Страница 81 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

130. Радиус круга равен 2 см. По разные стороны от центра круга проведены две параллельные хорды, равные соответственно сторонам правильного треугольника и правильного шестиугольника, вписанных в данный круг. Найдите площадь части круга, находящейся между хордами.

130. Радиус круга равен 2 см. По разные стороны от центра круга проведены две параллельные хорды, равные соответственно сторонам правильного треугольника и правильного шестиугольника, вписанных в данный круг. Найдите площадь части круга, находящейся между хордами.

Для решения задачи найдем площадь части круга, расположенной между двумя параллельными хордами, как разность площади всего круга и площадей двух сегментов, отсекаемых этими хордами с внешней стороны.

Данные: радиус круга $R = 2$ см.

1. Характеристики хорды, равной стороне правильного вписанного треугольника ($a_3$)

Сторона правильного треугольника, вписанного в окружность, вычисляется по формуле $a_3 = R\sqrt{3}$.

Центральный угол, опирающийся на эту хорду, равен $\alpha = \frac{360^\circ}{3} = 120^\circ$.

Площадь сектора, ограниченного этой хордой и двумя радиусами, составляет:
$S_{сек1} = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi R^2 = \frac{120^\circ}{360^\circ} \cdot \pi (2)^2 = \frac{1}{3} \cdot 4\pi = \frac{4\pi}{3}$ см$^2$.

Площадь равнобедренного треугольника, образованного хордой и двумя радиусами:
$S_{\triangle 1} = \frac{1}{2} R^2 \sin(\alpha) = \frac{1}{2} (2)^2 \sin(120^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ см$^2$.

Площадь сегмента, отсекаемого этой хордой, равна разности площади сектора и площади треугольника:
$S_{сег1} = S_{сек1} - S_{\triangle 1} = \frac{4\pi}{3} - \sqrt{3}$ см$^2$.

2. Характеристики хорды, равной стороне правильного вписанного шестиугольника ($a_6$)

Сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна ее радиусу: $a_6 = R = 2$ см.

Центральный угол, опирающийся на эту хорду, равен $\beta = \frac{360^\circ}{6} = 60^\circ$.

Площадь сектора, ограниченного этой хордой и двумя радиусами:
$S_{сек2} = \frac{\beta}{360^\circ} \cdot \pi R^2 = \frac{60^\circ}{360^\circ} \cdot \pi (2)^2 = \frac{1}{6} \cdot 4\pi = \frac{2\pi}{3}$ см$^2$.

Площадь равностороннего треугольника, образованного хордой и двумя радиусами:
$S_{\triangle 2} = \frac{1}{2} R^2 \sin(\beta) = \frac{1}{2} (2)^2 \sin(60^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ см$^2$.

Площадь сегмента, отсекаемого этой хордой:
$S_{сег2} = S_{сек2} - S_{\triangle 2} = \frac{2\pi}{3} - \sqrt{3}$ см$^2$.

3. Нахождение площади части круга между хордами

По условию, хорды находятся по разные стороны от центра. Искомая площадь ($S$) — это площадь всего круга за вычетом площадей двух внешних сегментов ($S_{сег1}$ и $S_{сег2}$).

Площадь всего круга:
$S_{круга} = \pi R^2 = \pi (2)^2 = 4\pi$ см$^2$.

Вычисляем искомую площадь:
$S = S_{круга} - S_{сег1} - S_{сег2} = 4\pi - \left(\frac{4\pi}{3} - \sqrt{3}\right) - \left(\frac{2\pi}{3} - \sqrt{3}\right)$
$S = 4\pi - \frac{4\pi}{3} + \sqrt{3} - \frac{2\pi}{3} + \sqrt{3}$
$S = 4\pi - \left(\frac{4\pi}{3} + \frac{2\pi}{3}\right) + 2\sqrt{3}$
$S = 4\pi - \frac{6\pi}{3} + 2\sqrt{3} = 4\pi - 2\pi + 2\sqrt{3} = 2\pi + 2\sqrt{3}$
$S = 2(\pi + \sqrt{3})$ см$^2$.

Ответ: $2(\pi + \sqrt{3})$ см$^2$.

131. Найдите расстояние между точками A и B, если:

1) $A(-1; 2)$, $B(-7; 10)$;

2) $A(2; -3)$, $B(2; 6)$.

131. Найдите расстояние между точками A и B, если:

1) $A(-1; 2)$, $B(-7; 10)$;

2) $A(2; -3)$, $B(2; 6)$.

Для нахождения расстояния $d$ между двумя точками с координатами $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$ на плоскости используется следующая формула:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

1) Найдем расстояние между точками A(-1; 2) и B(-7; 10).

Подставляем координаты точек в формулу:

$x_1 = -1, y_1 = 2$

$x_2 = -7, y_2 = 10$

$d = \sqrt{(-7 - (-1))^2 + (10 - 2)^2}$

$d = \sqrt{(-7 + 1)^2 + 8^2}$

$d = \sqrt{(-6)^2 + 8^2}$

$d = \sqrt{36 + 64}$

$d = \sqrt{100}$

$d = 10$

Ответ: 10

2) Найдем расстояние между точками A(2; -3) и B(2; 6).

Подставляем координаты точек в формулу:

$x_1 = 2, y_1 = -3$

$x_2 = 2, y_2 = 6$

$d = \sqrt{(2 - 2)^2 + (6 - (-3))^2}$

$d = \sqrt{0^2 + (6 + 3)^2}$

$d = \sqrt{0 + 9^2}$

$d = \sqrt{81}$

$d = 9$

Ответ: 9

132. Докажите, что точки $A(1; 3)$, $B(-2; -3)$ и $C(3; 7)$ лежат на одной прямой. Какая из точек лежит между двумя другими?

132. Докажите, что точки A $(1; 3)$, B $(-2; -3)$ и C $(3; 7)$ лежат на одной прямой. Какая из точек лежит между двумя другими?

Для решения этой задачи можно использовать несколько подходов.

Докажите, что точки A(1; 3), B(-2; -3) и C(3; 7) лежат на одной прямой.

Способ 1: Через уравнение прямой

Сначала составим уравнение прямой, проходящей через две из данных точек, например, через A и B. Уравнение прямой, проходящей через точки с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, можно записать в виде:
$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

Подставим координаты точек A(1; 3) и B(-2; -3):
$\frac{x - 1}{-2 - 1} = \frac{y - 3}{-3 - 3}$
$\frac{x - 1}{-3} = \frac{y - 3}{-6}$

Упростим полученное уравнение, умножив обе части на -6:
$2(x - 1) = y - 3$
$2x - 2 = y - 3$
$y = 2x + 1$

Теперь проверим, удовлетворяют ли координаты точки C(3; 7) этому уравнению. Подставим $x=3$ и $y=7$ в уравнение прямой:
$7 = 2 \cdot 3 + 1$
$7 = 6 + 1$
$7 = 7$

Равенство верное, значит, точка C принадлежит прямой, проходящей через точки A и B. Следовательно, все три точки лежат на одной прямой.

Способ 2: Через расстояния между точками

Три точки лежат на одной прямой, если длина самого большого отрезка, соединяющего эти точки, равна сумме длин двух других отрезков. Найдем длины отрезков AB, BC и AC по формуле расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

Длина отрезка AB:
$|AB| = \sqrt{(-2 - 1)^2 + (-3 - 3)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-6)^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$

Длина отрезка AC:
$|AC| = \sqrt{(3 - 1)^2 + (7 - 3)^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

Длина отрезка BC:
$|BC| = \sqrt{(3 - (-2))^2 + (7 - (-3))^2} = \sqrt{(3 + 2)^2 + (7 + 3)^2} = \sqrt{5^2 + 10^2} = \sqrt{25 + 100} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$

Теперь проверим, выполняется ли равенство. Сравним сумму длин двух меньших отрезков с длиной большего:
$|AB| + |AC| = 3\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = 5\sqrt{5}$
Так как $|AB| + |AC| = |BC|$, точки A, B и C лежат на одной прямой.

Ответ: Доказано, что точки A, B и C лежат на одной прямой.

Какая из точек лежит между двумя другими?

Из равенства $|AB| + |AC| = |BC|$, полученного во втором способе, следует, что отрезок BC является суммой отрезков AB и AC. Это возможно только в том случае, если точка A лежит на отрезке BC, то есть между точками B и C.

Другой способ — сравнить координаты точек.
Расположим абсциссы (координаты x) точек в порядке возрастания: -2 (точка B), 1 (точка A), 3 (точка C).
Расположим ординаты (координаты y) точек в порядке возрастания: -3 (точка B), 3 (точка A), 7 (точка C).

Поскольку и по оси X, и по оси Y точка А находится между точками B и C, можно сделать вывод, что точка A лежит между двумя другими.

Ответ: Точка А лежит между точками B и C.

133. Вершинами треугольника являются точки A (-3; 1), B (2; -5) и C (3; 6). Докажите, что треугольник ABC — равнобедренный.

133. Вершинами треугольника являются точки $A(-3; 1)$, $B(2; -5)$ и $C(3; 6)$. Докажите, что треугольник $ABC$ — равнобедренный.

Чтобы доказать, что треугольник является равнобедренным, необходимо показать, что две его стороны имеют одинаковую длину. Для этого найдем длины всех сторон треугольника ABC, используя формулу расстояния между двумя точками с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Даны координаты вершин треугольника: A(-3; 1), B(2; -5) и C(3; 6).

1. Вычислим длину стороны AB.

Подставляем координаты точек A(-3; 1) и B(2; -5) в формулу:

$|AB| = \sqrt{(2 - (-3))^2 + (-5 - 1)^2} = \sqrt{(2 + 3)^2 + (-6)^2} = \sqrt{5^2 + 36} = \sqrt{25 + 36} = \sqrt{61}$.

2. Вычислим длину стороны BC.

Подставляем координаты точек B(2; -5) и C(3; 6) в формулу:

$|BC| = \sqrt{(3 - 2)^2 + (6 - (-5))^2} = \sqrt{1^2 + (6 + 5)^2} = \sqrt{1^2 + 11^2} = \sqrt{1 + 121} = \sqrt{122}$.

3. Вычислим длину стороны AC.

Подставляем координаты точек A(-3; 1) и C(3; 6) в формулу:

$|AC| = \sqrt{(3 - (-3))^2 + (6 - 1)^2} = \sqrt{(3 + 3)^2 + 5^2} = \sqrt{6^2 + 25} = \sqrt{36 + 25} = \sqrt{61}$.

Сравнив полученные длины сторон, мы видим, что $|AB| = |AC| = \sqrt{61}$, а $|BC| = \sqrt{122}$.

Поскольку две стороны треугольника, AB и AC, равны, то треугольник ABC является равнобедренным по определению. Что и требовалось доказать.

Ответ: Длины сторон треугольника равны $|AB| = \sqrt{61}$, $|AC| = \sqrt{61}$ и $|BC| = \sqrt{122}$. Так как $|AB| = |AC|$, треугольник ABC является равнобедренным.

134. Найдите координаты середины отрезка $AB$, если:

1) $A(2; -7)$, $B(6; -3)$;

2) $A(-9; -5)$, $B(-1; 4)$.

134. Найдите координаты середины отрезка $\text{AB}$, если:

1) A $(2; -7)$, B $(6; -3)$;

2) A $(-9; -5)$, B $(-1; 4)$.

Для нахождения координат середины отрезка необходимо вычислить среднее арифметическое координат его концов. Если концы отрезка $AB$ имеют координаты $A(x_A; y_A)$ и $B(x_B; y_B)$, то координаты его середины $C(x_C; y_C)$ находятся по формулам:

$x_C = \frac{x_A + x_B}{2}$

$y_C = \frac{y_A + y_B}{2}$

1) Даны точки $A(2; -7)$ и $B(6; -3)$.

Найдем координату $x$ середины отрезка:

$x_C = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Найдем координату $y$ середины отрезка:

$y_C = \frac{-7 + (-3)}{2} = \frac{-7 - 3}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Следовательно, координаты середины отрезка AB — $(4; -5)$.

Ответ: $(4; -5)$.

2) Даны точки $A(-9; -5)$ и $B(-1; 4)$.

Найдем координату $x$ середины отрезка:

$x_C = \frac{-9 + (-1)}{2} = \frac{-9 - 1}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Найдем координату $y$ середины отрезка:

$y_C = \frac{-5 + 4}{2} = \frac{-1}{2} = -0.5$

Следовательно, координаты середины отрезка AB — $(-5; -0.5)$.

Ответ: $(-5; -0.5)$.

135. Точка $M$ — середина отрезка $KN$. Найдите координаты точки $K$, если $N(-4; 5)$, $M(1; 2)$.

135. Точка $M$ — середина отрезка $KN$. Найдите координаты точки $K$, если $N(-4; 5)$, $M(1; 2)$.

По условию задачи, точка $M$ является серединой отрезка $KN$. Координаты середины отрезка вычисляются как среднее арифметическое (полусумма) соответствующих координат его концов.

Пусть координаты искомой точки $K$ будут $(x_K; y_K)$. Нам известны координаты точки $N(-4; 5)$ и середины отрезка $M(1; 2)$.

Формулы для координат середины отрезка $M(x_M; y_M)$ с концами $K(x_K; y_K)$ и $N(x_N; y_N)$ выглядят следующим образом:

$x_M = \frac{x_K + x_N}{2}$

$y_M = \frac{y_K + y_N}{2}$

Чтобы найти координаты точки $K$, мы можем выразить $x_K$ и $y_K$ из этих формул:

$2x_M = x_K + x_N \implies x_K = 2x_M - x_N$

$2y_M = y_K + y_N \implies y_K = 2y_M - y_N$

Теперь подставим известные значения координат точек $M(1; 2)$ и $N(-4; 5)$ в полученные формулы.

Вычисляем абсциссу (координату $x$) точки $K$:

$x_K = 2 \cdot 1 - (-4) = 2 + 4 = 6$

Вычисляем ординату (координату $y$) точки $K$:

$y_K = 2 \cdot 2 - 5 = 4 - 5 = -1$

Таким образом, координаты точки $K$ равны $(6; -1)$.

Ответ: $K(6; -1)$.

136. Точки $B_1 (-2; 3)$ и $A_1 (5; -1)$ — середины сторон $AC$ и $BC$ треугольника $ABC$ соответственно. Вершина $B$ имеет координаты $(1; 7)$. Найдите координаты вершин $A$ и $C$.

136. Точки $B_1 (-2; 3)$ и $A_1 (5; -1)$ — середины сторон $AC$ и $BC$ треугольника $ABC$ соответственно. Вершина $B$ имеет координаты $(1; 7)$. Найдите координаты вершин $A$ и $C$.

Пусть искомые вершины треугольника имеют координаты $A(x_A, y_A)$ и $C(x_C, y_C)$.

Координаты $(x_M, y_M)$ середины отрезка, концами которого являются точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, вычисляются по формулам:

$x_M = \frac{x_1 + x_2}{2}$

$y_M = \frac{y_1 + y_2}{2}$

Из этих формул можно выразить координаты одного из концов отрезка, если известны координаты другого конца и середины: $x_2 = 2x_M - x_1$ и $y_2 = 2y_M - y_1$.

Нахождение координат вершины C

Точка $A_1(5, -1)$ является серединой стороны $BC$. Нам известны координаты вершины $B(1, 7)$. Найдем координаты вершины $C(x_C, y_C)$.

Координата $x_C = 2x_{A_1} - x_B = 2 \cdot 5 - 1 = 10 - 1 = 9$.

Координата $y_C = 2y_{A_1} - y_B = 2 \cdot (-1) - 7 = -2 - 7 = -9$.

Таким образом, вершина $C$ имеет координаты $(9, -9)$.

Нахождение координат вершины A

Точка $B_1(-2, 3)$ является серединой стороны $AC$. Теперь, зная координаты вершины $C(9, -9)$, найдем координаты вершины $A(x_A, y_A)$.

Координата $x_A = 2x_{B_1} - x_C = 2 \cdot (-2) - 9 = -4 - 9 = -13$.

Координата $y_A = 2y_{B_1} - y_C = 2 \cdot 3 - (-9) = 6 + 9 = 15$.

Таким образом, вершина $A$ имеет координаты $(-13, 15)$.

Ответ: $A(-13; 15)$, $C(9; -9)$.

137. В треугольнике $ABC$ $A (1; -8)$, $B (3; -4)$, $C (2; -5)$. Найдите среднюю линию $MN$ треугольника $ABC$, где точки $M$ и $N$ — середины сторон $AC$ и $AB$ соответственно.

137. В треугольнике $ABC$ $A (1; -8)$, $B (3; -4)$, $C (2; -5)$. Найдите среднюю линию $MN$ треугольника $ABC$, где точки $M$ и $N$ – середины сторон $AC$ и $AB$ соответственно.

По условию задачи дан треугольник ABC с вершинами в точках A(1; -8), B(3; -4) и C(2; -5). Точки M и N являются серединами сторон AC и AB соответственно. Требуется найти длину средней линии MN.

Решение:

Согласно свойству средней линии треугольника, отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, параллелен третьей стороне и равен её половине. В нашем случае, отрезок MN является средней линией, соединяющей середины сторон AC и AB. Следовательно, его длина равна половине длины стороны BC.

$MN = \frac{1}{2} BC$

1. Сначала вычислим длину стороны BC, используя формулу расстояния между двумя точками с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Подставим координаты точек B(3; -4) и C(2; -5) в эту формулу:

$BC = \sqrt{(2 - 3)^2 + (-5 - (-4))^2}$

$BC = \sqrt{(-1)^2 + (-5 + 4)^2}$

$BC = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2}$

$BC = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$

2. Теперь, зная длину стороны BC, мы можем найти длину средней линии MN:

$MN = \frac{1}{2} \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

138. Расстояние между точками $A (x; -7)$ и $B (4; 2)$ равно 15.

Найдите $x$.

138. Расстояние между точками $A(x; -7)$ и $B(4; 2)$ равно 15.

Найдите $x$.

Для нахождения расстояния $d$ между двумя точками с координатами $A(x_1; y_1)$ и $B(x_2; y_2)$ используется формула:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

По условию задачи нам даны координаты точек $A(x; -7)$ и $B(4; 2)$, а также расстояние между ними $d = 15$. Подставим эти значения в формулу:

$15 = \sqrt{(4 - x)^2 + (2 - (-7))^2}$

Упростим выражение в правой части уравнения:

$15 = \sqrt{(4 - x)^2 + (2 + 7)^2}$

$15 = \sqrt{(4 - x)^2 + 9^2}$

$15 = \sqrt{(4 - x)^2 + 81}$

Для решения уравнения возведем обе его части в квадрат, чтобы избавиться от знака корня:

$15^2 = (4 - x)^2 + 81$

$225 = (4 - x)^2 + 81$

Теперь выразим слагаемое $(4 - x)^2$:

$(4 - x)^2 = 225 - 81$

$(4 - x)^2 = 144$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Это приведет к двум возможным случаям:

$4 - x = \sqrt{144}$ или $4 - x = -\sqrt{144}$

$4 - x = 12$ или $4 - x = -12$

Решим каждое из этих уравнений:

1) $4 - x = 12$

$-x = 12 - 4$

$-x = 8$

$x = -8$

2) $4 - x = -12$

$-x = -12 - 4$

$-x = -16$

$x = 16$

Таким образом, существуют два возможных значения для $x$.

Ответ: $x = -8$ или $x = 16$.

139. На оси абсцисс найдите точку, равноудалённую от точек $A(-4; 1)$ и $B(2; -5)$.

139. На оси абсцисс найдите точку, равноудалённую от точек $A(-4; 1)$ и $B(2; -5)$.

Пусть искомая точка C лежит на оси абсцисс. Это означает, что её ордината (координата y) равна нулю. Таким образом, координаты точки C можно записать как $(x; 0)$.

По условию задачи, точка C равноудалена от точек A(-4; 1) и B(2; -5). Это значит, что расстояние AC равно расстоянию BC, или $AC = BC$. Для удобства вычислений будем использовать квадраты расстояний: $AC^2 = BC^2$.

Формула квадрата расстояния между двумя точками $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ имеет вид: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$

Найдем квадрат расстояния от точки C(x; 0) до точки A(-4; 1):
$AC^2 = (x - (-4))^2 + (0 - 1)^2 = (x + 4)^2 + (-1)^2 = x^2 + 8x + 16 + 1 = x^2 + 8x + 17$.

Теперь найдем квадрат расстояния от точки C(x; 0) до точки B(2; -5):
$BC^2 = (x - 2)^2 + (0 - (-5))^2 = (x - 2)^2 + 5^2 = x^2 - 4x + 4 + 25 = x^2 - 4x + 29$.

Приравняем квадраты расстояний $AC^2$ и $BC^2$ и решим полученное уравнение относительно x:

$x^2 + 8x + 17 = x^2 - 4x + 29$

Вычтем $x^2$ из обеих частей уравнения:

$8x + 17 = -4x + 29$

Перенесем слагаемые с x в одну сторону, а числа — в другую:

$8x + 4x = 29 - 17$

$12x = 12$

$x = 1$

Таким образом, абсцисса искомой точки равна 1. Поскольку точка лежит на оси абсцисс, её ордината равна 0. Координаты искомой точки — (1; 0).

Ответ: (1; 0).

140. На прямой, содержащей биссектрисы первого и третьего координатных углов, найдите точку, равноудалённую от точек $A (5; 4)$ и $B (2; 1)$.

140. На прямой, содержащей биссектрисы первого и третьего координатных углов, найдите точку, равноудалённую от точек $A (5; 4)$ и $B (2; 1)$.

Прямая, содержащая биссектрисы первого и третьего координатных углов, является прямой, у которой все точки имеют равные абсциссу и ординату. Уравнение этой прямой: $y = x$.
Пусть искомая точка $M$ имеет координаты $(x; y)$. Поскольку точка $M$ лежит на указанной прямой, ее координаты равны, то есть $M(x; x)$.
По условию задачи, точка $M$ равноудалена от точек $A(5; 4)$ и $B(2; 1)$. Это означает, что расстояние $MA$ равно расстоянию $MB$, или, что эквивалентно, квадраты этих расстояний равны: $MA^2 = MB^2$.
Квадрат расстояния между двумя точками $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.
Выразим квадраты расстояний $MA^2$ и $MB^2$:
$MA^2 = (5 - x)^2 + (4 - x)^2$
$MB^2 = (2 - x)^2 + (1 - x)^2$
Теперь приравняем эти выражения и решим полученное уравнение:
$(5 - x)^2 + (4 - x)^2 = (2 - x)^2 + (1 - x)^2$
Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(25 - 10x + x^2) + (16 - 8x + x^2) = (4 - 4x + x^2) + (1 - 2x + x^2)$
Приведем подобные слагаемые в левой и правой частях уравнения:
$2x^2 - 18x + 41 = 2x^2 - 6x + 5$
Вычтем $2x^2$ из обеих частей уравнения:
$-18x + 41 = -6x + 5$
Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в правую часть, а свободные члены — в левую:
$41 - 5 = 18x - 6x$
$36 = 12x$
$x = \frac{36}{12}$
$x = 3$
Так как координаты искомой точки $M(x; x)$, то ее координаты равны $(3; 3)$.
Ответ: $(3; 3)$.