) \cdot 3 \cdot (4 \cdot 3) \cdot 13}$

Сгруппируем множители:

$S = \sqrt{4^2 \cdot 3^2 \cdot 7 \cdot 13} = \sqrt{144 \cdot 91}$

Извлекая корень из 144, получаем:

$S = 12\sqrt{91}$ см².

Ответ: $12\sqrt{91}$ см².

64. Один из углов ромба в 2 раза больше другого, а его сторона равна 6 см. Найдите площадь ромба.

64. Один из углов ромба в 2 раза больше другого, а его сторона равна 6 см. Найдите площадь ромба.

Пусть меньший угол ромба равен $x$. Тогда, по условию задачи, больший угол равен $2x$.

Сумма углов ромба, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Составим и решим уравнение:

$x + 2x = 180^\circ$

$3x = 180^\circ$

$x = 60^\circ$

Таким образом, меньший угол ромба равен $60^\circ$, а больший – $2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$.

Площадь ромба можно вычислить по формуле $S = a^2 \cdot \sin(\alpha)$, где $a$ – сторона ромба, а $\alpha$ – угол между сторонами.

Сторона ромба $a = 6$ см, а один из углов $\alpha = 60^\circ$. Подставим эти значения в формулу:

$S = 6^2 \cdot \sin(60^\circ)$

Так как $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$S = 36 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 18\sqrt{3}$ см².

Ответ: $18\sqrt{3}$ см².

65. Площадь прямоугольника равна $49\sqrt{3}$ см$^2$, а угол между его диагоналями — $60^\circ$. Найдите стороны прямоугольника.

65. Площадь прямоугольника равна $49\sqrt{3}$ см$^2$, а угол между его диагоналями — $60^\circ$. Найдите стороны прямоугольника.

Площадь выпуклого четырехугольника можно найти по формуле, использующей длины его диагоналей и угол между ними: $S = \frac{1}{2}d_1 d_2 \sin\alpha$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей, а $\alpha$ — угол между ними.

В прямоугольнике диагонали равны, то есть $d_1 = d_2 = d$. Тогда формула для площади прямоугольника принимает вид: $S = \frac{1}{2}d^2 \sin\alpha$.

Подставим в эту формулу известные значения из условия задачи: площадь $S = 49\sqrt{3}$ см$^2$ и угол между диагоналями $\alpha = 60^\circ$. Значение синуса этого угла: $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$49\sqrt{3} = \frac{1}{2}d^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$49\sqrt{3} = \frac{d^2\sqrt{3}}{4}$

Разделив обе части уравнения на $\sqrt{3}$, получим:

$49 = \frac{d^2}{4}$

Отсюда находим квадрат длины диагонали:

$d^2 = 49 \cdot 4 = 196$

Длина диагонали равна:

$d = \sqrt{196} = 14$ см.

Диагонали прямоугольника в точке пересечения делятся пополам. Они делят прямоугольник на четыре равнобедренных треугольника. Два из них имеют угол при вершине $60^\circ$, а два других — смежный с ним угол $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Рассмотрим один из треугольников, образованных половинками диагоналей, с углом $60^\circ$ между ними. Боковые стороны этого треугольника равны половине диагонали, то есть $\frac{d}{2} = \frac{14}{2} = 7$ см. Так как это равнобедренный треугольник с углом при вершине $60^\circ$, то углы при основании также равны $(180^\circ - 60^\circ) / 2 = 60^\circ$. Следовательно, этот треугольник является равносторонним. Его основание, которое является одной из сторон прямоугольника (обозначим ее $a$), равно боковой стороне: $a = 7$ см.

Теперь, зная одну из сторон прямоугольника и его площадь, мы можем найти вторую сторону (обозначим ее $b$). Площадь прямоугольника равна произведению его сторон: $S = a \cdot b$.

$49\sqrt{3} = 7 \cdot b$

$b = \frac{49\sqrt{3}}{7} = 7\sqrt{3}$ см.

Таким образом, стороны прямоугольника равны 7 см и $7\sqrt{3}$ см.

Ответ: стороны прямоугольника равны 7 см и $7\sqrt{3}$ см.

66. Диагонали четырёхугольника равны 5 см и 10 см, а угол между ними — $45^\circ$. Найдите площадь четырёхугольника.

66. Диагонали четырёхугольника равны 5 см и 10 см, а угол между ними — 45°. Найдите площадь четырёхугольника.

Площадь любого выпуклого четырехугольника можно найти по формуле, использующей длины его диагоналей и синус угла между ними:

$S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin(\alpha)$

где $d_1$ и $d_2$ — это длины диагоналей четырехугольника, а $\alpha$ — угол между ними.

По условию задачи нам даны:

• длина первой диагонали $d_1 = 5$ см;
• длина второй диагонали $d_2 = 10$ см;
• угол между диагоналями $\alpha = 45°$.

Подставим известные значения в формулу площади:

$S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 10 \cdot \sin(45°)$

Мы знаем, что значение $\sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Теперь выполним вычисления:

$S = \frac{1}{2} \cdot 50 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$S = 25 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$S = \frac{25\sqrt{2}}{2}$ см²

Таким образом, площадь четырехугольника равна $\frac{25\sqrt{2}}{2}$ квадратных сантиметров.

Ответ: $\frac{25\sqrt{2}}{2}$ см²

67. Диагонали четырёхугольника равны 8 см и 9 см, а его площадь – $18 \text{ см}^2$. Найдите угол между диагоналями четырёхугольника.

67. Диагонали четырёхугольника равны 8 см и 9 см, а его площадь — 18 $ \text{см}^2 $. Найдите угол между диагоналями четырёхугольника.

Площадь произвольного выпуклого четырехугольника можно вычислить по формуле, используя длины его диагоналей и синус угла между ними:

$S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin(\alpha)$

где $S$ — это площадь четырехугольника, $d_1$ и $d_2$ — длины его диагоналей, а $\alpha$ — это угол между диагоналями.

Из условия задачи нам известно:

• Длина первой диагонали $d_1 = 8$ см.
• Длина второй диагонали $d_2 = 9$ см.
• Площадь четырехугольника $S = 18$ см².

Подставим эти значения в формулу, чтобы найти синус угла $\alpha$:

$18 = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 9 \cdot \sin(\alpha)$

Выполним вычисления в правой части уравнения:

$18 = \frac{1}{2} \cdot 72 \cdot \sin(\alpha)$

$18 = 36 \cdot \sin(\alpha)$

Теперь найдем значение $\sin(\alpha)$:

$\sin(\alpha) = \frac{18}{36}$

$\sin(\alpha) = \frac{1}{2}$

Существует два угла в диапазоне от 0° до 180°, синус которых равен $\frac{1}{2}$.

Первый угол — это острый угол:

$\alpha_1 = \arcsin(\frac{1}{2}) = 30^\circ$

Второй угол — это тупой угол, смежный с первым, так как при пересечении диагоналей образуются две пары углов, и синусы смежных углов равны ($\sin(180^\circ - x) = \sin(x)$):

$\alpha_2 = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$

Оба значения являются корректными углами между диагоналями.

Ответ: 30° или 150°.

68. Сторона квадрата равна 2 см. На сторонах квадрата во внешнюю сторону построены равносторонние треугольники. Найдите площадь четырёхугольника, вершинами которого являются вершины квадратов, не принадлежащих данному треугольнику.

68. Сторона квадрата равна 2 см. На сторонах квадрата во внешнюю сторону построены равносторонние треугольники. Найдите площадь четырёхугольника, вершинами которого являются вершины квадратов, не принадлежащих данному треугольнику.

Пусть дан квадрат $ABCD$ со стороной $a = 2$ см. На его сторонах во внешнюю сторону построены равносторонние треугольники $ABE$, $BCF$, $CDG$ и $DAH$. Требуется найти площадь четырехугольника $EFGH$, вершинами которого являются вершины этих треугольников, не принадлежащие исходному квадрату.

Из симметрии построения следует, что полученный четырехугольник $EFGH$ является квадратом. Его центр совпадает с центром исходного квадрата $ABCD$. Для нахождения площади этого квадрата достаточно найти длину его диагонали, например, $EG$.

Найдем длину диагонали $EG$. Она равна удвоенной длине отрезка $OE$, где $O$ - центр квадрата $ABCD$. Рассмотрим треугольник $OAE$.

1. Сторона $AE$ равна стороне равностороннего треугольника $ABE$, которая, в свою очередь, равна стороне квадрата: $AE = AB = 2$ см.

2. Отрезок $OA$ - это половина диагонали квадрата $ABCD$. Диагональ $AC = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ см. Следовательно, $OA = \frac{1}{2}AC = \sqrt{2}$ см.

3. Угол $\angle OAE$ складывается из угла $\angle OAB$ и угла $\angle BAE$. Так как диагональ квадрата делит его угол пополам, $\angle OAB = 45^\circ$. Угол $\angle BAE$ является углом равностороннего треугольника, поэтому $\angle BAE = 60^\circ$. Таким образом, $\angle OAE = \angle OAB + \angle BAE = 45^\circ + 60^\circ = 105^\circ$.

Теперь применим теорему косинусов для треугольника $OAE$, чтобы найти длину стороны $OE$:$OE^2 = OA^2 + AE^2 - 2 \cdot OA \cdot AE \cdot \cos(\angle OAE)$$OE^2 = (\sqrt{2})^2 + 2^2 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 2 \cdot \cos(105^\circ)$$OE^2 = 2 + 4 - 4\sqrt{2} \cdot \cos(105^\circ)$

Значение $\cos(105^\circ)$ можно вычислить по формуле косинуса суммы:$\cos(105^\circ) = \cos(60^\circ + 45^\circ) = \cos(60^\circ)\cos(45^\circ) - \sin(60^\circ)\sin(45^\circ) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$.

Подставим это значение в формулу для $OE^2$:$OE^2 = 6 - 4\sqrt{2} \cdot \left(\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}\right) = 6 - \sqrt{2}(\sqrt{2} - \sqrt{6}) = 6 - (2 - \sqrt{12}) = 6 - 2 + 2\sqrt{3} = 4 + 2\sqrt{3}$.

Выражение $4 + 2\sqrt{3}$ можно представить в виде полного квадрата: $4 + 2\sqrt{3} = 1 + 3 + 2\sqrt{3} = (1+\sqrt{3})^2$.Следовательно, $OE = \sqrt{(1+\sqrt{3})^2} = 1+\sqrt{3}$ см.

Диагональ квадрата $EFGH$ равна $d = EG = 2 \cdot OE = 2(1+\sqrt{3})$ см.

Площадь квадрата $EFGH$ вычисляется по формуле $S = \frac{d^2}{2}$:$S = \frac{(2(1+\sqrt{3}))^2}{2} = \frac{4(1+\sqrt{3})^2}{2} = 2(1^2 + 2\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2) = 2(1 + 2\sqrt{3} + 3) = 2(4 + 2\sqrt{3}) = 8 + 4\sqrt{3}$ см².

Ответ: $8 + 4\sqrt{3}$ см².