Страница 88 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

193. Может ли быть нулевым вектором сумма трёх векторов, модули которых равны:

1) 3; 7; 11;

2) 6; 7; 12;

3) 8; 7; 15?

193. Может ли быть нулевым вектором сумма трёх векторов, модули которых равны:

1) $3; 7; 11$;

2) $6; 7; 12$;

3) $8; 7; 15$?

Сумма трех векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ может быть нулевым вектором ($\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$), если эти векторы могут образовать замкнутый треугольник. Для этого длины векторов (их модули) должны удовлетворять неравенству треугольника: длина любой стороны треугольника должна быть меньше или равна сумме длин двух других сторон. Достаточно проверить, что наибольший модуль не превышает сумму двух других.

1) 3; 7; 11;

Пусть модули векторов равны $a = 3$, $b = 7$, $c = 11$. Наибольший модуль - $11$. Проверим неравенство треугольника:

$11 \le 3 + 7$

$11 \le 10$

Это неравенство ложно. Следовательно, сумма векторов с такими модулями не может быть нулевым вектором.

Ответ: не может.

2) 6; 7; 12;

Пусть модули векторов равны $a = 6$, $b = 7$, $c = 12$. Наибольший модуль - $12$. Проверим неравенство треугольника:

$12 \le 6 + 7$

$12 \le 13$

Это неравенство истинно. Следовательно, можно подобрать направления векторов так, чтобы их сумма была равна нулевому вектору (они образуют треугольник).

Ответ: может.

3) 8; 7; 15?

Пусть модули векторов равны $a = 8$, $b = 7$, $c = 15$. Наибольший модуль - $15$. Проверим неравенство треугольника:

$15 \le 8 + 7$

$15 \le 15$

Это неравенство истинно (достигается равенство). Это означает, что векторы коллинеарны и могут образовать "вырожденный" треугольник. Например, если векторы с модулями 7 и 8 сонаправлены, а вектор с модулем 15 направлен в противоположную сторону, их сумма будет равна нулевому вектору.

Ответ: может.

194. Даны векторы $\vec{a}(-6; 1)$ и $\vec{b}(5; -3)$. Найдите:

1) $\vec{a}+\vec{b}$;

2) $\vec{a}-\vec{b}$;

3) $|\vec{a}+\vec{b}|$;

4) $|\vec{a}-\vec{b}|$.

194. Даны векторы $\vec{a}(-6; 1)$ и $\vec{b}(5; -3)$. Найдите:

1) $\vec{a}+\vec{b}$;

2) $\vec{a}-\vec{b}$;

3) $\left|\vec{a}+\vec{b}\right|$;

4) $\left|\vec{a}-\vec{b}\right|$.

Даны векторы $\vec{a}(-6; 1)$ и $\vec{b}(5; -3)$.

1) $\vec{a} + \vec{b}$;

Чтобы найти сумму векторов, необходимо сложить их соответствующие координаты. Если $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2)$, то их сумма $\vec{a} + \vec{b} = (x_1 + x_2; y_1 + y_2)$.

Для данных векторов:

$\vec{a} + \vec{b} = (-6 + 5; 1 + (-3)) = (-1; -2)$.

Ответ: $(-1; -2)$.

2) $\vec{a} - \vec{b}$;

Чтобы найти разность векторов, необходимо из координат первого вектора вычесть соответствующие координаты второго. Если $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2)$, то их разность $\vec{a} - \vec{b} = (x_1 - x_2; y_1 - y_2)$.

Для данных векторов:

$\vec{a} - \vec{b} = (-6 - 5; 1 - (-3)) = (-11; 1 + 3) = (-11; 4)$.

Ответ: $(-11; 4)$.

3) $|\vec{a} + \vec{b}|$;

Модуль (длина) вектора $\vec{v}(x; y)$ вычисляется по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}$. Сначала найдем координаты вектора-суммы $\vec{a} + \vec{b}$, которые были вычислены в пункте 1:

$\vec{a} + \vec{b} = (-1; -2)$.

Теперь найдем модуль этого вектора:

$|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$.

Ответ: $\sqrt{5}$.

4) $|\vec{a} - \vec{b}|$.

Аналогично, сначала найдем координаты вектора-разности $\vec{a} - \vec{b}$, которые были вычислены в пункте 2:

$\vec{a} - \vec{b} = (-11; 4)$.

Теперь найдем модуль этого вектора:

$|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{(-11)^2 + 4^2} = \sqrt{121 + 16} = \sqrt{137}$.

Ответ: $\sqrt{137}$.

195. Даны точки A (-2; 3) и B (6; 5). Найдите координаты точки C такой, что $\vec{BC} + \vec{AC} = \vec{0}$.

195. Даны точки A (-2; 3) и B (6; 5). Найдите координаты

точки C такой, что $\vec{BC} + \vec{AC} = \vec{0}$.

Пусть искомая точка $C$ имеет координаты $(x; y)$.

Координаты вектора находятся как разность соответствующих координат его конца и начала. Найдем координаты векторов $\vec{BC}$ и $\vec{AC}$.

Даны точки $A(-2; 3)$ и $B(6; 5)$.

Координаты вектора $\vec{BC}$:
$\vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B) = (x - 6; y - 5)$.

Координаты вектора $\vec{AC}$:
$\vec{AC} = (x_C - x_A; y_C - y_A) = (x - (-2); y - 3) = (x + 2; y - 3)$.

По условию задачи, сумма векторов $\vec{BC}$ и $\vec{AC}$ равна нулевому вектору $\vec{0}$, который имеет координаты $(0; 0)$.

$\vec{BC} + \vec{AC} = \vec{0}$

Сложим векторы покомпонентно:

$(x - 6 + x + 2; y - 5 + y - 3) = (0; 0)$

$(2x - 4; 2y - 8) = (0; 0)$

Приравнивая соответствующие координаты, получаем систему уравнений:

$\begin{cases} 2x - 4 = 0 \\ 2y - 8 = 0 \end{cases}$

Решим эту систему:

Из первого уравнения:
$2x = 4$
$x = 2$

Из второго уравнения:
$2y = 8$
$y = 4$

Таким образом, координаты точки $C$ равны $(2; 4)$.

Примечание: Условие $\vec{BC} + \vec{AC} = \vec{0}$ можно переписать как $\vec{CA} + \vec{CB} = \vec{0}$, или $\vec{AC} = -\vec{BC} = \vec{CB}$. Это означает, что векторы $\vec{AC}$ и $\vec{CB}$ равны, а значит точка $C$ является серединой отрезка $AB$. Проверим это по формуле середины отрезка:

$x_C = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$y_C = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Результаты совпадают.

Ответ: $C(2; 4)$.

196. Найдите координаты векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, если их сумма имеет координаты $(6; -3)$, а разность — $(-1; 4)$.

196. Найдите координаты векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, если их сумма имеет координаты (6; -3), а разность – (–1; 4).

Обозначим искомые векторы как $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Согласно условию задачи, мы имеем систему из двух векторных уравнений:

1) $\vec{a} + \vec{b} = (6; -3)$
2) $\vec{a} - \vec{b} = (-1; 4)$

Для нахождения координат векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ решим данную систему.

Нахождение координат вектора $\vec{a}$

Сложим почленно первое и второе уравнения системы:
$(\vec{a} + \vec{b}) + (\vec{a} - \vec{b}) = (6; -3) + (-1; 4)$

Упростим левую и правую части уравнения. Сложение векторов производится покомпонентно:
$2\vec{a} = (6 + (-1); -3 + 4)$
$2\vec{a} = (5; 1)$

Теперь разделим каждую координату полученного вектора на 2, чтобы найти $\vec{a}$:
$\vec{a} = (\frac{5}{2}; \frac{1}{2}) = (2.5; 0.5)$

Нахождение координат вектора $\vec{b}$

Вычтем почленно второе уравнение из первого:
$(\vec{a} + \vec{b}) - (\vec{a} - \vec{b}) = (6; -3) - (-1; 4)$

Упростим левую и правую части. Вычитание векторов также производится покомпонентно:
$\vec{a} + \vec{b} - \vec{a} + \vec{b} = (6 - (-1); -3 - 4)$
$2\vec{b} = (7; -7)$

Разделим каждую координату полученного вектора на 2, чтобы найти $\vec{b}$:
$\vec{b} = (\frac{7}{2}; -\frac{7}{2}) = (3.5; -3.5)$

Ответ: $\vec{a} = (2.5; 0.5)$, $\vec{b} = (3.5; -3.5)$.

197. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O (рис. 68). Выразите векторы $ \vec{BC} $ и $ \vec{DC} $ через векторы $ \vec{AO} = \vec{a} $ и $ \vec{OB} = \vec{b} $.

Рис. 68

197. Диагонали параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$ (рис. 68). Выразите векторы $\vec{BC}$ и $\vec{DC}$ через векторы $\vec{AO} = \vec{a}$ и $\vec{OB} = \vec{b}$.

Рис. 68

Для решения задачи воспользуемся свойствами диагоналей параллелограмма и правилами действий с векторами.

Дано: $ABCD$ — параллелограмм, диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. $\overrightarrow{AO} = \vec{a}$ и $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$.

1. Свойства диагоналей параллелограмма:

Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам. Это означает, что точка $O$ является серединой диагоналей $AC$ и $BD$.

• Из того, что $O$ — середина $AC$, следует, что векторы $\overrightarrow{AO}$ и $\overrightarrow{OC}$ равны: $\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{AO}$. Поскольку по условию $\overrightarrow{AO} = \vec{a}$, то $\overrightarrow{OC} = \vec{a}$.
• Из того, что $O$ — середина $BD$, следует, что векторы $\overrightarrow{BO}$ и $\overrightarrow{OD}$ равны: $\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{BO}$. Вектор $\overrightarrow{BO}$ является противоположным вектору $\overrightarrow{OB}$, поэтому $\overrightarrow{BO} = -\overrightarrow{OB}$. Так как по условию $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$, получаем $\overrightarrow{BO} = -\vec{b}$.

2. Правила действий с векторами:

• Правило треугольника: $\overrightarrow{XY} + \overrightarrow{YZ} = \overrightarrow{XZ}$.
• Правило вычитания векторов: $\overrightarrow{XY} = \overrightarrow{OY} - \overrightarrow{OX}$, где $O$ — произвольная точка.
• Векторы противоположных сторон параллелограмма равны: $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ и $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$.

Теперь выразим искомые векторы.

Рассмотрим векторы в треугольнике $BOC$. По правилу вычитания векторов, исходящих из одной точки $O$:

$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB}$

Мы уже установили, что $\overrightarrow{OC} = \vec{a}$, а по условию $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$. Подставим эти значения в формулу:

$\overrightarrow{BC} = \vec{a} - \vec{b}$

Ответ: $\overrightarrow{BC} = \vec{a} - \vec{b}$.

По свойству параллелограмма, его противоположные стороны равны и параллельны, поэтому векторы, их представляющие, равны:

$\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}$

Чтобы найти вектор $\overrightarrow{AB}$, воспользуемся правилом сложения векторов (правило треугольника) в треугольнике $AOB$:

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB}$

Подставим векторы, данные в условии задачи: $\overrightarrow{AO} = \vec{a}$ и $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$:

$\overrightarrow{AB} = \vec{a} + \vec{b}$

Так как $\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}$, то:

$\overrightarrow{DC} = \vec{a} + \vec{b}$

Ответ: $\overrightarrow{DC} = \vec{a} + \vec{b}$.

198. Даны векторы $\vec{a}(2; -5)$, $\vec{b}(x; -3)$, $\vec{c}(4; 1)$. Найдите наименьшее значение модуля вектора $\vec{c} - \vec{b} - \vec{a}$.

198. Даны векторы $\vec{a}(2; -5)$, $\vec{b}(x; -3)$, $\vec{c}(4; 1)$. Найдите наименьшее значение модуля вектора $\vec{c} - \vec{b} - \vec{a}$.

Чтобы найти наименьшее значение модуля вектора $\vec{c} - \vec{b} - \vec{a}$, сначала найдем координаты этого результирующего вектора. Пусть $\vec{d} = \vec{c} - \vec{b} - \vec{a}$.

Координаты векторов: $\vec{a}(2; -5)$, $\vec{b}(x; -3)$, $\vec{c}(4; 1)$.

Вычитание векторов производится покомпонентно. Найдем координаты вектора $\vec{d}$:

$d_x = c_x - b_x - a_x = 4 - x - 2 = 2 - x$

$d_y = c_y - b_y - a_y = 1 - (-3) - (-5) = 1 + 3 + 5 = 9$

Итак, вектор $\vec{d}$ имеет координаты $(2 - x; 9)$.

Модуль (длина) вектора $\vec{d}(d_x; d_y)$ вычисляется по формуле $|\vec{d}| = \sqrt{d_x^2 + d_y^2}$.

Подставим координаты вектора $\vec{d}$:

$|\vec{c} - \vec{b} - \vec{a}| = |\vec{d}| = \sqrt{(2 - x)^2 + 9^2} = \sqrt{(2 - x)^2 + 81}$

Нам нужно найти наименьшее значение этого выражения. Функция $y = \sqrt{z}$ является возрастающей, поэтому ее наименьшее значение достигается при наименьшем значении подкоренного выражения.

Рассмотрим подкоренное выражение: $f(x) = (2 - x)^2 + 81$.

Слагаемое $(2 - x)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому его значение всегда неотрицательно, то есть $(2 - x)^2 \ge 0$. Наименьшее значение этого слагаемого равно 0 и достигается при $2 - x = 0$, то есть при $x = 2$.

Следовательно, наименьшее значение всего подкоренного выражения $f(x)$ равно:

$\min(f(x)) = (2 - 2)^2 + 81 = 0^2 + 81 = 81$.

Теперь мы можем найти наименьшее значение модуля вектора, взяв квадратный корень из этого минимального значения:

$\min(|\vec{c} - \vec{b} - \vec{a}|) = \sqrt{81} = 9$.

Ответ: 9

199. Найдите геометрическое место точек $C (x; y)$ координатной плоскости таких, что для точек $A (3; -5)$ и $B (-6; 7)$ выполняется равенство $|\vec{AC}| = |\vec{AB}|.$

199. Найдите геометрическое место точек C (x; y) координатной плоскости таких, что для точек A (3; -5) и B (-6; 7) выполняется равенство $\left|\overrightarrow{AC}\right| = \left|\overrightarrow{AB}\right|.$

Условие $|\vec{AC}| = |\vec{AB}|$ означает, что расстояние от искомой точки $C(x; y)$ до точки $A(3; -5)$ равно расстоянию между заданными точками $A(3; -5)$ и $B(-6; 7)$.

Геометрическое место точек, равноудаленных от одной данной точки (центра), является окружностью. В данном случае центром является точка A, а радиус равен расстоянию между точками A и B.

Вычислим этот радиус, который равен длине (модулю) вектора $\vec{AB}$. Координаты вектора $\vec{AB}$ находятся как разность соответствующих координат его конца и начала: $\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A) = (-6 - 3; 7 - (-5)) = (-9; 12)$.

Длина вектора $\vec{v}(v_x; v_y)$ вычисляется по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$.

Тогда длина вектора $\vec{AB}$ равна:

$|\vec{AB}| = \sqrt{(-9)^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$.

Теперь найдем длину вектора $\vec{AC}$. Координаты вектора $\vec{AC}$ равны:

$\vec{AC} = (x_C - x_A; y_C - y_A) = (x - 3; y - (-5)) = (x - 3; y + 5)$.

Его длина равна:

$|\vec{AC}| = \sqrt{(x - 3)^2 + (y + 5)^2}$.

Приравняем длины векторов согласно условию $|\vec{AC}| = |\vec{AB}|$:

$\sqrt{(x - 3)^2 + (y + 5)^2} = 15$.

Чтобы получить уравнение искомого геометрического места точек, возведем обе части равенства в квадрат:

$(x - 3)^2 + (y + 5)^2 = 15^2$

$(x - 3)^2 + (y + 5)^2 = 225$.

Это каноническое уравнение окружности с центром в точке $(3; -5)$, что соответствует координатам точки A, и радиусом $r = 15$.

Ответ: Искомое геометрическое место точек — это окружность с центром в точке A(3; -5) и радиусом 15. Уравнение этой окружности: $(x - 3)^2 + (y + 5)^2 = 225$.

200. Даны векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ (рис. 69). Постройте вектор:

1) $-3\vec{a}$

2) $\frac{3}{4}\vec{b}$

3) $2\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b}$

Рис. 69

200. Даны векторы $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $ (рис. 69). Постройте вектор:

1) $ -3\vec{a} $;

2) $ \frac{3}{4}\vec{b} $;

3) $ 2\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b} $.

Рис. 69

Прежде чем приступить к построению, определим координаты данных векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ по клетчатой сетке, приняв сторону одной клетки за единицу длины.

Вектор $\vec{a}$ направлен горизонтально вправо и его длина составляет 3 клетки. Следовательно, его координаты: $\vec{a}=\{3; 0\}$.

Вектор $\vec{b}$ смещается на 3 клетки влево и на 6 клеток вверх от своего начала к концу. Следовательно, его координаты: $\vec{b}=\{-3; 6\}$.

1) $-3\vec{a}$;

Чтобы построить вектор $-3\vec{a}$, нужно умножить вектор $\vec{a}$ на скаляр $k=-3$. Это означает, что результирующий вектор будет:
- направлен в сторону, противоположную вектору $\vec{a}$ (так как $k < 0$);
- иметь длину, в 3 раза большую длины вектора $\vec{a}$.
Так как вектор $\vec{a}$ направлен вправо и имеет длину 3 клетки, вектор $-3\vec{a}$ будет направлен влево и будет иметь длину $3 \times 3 = 9$ клеток.
В координатах: $-3\vec{a} = -3 \times \{3; 0\} = \{-9; 0\}$.
Для построения необходимо выбрать произвольную точку на плоскости (начало вектора) и отложить от нее вектор, конец которого смещен на 9 клеток влево.
Ответ: Вектор $-3\vec{a}$ — это вектор, направленный горизонтально влево, длиной 9 клеток.

2) $\frac{3}{4}\vec{b}$;

Для построения вектора $\frac{3}{4}\vec{b}$ нужно умножить вектор $\vec{b}$ на скаляр $k=\frac{3}{4}$. Так как $k > 0$, результирующий вектор будет:
- сонаправлен с вектором $\vec{b}$;
- иметь длину, равную $\frac{3}{4}$ от длины вектора $\vec{b}$.
Найдем координаты нового вектора, используя координаты $\vec{b}=\{-3; 6\}$:
$\frac{3}{4}\vec{b} = \frac{3}{4} \times \{-3; 6\} = \{-\frac{9}{4}; \frac{18}{4}\} = \{-2.25; 4.5\}$.
Для построения нужно выбрать произвольную точку (начало вектора) и отложить от нее вектор, конец которого смещен на 2.25 клетки влево и на 4.5 клетки вверх.
Ответ: Вектор $\frac{3}{4}\vec{b}$ — это вектор, который получается смещением из начальной точки на 2.25 клетки влево и на 4.5 клетки вверх.

3) $2\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b}$.

Данный вектор является суммой векторов $2\vec{a}$ и $(-\frac{1}{2}\vec{b})$. Для его построения можно найти координаты результирующего вектора или построить его геометрически по правилу треугольника (последовательного откладывания векторов).
1. Найдем вектор $2\vec{a}$: $2\vec{a} = 2 \times \{3; 0\} = \{6; 0\}$. Это вектор, направленный вправо, длиной 6 клеток.
2. Найдем вектор $-\frac{1}{2}\vec{b}$: $-\frac{1}{2}\vec{b} = -\frac{1}{2} \times \{-3; 6\} = \{\frac{3}{2}; -3\} = \{1.5; -3\}$. Это вектор, который смещается на 1.5 клетки вправо и на 3 клетки вниз.
3. Сложим координаты векторов, чтобы найти координаты итогового вектора: $2\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b} = \{6; 0\} + \{1.5; -3\} = \{7.5; -3\}$.
Для построения вектора нужно из произвольной начальной точки отложить вектор, смещающийся на 7.5 клеток вправо и на 3 клетки вниз. Это можно сделать, последовательно отложив от начальной точки вектор $2\vec{a}$, а затем из его конца — вектор $-\frac{1}{2}\vec{b}$.
Ответ: Вектор $2\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b}$ — это вектор, который получается смещением из начальной точки на 7.5 клеток вправо и на 3 клетки вниз.