Страница 72 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

41. Найдите радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника с основанием 16 см и боковой стороной 17 см.

41. Найдите радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника с основанием 16 см и боковой стороной 17 см.

Для нахождения радиуса $R$ окружности, описанной около треугольника, воспользуемся формулой $R = \frac{abc}{4S}$, где $a$, $b$, $c$ – стороны треугольника, а $S$ – его площадь.

В нашем случае дан равнобедренный треугольник со сторонами $a = 17$ см, $b = 17$ см и основанием $c = 16$ см.

1. Найдем площадь треугольника (S).Проведем высоту $h$ к основанию. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой, поэтому она делит основание на два равных отрезка по $16 / 2 = 8$ см.Получаем прямоугольный треугольник, в котором боковая сторона является гипотенузой (17 см), а высота $h$ и половина основания (8 см) – катетами.По теореме Пифагора найдем высоту $h$:$h^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225$$h = \sqrt{225} = 15$ см.

Теперь вычислим площадь треугольника:$S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} = \frac{1}{2} \times 16 \times 15 = 8 \times 15 = 120$ см².

2. Найдем радиус описанной окружности (R).Подставим значения сторон и площади в формулу:$R = \frac{17 \times 17 \times 16}{4 \times 120} = \frac{289 \times 16}{480}$Сократим дробь на 16:$R = \frac{289}{30} = 9\frac{19}{30}$ см.

Ответ: $9\frac{19}{30}$ см.

42. Основания равнобокой трапеции равны 2 см и 12 см, а боковая сторона — 13 см. Найдите радиус окружности, описанной около трапеции.

42. Основания равнобокой трапеции равны 2 см и 12 см, а боковая сторона — 13 см. Найдите радиус окружности, описанной около трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания. По условию, $AD = 12$ см, $BC = 2$ см, а боковые стороны $AB = CD = 13$ см.

Окружность, описанная около трапеции, является также описанной окружностью для любого треугольника, образованного тремя ее вершинами. Рассмотрим треугольник $ACD$. Радиус $R$ описанной около треугольника окружности можно найти по формуле:$R = \frac{a \cdot b \cdot c}{4S}$, где $a, b, c$ — стороны треугольника, а $S$ — его площадь.Для нахождения радиуса нам необходимо определить длину диагонали $AC$ и высоту трапеции.

1. Найдем высоту трапеции.
Проведем из вершины $C$ высоту $CH$ на основание $AD$. В равнобокой трапеции отрезок $HD$, отсекаемый высотой от большего основания, равен полуразности оснований:$HD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{12 - 2}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.Рассмотрим прямоугольный треугольник $CHD$. По теореме Пифагора найдем высоту $h = CH$:$CH^2 = CD^2 - HD^2$$h^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$$h = \sqrt{144} = 12$ см.

2. Найдем длину диагонали трапеции.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$. Длина отрезка $AH$ равна:$AH = AD - HD = 12 - 5 = 7$ см.По теореме Пифагора найдем диагональ $AC$:$AC^2 = AH^2 + CH^2$$AC^2 = 7^2 + 12^2 = 49 + 144 = 193$$AC = \sqrt{193}$ см.

3. Найдем радиус описанной окружности.
Теперь у нас есть все необходимые данные для треугольника $ACD$: стороны $AD = 12$ см, $CD = 13$ см, $AC = \sqrt{193}$ см.Найдем площадь треугольника $ACD$. Его основание $AD = 12$ см, а высота, проведенная к этому основанию, равна высоте трапеции $h = 12$ см.$S_{\triangle ACD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 12 = 72$ см².Подставим найденные значения в формулу для радиуса описанной окружности:$R = \frac{AD \cdot CD \cdot AC}{4 \cdot S_{\triangle ACD}} = \frac{12 \cdot 13 \cdot \sqrt{193}}{4 \cdot 72}$$R = \frac{156 \sqrt{193}}{288}$Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 12:$R = \frac{13 \sqrt{193}}{24}$ см.

Ответ: $\frac{13\sqrt{193}}{24}$ см.

43. Диагонали равнобокой трапеции перпендикулярны. Найдите радиус окружности, описанной около трапеции, если её боковая сторона равна $7\sqrt{2}$ см.

43. Диагонали равнобокой трапеции перпендикулярны. Найдите радиус окружности, описанной около трапеции, если её боковая сторона равна $7\sqrt{2}$ см.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, и боковыми сторонами $AB$ и $CD$. По условию задачи, диагонали трапеции перпендикулярны, а её боковая сторона равна $7\sqrt{2}$ см.

Окружность, описанная около трапеции, является также описанной окружностью для любого треугольника, образованного тремя вершинами этой трапеции. Рассмотрим треугольник $ABD$.

Радиус $R$ описанной окружности около треугольника $ABD$ можно найти по теореме синусов:

$R = \frac{AB}{2 \sin(\angle ADB)}$

Для нахождения радиуса нам необходимо найти величину угла $ADB$.

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. Так как трапеция равнобокая, её диагонали равны ($AC = BD$), а треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle DCA$ равны по трем сторонам ($AB=DC$ по условию, $AD$ — общая сторона, $AC=BD$).

Из равенства треугольников $\triangle ABD = \triangle DCA$ следует равенство их соответствующих углов, в частности $\angle ADB = \angle DAC$.

Рассмотрим треугольник $AOD$. По условию диагонали перпендикулярны, значит, $\triangle AOD$ — прямоугольный, где $\angle AOD = 90^\circ$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$:

$\angle OAD + \angle ODA = 90^\circ$

Поскольку $\angle OAD$ это тот же угол, что и $\angle DAC$, а $\angle ODA$ — тот же, что и $\angle ADB$, мы можем переписать это равенство как:

$\angle DAC + \angle ADB = 90^\circ$

Используя ранее установленное равенство $\angle ADB = \angle DAC$, получаем:

$\angle ADB + \angle ADB = 90^\circ$

$2 \cdot \angle ADB = 90^\circ$

$\angle ADB = 45^\circ$

Теперь мы можем вычислить радиус описанной окружности, подставив известные значения в формулу теоремы синусов. Боковая сторона $AB = 7\sqrt{2}$ см, а $\angle ADB = 45^\circ$.

$R = \frac{7\sqrt{2}}{2 \sin(45^\circ)}$

Зная, что значение синуса $45^\circ$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$R = \frac{7\sqrt{2}}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{7\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 7$ см.

Ответ: 7 см.

44. В равнобокой трапеции диагональ является биссектрисой тупого угла, а основания относятся как 3 : 13. Найдите диагональ трапеции, если радиус окружности, описанной около трапеции, равен 13 см.

44. В равнобокой трапеции диагональ является биссектрисой тупого угла, а основания относятся как 3 : 13. Найдите диагональ трапеции, если радиус окружности, описанной около трапеции, равен 13 см.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, причем $AD > BC$. Диагональ $AC$ является биссектрисой тупого угла $\angle BCD$. Радиус описанной окружности $R = 13$ см. Отношение оснований $BC : AD = 3 : 13$.

1. Найдем соотношение между сторонами трапеции.

Так как $AC$ — биссектриса угла $\angle BCD$, то $\angle BCA = \angle ACD$.

Поскольку основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), то углы $\angle BCA$ и $\angle CAD$ равны как накрест лежащие углы при секущей $AC$.

Из этих двух равенств следует, что $\angle ACD = \angle CAD$. Это означает, что треугольник $ACD$ является равнобедренным, и его боковые стороны, противолежащие равным углам, равны: $CD = AD$.

Трапеция $ABCD$ равнобокая, поэтому ее боковые стороны равны: $AB = CD$.

Таким образом, мы получаем, что боковая сторона трапеции равна ее большему основанию: $AB = CD = AD$.

2. Выразим стороны трапеции через переменную.

Из условия известно, что $BC : AD = 3 : 13$. Пусть коэффициент пропорциональности равен $x$. Тогда:

$BC = 3x$

$AD = 13x$

Исходя из найденного выше соотношения, боковые стороны равны:

$AB = CD = 13x$

3. Найдем синус угла при большем основании.

Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ к основанию $AD$. В равнобокой трапеции отрезок $HD$ можно найти по формуле:

$HD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{13x - 3x}{2} = \frac{10x}{2} = 5x$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $CHD$. В нем $CD$ — гипотенуза, $HD$ — катет. Косинус угла $D$ равен:

$\cos(\angle D) = \frac{HD}{CD} = \frac{5x}{13x} = \frac{5}{13}$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2(\angle D) + \cos^2(\angle D) = 1$, найдем синус угла $D$:

$\sin(\angle D) = \sqrt{1 - \cos^2(\angle D)} = \sqrt{1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{169 - 25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$

(Мы берем положительное значение корня, так как угол $D$ в трапеции острый).

4. Найдем диагональ трапеции.

Рассмотрим треугольник $ACD$. Он, как и вся трапеция, вписан в окружность радиусом $R = 13$ см. По теореме синусов для треугольника $ACD$:

$\frac{AC}{\sin(\angle D)} = 2R$

Отсюда диагональ $AC$ равна:

$AC = 2R \cdot \sin(\angle D)$

Подставим известные значения:

$AC = 2 \cdot 13 \cdot \frac{12}{13} = 2 \cdot 12 = 24$ см.

Ответ: 24 см.

45. На стороне $AC$ треугольника $ABC$ отметили точку $K$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABK$, если радиус окружности, описанной около треугольника $BKC$, равен 18 см, $AB = 7$ см, $BC = 21$ см.

45. На стороне $AC$ треугольника $ABC$ отметили точку $K$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABK$, если радиус окружности, описанной около треугольника $BKC$, равен $18$ см, $AB = 7$ см, $BC = 21$ см.

Для решения задачи воспользуемся обобщенной теоремой синусов, согласно которой для любого треугольника отношение длины стороны к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной около него окружности ($2R$).

1. Найдем синус угла $ \angle BKC $ в треугольнике $BKC$.

Для треугольника $BKC$ известны: сторона $BC = 21$ см и радиус описанной окружности $R_{BKC} = 18$ см. Угол, противолежащий стороне $BC$, — это угол $\angle BKC$.

По теореме синусов:

$ \frac{BC}{\sin(\angle BKC)} = 2R_{BKC} $

Выразим синус угла $\angle BKC$:

$ \sin(\angle BKC) = \frac{BC}{2R_{BKC}} = \frac{21}{2 \cdot 18} = \frac{21}{36} = \frac{7}{12} $

2. Найдем синус угла $ \angle AKB $ в треугольнике $ABK$.

Поскольку точка $K$ лежит на стороне $AC$, углы $\angle AKB$ и $\angle BKC$ являются смежными. Сумма смежных углов равна $180^\circ$:

$ \angle AKB + \angle BKC = 180^\circ $

Синусы смежных углов равны, так как $ \sin(180^\circ - \alpha) = \sin(\alpha) $. Следовательно:

$ \sin(\angle AKB) = \sin(180^\circ - \angle BKC) = \sin(\angle BKC) = \frac{7}{12} $

3. Найдем радиус окружности, описанной около треугольника $ABK$.

Для треугольника $ABK$ известны: сторона $AB = 7$ см и синус противолежащего ей угла $ \sin(\angle AKB) = \frac{7}{12} $. Обозначим искомый радиус как $R_{ABK}$.

Применим теорему синусов для треугольника $ABK$:

$ \frac{AB}{\sin(\angle AKB)} = 2R_{ABK} $

Выразим и вычислим $R_{ABK}$:

$ R_{ABK} = \frac{AB}{2 \sin(\angle AKB)} = \frac{7}{2 \cdot \frac{7}{12}} = \frac{7}{\frac{14}{12}} = \frac{7 \cdot 12}{14} = \frac{12}{2} = 6 $ см.

Ответ: 6 см.

46. Найдите неизвестные стороны и углы треугольника $ABC$, если:

1) $AC = 10$ см, $\angle C = 76^\circ$, $\angle B = 62^\circ$;

2) $AB = 7$ см, $BC = 11$ см, $\angle B = 96^\circ$;

3) $AB = 7$ см, $BC = 11$ см, $AC = 16$ см;

4) $AB = 18$ см, $BC = 20$ см, $\angle A = 110^\circ$;

5) $AB = 12$ см, $BC = 15$ см, $\angle A = 50^\circ$;

6) $AB = 14$ см, $BC = 9$ см, $\angle A = 25^\circ$;

7) $AB = 28$ см, $BC = 12$ см, $\angle A = 35^\circ$.

46. Найдите неизвестные стороны и углы треугольника $ABC$, если:

1) $AC = 10$ см, $\angle C = 76^\circ$, $\angle B = 62^\circ$;

2) $AB = 7$ см, $BC = 11$ см, $\angle B = 96^\circ$;

3) $AB = 7$ см, $BC = 11$ см, $AC = 16$ см;

4) $AB = 18$ см, $BC = 20$ см, $\angle A = 110^\circ$;

5) $AB = 12$ см, $BC = 15$ см, $\angle A = 50^\circ$;

6) $AB = 14$ см, $BC = 9$ см, $\angle A = 25^\circ$;

7) $AB = 28$ см, $BC = 12$ см, $\angle A = 35^\circ$.

1) AC = 10 см, ∠C = 76°, ∠B = 62°
Дано: сторона $b = AC = 10$ см, угол $∠C = 76°$, угол $∠B = 62°$.
Необходимо найти: сторону $a$ (BC), сторону $c$ (AB) и угол $∠A$.
1. Находим угол $∠A$. Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому:
$∠A = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 62° - 76° = 42°$.
2. Используем теорему синусов для нахождения неизвестных сторон AB и BC.
Теорема синусов: $ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} $
Подставляем известные значения:
$ \frac{BC}{\sin 42°} = \frac{10}{\sin 62°} = \frac{AB}{\sin 76°} $
3. Находим сторону BC ($a$):
$ BC = \frac{10 \cdot \sin 42°}{\sin 62°} \approx \frac{10 \cdot 0.6691}{0.8829} \approx 7.58 $ см.
4. Находим сторону AB ($c$):
$ AB = \frac{10 \cdot \sin 76°}{\sin 62°} \approx \frac{10 \cdot 0.9703}{0.8829} \approx 10.99 $ см.
Ответ: $∠A = 42°$, $BC \approx 7.6$ см, $AB \approx 11.0$ см.

2) AB = 7 см, BC = 11 см, ∠B = 96°
Дано: сторона $c = AB = 7$ см, сторона $a = BC = 11$ см, угол $∠B = 96°$.
Необходимо найти: сторону $b$ (AC), угол $∠A$ и угол $∠C$.
1. Находим сторону AC ($b$) с помощью теоремы косинусов:
$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$
$AC^2 = 11^2 + 7^2 - 2 \cdot 11 \cdot 7 \cdot \cos 96°$
$AC^2 = 121 + 49 - 154 \cdot (-0.1045) = 170 + 16.093 = 186.093$
$AC = \sqrt{186.093} \approx 13.64$ см.
2. Находим угол $∠A$ с помощью теоремы синусов:
$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \implies \sin A = \frac{a \cdot \sin B}{b} $
$ \sin A = \frac{11 \cdot \sin 96°}{13.64} \approx \frac{11 \cdot 0.9945}{13.64} \approx 0.8020 $
$ ∠A = \arcsin(0.8020) \approx 53.3° $ (угол острый, так как противолежит меньшей стороне, чем AC).
3. Находим угол $∠C$:
$ ∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 53.3° - 96° = 30.7° $.
Ответ: $AC \approx 13.6$ см, $∠A \approx 53.3°$, $∠C \approx 30.7°$.

3) AB = 7 см, BC = 11 см, AC = 16 см
Дано: сторона $c = AB = 7$ см, сторона $a = BC = 11$ см, сторона $b = AC = 16$ см.
Необходимо найти: углы $∠A, ∠B, ∠C$.
Используем теорему косинусов для нахождения углов.
1. Находим угол $∠A$ (противолежит стороне $a = 11$):
$ \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{16^2 + 7^2 - 11^2}{2 \cdot 16 \cdot 7} = \frac{256 + 49 - 121}{224} = \frac{184}{224} \approx 0.8214 $
$ ∠A = \arccos(0.8214) \approx 34.8° $.
2. Находим угол $∠B$ (противолежит стороне $b = 16$):
$ \cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{11^2 + 7^2 - 16^2}{2 \cdot 11 \cdot 7} = \frac{121 + 49 - 256}{154} = \frac{-86}{154} \approx -0.5584 $
$ ∠B = \arccos(-0.5584) \approx 124.0° $.
3. Находим угол $∠C$ (противолежит стороне $c = 7$):
$ ∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 34.8° - 124.0° = 21.2° $.
Ответ: $∠A \approx 34.8°$, $∠B \approx 124.0°$, $∠C \approx 21.2°$.

4) AB = 18 см, BC = 20 см, ∠A = 110°
Дано: сторона $c = AB = 18$ см, сторона $a = BC = 20$ см, угол $∠A = 110°$.
Необходимо найти: сторону $b$ (AC), угол $∠B$ и угол $∠C$.
1. Находим угол $∠C$ с помощью теоремы синусов:
$ \frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} \implies \sin C = \frac{c \cdot \sin A}{a} $
$ \sin C = \frac{18 \cdot \sin 110°}{20} \approx \frac{18 \cdot 0.9397}{20} \approx 0.8457 $
$ ∠C = \arcsin(0.8457) $. Так как угол $∠A$ тупой (110°), то угол $∠C$ может быть только острым. $∠C \approx 57.8°$.
2. Находим угол $∠B$:
$ ∠B = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 110° - 57.8° = 12.2° $.
3. Находим сторону AC ($b$) по теореме синусов:
$ \frac{b}{\sin B} = \frac{a}{\sin A} \implies b = \frac{a \cdot \sin B}{\sin A} $
$ AC = \frac{20 \cdot \sin 12.2°}{\sin 110°} \approx \frac{20 \cdot 0.2113}{0.9397} \approx 4.50 $ см.
Ответ: $AC \approx 4.5$ см, $∠B \approx 12.2°$, $∠C \approx 57.8°$.

5) AB = 12 см, BC = 15 см, ∠A = 50°
Дано: сторона $c = AB = 12$ см, сторона $a = BC = 15$ см, угол $∠A = 50°$.
Необходимо найти: сторону $b$ (AC), угол $∠B$ и угол $∠C$.
1. Находим угол $∠C$ с помощью теоремы синусов:
$ \frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} \implies \sin C = \frac{c \cdot \sin A}{a} $
$ \sin C = \frac{12 \cdot \sin 50°}{15} \approx \frac{12 \cdot 0.7660}{15} \approx 0.6128 $
$∠C = \arcsin(0.6128) \approx 37.8°$. Второй возможный угол $180° - 37.8° = 142.2°$ не подходит, так как $50° + 142.2° > 180°$.
2. Находим угол $∠B$:
$ ∠B = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 50° - 37.8° = 92.2° $.
3. Находим сторону AC ($b$) по теореме синусов:
$ \frac{b}{\sin B} = \frac{a}{\sin A} \implies b = \frac{a \cdot \sin B}{\sin A} $
$ AC = \frac{15 \cdot \sin 92.2°}{\sin 50°} \approx \frac{15 \cdot 0.9992}{0.7660} \approx 19.57 $ см.
Ответ: $AC \approx 19.6$ см, $∠B \approx 92.2°$, $∠C \approx 37.8°$.

6) AB = 14 см, BC = 9 см, ∠A = 25°
Дано: сторона $c = AB = 14$ см, сторона $a = BC = 9$ см, угол $∠A = 25°$.
Необходимо найти: сторону $b$ (AC), угол $∠B$ и угол $∠C$.
1. Находим угол $∠C$ с помощью теоремы синусов:
$ \frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} \implies \sin C = \frac{c \cdot \sin A}{a} $
$ \sin C = \frac{14 \cdot \sin 25°}{9} \approx \frac{14 \cdot 0.4226}{9} \approx 0.6574 $
Так как $ \sin C \approx 0.6574 $, существует два возможных угла $C$, сумма которых равна 180°:
$ ∠C_1 = \arcsin(0.6574) \approx 41.1° $
$ ∠C_2 = 180° - 41.1° = 138.9° $
Оба варианта возможны, так как $∠A + ∠C_1 < 180°$ и $∠A + ∠C_2 < 180°$. Следовательно, задача имеет два решения.

Решение 1:
$ ∠C_1 \approx 41.1° $.
$ ∠B_1 = 180° - ∠A - ∠C_1 = 180° - 25° - 41.1° = 113.9° $.
$ AC_1 = \frac{a \cdot \sin B_1}{\sin A} = \frac{9 \cdot \sin 113.9°}{\sin 25°} \approx \frac{9 \cdot 0.9142}{0.4226} \approx 19.5 $ см.

Решение 2:
$ ∠C_2 \approx 138.9° $.
$ ∠B_2 = 180° - ∠A - ∠C_2 = 180° - 25° - 138.9° = 16.1° $.
$ AC_2 = \frac{a \cdot \sin B_2}{\sin A} = \frac{9 \cdot \sin 16.1°}{\sin 25°} \approx \frac{9 \cdot 0.2773}{0.4226} \approx 5.9 $ см.
Ответ: Задача имеет два решения:
1) $AC \approx 19.5$ см, $∠B \approx 113.9°$, $∠C \approx 41.1°$.
2) $AC \approx 5.9$ см, $∠B \approx 16.1°$, $∠C \approx 138.9°$.

7) AB = 28 см, BC = 12 см, ∠A = 35°
Дано: сторона $c = AB = 28$ см, сторона $a = BC = 12$ см, угол $∠A = 35°$.
Необходимо найти: сторону $b$ (AC), угол $∠B$ и угол $∠C$.
1. Попробуем найти угол $∠C$ с помощью теоремы синусов:
$ \frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} \implies \sin C = \frac{c \cdot \sin A}{a} $
$ \sin C = \frac{28 \cdot \sin 35°}{12} \approx \frac{28 \cdot 0.5736}{12} \approx \frac{16.06}{12} \approx 1.338 $
2. Значение синуса угла не может быть больше 1. Так как мы получили $ \sin C \approx 1.338 > 1 $, это означает, что треугольник с заданными параметрами не существует.
Ответ: Треугольник с такими сторонами и углом не существует.

47. В треугольнике ABC $AC = CB = 10$ см, $\angle A = 70^\circ$. Найдите:

1) сторону $AB$;

2) высоту $BK$;

3) медиану $BM$;

4) биссектрису $AD$;

5) радиус описанной окружности треугольника ABC;

6) радиус вписанной окружности треугольника ABC.

47. В треугольнике $ABC$ $AC = CB = 10$ см, $\angle A = 70^\circ$. Найдите:

1) сторону $AB$;

2) высоту $BK$;

3) медиану $BM$;

4) биссектрису $AD$;

5) радиус описанной окружности треугольника $ABC$;

6) радиус вписанной окружности треугольника $ABC$.

Дано: треугольник $ABC$, в котором $AC = CB = 10$ см, $\angle A = 70^\circ$.

Поскольку $AC = CB$, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AB$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle B = \angle A = 70^\circ$.

Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$. Найдем угол при вершине $C$: $\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (70^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$.

1) сторону AB

Сторону $AB$ можно найти, применив теорему синусов к треугольнику $ABC$: $\frac{AB}{\sin(\angle C)} = \frac{AC}{\sin(\angle B)}$

Подставляем известные значения: $\frac{AB}{\sin(40^\circ)} = \frac{10}{\sin(70^\circ)}$

Отсюда получаем $AB$: $AB = \frac{10 \cdot \sin(40^\circ)}{\sin(70^\circ)}$ см.

Также можно найти $AB$, опустив высоту $CH$ на основание $AB$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является и медианой. В прямоугольном треугольнике $ACH$ катет $AH = AC \cdot \cos(\angle A) = 10 \cos(70^\circ)$. Тогда $AB = 2 \cdot AH = 20 \cos(70^\circ)$ см.

Ответ: $20 \cos(70^\circ)$ см.

2) высоту BK

Высота $BK$ — это перпендикуляр, опущенный из вершины $B$ на сторону $AC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BKC$ (где $\angle BKC = 90^\circ$). В этом треугольнике гипотенуза $BC = 10$ см и угол $\angle C = 40^\circ$.

Катет $BK$, противолежащий углу $C$, равен произведению гипотенузы на синус этого угла: $BK = BC \cdot \sin(\angle C) = 10 \sin(40^\circ)$ см.

Ответ: $10 \sin(40^\circ)$ см.

3) медиану BM

Медиана $BM$ соединяет вершину $B$ с серединой стороны $AC$. Следовательно, $MC = \frac{AC}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.

Рассмотрим треугольник $BMC$. В нем известны две стороны $BC = 10$ см, $MC = 5$ см и угол между ними $\angle C = 40^\circ$. Для нахождения стороны $BM$ воспользуемся теоремой косинусов:

$BM^2 = BC^2 + MC^2 - 2 \cdot BC \cdot MC \cdot \cos(\angle C)$

$BM^2 = 10^2 + 5^2 - 2 \cdot 10 \cdot 5 \cdot \cos(40^\circ) = 100 + 25 - 100 \cos(40^\circ) = 125 - 100 \cos(40^\circ)$

$BM = \sqrt{125 - 100 \cos(40^\circ)}$ см.

Ответ: $\sqrt{125 - 100 \cos(40^\circ)}$ см.

4) биссектрису AD

Биссектриса $AD$ делит угол $A$ пополам, поэтому $\angle CAD = \frac{\angle A}{2} = \frac{70^\circ}{2} = 35^\circ$.

Рассмотрим треугольник $ADC$. В нем известна сторона $AC=10$ см и прилежащие к ней углы: $\angle C = 40^\circ$ и $\angle CAD = 35^\circ$. Найдем третий угол треугольника $ADC$: $\angle ADC = 180^\circ - (\angle C + \angle CAD) = 180^\circ - (40^\circ + 35^\circ) = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$.

Теперь применим теорему синусов к треугольнику $ADC$: $\frac{AD}{\sin(\angle C)} = \frac{AC}{\sin(\angle ADC)}$

$\frac{AD}{\sin(40^\circ)} = \frac{10}{\sin(105^\circ)}$

$AD = \frac{10 \sin(40^\circ)}{\sin(105^\circ)}$ см.

Ответ: $\frac{10 \sin(40^\circ)}{\sin(105^\circ)}$ см.

5) радиус описанной окружности треугольника ABC

Радиус $R$ описанной окружности найдем по следствию из теоремы синусов: $R = \frac{a}{2\sin A}$.

Используем сторону $AC = 10$ см и противолежащий ей угол $\angle B = 70^\circ$: $R = \frac{AC}{2 \sin(\angle B)} = \frac{10}{2 \sin(70^\circ)} = \frac{5}{\sin(70^\circ)}$ см.

Ответ: $\frac{5}{\sin(70^\circ)}$ см.

6) радиус вписанной окружности треугольника ABC

Радиус $r$ вписанной окружности вычисляется по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.

Найдем площадь $S$ треугольника $ABC$: $S = \frac{1}{2} AC \cdot CB \cdot \sin(\angle C) = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10 \cdot \sin(40^\circ) = 50 \sin(40^\circ)$ см$^2$.

Найдем полупериметр $p$. Из пункта 1 мы знаем, что $AB = 20 \cos(70^\circ)$. $p = \frac{AC + CB + AB}{2} = \frac{10 + 10 + 20 \cos(70^\circ)}{2} = \frac{20(1 + \cos(70^\circ))}{2} = 10(1 + \cos(70^\circ))$ см.

Теперь найдем радиус $r$: $r = \frac{S}{p} = \frac{50 \sin(40^\circ)}{10(1 + \cos(70^\circ))} = \frac{5 \sin(40^\circ)}{1 + \cos(70^\circ)}$ см.

Ответ: $\frac{5 \sin(40^\circ)}{1 + \cos(70^\circ)}$ см.

48. Диагональ равнобокой трапеции $ABCD$ ($BC \parallel AD$) равна 6 см, $\angle CAD = 42^\circ$, $\angle BAD = 74^\circ$. Найдите:

1) стороны трапеции;

2) радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$.

48. Диагональ равнобокой трапеции $ABCD$ ($BC \parallel AD$) равна 6 см, $\angle CAD = 42^\circ$, $\angle BAD = 74^\circ$. Найдите:

1) стороны трапеции;

2) радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$.

Дано: $ABCD$ — равнобокая трапеция, $BC \parallel AD$, $AC = 6$ см, $\angle CAD = 42^\circ$, $\angle BAD = 74^\circ$.

1) стороны трапеции

Сначала найдем углы, необходимые для решения задачи.

1. Угол $\angle BAC$ является частью угла $\angle BAD$.
$\angle BAC = \angle BAD - \angle CAD = 74^\circ - 42^\circ = 32^\circ$.

2. Так как трапеция $ABCD$ равнобокая, углы при основаниях равны.
$\angle CDA = \angle BAD = 74^\circ$.

3. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$.
$\angle ABC = 180^\circ - \angle BAD = 180^\circ - 74^\circ = 106^\circ$.

4. Так как основания $BC \parallel AD$, то накрест лежащие углы при секущей $AC$ равны.
$\angle BCA = \angle CAD = 42^\circ$.

Теперь, зная углы, мы можем найти стороны трапеции, используя теорему синусов.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Мы знаем сторону $AC = 6$ см и все углы: $\angle BAC = 32^\circ$, $\angle BCA = 42^\circ$, $\angle ABC = 106^\circ$.
По теореме синусов:
$\frac{AB}{\sin\angle BCA} = \frac{BC}{\sin\angle BAC} = \frac{AC}{\sin\angle ABC}$
$\frac{AB}{\sin 42^\circ} = \frac{BC}{\sin 32^\circ} = \frac{6}{\sin 106^\circ}$

Используя тождество $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$, получаем $\sin 106^\circ = \sin(180^\circ - 74^\circ) = \sin 74^\circ$.

Находим боковую сторону $AB$:
$AB = \frac{6 \cdot \sin 42^\circ}{\sin 106^\circ} = \frac{6 \sin 42^\circ}{\sin 74^\circ}$ см.

Так как трапеция равнобокая, $CD = AB = \frac{6 \sin 42^\circ}{\sin 74^\circ}$ см.

Находим меньшее основание $BC$:
$BC = \frac{6 \cdot \sin 32^\circ}{\sin 106^\circ} = \frac{6 \sin 32^\circ}{\sin 74^\circ}$ см.

Для нахождения большего основания $AD$ рассмотрим треугольник $ACD$. Мы знаем сторону $AC=6$ см, $\angle CAD = 42^\circ$ и $\angle CDA = 74^\circ$. Найдем третий угол:
$\angle ACD = 180^\circ - (\angle CAD + \angle CDA) = 180^\circ - (42^\circ + 74^\circ) = 180^\circ - 116^\circ = 64^\circ$.

По теореме синусов для треугольника $ACD$:
$\frac{AD}{\sin\angle ACD} = \frac{AC}{\sin\angle CDA}$
$\frac{AD}{\sin 64^\circ} = \frac{6}{\sin 74^\circ}$

Находим большее основание $AD$:
$AD = \frac{6 \sin 64^\circ}{\sin 74^\circ}$ см.

Ответ: $AB = CD = \frac{6 \sin 42^\circ}{\sin 74^\circ}$ см, $BC = \frac{6 \sin 32^\circ}{\sin 74^\circ}$ см, $AD = \frac{6 \sin 64^\circ}{\sin 74^\circ}$ см.

2) радиус окружности, описанной около треугольника ABC

Пусть $R$ — радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$. Согласно следствию из теоремы синусов, радиус описанной окружности можно найти по формуле $2R = \frac{a}{\sin \alpha}$, где $a$ — сторона треугольника, а $\alpha$ — противолежащий ей угол.

Для треугольника $ABC$ используем известную сторону $AC = 6$ см и противолежащий ей угол $\angle ABC = 106^\circ$.
$2R = \frac{AC}{\sin \angle ABC}$
$2R = \frac{6}{\sin 106^\circ}$
$R = \frac{6}{2 \sin 106^\circ} = \frac{3}{\sin 106^\circ}$

Так как $\sin 106^\circ = \sin 74^\circ$, то:
$R = \frac{3}{\sin 74^\circ}$ см.

Ответ: $R = \frac{3}{\sin 74^\circ}$ см.