Страница 67 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

297. Стороны двух квадратов относятся как $4 : 5$. Как относятся их площади?

297. Стороны двух квадратов относятся как 4 : 5. Как относятся их площади?

Обозначим стороны двух квадратов как $a_1$ и $a_2$. По условию задачи, их отношение составляет 4 к 5. Это можно записать в виде дроби:

$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{4}{5} $

Площадь квадрата находится по формуле $S = a^2$, где $a$ — длина его стороны. Соответственно, площади наших двух квадратов будут $S_1 = a_1^2$ и $S_2 = a_2^2$.

Чтобы найти отношение площадей, разделим площадь первого квадрата на площадь второго:

$ \frac{S_1}{S_2} = \frac{a_1^2}{a_2^2} $

Это выражение можно переписать как квадрат отношения сторон:

$ \frac{S_1}{S_2} = (\frac{a_1}{a_2})^2 $

Теперь подставим в эту формулу известное нам отношение сторон $ \frac{4}{5} $:

$ \frac{S_1}{S_2} = (\frac{4}{5})^2 = \frac{4^2}{5^2} = \frac{16}{25} $

Следовательно, отношение площадей двух квадратов равно 16 к 25.

Ответ: 16 : 25

298. Сторона одного квадрата равна диагонали другого. Как относятся их площади?

298. Сторона одного квадрата равна диагонали другого.
Как относятся их площади?

Обозначим первый квадрат как Квадрат 1, а второй — как Квадрат 2. Пусть $S_1$ — площадь Квадрата 1, а $a_1$ — его сторона. Пусть $S_2$ — площадь Квадрата 2, $a_2$ — его сторона, а $d_2$ — его диагональ.

Площадь квадрата можно выразить через его сторону $a$ по формуле $S = a^2$. Также площадь квадрата можно выразить через его диагональ $d$. Так как по теореме Пифагора $d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$, то $a^2 = \frac{d^2}{2}$. Следовательно, формула площади через диагональ: $S = \frac{d^2}{2}$.

Используем эти формулы для наших квадратов:

Площадь Квадрата 1: $S_1 = a_1^2$.

Площадь Квадрата 2: $S_2 = \frac{d_2^2}{2}$.

По условию задачи, сторона одного квадрата равна диагонали другого. Примем, что сторона Квадрата 1 равна диагонали Квадрата 2:

$a_1 = d_2$

Теперь найдем отношение их площадей $\frac{S_1}{S_2}$:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{a_1^2}{\frac{d_2^2}{2}}$

Так как $a_1 = d_2$, мы можем подставить $d_2$ вместо $a_1$ в числителе:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{d_2^2}{\frac{d_2^2}{2}} = d_2^2 \cdot \frac{2}{d_2^2} = 2$

Таким образом, отношение площади первого квадрата к площади второго равно 2. Это означает, что площадь одного квадрата в два раза больше площади другого.

Ответ: площади относятся как 2 к 1.

299. Стороны двух правильных шестиугольников относятся как 3 : 5, а площадь меньшего из них равна 72 $ \text{см}^2 $. Найдите площадь большего шестиугольника.

299. Стороны двух правильных шестиугольников относятся как $3:5$, а площадь меньшего из них равна $72 \text{ см}^2$. Найдите площадь большего шестиугольника.

Обозначим стороны меньшего и большего правильных шестиугольников как $a_1$ и $a_2$, а их площади как $S_1$ и $S_2$ соответственно.

По условию задачи, отношение сторон равно:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{5}$

Площадь меньшего шестиугольника известна: $S_1 = 72$ см².

Все правильные многоугольники с одинаковым числом сторон являются подобными. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия. В данном случае коэффициент подобия равен отношению соответствующих сторон.

Следовательно, отношение площадей шестиугольников равно квадрату отношения их сторон:
$\frac{S_1}{S_2} = \left(\frac{a_1}{a_2}\right)^2$

Подставим известные значения в это соотношение:
$\frac{72}{S_2} = \left(\frac{3}{5}\right)^2$
$\frac{72}{S_2} = \frac{9}{25}$

Из этой пропорции найдем площадь большего шестиугольника $S_2$:
$S_2 = \frac{72 \times 25}{9}$
Сократим 72 и 9:
$S_2 = 8 \times 25$
$S_2 = 200$ см²

Ответ: 200 см².

300. Соответственные стороны двух подобных многоугольников равны 8 см и 6 см. Площадь меньшего многоугольника равна $288 \text{ см}^2$. Найдите площадь большего многоугольника.

300. Соответственные стороны двух подобных многоугольников равны 8 см и 6 см. Площадь меньшего многоугольника равна 288 $cm^2$. Найдите площадь большего многоугольника.

Отношение площадей двух подобных многоугольников равно квадрату коэффициента их подобия. Коэффициент подобия, в свою очередь, равен отношению их соответственных сторон.

Пусть $S_1$ и $a_1$ — площадь и сторона большего многоугольника, а $S_2$ и $a_2$ — площадь и сторона меньшего многоугольника.

Согласно условию задачи:
$a_1 = 8$ см
$a_2 = 6$ см
$S_2 = 288$ см²

1. Найдем коэффициент подобия $k$. Коэффициент подобия — это отношение соответственных сторон.$k = \frac{a_1}{a_2} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

2. Найдем площадь большего многоугольника $S_1$. Отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия:$\frac{S_1}{S_2} = k^2$

Подставим известные значения в формулу:$\frac{S_1}{288} = (\frac{4}{3})^2$

$\frac{S_1}{288} = \frac{16}{9}$

Теперь выразим и вычислим $S_1$:$S_1 = 288 \cdot \frac{16}{9} = \frac{288}{9} \cdot 16 = 32 \cdot 16 = 512$ см²

Ответ: 512 см².

301. Периметры подобных многоугольников относятся как 4 : 7, а разность их площадей равна $264 \text{ см}^2$. Найдите площади многоугольников.

301. Периметры подобных многоугольников относятся как $4 : 7$, а разность их площадей равна $264 \, \text{см}^2$. Найдите площади многоугольников.

Пусть $P_1$ и $P_2$ – периметры подобных многоугольников, а $S_1$ и $S_2$ – их площади. Коэффициент подобия $k$ равен отношению их периметров.
$k = \frac{P_1}{P_2} = \frac{4}{7}$.

Отношение площадей подобных многоугольников равно квадрату коэффициента подобия:
$\frac{S_1}{S_2} = k^2 = \left(\frac{4}{7}\right)^2 = \frac{16}{49}$.

Из этого отношения следует, что площади можно представить в виде $S_1 = 16x$ и $S_2 = 49x$, где $x$ – некоторый коэффициент пропорциональности.

По условию, разность площадей равна 264 см². Запишем это в виде уравнения:
$S_2 - S_1 = 264$.

Подставим выражения для $S_1$ и $S_2$ в это уравнение и решим его:
$49x - 16x = 264$
$33x = 264$
$x = \frac{264}{33}$
$x = 8$.

Теперь можем найти значения площадей, подставив найденное значение $x$:
Площадь меньшего многоугольника: $S_1 = 16x = 16 \cdot 8 = 128$ см².
Площадь большего многоугольника: $S_2 = 49x = 49 \cdot 8 = 392$ см².

Ответ: 128 см², 392 см².

302. Площади двух правильных треугольников относятся как 4 : 7. Сторона меньшего треугольника равна 8 см. Найдите сторону большего треугольника.

302. Площади двух правильных треугольников относятся как $4 : 7$. Сторона меньшего треугольника равна 8 см. Найдите сторону большего треугольника.

Пусть $S_1$ и $S_2$ — площади меньшего и большего правильных треугольников соответственно, а $a_1$ и $a_2$ — их стороны.

По условию задачи, отношение площадей $\frac{S_1}{S_2} = \frac{4}{7}$, а сторона меньшего треугольника $a_1 = 8$ см.

Все правильные (равносторонние) треугольники подобны друг другу. Отношение площадей двух подобных фигур равно квадрату коэффициента их подобия, который, в свою очередь, равен отношению их соответственных сторон.
Это можно записать в виде формулы:
$\frac{S_1}{S_2} = (\frac{a_1}{a_2})^2$

Подставим известные значения в эту формулу:
$\frac{4}{7} = (\frac{8}{a_2})^2$

Возведем в квадрат выражение в правой части уравнения:
$\frac{4}{7} = \frac{8^2}{a_2^2}$
$\frac{4}{7} = \frac{64}{a_2^2}$

Теперь решим полученную пропорцию относительно $a_2^2$:
$4 \cdot a_2^2 = 64 \cdot 7$
$a_2^2 = \frac{64 \cdot 7}{4}$
$a_2^2 = 16 \cdot 7$
$a_2^2 = 112$

Чтобы найти сторону $a_2$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Так как длина стороны не может быть отрицательной, мы рассматриваем только положительный корень.
$a_2 = \sqrt{112}$
Упростим корень, разложив подкоренное выражение на множители: $112 = 16 \cdot 7$.
$a_2 = \sqrt{16 \cdot 7} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{7} = 4\sqrt{7}$ см.

Ответ: $4\sqrt{7}$ см.

303. Прямая, параллельная стороне $AB$ треугольника $ABC$, делит его на две равновеликие фигуры. Найдите сторону $AB$, если отрезок прямой, содержащийся между сторонами треугольника, равен 4 см.

303. Прямая, параллельная стороне $AB$ треугольника $ABC$, делит его на две равновеликие фигуры. Найдите сторону $AB$, если отрезок прямой, содержащийся между сторонами треугольника, равен 4 см.

Пусть дан треугольник $ABC$. Прямая, параллельная стороне $AB$, пересекает стороны $AC$ и $BC$ в точках $D$ и $E$ соответственно. Таким образом, образуется треугольник $DCE$ и трапеция $ABED$.

По условию, прямая $DE$ делит треугольник $ABC$ на две равновеликие фигуры, то есть фигуры с равными площадями. Обозначим площади треугольника $DCE$ и трапеции $ABED$ как $S_{DCE}$ и $S_{ABED}$ соответственно. Тогда $S_{DCE} = S_{ABED}$.

Площадь исходного треугольника $ABC$ равна сумме площадей треугольника $DCE$ и трапеции $ABED$:

$S_{ABC} = S_{DCE} + S_{ABED}$

Так как $S_{DCE} = S_{ABED}$, то можем записать:

$S_{ABC} = S_{DCE} + S_{DCE} = 2 \cdot S_{DCE}$

Отсюда следует, что отношение площади треугольника $DCE$ к площади треугольника $ABC$ равно:

$\frac{S_{DCE}}{S_{ABC}} = \frac{1}{2}$

Поскольку прямая $DE$ параллельна стороне $AB$, то треугольник $DCE$ подобен треугольнику $ACB$ (по двум углам: $\angle C$ — общий, $\angle CDE = \angle CAB$ как соответственные углы при параллельных прямых $DE$ и $AB$ и секущей $AC$).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, который, в свою очередь, равен отношению их соответствующих сторон:

$\frac{S_{DCE}}{S_{ABC}} = (\frac{DE}{AB})^2$

Подставим известное нам отношение площадей в это уравнение:

$(\frac{DE}{AB})^2 = \frac{1}{2}$

По условию задачи, длина отрезка $DE$ равна 4 см. Подставим это значение в уравнение:

$(\frac{4}{AB})^2 = \frac{1}{2}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$\frac{4}{AB} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Теперь выразим $AB$:

$AB = 4 \cdot \sqrt{2}$

Таким образом, длина стороны $AB$ равна $4\sqrt{2}$ см.

Ответ: $4\sqrt{2}$ см.

304. Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $F$. Найдите площадь трапеции, если $AD : BC = 5 : 3$, а площадь треугольника $BFC$ равна $54$ см$^2$.

304. Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $F$. Найдите площадь трапеции, если $AD : BC = 5 : 3$, а площадь треугольника $BFC$ равна $54 \text{ см}^2$.

Рассмотрим трапецию $ABCD$, в которой основания $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$). Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $F$, образуя два треугольника: $\triangle BFC$ и $\triangle AFD$.

Поскольку $BC \parallel AD$, то треугольник $\triangle BFC$ подобен треугольнику $\triangle AFD$. Подобие следует из равенства углов: $\angle F$ — общий для обоих треугольников, а $\angle FBC = \angle FAD$ как соответственные углы при параллельных прямых $BC$, $AD$ и секущей $AF$.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия. Коэффициент подобия $k$ равен отношению длин соответственных сторон: $k = \frac{BC}{AD}$

По условию задачи, $AD : BC = 5 : 3$, значит, коэффициент подобия $k = \frac{3}{5}$.

Следовательно, отношение площадей треугольников равно: $\frac{S_{\triangle BFC}}{S_{\triangle AFD}} = k^2 = \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25}$

Нам известна площадь треугольника $BFC$: $S_{\triangle BFC} = 54$ см$^2$. Подставим это значение в полученное соотношение и найдем площадь треугольника $AFD$: $\frac{54}{S_{\triangle AFD}} = \frac{9}{25}$
$S_{\triangle AFD} = \frac{54 \cdot 25}{9} = 6 \cdot 25 = 150$ см$^2$.

Площадь трапеции $ABCD$ можно найти как разность площадей треугольника $\triangle AFD$ и треугольника $\triangle BFC$:
$S_{ABCD} = S_{\triangle AFD} - S_{\triangle BFC}$
$S_{ABCD} = 150 - 54 = 96$ см$^2$.

Ответ: 96 см$^2$.

305. Точка $K$ делит сторону $BC$ квадрата $ABCD$ в отношении $3 : 2$, считая от точки $B$. Отрезки $AC$ и $DK$ пересекаются в точке $E$. Найдите площадь треугольника $CEK$, если площадь треугольника $ADE$ равна $50 \text{ см}^2$.

305. Точка $K$ делит сторону $BC$ квадрата $ABCD$ в отношении 3 : 2, считая от точки $B$. Отрезки $AC$ и $DK$ пересекаются в точке $E$. Найдите площадь треугольника $CEK$, если площадь треугольника $ADE$ равна $50 \text{ см}^2$.

Пусть сторона квадрата $ABCD$ равна $a$. Следовательно, $AD = BC = a$.

По условию, точка $K$ делит сторону $BC$ в отношении $BK : KC = 3 : 2$. Это означает, что вся сторона $BC$ состоит из $3+2=5$ равных частей. Тогда длина отрезка $KC$ составляет две пятых от длины стороны $BC$.

$KC = \frac{2}{3+2} BC = \frac{2}{5} BC = \frac{2}{5}a$.

Рассмотрим треугольники $ADE$ и $CKE$.

Поскольку $ABCD$ — квадрат, его противоположные стороны параллельны, то есть $AD \parallel BC$. Так как точка $K$ лежит на стороне $BC$, то прямая, содержащая отрезок $KC$, параллельна прямой $AD$.

Рассмотрим параллельные прямые $AD$ и $BC$ и секущую $AC$. Углы $\angle DAE$ и $\angle KCE$ являются накрест лежащими, следовательно, они равны: $\angle DAE = \angle KCE$.

Рассмотрим параллельные прямые $AD$ и $BC$ и секущую $DK$. Углы $\angle ADK$ и $\angle CKD$ также являются накрест лежащими, следовательно, они равны: $\angle ADK = \angle CKD$.

Таким образом, треугольники $\triangle ADE$ и $\triangle CKE$ подобны по двум углам (первый признак подобия треугольников).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия, который равен отношению их соответственных сторон:

$\frac{S_{ADE}}{S_{CKE}} = k^2 = \left(\frac{AD}{CK}\right)^2$.

Найдем коэффициент подобия $k$, который равен отношению сторон $AD$ и $CK$:

$k = \frac{AD}{CK} = \frac{a}{\frac{2}{5}a} = \frac{5}{2}$.

Теперь подставим это отношение в формулу для площадей:

$\frac{S_{ADE}}{S_{CKE}} = \left(\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{25}{4}$.

По условию задачи, площадь треугольника $ADE$ равна $50 \text{ см}^2$. Подставим это значение и найдем площадь треугольника $CEK$:

$\frac{50}{S_{CKE}} = \frac{25}{4}$.

$S_{CKE} = \frac{50 \cdot 4}{25} = 2 \cdot 4 = 8 \text{ см}^2$.

Ответ: $8 \text{ см}^2$.

306. Прямая, параллельная медиане $CD$ треугольника $ABC$, пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $M$ и $K$ соответственно. Площади треугольника $AMK$ и четырёхугольника $BCKM$ относятся как 1 : 17. Найдите отрезок $MK$, если $CD = 9$ см.

306. Прямая, параллельная медиане $CD$ треугольника $ABC$, пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $M$ и $K$ соответственно. Площади треугольника $AMK$ и четырёхугольника $BCKM$ относятся как $1 : 17$. Найдите отрезок $MK$, если $CD = 9$ см.

По условию задачи дано отношение площади треугольника $AMK$ к площади четырехугольника $BCKM$: $ \frac{S_{AMK}}{S_{BCKM}} = \frac{1}{17} $.

Пусть площадь треугольника $AMK$ равна $S_{AMK} = x$, тогда площадь четырехугольника $BCKM$ равна $S_{BCKM} = 17x$. Площадь всего треугольника $ABC$ является суммой площадей треугольника $AMK$ и четырехугольника $BCKM$: $ S_{ABC} = S_{AMK} + S_{BCKM} = x + 17x = 18x $.

Поскольку $CD$ является медианой треугольника $ABC$, она делит его на два равновеликих (равных по площади) треугольника: $ADC$ и $BDC$. Следовательно, площадь треугольника $ADC$ составляет половину площади треугольника $ABC$: $ S_{ADC} = \frac{1}{2} S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 18x = 9x $.

Теперь найдем отношение площадей треугольников $AMK$ и $ADC$: $ \frac{S_{AMK}}{S_{ADC}} = \frac{x}{9x} = \frac{1}{9} $.

Рассмотрим треугольники $AMK$ и $ADC$. Угол $A$ у них общий. Так как по условию прямая $MK$ параллельна прямой $CD$ ($MK \parallel CD$), то углы $\angle AMK$ и $\angle ADC$ равны как соответственные углы при параллельных прямых $MK$, $CD$ и секущей $AB$. Следовательно, треугольник $AMK$ подобен треугольнику $ADC$ по двум углам ($\triangle AMK \sim \triangle ADC$).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату их коэффициента подобия, который, в свою очередь, равен отношению соответствующих сторон: $ \frac{S_{AMK}}{S_{ADC}} = \left(\frac{MK}{CD}\right)^2 $.

Подставим известные значения в это равенство: $ \frac{1}{9} = \left(\frac{MK}{CD}\right)^2 $.

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем: $ \frac{MK}{CD} = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3} $.

Отсюда выражаем длину отрезка $MK$: $ MK = \frac{1}{3} \cdot CD $.

По условию задачи длина медианы $CD = 9$ см. Подставляем это значение: $ MK = \frac{1}{3} \cdot 9 = 3 $ см.

Ответ: 3 см.