Страница 89 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

201. Постройте два неколлинеарных вектора $\vec{c}$ и $\vec{d}$. Отметьте произвольную точку и отложите от неё вектор:

1) $-\vec{c} + 4\vec{d}$;

2) $\frac{1}{5}\vec{c} - \frac{2}{3}\vec{d}$.

201. Постройте два неколлинеарных вектора $\vec{c}$ и $\vec{d}$. Отметьте произвольную точку и отложите от неё вектор:

1) $-\vec{c} + 4\vec{d};$

2) $\frac{1}{5}\vec{c} - \frac{2}{3}\vec{d}. $

Для выполнения построений сначала выберем два произвольных неколлинеарных вектора $\vec{c}$ и $\vec{d}$ (то есть векторы, не лежащие на одной прямой или на параллельных прямых). Также выберем произвольную точку $O$, которая будет служить началом для построения искомых векторов.

1) $-\vec{c} + 4\vec{d}$

Чтобы построить вектор $\vec{a} = -\vec{c} + 4\vec{d}$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Построить вектор $-\vec{c}$. Этот вектор имеет такую же длину (модуль), как и вектор $\vec{c}$, но направлен в противоположную сторону.
2. Построить вектор $4\vec{d}$. Этот вектор направлен в ту же сторону, что и вектор $\vec{d}$, но его длина в 4 раза больше длины вектора $\vec{d}$. Для его построения нужно отложить вектор $\vec{d}$ четыре раза подряд, совмещая начало следующего с концом предыдущего.
3. Сложить полученные векторы $-\vec{c}$ и $4\vec{d}$. Для этого воспользуемся правилом треугольника (или правилом последовательного откладывания векторов):
   • От произвольной точки $O$ откладываем вектор $\vec{OA}$, равный $-\vec{c}$.
   • От конца полученного вектора, точки $A$, откладываем вектор $\vec{AB}$, равный $4\vec{d}$.
   • Соединяем начальную точку $O$ с конечной точкой $B$. Полученный вектор $\vec{OB}$ и будет искомым вектором, так как $\vec{OB} = \vec{OA} + \vec{AB} = -\vec{c} + 4\vec{d}$.

Ответ: Искомый вектор $\vec{OB}$ строится путем последовательного откладывания от произвольной точки $O$ вектора $\vec{OA} = -\vec{c}$ и затем от точки $A$ вектора $\vec{AB} = 4\vec{d}$.

2) $\frac{1}{5}\vec{c} - \frac{2}{3}\vec{d}$

Чтобы построить вектор $\vec{b} = \frac{1}{5}\vec{c} - \frac{2}{3}\vec{d}$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Построить вектор $\frac{1}{5}\vec{c}$. Этот вектор сонаправлен с вектором $\vec{c}$, а его длина составляет $\frac{1}{5}$ длины вектора $\vec{c}$. Для точного построения нужно разделить отрезок, изображающий вектор $\vec{c}$, на 5 равных частей (например, с помощью теоремы Фалеса) и взять одну такую часть, сохранив направление вектора $\vec{c}$.
2. Построить вектор $-\frac{2}{3}\vec{d}$. Этот вектор направлен в сторону, противоположную вектору $\vec{d}$, а его длина составляет $\frac{2}{3}$ длины вектора $\vec{d}$. Для его построения сначала строим вектор $\frac{2}{3}\vec{d}$: делим вектор $\vec{d}$ на 3 равные части и берем две из них, сохраняя направление. Затем меняем направление полученного вектора на противоположное.
3. Сложить полученные векторы $\frac{1}{5}\vec{c}$ и $-\frac{2}{3}\vec{d}$. Используем правило треугольника:
   • От произвольной точки $O$ откладываем вектор $\vec{OP}$, равный $\frac{1}{5}\vec{c}$.
   • От конца полученного вектора, точки $P$, откладываем вектор $\vec{PQ}$, равный $-\frac{2}{3}\vec{d}$.
   • Соединяем начальную точку $O$ с конечной точкой $Q$. Полученный вектор $\vec{OQ}$ и будет искомым вектором, так как $\vec{OQ} = \vec{OP} + \vec{PQ} = \frac{1}{5}\vec{c} - \frac{2}{3}\vec{d}$.

Ответ: Искомый вектор $\vec{OQ}$ строится путем последовательного откладывания от произвольной точки $O$ вектора $\vec{OP} = \frac{1}{5}\vec{c}$ и затем от точки $P$ вектора $\vec{PQ} = -\frac{2}{3}\vec{d}$.

202. $|\vec{c}| = 0.8$. Чему равен модуль вектора:

202. $|\vec{c}| = 0.8$. Чему равен модуль вектора:

1) $5\vec{c}$;

2) $-0.3\vec{c}$?

По условию задачи дан модуль вектора $\vec{c}$, который равен 0,8. Это записывается как $|\vec{c}| = 0,8$.

Для нахождения модуля вектора, умноженного на число (скаляр), используется следующее свойство модуля вектора: модуль произведения вектора на скаляр равен произведению модуля скаляра на модуль вектора. Математически это выглядит так:

$|k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|$

где $k$ – это скаляр (число), а $\vec{a}$ – вектор.

1) $5\vec{c}$

Чтобы найти модуль вектора $5\vec{c}$, применим указанную выше формулу. Здесь скаляр $k = 5$.

$|5\vec{c}| = |5| \cdot |\vec{c}|$

Модуль числа 5 равен 5. Модуль вектора $\vec{c}$ нам известен из условия и равен 0,8. Подставим эти значения в формулу:

$|5\vec{c}| = 5 \cdot 0,8 = 4$

Ответ: 4.

2) $-0,3\vec{c}$

Теперь найдем модуль вектора $-0,3\vec{c}$. В этом случае скаляр $k = -0,3$.

$|-0,3\vec{c}| = |-0,3| \cdot |\vec{c}|$

Модуль (абсолютное значение) числа -0,3 равен 0,3. Модуль вектора $\vec{c}$ по-прежнему равен 0,8. Подставляем значения:

$|-0,3\vec{c}| = 0,3 \cdot 0,8 = 0,24$

Ответ: 0,24.

203. Найдите модуль вектора $\vec{x} = -4\vec{m}$, где $\vec{m}(-12; 5)$.

203. Найдите модуль вектора $\vec{x} = -4\vec{m}$, где $\vec{m}(-12; 5)$.

Чтобы найти модуль вектора $\vec{x}$, который равен произведению вектора $\vec{m}$ на число -4, можно пойти двумя путями.

Способ 1. Сначала найти координаты вектора $\vec{x}$, а затем вычислить его модуль.

Для нахождения координат вектора $\vec{x}$ нужно каждую координату вектора $\vec{m}(-12; 5)$ умножить на -4:

$\vec{x} = -4 \cdot \vec{m} = (-4 \cdot (-12); -4 \cdot 5) = (48; -20)$.

Теперь, зная координаты вектора $\vec{x}$, найдем его модуль (длину) по формуле $|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}$:

$|\vec{x}| = \sqrt{48^2 + (-20)^2} = \sqrt{2304 + 400} = \sqrt{2704} = 52$.

Способ 2. Использовать свойство модуля вектора: $|k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|$. То есть модуль вектора, умноженного на число, равен произведению модуля этого числа на модуль исходного вектора.

Применим это свойство к нашему случаю:

$|\vec{x}| = |-4\vec{m}| = |-4| \cdot |\vec{m}| = 4 \cdot |\vec{m}|$.

Сначала найдем модуль вектора $\vec{m}(-12; 5)$:

$|\vec{m}| = \sqrt{(-12)^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$.

Теперь можем вычислить модуль вектора $\vec{x}$:

$|\vec{x}| = 4 \cdot |\vec{m}| = 4 \cdot 13 = 52$.

Оба способа приводят к одинаковому результату.

Ответ: 52

204. Даны векторы $\vec{a}(-2;4)$ и $\vec{b}(3;1)$. Найдите координаты вектора:

1) $\vec{a} + 2\vec{b};$

2) $4\vec{b} - 3\vec{a}.$

204. Даны векторы $\vec{a}(-2;4)$ и $\vec{b}(3;1)$. Найдите координаты вектора:

1) $\vec{a} + 2\vec{b};$

2) $4\vec{b} - 3\vec{a}$.

Даны векторы $\vec{a}(-2; 4)$ и $\vec{b}(3; 1)$.

1) $\vec{a} + 2\vec{b}$

Для нахождения координат вектора $\vec{a} + 2\vec{b}$ сначала необходимо найти координаты вектора $2\vec{b}$. Для этого нужно каждую координату вектора $\vec{b}$ умножить на 2.

$2\vec{b} = (2 \cdot 3; 2 \cdot 1) = (6; 2)$

Теперь сложим покоординатно векторы $\vec{a}$ и $2\vec{b}$:

$\vec{a} + 2\vec{b} = (-2 + 6; 4 + 2) = (4; 6)$

Ответ: $(4; 6)$

2) $4\vec{b} - 3\vec{a}$

Для нахождения координат вектора $4\vec{b} - 3\vec{a}$ сначала найдем координаты векторов $4\vec{b}$ и $3\vec{a}$.

Умножим координаты вектора $\vec{b}$ на 4:

$4\vec{b} = (4 \cdot 3; 4 \cdot 1) = (12; 4)$

Умножим координаты вектора $\vec{a}$ на 3:

$3\vec{a} = (3 \cdot (-2); 3 \cdot 4) = (-6; 12)$

Теперь вычтем из координат вектора $4\vec{b}$ соответствующие координаты вектора $3\vec{a}$:

$4\vec{b} - 3\vec{a} = (12 - (-6); 4 - 12) = (12 + 6; -8) = (18; -8)$

Ответ: $(18; -8)$

205.Найдите модуль вектора $\vec{m} = 5\vec{a} - 3\vec{b}$, где $\vec{a}(5; 6)$; $\vec{b}(1; -4)$.

205. Найдите модуль вектора $\vec{m} = 5\vec{a} - 3\vec{b}$, где $\vec{a}(5; 6)$; $\vec{b}(1; -4).$

Для того чтобы найти модуль вектора $\vec{m} = 5\vec{a} - 3\vec{b}$, необходимо сначала вычислить координаты самого вектора $\vec{m}$.

Нам даны координаты векторов $\vec{a}(5; 6)$ и $\vec{b}(1; -4)$.

Координаты вектора $\vec{m}$ находятся путем выполнения соответствующих операций над координатами векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Обозначим координаты вектора $\vec{m}$ как $(x_m; y_m)$.

1. Вычислим координату $x_m$:
$x_m = 5x_a - 3x_b = 5 \cdot 5 - 3 \cdot 1 = 25 - 3 = 22$.

2. Вычислим координату $y_m$:
$y_m = 5y_a - 3y_b = 5 \cdot 6 - 3 \cdot (-4) = 30 - (-12) = 30 + 12 = 42$.

Таким образом, вектор $\vec{m}$ имеет координаты $(22; 42)$.

Теперь найдем модуль (длину) вектора $\vec{m}$. Модуль вектора с координатами $(x; y)$ вычисляется по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

Подставим координаты вектора $\vec{m}$ в эту формулу: $|\vec{m}| = \sqrt{22^2 + 42^2} = \sqrt{484 + 1764} = \sqrt{2248}$.

Упростим полученное выражение, вынеся множитель из-под знака корня. Для этого разложим число 2248 на множители: $2248 = 4 \cdot 562$. Тогда $|\vec{m}| = \sqrt{4 \cdot 562} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{562} = 2\sqrt{562}$.

Ответ: $2\sqrt{562}$.

206. Точки M и K – середины сторон CD и AD параллелограмма ABCD (рис. 70). Выразите вектор $ \overrightarrow{MK} $ через векторы $ \overrightarrow{AB} = \vec{a} $ и $ \overrightarrow{CB} = \vec{b} $.

Рис. 70

206. Точки M и K — середины сторон CD и AD параллелограмма ABCD (рис. 70). Выразите вектор $\vec{MK}$ через векторы $\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{CB} = \vec{b}$.

Рис. 70

Для того чтобы выразить вектор $\vec{MK}$, представим его в виде суммы векторов, проходящих через вершины параллелограмма. Удобно использовать правило ломаной (или многоугольника) для сложения векторов. Выберем путь из точки M в точку K через точку D:

$\vec{MK} = \vec{MD} + \vec{DK}$

Теперь выразим векторы $\vec{MD}$ и $\vec{DK}$ через заданные векторы $\vec{a} = \vec{AB}$ и $\vec{b} = \vec{CB}$.

Поскольку точка M — середина стороны CD, то вектор $\vec{MD}$ равен половине вектора $\vec{CD}$ и сонаправлен с ним:$\vec{MD} = \frac{1}{2}\vec{CD}$.
В параллелограмме ABCD противолежащие стороны параллельны и равны. Вектор $\vec{CD}$ равен вектору $\vec{BA}$. Вектор $\vec{BA}$ противоположен вектору $\vec{AB}$, поэтому $\vec{BA} = -\vec{AB} = -\vec{a}$.Следовательно, $\vec{CD} = -\vec{a}$, и тогда:$\vec{MD} = \frac{1}{2}(-\vec{a}) = -\frac{1}{2}\vec{a}$.

Поскольку точка K — середина стороны AD, то вектор $\vec{DK}$ равен половине вектора $\vec{DA}$ и сонаправлен с ним:$\vec{DK} = \frac{1}{2}\vec{DA}$.
В параллелограмме ABCD вектор $\vec{DA}$ равен вектору $\vec{CB}$. По условию $\vec{CB} = \vec{b}$.Следовательно, $\vec{DA} = \vec{b}$, и тогда:$\vec{DK} = \frac{1}{2}\vec{b}$.

Теперь подставим найденные выражения для $\vec{MD}$ и $\vec{DK}$ в исходное равенство для $\vec{MK}$:$\vec{MK} = \vec{MD} + \vec{DK} = -\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$.

Вынесем общий множитель за скобки:$\vec{MK} = \frac{1}{2}(\vec{b} - \vec{a})$.

Ответ: $\vec{MK} = \frac{1}{2}(\vec{b} - \vec{a})$.

207. Точки F и E — середины сторон CD и AD трапеции ABCD (рис. 71). Выразите вектор $\vec{FE}$ через векторы $\vec{BA} = \vec{a}$ и $\vec{BC} = \vec{b}$.

Рис. 71

207. Точки F и E — середины сторон CD и AD трапеции ABCD (рис. 71). Выразите вектор $ \vec{FE} $ через векторы $ \vec{BA} = \vec{a} $ и $ \vec{BC} = \vec{b} $.

Рис. 71

Рассмотрим треугольник $ACD$.
По условию задачи, точка $F$ является серединой стороны $CD$, а точка $E$ — серединой стороны $AD$.
Следовательно, отрезок $FE$ является средней линией треугольника $ACD$.
По свойству средней линии, выраженному в векторах, вектор, соединяющий середины двух сторон, равен половине вектора третьей стороны, параллельной этому отрезку. Вектор $\vec{FE}$ направлен от середины стороны $CD$ к середине стороны $AD$. Вектор, соответствующий третьей стороне, — это $\vec{CA}$. Средняя линия $FE$ параллельна стороне $AC$, а вектор $\vec{FE}$ сонаправлен с вектором $\vec{CA}$. Таким образом, справедливо равенство:
$\vec{FE} = \frac{1}{2}\vec{CA}$

Теперь необходимо выразить вектор $\vec{CA}$ через заданные векторы $\vec{BA} = \vec{a}$ и $\vec{BC} = \vec{b}$.
Воспользуемся правилом сложения векторов (правилом многоугольника), пройдя от точки $C$ до точки $A$ через точку $B$:
$\vec{CA} = \vec{CB} + \vec{BA}$
Из условия задачи мы знаем, что $\vec{BA} = \vec{a}$.
Вектор $\vec{CB}$ противоположен по направлению вектору $\vec{BC}$, поэтому $\vec{CB} = -\vec{BC}$. Так как $\vec{BC} = \vec{b}$, то $\vec{CB} = -\vec{b}$.
Подставим выражения для векторов $\vec{CB}$ и $\vec{BA}$:
$\vec{CA} = -\vec{b} + \vec{a} = \vec{a} - \vec{b}$

Наконец, подставим полученное выражение для вектора $\vec{CA}$ в формулу для вектора $\vec{FE}$:
$\vec{FE} = \frac{1}{2}(\vec{a} - \vec{b})$

Ответ: $\vec{FE} = \frac{1}{2}(\vec{a} - \vec{b})$

208. O — точка пересечения диагоналей выпуклого четырёхугольника ABCD, AO : OC = 2 : 3, BO : OD = 3 : 5.
Выразите векторы $\vec{AB}$, $\vec{CB}$, $\vec{CD}$ и $\vec{DA}$ через векторы $\vec{OC} = \vec{a}$ и $\vec{BO} = \vec{b}$.

208. O – точка пересечения диагоналей выпуклого четырёхугольника ABCD, $AO : OC = 2 : 3$, $BO : OD = 3 : 5$.

Выразите векторы $\vec{AB}$, $\vec{CB}$, $\vec{CD}$ и $\vec{DA}$ через векторы $\vec{OC} = \vec{a}$ и $\vec{BO} = \vec{b}$.

По условию задачи, $O$ — точка пересечения диагоналей выпуклого четырехугольника $ABCD$. Нам даны отношения отрезков $AO : OC = 2 : 3$ и $BO : OD = 3 : 5$, а также базовые векторы $\vec{OC} = \vec{a}$ и $\vec{BO} = \vec{b}$.

Для того чтобы выразить стороны четырехугольника, сначала найдем векторы, исходящие из точки $O$ к вершинам $A$, $B$, $C$ и $D$.

• Так как точки $A$, $O$, $C$ лежат на одной прямой и $O$ находится между $A$ и $C$, векторы $\vec{AO}$ и $\vec{OC}$ сонаправлены. Из отношения $AO : OC = 2 : 3$ следует, что $|\vec{AO}| = \frac{2}{3}|\vec{OC}|$. Поэтому $\vec{AO} = \frac{2}{3}\vec{OC} = \frac{2}{3}\vec{a}$. Соответственно, вектор $\vec{OA} = -\vec{AO} = -\frac{2}{3}\vec{a}$.
• Аналогично, точки $B$, $O$, $D$ лежат на одной прямой, и векторы $\vec{BO}$ и $\vec{OD}$ сонаправлены. Из отношения $BO : OD = 3 : 5$ следует, что $|\vec{OD}| = \frac{5}{3}|\vec{BO}|$. Поэтому $\vec{OD} = \frac{5}{3}\vec{BO} = \frac{5}{3}\vec{b}$.
• Из условия нам также известно, что $\vec{BO} = \vec{b}$, следовательно, $\vec{OB} = -\vec{BO} = -\vec{b}$.

Теперь мы можем выразить векторы сторон четырехугольника, используя правило вычитания векторов ($\vec{XY} = \vec{OY} - \vec{OX}$), где $O$ — начало отсчета.

$\vec{AB}$

Применяя правило вычитания векторов, получаем:

$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = (-\vec{b}) - (-\frac{2}{3}\vec{a}) = \frac{2}{3}\vec{a} - \vec{b}$.

Ответ: $\vec{AB} = \frac{2}{3}\vec{a} - \vec{b}$.

$\vec{CB}$

Применяя правило вычитания векторов, получаем:

$\vec{CB} = \vec{OB} - \vec{OC} = (-\vec{b}) - \vec{a} = -\vec{a} - \vec{b}$.

Ответ: $\vec{CB} = -\vec{a} - \vec{b}$.

$\vec{CD}$

Применяя правило вычитания векторов, получаем:

$\vec{CD} = \vec{OD} - \vec{OC} = \frac{5}{3}\vec{b} - \vec{a}$.

Ответ: $\vec{CD} = \frac{5}{3}\vec{b} - \vec{a}$.

$\vec{DA}$

Применяя правило вычитания векторов, получаем:

$\vec{DA} = \vec{OA} - \vec{OD} = (-\frac{2}{3}\vec{a}) - (\frac{5}{3}\vec{b}) = -\frac{2}{3}\vec{a} - \frac{5}{3}\vec{b}$.

Ответ: $\vec{DA} = -\frac{2}{3}\vec{a} - \frac{5}{3}\vec{b}$.

209. На сторонах AB и AC треугольника ABC отмечены такие точки K и M соответственно, что $AK : KB = 2 : 5$, $AM : MC = 4 : 3$. Выразите векторы $\vec{AB}$, $\vec{AC}$, $\vec{BC}$, $\vec{CK}$ и $\vec{MB}$ через векторы $\vec{AK} = \vec{a}$ и $\vec{CM} = \vec{c}$.

209. На сторонах AB и AC треугольника ABC отмечены такие точки K и M соответственно, что AK : KB = 2 : 5, AM : MC = 4 : 3. Выразите векторы $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{CK}$ и $\overrightarrow{MB}$ через векторы $\overrightarrow{AK} = \vec{a}$ и $\overrightarrow{CM} = \vec{c}$.

По условию задачи даны следующие соотношения:

1. Точка K лежит на стороне AB, и $AK : KB = 2 : 5$. Вектор $\vec{AK} = \vec{a}$.

2. Точка M лежит на стороне AC, и $AM : MC = 4 : 3$. Вектор $\vec{CM} = \vec{c}$.

На основе этих данных выразим требуемые векторы.

$\vec{AB}$

Поскольку точка K лежит на отрезке AB, векторы $\vec{AK}$ и $\vec{KB}$ сонаправлены. Из соотношения длин $AK : KB = 2 : 5$ следует, что $|\vec{KB}| = \frac{5}{2} |\vec{AK}|$. Значит, $\vec{KB} = \frac{5}{2} \vec{AK}$.

Так как $\vec{AK} = \vec{a}$, получаем $\vec{KB} = \frac{5}{2} \vec{a}$.

Вектор $\vec{AB}$ можно представить как сумму векторов $\vec{AK}$ и $\vec{KB}$:

$\vec{AB} = \vec{AK} + \vec{KB} = \vec{a} + \frac{5}{2} \vec{a} = \frac{7}{2} \vec{a}$.

Ответ: $\vec{AB} = \frac{7}{2} \vec{a}$

$\vec{AC}$

Точка M лежит на отрезке AC, поэтому векторы $\vec{AM}$ и $\vec{MC}$ сонаправлены. Из соотношения длин $AM : MC = 4 : 3$ следует, что $|\vec{AM}| = \frac{4}{3} |\vec{MC}|$. Значит, $\vec{AM} = \frac{4}{3} \vec{MC}$.

По условию $\vec{CM} = \vec{c}$, следовательно, $\vec{MC} = -\vec{CM} = -\vec{c}$.

Тогда $\vec{AM} = \frac{4}{3} (-\vec{c}) = -\frac{4}{3} \vec{c}$.

Вектор $\vec{AC}$ можно представить как сумму векторов $\vec{AM}$ и $\vec{MC}$:

$\vec{AC} = \vec{AM} + \vec{MC} = -\frac{4}{3} \vec{c} + (-\vec{c}) = -\frac{7}{3} \vec{c}$.

Ответ: $\vec{AC} = -\frac{7}{3} \vec{c}$

$\vec{BC}$

По правилу треугольника для векторов $\vec{BC} = \vec{BA} + \vec{AC}$.

Вектор $\vec{BA}$ противоположен вектору $\vec{AB}$, поэтому $\vec{BA} = -\vec{AB} = -\frac{7}{2} \vec{a}$.

Вектор $\vec{AC}$ мы уже нашли: $\vec{AC} = -\frac{7}{3} \vec{c}$.

Сложив векторы, получим:

$\vec{BC} = -\frac{7}{2} \vec{a} - \frac{7}{3} \vec{c}$.

Ответ: $\vec{BC} = -\frac{7}{2} \vec{a} - \frac{7}{3} \vec{c}$

$\vec{CK}$

По правилу треугольника для векторов $\vec{CK} = \vec{CA} + \vec{AK}$.

Вектор $\vec{CA}$ противоположен вектору $\vec{AC}$, поэтому $\vec{CA} = -\vec{AC} = -(-\frac{7}{3} \vec{c}) = \frac{7}{3} \vec{c}$.

Вектор $\vec{AK}$ дан по условию: $\vec{AK} = \vec{a}$.

Сложив векторы, получим:

$\vec{CK} = \frac{7}{3} \vec{c} + \vec{a} = \vec{a} + \frac{7}{3} \vec{c}$.

Ответ: $\vec{CK} = \vec{a} + \frac{7}{3} \vec{c}$

$\vec{MB}$

По правилу треугольника для векторов $\vec{MB} = \vec{MA} + \vec{AB}$.

Вектор $\vec{MA}$ противоположен вектору $\vec{AM}$. Ранее мы нашли, что $\vec{AM} = -\frac{4}{3} \vec{c}$, значит $\vec{MA} = -(-\frac{4}{3} \vec{c}) = \frac{4}{3} \vec{c}$.

Вектор $\vec{AB}$ также был найден ранее: $\vec{AB} = \frac{7}{2} \vec{a}$.

Сложив векторы, получим:

$\vec{MB} = \frac{4}{3} \vec{c} + \frac{7}{2} \vec{a} = \frac{7}{2} \vec{a} + \frac{4}{3} \vec{c}$.

Ответ: $\vec{MB} = \frac{7}{2} \vec{a} + \frac{4}{3} \vec{c}$