Страница 91 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

221. Найдите скалярное произведение векторов $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $, если:

1) $ |\vec{a}|=1, |\vec{b}|=7, \angle(\vec{a}, \vec{b})=45^{\circ} $;

2) $ |\vec{a}|=8, |\vec{b}|=11, \angle(\vec{a}, \vec{b})=150^{\circ} $;

3) $ |\vec{a}|=5, |\vec{b}|=6, \angle(\vec{a}, \vec{b})=90^{\circ} $.

221. Найдите скалярное произведение векторов $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $, если:

1) $ |\vec{a}|=1 $, $ |\vec{b}|=7 $, $ \angle(\vec{a}, \vec{b})=45^{\circ} $;

2) $ |\vec{a}|=8 $, $ |\vec{b}|=11 $, $ \angle(\vec{a}, \vec{b})=150^{\circ} $;

3) $ |\vec{a}|=5 $, $ |\vec{b}|=6 $, $ \angle(\vec{a}, \vec{b})=90^{\circ} $.

Скалярное произведение двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ определяется как произведение их длин (модулей) на косинус угла между ними. Формула для вычисления скалярного произведения:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\angle(\vec{a}, \vec{b}))$

Используем эту формулу для решения каждого пункта.

1)

Даны: $|\vec{a}| = 1$, $|\vec{b}| = 7$, и угол между векторами $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 45^\circ$.

Подставляем эти значения в формулу:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 7 \cdot \cos(45^\circ)$

Значение косинуса $45^\circ$ является табличной величиной: $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Тогда скалярное произведение равно:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 7 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{7\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $\frac{7\sqrt{2}}{2}$.

2)

Даны: $|\vec{a}| = 8$, $|\vec{b}| = 11$, и угол между векторами $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 150^\circ$.

Подставляем значения в формулу:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 8 \cdot 11 \cdot \cos(150^\circ) = 88 \cdot \cos(150^\circ)$

Для нахождения косинуса $150^\circ$ воспользуемся формулой приведения: $\cos(150^\circ) = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos(30^\circ)$. Так как $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то $\cos(150^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Вычисляем скалярное произведение:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 88 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -44\sqrt{3}$

Ответ: $-44\sqrt{3}$.

3)

Даны: $|\vec{a}| = 5$, $|\vec{b}| = 6$, и угол между векторами $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 90^\circ$.

Подставляем значения в формулу:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 5 \cdot 6 \cdot \cos(90^\circ) = 30 \cdot \cos(90^\circ)$

Косинус прямого угла равен нулю: $\cos(90^\circ) = 0$.

Следовательно, скалярное произведение равно:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 30 \cdot 0 = 0$

Это соответствует свойству скалярного произведения: скалярное произведение перпендикулярных (ортогональных) векторов всегда равно нулю.

Ответ: $0$.

222. Угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен $135^\circ$, $|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 7$.

Найдите:

1) $\vec{a} \cdot \vec{b}$;

2) $(2\vec{b} + 5\vec{a}) \cdot \vec{a}$.

222. Угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен $135^\circ$, $|\vec{a}|=3$, $|\vec{b}|=7$.

Найдите:

1) $\vec{a} \cdot \vec{b}$;

2) $(2\vec{b} + 5\vec{a}) \cdot \vec{a}$.

1) $\vec{a} \cdot \vec{b}$

Скалярное произведение двух векторов определяется формулой:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$, где $\alpha$ — это угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$.
По условию задачи нам даны:
$|\vec{a}| = 3$
$|\vec{b}| = 7$
$\alpha = 135^{\circ}$
Найдем значение косинуса угла:
$\cos(135^{\circ}) = \cos(180^{\circ} - 45^{\circ}) = -\cos(45^{\circ}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Теперь подставим все значения в формулу скалярного произведения:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 7 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{21\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $-\frac{21\sqrt{2}}{2}$.

2) $(2\vec{b} + 5\vec{a}) \cdot \vec{a}$

Для нахождения этого скалярного произведения воспользуемся его свойствами. Раскроем скобки, используя дистрибутивный закон:
$(2\vec{b} + 5\vec{a}) \cdot \vec{a} = (2\vec{b}) \cdot \vec{a} + (5\vec{a}) \cdot \vec{a}$.
Вынесем скалярные множители (числа 2 и 5) за знак скалярного произведения:
$2(\vec{b} \cdot \vec{a}) + 5(\vec{a} \cdot \vec{a})$.
Скалярное произведение коммутативно, то есть $\vec{b} \cdot \vec{a} = \vec{a} \cdot \vec{b}$. А скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его модуля: $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$.
Получаем выражение:
$2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 5|\vec{a}|^2$.
Из пункта 1 мы знаем, что $\vec{a} \cdot \vec{b} = -\frac{21\sqrt{2}}{2}$.
По условию $|\vec{a}| = 3$, следовательно $|\vec{a}|^2 = 3^2 = 9$.
Подставим найденные значения в выражение:
$2 \cdot (-\frac{21\sqrt{2}}{2}) + 5 \cdot 9 = -21\sqrt{2} + 45$.
Ответ: $45 - 21\sqrt{2}$.

223. Угол между векторами $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $ равен $ 120^\circ $, $ |\vec{a}|=|\vec{b}|=1 $.
Найдите скалярное произведение $ (\vec{a}+2\vec{b})(\vec{a}-\vec{b}) $.

223. Угол между векторами $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $ равен $120^\circ$, $ |\vec{a}| = |\vec{b}| = 1 $.
Найдите скалярное произведение $ (\vec{a} + 2\vec{b})(\vec{a} - \vec{b}) $.

Для того чтобы найти скалярное произведение $(\vec{a} + 2\vec{b})(\vec{a} - \vec{b})$, раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения:

$(\vec{a} + 2\vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} + 2\vec{b} \cdot \vec{a} - 2\vec{b} \cdot \vec{b}$

Используем следующие свойства скалярного произведения:

1. Коммутативность: $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$.

2. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины (модуля): $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$.

Применяя эти свойства, упростим выражение:

$\vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{b} - 2\vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 + \vec{a} \cdot \vec{b} - 2|\vec{b}|^2$

Теперь найдем значение скалярного произведения $\vec{a} \cdot \vec{b}$ по определению:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\theta)$, где $\theta$ — угол между векторами.

По условию задачи $|\vec{a}|=1$, $|\vec{b}|=1$ и $\theta = 120^{\circ}$.

$\cos(120^{\circ}) = \cos(180^{\circ} - 60^{\circ}) = -\cos(60^{\circ}) = -\frac{1}{2}$

Тогда,

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2}$

Подставим все известные значения в наше упрощенное выражение:

$|\vec{a}|^2 + \vec{a} \cdot \vec{b} - 2|\vec{b}|^2 = 1^2 + (-\frac{1}{2}) - 2 \cdot 1^2 = 1 - \frac{1}{2} - 2 = -1 - \frac{1}{2} = -1.5$

Ответ: $-1.5$

224. Найдите скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, если:

1) $\vec{a}(1; -3), \vec{b}(4; -2);$

2) $\vec{a}(-3; -8), \vec{b}(-7; -1).$

224. Найдите скалярное произведение векторов $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $, если:

1) $ \vec{a}(1; -3) $, $ \vec{b}(4; -2); $

2) $ \vec{a}(-3; -8) $, $ \vec{b}(-7; -1). $

Скалярное произведение двух векторов $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2)$, заданных своими координатами на плоскости, вычисляется по формуле:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2$

1)

Даны векторы $\vec{a}(1; -3)$ и $\vec{b}(4; -2)$.

Подставим их координаты в формулу скалярного произведения:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 4 + (-3) \cdot (-2) = 4 + 6 = 10$.

Ответ: 10

2)

Даны векторы $\vec{a}(-3; -8)$ и $\vec{b}(-7; -1)$.

Подставим их координаты в формулу:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (-3) \cdot (-7) + (-8) \cdot (-1) = 21 + 8 = 29$.

Ответ: 29

225. Даны векторы $\vec{a}(4; y)$ и $\vec{b}(5; -3)$. При каком значении $y$ выполняется равенство $\vec{a} \cdot \vec{b} = 8$?

225. Даны векторы $\vec{a}(4; y)$ и $\vec{b}(5; -3)$. При каком значении $y$ выполняется равенство $\vec{a} \cdot \vec{b} = 8$?

Скалярное произведение двух векторов $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2)$ на плоскости вычисляется по формуле:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2$

В данном случае нам даны векторы $\vec{a}(4; y)$ и $\vec{b}(5; -3)$. Подставим их координаты в формулу скалярного произведения:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot 5 + y \cdot (-3) = 20 - 3y$

По условию задачи, скалярное произведение этих векторов равно 8. Составим уравнение:

$20 - 3y = 8$

Теперь решим это уравнение относительно $y$:

$-3y = 8 - 20$

$-3y = -12$

$y = \frac{-12}{-3}$

$y = 4$

Таким образом, равенство $\vec{a} \cdot \vec{b} = 8$ выполняется при $y=4$.

Ответ: $4$

226. Найдите косинус угла между векторами $\vec{a}(5; -1)$ и $\vec{b}(2; 6)$.

226. Найдите косинус угла между векторами $\vec{a}(5; -1)$ и $\vec{b}(2; 6)$.

Косинус угла $\alpha$ между векторами $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2)$ находится по формуле:

$\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{x_1 x_2 + y_1 y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2}}$

Для векторов $\vec{a}(5; -1)$ и $\vec{b}(2; 6)$ найдем необходимые значения.

1. Вычислим скалярное произведение векторов:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 5 \cdot 2 + (-1) \cdot 6 = 10 - 6 = 4$

2. Вычислим длины (модули) каждого вектора:

$|\vec{a}| = \sqrt{5^2 + (-1)^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}$

$|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40}$

3. Подставим найденные значения в формулу косинуса угла:

$\cos \alpha = \frac{4}{\sqrt{26} \cdot \sqrt{40}} = \frac{4}{\sqrt{26 \cdot 40}} = \frac{4}{\sqrt{1040}}$

Упростим знаменатель, вынеся множитель из-под корня:

$\sqrt{1040} = \sqrt{16 \cdot 65} = 4\sqrt{65}$

Тогда косинус равен:

$\cos \alpha = \frac{4}{4\sqrt{65}} = \frac{1}{\sqrt{65}}$

Для избавления от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{65}$:

$\cos \alpha = \frac{1 \cdot \sqrt{65}}{\sqrt{65} \cdot \sqrt{65}} = \frac{\sqrt{65}}{65}$

Ответ: $\frac{\sqrt{65}}{65}$

227. Медианы $AM$ и $BD$ правильного треугольника $ABC$ со стороной 12 см пересекаются в точке $O$. Найдите скалярное произведение векторов:

1) $ \vec{CB} $ и $ \vec{CA} $;

2) $ \vec{CB} $ и $ \vec{AB} $;

3) $ \vec{AM} $ и $ \vec{BC} $;

4) $ \vec{OA} $ и $ \vec{OB} $;

5) $ \vec{AM} $ и $ \vec{OD} $;

6) $ \vec{OA} $ и $ \vec{OM} $.

227. Медианы $AM$ и $BD$ правильного треугольника $ABC$ со стороной 12 см пересекаются в точке $O$. Найдите скалярное произведение векторов:

1) $\vec{CB}$ и $\vec{CA}$;

2) $\vec{CB}$ и $\vec{AB}$;

3) $\vec{AM}$ и $\vec{BC}$;

4) $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$;

5) $\vec{AM}$ и $\vec{OD}$;

6) $\vec{OA}$ и $\vec{OM}$.

Для решения задачи сначала найдем некоторые ключевые параметры правильного треугольника ABC со стороной $a=12$ см.

1. Длина медианы. В правильном треугольнике медиана также является высотой. Найдем длину медианы $AM$ по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $AMC$, где $AC = 12$ см, а $MC = BC/2 = 12/2 = 6$ см.

$|AM| = \sqrt{AC^2 - MC^2} = \sqrt{12^2 - 6^2} = \sqrt{144 - 36} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}$ см.

Так как треугольник правильный, все медианы равны: $|AM| = |BD| = 6\sqrt{3}$ см.

2. Свойства точки пересечения медиан O. Точка O (центроид) делит медианы в отношении 2:1, считая от вершины.

$|AO| = \frac{2}{3} |AM| = \frac{2}{3} \cdot 6\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ см.

$|OM| = \frac{1}{3} |AM| = \frac{1}{3} \cdot 6\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Аналогично, $|BO| = 4\sqrt{3}$ см и $|OD| = 2\sqrt{3}$ см.

3. Углы.

- Углы правильного треугольника равны $60^\circ$.

- Медианы в правильном треугольнике также являются биссектрисами, поэтому они пересекаются под углом $120^\circ$ (например, $\angle AOB = 120^\circ$) и смежными с ним углами $60^\circ$ (например, $\angle AOD = 60^\circ$).

- Медиана в правильном треугольнике перпендикулярна стороне, к которой проведена, т.е. $AM \perp BC$.

Теперь вычислим скалярные произведения, используя формулу $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\alpha)$, где $\alpha$ - угол между векторами.

1) $\overrightarrow{CB}$ и $\overrightarrow{CA}$

Векторы исходят из одной точки C. Угол между ними равен углу треугольника $\angle BCA = 60^\circ$.

$\overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{CA} = |\overrightarrow{CB}| \cdot |\overrightarrow{CA}| \cdot \cos(60^\circ) = 12 \cdot 12 \cdot \frac{1}{2} = 72$.

Ответ: 72

2) $\overrightarrow{CB}$ и $\overrightarrow{AB}$

Чтобы найти угол между векторами, приведем их к общему началу. Заметим, что $\overrightarrow{CB} = -\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{BA}$.

$\overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{AB} = (-\overrightarrow{BC}) \cdot (-\overrightarrow{BA}) = \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{BA}$.

Векторы $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{BA}$ выходят из одной точки B, угол между ними $\angle ABC = 60^\circ$.

$\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{BA} = |\overrightarrow{BC}| \cdot |\overrightarrow{BA}| \cdot \cos(60^\circ) = 12 \cdot 12 \cdot \frac{1}{2} = 72$.

Ответ: 72

3) $\overrightarrow{AM}$ и $\overrightarrow{BC}$

В правильном треугольнике медиана $AM$ является также и высотой, проведенной к стороне $BC$. Следовательно, прямые $AM$ и $BC$ перпендикулярны, и угол между векторами $\overrightarrow{AM}$ и $\overrightarrow{BC}$ равен $90^\circ$.

$\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BC} = |\overrightarrow{AM}| \cdot |\overrightarrow{BC}| \cdot \cos(90^\circ) = 6\sqrt{3} \cdot 12 \cdot 0 = 0$.

Ответ: 0

4) $\overrightarrow{OA}$ и $\overrightarrow{OB}$

Векторы исходят из одной точки O. Угол между медианами, выходящими из вершин, в правильном треугольнике равен $120^\circ$. То есть, $\angle AOB = 120^\circ$.

$|\overrightarrow{OA}| = 4\sqrt{3}$, $|\overrightarrow{OB}| = 4\sqrt{3}$.

$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = |\overrightarrow{OA}| \cdot |\overrightarrow{OB}| \cdot \cos(120^\circ) = 4\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3} \cdot (-\frac{1}{2}) = 16 \cdot 3 \cdot (-\frac{1}{2}) = 48 \cdot (-\frac{1}{2}) = -24$.

Ответ: -24

5) $\overrightarrow{AM}$ и $\overrightarrow{OD}$

Вектор $\overrightarrow{AM}$ сонаправлен вектору $\overrightarrow{OM}$. Вектор $\overrightarrow{OD}$ лежит на медиане $BD$. Угол между направлениями векторов $\overrightarrow{AM}$ и $\overrightarrow{OD}$ равен углу $\angle MOD$. Угол $\angle MOD$ является вертикальным с углом $\angle AOB$, значит $\angle MOD = \angle AOB = 120^\circ$.

$|\overrightarrow{AM}| = 6\sqrt{3}$, $|\overrightarrow{OD}| = 2\sqrt{3}$.

$\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{OD} = |\overrightarrow{AM}| \cdot |\overrightarrow{OD}| \cdot \cos(120^\circ) = 6\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} \cdot (-\frac{1}{2}) = 12 \cdot 3 \cdot (-\frac{1}{2}) = 36 \cdot (-\frac{1}{2}) = -18$.

Ответ: -18

6) $\overrightarrow{OA}$ и $\overrightarrow{OM}$

Векторы $\overrightarrow{OA}$ и $\overrightarrow{OM}$ лежат на одной прямой (медиане $AM$), но направлены в противоположные стороны. Следовательно, угол между ними равен $180^\circ$.

$|\overrightarrow{OA}| = 4\sqrt{3}$, $|\overrightarrow{OM}| = 2\sqrt{3}$.

$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OM} = |\overrightarrow{OA}| \cdot |\overrightarrow{OM}| \cdot \cos(180^\circ) = 4\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} \cdot (-1) = 8 \cdot 3 \cdot (-1) = -24$.

Ответ: -24

228. Даны векторы $\vec{a}(6; -1)$ и $\vec{b}(x; 2)$. При каком значении $x$ векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ перпендикулярны?

228. Даны векторы $\vec{a}(6; -1)$ и $\vec{b}(x; 2)$. При каком значении $x$ векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ перпендикулярны?

Два ненулевых вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение векторов $\vec{a}(a_1; a_2)$ и $\vec{b}(b_1; b_2)$ в координатах вычисляется по формуле:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2$

Для данных векторов $\vec{a}(6; -1)$ и $\vec{b}(x; 2)$ их скалярное произведение равно:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 6 \cdot x + (-1) \cdot 2 = 6x - 2$

Чтобы векторы были перпендикулярны, их скалярное произведение должно быть равно нулю:

$6x - 2 = 0$

Решим это линейное уравнение относительно $x$:

$6x = 2$

$x = \frac{2}{6}$

$x = \frac{1}{3}$

Следовательно, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ перпендикулярны при $x = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

229. Даны векторы $\vec{a}(4; -7)$ и $\vec{b}(3; y)$. При каких значениях $y$ угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

1) острый;

2) прямой;

3) тупой?

229. Даны векторы $\vec{a}(4; -7)$ и $\vec{b}(3; y)$. При каких значениях $y$ угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

1) острый;

2) прямой;

3) тупой?

Даны векторы $\vec{a}(4; -7)$ и $\vec{b}(3; y)$. Тип угла $\theta$ между двумя ненулевыми векторами (острый, прямой или тупой) определяется знаком их скалярного произведения, так как $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\theta$, а длины векторов $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ всегда положительны.

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$: $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b = 4 \cdot 3 + (-7) \cdot y = 12 - 7y$.

Теперь рассмотрим каждый случай в отдельности.

1) острый

Угол между векторами является острым, если $0^\circ < \theta < 90^\circ$. В этом случае $\cos\theta > 0$, а значит, скалярное произведение векторов должно быть положительным: $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$.

Решим неравенство: $12 - 7y > 0$ $-7y > -12$

При делении на отрицательное число (-7) знак неравенства меняется на противоположный: $y < \frac{-12}{-7}$ $y < \frac{12}{7}$

Ответ: угол острый при $y < \frac{12}{7}$.

2) прямой

Угол между векторами является прямым, если $\theta = 90^\circ$. В этом случае $\cos\theta = 0$, а значит, скалярное произведение векторов должно быть равно нулю. Это условие перпендикулярности векторов: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.

Решим уравнение: $12 - 7y = 0$ $-7y = -12$ $y = \frac{-12}{-7}$ $y = \frac{12}{7}$

Ответ: угол прямой при $y = \frac{12}{7}$.

3) тупой

Угол между векторами является тупым, если $90^\circ < \theta < 180^\circ$. В этом случае $\cos\theta < 0$, а значит, скалярное произведение векторов должно быть отрицательным: $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$.

Решим неравенство: $12 - 7y < 0$ $-7y < -12$

При делении на отрицательное число (-7) знак неравенства меняется на противоположный: $y > \frac{-12}{-7}$ $y > \frac{12}{7}$

Ответ: угол тупой при $y > \frac{12}{7}$.

230. Найдите координаты вектора $\vec{a}$, коллинеарного вектору $\vec{b}(2; -5)$, если $\vec{a} \cdot \vec{b} = -58$.

230. Найдите координаты вектора $ \vec{a} $, коллинеарного вектору $ \vec{b}(2; -5) $, если $ \vec{a} \cdot \vec{b} = -58 $.

По определению, два вектора коллинеарны, если один из них можно выразить через другой, умножив его на некоторое число (скаляр). Пусть это число будет $k$.

Поскольку вектор $\vec{a}$ коллинеарен вектору $\vec{b}(2; -5)$, мы можем записать:
$\vec{a} = k \cdot \vec{b} = k \cdot (2; -5) = (2k; -5k)$.

Таким образом, координаты вектора $\vec{a}$ равны $x_a = 2k$ и $y_a = -5k$.

По условию задачи, скалярное произведение этих векторов равно -58:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = -58$.

Скалярное произведение векторов в координатах находится как сумма произведений соответствующих координат. Для векторов $\vec{a}(x_a; y_a)$ и $\vec{b}(x_b; y_b)$ формула выглядит так:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b$.

Подставим известные значения и выражения для координат:
$(2k) \cdot 2 + (-5k) \cdot (-5) = -58$.

Решим полученное уравнение относительно $k$:
$4k + 25k = -58$
$29k = -58$
$k = \frac{-58}{29}$
$k = -2$.

Теперь, зная коэффициент $k$, найдем координаты вектора $\vec{a}$:
$x_a = 2k = 2 \cdot (-2) = -4$
$y_a = -5k = -5 \cdot (-2) = 10$.

Следовательно, координаты вектора $\vec{a}$ равны $(-4; 10)$.

Ответ: $\vec{a}(-4; 10)$.