Страница 79 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

112. Диаметр колеса велосипеда равен 0,7 м. Найдите скорость велосипедиста в километрах в час, если за одну минуту колесо делает 100 оборотов. Ответ округлите до единиц.

112. Диаметр колеса велосипеда равен 0,7 м. Найдите скорость велосипедиста в километрах в час, если за одну минуту колесо делает 100 оборотов. Ответ округлите до единиц.

1. Сначала найдем длину окружности колеса, которая соответствует расстоянию, проходимому за один полный оборот. Длина окружности $C$ вычисляется по формуле $C = \pi d$, где $d$ — диаметр.

Диаметр колеса $d = 0,7$ м.

$C = \pi \times 0,7 = 0,7\pi$ м.

2. За одну минуту колесо делает 100 оборотов. Найдем расстояние, которое проезжает велосипедист за одну минуту, умножив длину окружности на количество оборотов:

$S_{мин} = 100 \times 0,7\pi = 70\pi$ м.

3. Теперь нам нужно найти скорость в километрах в час. Сначала переведем расстояние, проходимое за минуту, в расстояние, проходимое за час. В одном часе 60 минут:

$S_{час} = 70\pi \times 60 = 4200\pi$ м.

4. Теперь переведем это расстояние из метров в километры. В одном километре 1000 метров:

$S_{км} = \frac{4200\pi}{1000} = 4,2\pi$ км.

Таким образом, скорость велосипедиста составляет $4,2\pi$ км/ч.

5. Вычислим числовое значение скорости, используя приближенное значение $\pi \approx 3,14$, и округлим результат до единиц, как требуется в условии задачи.

$V \approx 4,2 \times 3,14 = 13,188$ км/ч.

Округляя до ближайшего целого числа, получаем 13.

Ответ: 13

113. Радиус окружности равен 8 см. Найдите длину дуги окружности, градусная мера которой равна:

1) $35^{\circ}$;

2) $315^{\circ}$.

113. Радиус окружности равен 8 см. Найдите длину дуги окружности, градусная мера которой равна:

1) $35^\circ$;

2) $315^\circ$.

Для нахождения длины дуги окружности $L$ используется формула $L = \frac{\pi R \alpha}{180^\circ}$, где $R$ — радиус окружности, а $\alpha$ — градусная мера дуги.

По условию задачи, радиус окружности $R = 8$ см.

1) Найдем длину дуги, градусная мера которой равна $35^\circ$.
Подставляем известные значения в формулу:
$L = \frac{\pi \cdot 8 \cdot 35}{180} = \frac{280\pi}{180}$
Сокращаем дробь на 20:
$L = \frac{14\pi}{9}$ (см).
Ответ: $\frac{14\pi}{9}$ см.

2) Найдем длину дуги, градусная мера которой равна $315^\circ$.
Подставляем известные значения в формулу:
$L = \frac{\pi \cdot 8 \cdot 315}{180}$
Сокращаем дробь. Удобно сократить 315 и 180 на 45 ($315 = 7 \cdot 45$, а $180 = 4 \cdot 45$):
$L = \frac{\pi \cdot 8 \cdot 7}{4} = \pi \cdot 2 \cdot 7 = 14\pi$ (см).
Ответ: $14\pi$ см.

114. Длина дуги окружности равна $20\pi$ см, а её градусная мера — $15^\circ$. Найдите радиус окружности.

114. Длина дуги окружности равна $20\pi$ см, а её градусная мера – $15^\circ$. Найдите радиус окружности.

Для нахождения радиуса окружности воспользуемся формулой длины дуги:

$L = \frac{\pi R \alpha}{180°}$

где $L$ — длина дуги, $R$ — радиус окружности, а $\alpha$ — градусная мера дуги.

Из условия задачи известно, что:

$L = 20\pi$ см

$\alpha = 15°$

Подставим эти значения в формулу и выразим радиус $R$:

$20\pi = \frac{\pi \cdot R \cdot 15}{180}$

Сократим $\pi$ в обеих частях уравнения:

$20 = \frac{15R}{180}$

Теперь выразим $R$:

$R = \frac{20 \cdot 180}{15}$

Сократим дробь. Можно сократить 15 и 180 на 15 ($180 / 15 = 12$):

$R = 20 \cdot 12$

$R = 240$

Таким образом, радиус окружности равен 240 см.

Ответ: 240 см.

115. Длина дуги окружности равна $\pi$ см. Найдите градусную меру дуги окружности, если радиус окружности равен 40 см.

115. Длина дуги окружности равна $\pi$ см. Найдите градусную меру дуги окружности, если радиус окружности равен 40 см.

Для нахождения градусной меры дуги окружности воспользуемся формулой для вычисления длины дуги:

$L = \frac{\pi R \alpha}{180^\circ}$

где $L$ – длина дуги, $R$ – радиус окружности, а $\alpha$ – градусная мера дуги.

Согласно условию задачи, у нас есть следующие данные:

• Длина дуги $L = \pi$ см.
• Радиус окружности $R = 40$ см.

Подставим известные значения в формулу:

$\pi = \frac{\pi \cdot 40 \cdot \alpha}{180}$

Теперь решим это уравнение относительно $\alpha$. Для начала, разделим обе части уравнения на $\pi$:

$1 = \frac{40 \cdot \alpha}{180}$

Далее, чтобы найти $\alpha$, умножим обе части на 180 и разделим на 40:

$\alpha = \frac{180 \cdot 1}{40}$

Выполним вычисление:

$\alpha = \frac{180}{40} = \frac{18}{4} = 4.5$

Следовательно, градусная мера дуги окружности составляет 4,5°.

Ответ: 4,5°.

116. Начертите окружность радиусом 4 см. Отметьте на ней точки $A$ и $B$ так, чтобы длина дуги $AB$ была равной $3\pi$ см.

116. Начертите окружность радиусом 4 см. Отметьте на ней точки $A$ и $B$ так, чтобы длина дуги $AB$ была равной $3\pi$ см.

Для того чтобы отметить на окружности точки А и В так, чтобы длина дуги АВ была равна $3\pi$ см, сначала необходимо найти величину центрального угла $\alpha$, который опирается на эту дугу.

Формула для вычисления длины дуги окружности L через радиус R и центральный угол $\alpha$ (в градусах) выглядит следующим образом:
$L = \frac{\pi R \alpha}{180^\circ}$

В условии задачи даны:
Радиус окружности $R = 4$ см.
Длина дуги $L = 3\pi$ см.

Подставим известные значения в формулу и найдем угол $\alpha$:
$3\pi = \frac{\pi \cdot 4 \cdot \alpha}{180^\circ}$

Сократим $\pi$ в обеих частях уравнения:
$3 = \frac{4 \alpha}{180^\circ}$

Теперь выразим $\alpha$:
$\alpha = \frac{3 \cdot 180^\circ}{4}$
$\alpha = 3 \cdot 45^\circ$
$\alpha = 135^\circ$

Таким образом, центральный угол $\angle AOB$, опирающийся на дугу АВ, должен быть равен $135^\circ$.

Алгоритм построения:
1. С помощью циркуля начертите окружность с центром в точке О и радиусом 4 см.
2. Выберите на окружности любую точку и обозначьте ее буквой А.
3. Проведите радиус ОА.
4. С помощью транспортира отложите от радиуса ОА угол в $135^\circ$ с вершиной в центре окружности О.
5. Проведите второй радиус ОВ по второй стороне построенного угла. Точка пересечения этого радиуса с окружностью и будет искомой точкой В.

Ответ: точки А и В следует отметить на окружности так, чтобы центральный угол $\angle AOB$ был равен $135^\circ$.

117. Длина первой окружности, радиус которой 12 см, равна длине дуги второй окружности, градусная мера которой 135°. Найдите радиус второй окружности.

117. Длина первой окружности, радиус которой 12 см, равна длине дуги второй окружности, градусная мера которой $135^\circ$. Найдите радиус второй окружности.

Для решения задачи необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти длину первой окружности. Формула для вычисления длины окружности (C) через её радиус (r) имеет вид: $C = 2\pi r$. Радиус первой окружности $r_1 = 12$ см. Подставим значение радиуса в формулу: $C_1 = 2 \cdot \pi \cdot 12 = 24\pi$ см.

2. Использовать условие, что длина первой окружности равна длине дуги второй окружности. Обозначим длину дуги второй окружности как $L_2$. По условию задачи, $L_2 = C_1$, следовательно, $L_2 = 24\pi$ см.

3. Найти радиус второй окружности. Формула для вычисления длины дуги окружности (L) через её радиус (R) и градусную меру дуги ($\alpha$) имеет вид: $L = \frac{2\pi R \cdot \alpha}{360^\circ}$. Обозначим радиус второй окружности как $r_2$. Градусная мера дуги второй окружности $\alpha = 135^\circ$. Мы знаем, что $L_2 = 24\pi$ см. Подставим все известные значения в формулу: $24\pi = \frac{2\pi r_2 \cdot 135^\circ}{360^\circ}$.

4. Решить полученное уравнение относительно $r_2$. Сначала сократим дробь $\frac{135}{360}$. Разделим числитель и знаменатель на 45: $\frac{135}{360} = \frac{3}{8}$. Теперь уравнение выглядит так: $24\pi = 2\pi r_2 \cdot \frac{3}{8}$. Разделим обе части уравнения на $2\pi$: $12 = r_2 \cdot \frac{3}{8}$. Чтобы найти $r_2$, умножим обе части на $\frac{8}{3}$: $r_2 = 12 \cdot \frac{8}{3}$. $r_2 = \frac{12 \cdot 8}{3} = 4 \cdot 8 = 32$. Следовательно, радиус второй окружности равен 32 см.

Ответ: 32 см.

118. На катете BC прямоугольного треугольника ABC ($ \angle C = 90^\circ $) как на диаметре построена полуокружность, которая пересекает гипотенузу. Найдите длину дуги этой полуокружности, расположенной вне треугольника, если $ \angle B = 54^\circ $, $ BC = 8 \text{ см} $.

118. На катете $BC$ прямоугольного треугольника $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) как на диаметре построена полуокружность, которая пересекает гипотенузу. Найдите длину дуги этой полуокружности, расположенной вне треугольника, если $\angle B = 54^\circ$, $BC = 8$ см.

Обозначим центр полуокружности как точку O. Так как катет BC является диаметром, точка O — это середина BC. Радиус полуокружности R равен половине длины диаметра: $R = \frac{BC}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Пусть полуокружность пересекает гипотенузу AB в точке D (помимо точки B). Таким образом, вся дуга полуокружности делится на две части: дугу BD и дугу CD. Часть дуги, примыкающая к вершине острого угла B (дуга BD), находится внутри треугольника. Соответственно, под дугой, расположенной вне треугольника, будем понимать дугу CD.

Для вычисления длины дуги CD необходимо найти величину соответствующего ей центрального угла $\angle COD$.

Рассмотрим треугольник BOD. Стороны OB и OD являются радиусами полуокружности, поэтому $OB = OD = R$. Следовательно, треугольник BOD является равнобедренным с основанием BD.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle ODB = \angle OBD$. Угол $\angle OBD$ — это угол $\angle B$ треугольника ABC, то есть $\angle OBD = 54^\circ$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Найдем угол при вершине O в треугольнике BOD: $\angle BOD = 180^\circ - (\angle OBD + \angle ODB) = 180^\circ - (54^\circ + 54^\circ) = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$.

Поскольку точки B, O, C лежат на одной прямой (диаметре), угол $\angle BOC$ является развернутым и равен $180^\circ$. Он складывается из двух смежных углов: $\angle BOD$ и $\angle COD$. $\angle BOD + \angle COD = 180^\circ$.

Отсюда находим центральный угол $\angle COD$, стягивающий дугу CD: $\angle COD = 180^\circ - \angle BOD = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ$.

Длина дуги окружности вычисляется по формуле $L = \frac{\pi R \alpha}{180^\circ}$, где $\alpha$ — градусная мера центрального угла. Подставим наши значения: $L_{CD} = \frac{\pi \cdot 4 \cdot 108}{180} = \frac{432\pi}{180}$.

Сократим полученную дробь: $\frac{432}{180} = \frac{12 \cdot 36}{5 \cdot 36} = \frac{12}{5}$.

Таким образом, длина дуги равна $\frac{12\pi}{5}$ см.

Ответ: $\frac{12\pi}{5}$ см.

119. В треугольнике $ABC$ $AB = 6$ см, $\angle A = 30^{\circ}$, $\angle B = 80^{\circ}$. Окружность с центром $B$ касается стороны $AC$. Найдите длину дуги этой окружности, принадлежащей треугольнику.

119. В треугольнике $ABC$ $AB = 6$ см, $\angle A = 30^\circ$, $\angle B = 80^\circ$. Окружность с центром $B$ касается стороны $AC$. Найдите длину дуги этой окружности, принадлежащей треугольнику.

Пусть дана окружность с центром в точке $B$ и радиусом $R$. По условию, эта окружность касается стороны $AC$. Расстояние от центра окружности до касательной равно радиусу. Опустим перпендикуляр $BH$ из точки $B$ на сторону $AC$. Длина этого перпендикуляра и будет радиусом окружности: $R = BH$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ (где $\angle H = 90^\circ$). В этом треугольнике нам известна гипотенуза $AB = 6$ см и угол $\angle A = 30^\circ$. Катет $BH$ лежит напротив угла в $30^\circ$.

Найдем радиус $R$, используя определение синуса:
$\sin(\angle A) = \frac{BH}{AB}$
$R = BH = AB \cdot \sin(\angle A)$
$R = 6 \cdot \sin(30^\circ) = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$ см.

Дуга окружности, принадлежащая треугольнику $ABC$, является частью окружности, заключенной между сторонами $AB$ и $BC$. Центральный угол, стягивающий эту дугу, равен углу $\angle B$ треугольника $ABC$. По условию, $\angle B = 80^\circ$.

Длину дуги $L$ можно найти по формуле:
$L = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi R$
где $\alpha$ — центральный угол в градусах, а $R$ — радиус окружности.

Подставим наши значения $\alpha = \angle B = 80^\circ$ и $R = 3$ см:
$L = \frac{80}{360} \cdot 2\pi \cdot 3 = \frac{8}{36} \cdot 6\pi = \frac{2}{9} \cdot 6\pi = \frac{12\pi}{9} = \frac{4\pi}{3}$ см.

Ответ: $\frac{4\pi}{3}$ см.

120. Радиус круга равен 4 см. Найдите площадь сектора, если градусная мера его дуги равна 100°.

120. Радиус круга равен 4 см. Найдите площадь сектора, если градусная мера его дуги равна $100^\circ$.

Для нахождения площади сектора круга используется формула:

$S_{сектора} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360^\circ}$

где $R$ – это радиус круга, а $\alpha$ – это градусная мера дуги сектора (центральный угол).

По условию задачи нам даны:

Радиус $R = 4$ см.

Градусная мера дуги $\alpha = 100^\circ$.

Подставим эти значения в формулу для вычисления площади сектора:

$S_{сектора} = \frac{\pi \cdot (4)^2 \cdot 100}{360}$

Сначала возведем радиус в квадрат:

$4^2 = 16$

Теперь подставим полученное значение обратно в формулу:

$S_{сектора} = \frac{\pi \cdot 16 \cdot 100}{360} = \frac{1600\pi}{360}$

Теперь сократим полученную дробь. Сначала можно сократить на 10, убрав по одному нулю в числителе и знаменателе:

$S_{сектора} = \frac{160\pi}{36}$

Далее, числитель и знаменатель делятся на 4:

$160 \div 4 = 40$

$36 \div 4 = 9$

Таким образом, получаем:

$S_{сектора} = \frac{40\pi}{9}$ (см²)

Ответ: $\frac{40\pi}{9}$ см²

121. Какую часть площади круга составляет площадь сектора, если соответствующий сектору центральный угол равен 240°?

121. Какую часть площади круга составляет площадь сектора, если соответствующий сектору центральный угол равен $240^\circ$?

Чтобы определить, какую часть площади круга составляет площадь сектора, нужно найти отношение центрального угла этого сектора к полному углу круга.

Полный круг имеет центральный угол, равный $360°$. По условию задачи, центральный угол сектора равен $240°$.

Отношение площади сектора ($S_{сектора}$) к площади всего круга ($S_{круга}$) равно отношению соответствующих им углов:

$\frac{S_{сектора}}{S_{круга}} = \frac{240°}{360°}$

Для нахождения искомой части, сократим полученную дробь. Сначала можно сократить на 10:

$\frac{240}{360} = \frac{24}{36}$

Теперь сократим дробь $\frac{24}{36}$ на их наибольший общий делитель, который равен 12:

$\frac{24 \div 12}{36 \div 12} = \frac{2}{3}$

Следовательно, площадь сектора составляет $\frac{2}{3}$ от площади всего круга.

Ответ: $\frac{2}{3}$

122. Площадь сектора составляет $\frac{9}{20}$ площади круга. Найдите центральный угол, соответствующий данному сектору.

122. Площадь сектора составляет $\frac{9}{20}$ площади круга. Найдите центральный угол, соответствующий данному сектору.

Полный угол окружности составляет $360^\circ$. Площадь сектора пропорциональна его центральному углу. Если площадь сектора составляет $\frac{9}{20}$ от площади всего круга, то и его центральный угол будет составлять $\frac{9}{20}$ от полного угла окружности.
Пусть $\alpha$ — искомый центральный угол. Тогда мы можем составить следующее соотношение:
$\alpha = \frac{9}{20} \cdot 360^\circ$
Теперь произведем вычисления:
Сначала разделим $360$ на $20$:
$\frac{360}{20} = \frac{36}{2} = 18$
Затем умножим полученный результат на $9$:
$\alpha = 9 \cdot 18^\circ$
$\alpha = 162^\circ$
Таким образом, центральный угол, соответствующий данному сектору, равен $162^\circ$.
Ответ: $162^\circ$

123. Найдите радиус круга, если площадь сектора этого круга равна $60\pi$ см$^2$, а центральный угол, соответствующий этому сектору, — $54^\circ$.

123. Найдите радиус круга, если площадь сектора этого круга равна $60\pi \text{ см}^2$, а центральный угол, соответствующий этому сектору, — $54^\circ$.

Для решения задачи воспользуемся формулой площади сектора круга:

$S_{сектора} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360}$

где $S_{сектора}$ – площадь сектора, $R$ – радиус круга, а $\alpha$ – центральный угол сектора в градусах.

Из условия задачи нам известно, что $S_{сектора} = 60\pi$ см² и $\alpha = 54$°. Подставим эти значения в формулу:

$60\pi = \frac{\pi R^2 \cdot 54}{360}$

Наша цель – найти радиус $R$. Для этого выразим $R^2$ из уравнения. Сначала разделим обе части уравнения на $\pi$:

$60 = \frac{R^2 \cdot 54}{360}$

Теперь выразим $R^2$:

$R^2 = \frac{60 \cdot 360}{54}$

Сократим дробь $\frac{54}{360}$. Можно заметить, что оба числа делятся на 18: $54 \div 18 = 3$ и $360 \div 18 = 20$. Тогда уравнение примет вид:

$60 = R^2 \cdot \frac{3}{20}$

Выразим $R^2$ из этого упрощенного уравнения:

$R^2 = 60 \cdot \frac{20}{3}$

$R^2 = \frac{1200}{3}$

$R^2 = 400$

Чтобы найти радиус $R$, извлечем квадратный корень из 400. Поскольку радиус – это длина, мы берем только положительное значение корня:

$R = \sqrt{400} = 20$ (см)

Ответ: 20 см.