Страница 86 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

176. Четырёхугольник ABCD — прямоугольник (рис. 65).

Укажите вектор, равный вектору: 1) $ \vec{AB} $; 2) $ \vec{BA} $; 3) $ \vec{OC} $; 4) $ \vec{OA} $.

Рис. 65

176. Четырёхугольник $ABCD$ — прямоугольник (рис. 65).

Укажите вектор, равный вектору:

1) $\vec{AB}$;

2) $\vec{BA}$;

3) $\vec{OC}$;

4) $\vec{OA}$.

Рис. 65

Для решения задачи воспользуемся свойствами прямоугольника: его противоположные стороны параллельны и равны, а диагонали в точке пересечения $O$ делятся пополам.

1) $\vec{AB}$

Два вектора считаются равными, если они коллинеарны (лежат на параллельных прямых или на одной прямой), сонаправлены (имеют одинаковое направление) и их длины (модули) равны. В прямоугольнике $ABCD$ сторона $DC$ параллельна и равна стороне $AB$. Вектор $\vec{DC}$ направлен от точки $D$ к точке $C$. Это направление совпадает с направлением вектора $\vec{AB}$ (от $A$ к $B$). Так как векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ сонаправлены и их длины равны ($|\vec{AB}| = |\vec{DC}|$), то эти векторы равны.
Ответ: $\vec{DC}$.

2) $\vec{BA}$

Вектор $\vec{BA}$ направлен от точки $B$ к точке $A$. Рассмотрим вектор $\vec{CD}$, который направлен от точки $C$ к точке $D$. В прямоугольнике $ABCD$ стороны $BA$ и $CD$ параллельны и равны. Направления векторов $\vec{BA}$ и $\vec{CD}$ совпадают. Следовательно, векторы $\vec{BA}$ и $\vec{CD}$ равны, так как они сонаправлены и их модули равны.
Ответ: $\vec{CD}$.

3) $\vec{OC}$

В прямоугольнике диагонали точкой пересечения $O$ делятся пополам, значит, $O$ — середина диагонали $AC$, и $AO = OC$. Вектор $\vec{OC}$ направлен от точки $O$ к точке $C$. Вектор $\vec{AO}$ направлен от точки $A$ к точке $O$. Поскольку точки $A, O, C$ лежат на одной прямой, а $O$ — середина $AC$, векторы $\vec{AO}$ и $\vec{OC}$ имеют одинаковое направление и равные длины. Следовательно, они равны.
Ответ: $\vec{AO}$.

4) $\vec{OA}$

Вектор $\vec{OA}$ направлен от точки $O$ к точке $A$. Его длина равна половине диагонали $AC$. Рассмотрим вектор $\vec{CO}$, который направлен от точки $C$ к точке $O$. Так как $O$ — середина отрезка $AC$, длины векторов $\vec{OA}$ и $\vec{CO}$ равны ($|\vec{OA}| = |\vec{CO}|$). Они лежат на одной прямой и направлены в одну сторону (от $C$ в сторону $A$). Следовательно, векторы равны.
Ответ: $\vec{CO}$.

177. В прямоугольнике ABCD $CD = 6 \text{ см}$, $AC = 10 \text{ см}$, $O$ — точка пересечения диагоналей. Найдите:

1) $\left|\overrightarrow{AB}\right|$;

2) $\left|\overrightarrow{BO}\right|$;

3) $\left|\overrightarrow{AD}\right|$.

177. В прямоугольнике ABCD $CD = 6$ см, $AC = 10$ см, O — точка пересечения диагоналей. Найдите:

1) $|\overrightarrow{AB}|$;

2) $|\overrightarrow{BO}|$;

3) $|\overrightarrow{AD}|.$

1) $|\vec{AB}|$
Поскольку $ABCD$ — прямоугольник, его противолежащие стороны равны. Следовательно, длина стороны $AB$ равна длине стороны $CD$. Модуль вектора $|\vec{AB}|$ равен длине отрезка $AB$.
По условию дано, что $CD = 6$ см.
Таким образом, $|\vec{AB}| = AB = CD = 6$ см.
Ответ: 6 см.

2) $|\vec{BO}|$
В прямоугольнике диагонали равны и в точке пересечения делятся пополам. $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$.
Следовательно, $AC = BD = 10$ см.
Модуль вектора $|\vec{BO}|$ равен длине отрезка $BO$. Отрезок $BO$ является половиной диагонали $BD$.
$|\vec{BO}| = BO = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$ см.
Ответ: 5 см.

3) $|\vec{AD}|$
Рассмотрим треугольник $\triangle ADC$. Так как $ABCD$ — прямоугольник, угол $\angle D$ является прямым ($\angle D = 90^\circ$). Следовательно, $\triangle ADC$ — прямоугольный треугольник, где $AC$ — гипотенуза, а $AD$ и $CD$ — катеты.
По теореме Пифагора: $AC^2 = AD^2 + CD^2$.
Подставим известные значения: $AC = 10$ см, $CD = 6$ см.
$10^2 = AD^2 + 6^2$
$100 = AD^2 + 36$
$AD^2 = 100 - 36$
$AD^2 = 64$
$AD = \sqrt{64} = 8$ см (длина отрезка положительна).
Модуль вектора $|\vec{AD}|$ равен длине отрезка $AD$.
$|\vec{AD}| = 8$ см.
Ответ: 8 см.

178. Найдите координаты вектора $ \vec{AB} $, если:

1) $ A (3; -4), B (9; -2); $

2) $ A (0; -2), B (4; 0). $

178. Найдите координаты вектора $\vec{AB}$, если:

1) A $(3; -4)$, B $(9; -2)$;

2) A $(0; -2)$, B $(4; 0)$.

Чтобы найти координаты вектора $\overrightarrow{AB}$, зная координаты его начальной точки $A(x_A; y_A)$ и конечной точки $B(x_B; y_B)$, необходимо из координат конечной точки вычесть соответствующие координаты начальной точки. Формула для вычисления координат вектора $\overrightarrow{AB}$ следующая:
$\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A)$

1) A (3; -4), B (9; -2)

Найдем координаты вектора $\overrightarrow{AB}$, используя координаты точек $A$ и $B$.
Координаты начальной точки $A$: $x_A = 3$, $y_A = -4$.
Координаты конечной точки $B$: $x_B = 9$, $y_B = -2$.
Подставим эти значения в формулу:
$\overrightarrow{AB} = (9 - 3; -2 - (-4))$
Вычислим каждую координату отдельно:
$x = 9 - 3 = 6$
$y = -2 - (-4) = -2 + 4 = 2$
Таким образом, координаты вектора $\overrightarrow{AB}$ равны $(6; 2)$.
Ответ: $\overrightarrow{AB}(6; 2)$

2) A (0; -2), B (4; 0)

Найдем координаты вектора $\overrightarrow{AB}$, используя координаты точек $A$ и $B$.
Координаты начальной точки $A$: $x_A = 0$, $y_A = -2$.
Координаты конечной точки $B$: $x_B = 4$, $y_B = 0$.
Подставим эти значения в формулу:
$\overrightarrow{AB} = (4 - 0; 0 - (-2))$
Вычислим каждую координату отдельно:
$x = 4 - 0 = 4$
$y = 0 - (-2) = 0 + 2 = 2$
Таким образом, координаты вектора $\overrightarrow{AB}$ равны $(4; 2)$.
Ответ: $\overrightarrow{AB}(4; 2)$

179. Даны точки $A (4; -2)$, $B (x; 1)$, $C (5; y)$, $D (2; -3)$. Найдите $x$ и $y$, если $\vec{AB} = \vec{CD}$.

179. Даны точки A (4; -2), B (x; 1), C (5; y), D (2; -3). Найдите x и y, если $\vec{AB} = \vec{CD}$.

Для решения задачи воспользуемся определением координат вектора и условием равенства векторов. Координаты вектора, заданного двумя точками, равны разности соответствующих координат конца и начала вектора.

1. Найдем координаты вектора $\vec{AB}$.

Начало вектора — точка $A(4; -2)$, конец — точка $B(x; 1)$.

Координаты вектора $\vec{AB}$ вычисляются по формуле $(x_B - x_A; y_B - y_A)$:

$\vec{AB} = (x - 4; 1 - (-2)) = (x - 4; 1 + 2) = (x - 4; 3)$.

2. Найдем координаты вектора $\vec{CD}$.

Начало вектора — точка $C(5; y)$, конец — точка $D(2; -3)$.

Координаты вектора $\vec{CD}$ вычисляются по формуле $(x_D - x_C; y_D - y_C)$:

$\vec{CD} = (2 - 5; -3 - y) = (-3; -3 - y)$.

3. Приравняем координаты векторов.

По условию задачи $\vec{AB} = \vec{CD}$. Два вектора равны, если их соответствующие координаты равны. Следовательно, мы можем составить систему уравнений:

$\begin{cases} x - 4 = -3 \\ 3 = -3 - y \end{cases}$

4. Решим систему уравнений.

Из первого уравнения находим $x$:

$x - 4 = -3$

$x = -3 + 4$

$x = 1$

Из второго уравнения находим $y$:

$3 = -3 - y$

$y = -3 - 3$

$y = -6$

Таким образом, искомые значения переменных: $x = 1$ и $y = -6$.

Ответ: $x=1, y=-6$.

180. Найдите координаты вектора $ \vec{KB} $ (рис. 66).

Рис. 66

180. Найдите координаты вектора $\vec{KB}$ (рис. 66).

Рис. 66

Для нахождения координат вектора $\vec{KB}$ необходимо определить координаты его начальной точки $K$ и конечной точки $B$. Для этого введем систему координат, основываясь на предоставленном рисунке.

Пусть точка $A$ будет началом координат, то есть $A(0, 0)$. Ось абсцисс ($x$) направим вдоль отрезка $AB$, а ось ординат ($y$) — вдоль отрезка $AD$.

Исходя из этого:

• Координаты точки $B$ определяются её положением на оси $x$ и длиной отрезка $AB$, которая равна 4. Таким образом, координаты точки $B$ равны $B(4, 0)$.
• Фигура $ADCB$ является прямоугольником. Сторона $BC$ перпендикулярна оси $x$ и имеет длину 7. Поскольку точка $C$ расположена ниже оси $x$, её ордината будет отрицательной. Абсцисса точки $C$ совпадает с абсциссой точки $B$. Следовательно, координаты точки $C$ равны $C(4, -7)$.
• Точка $D$ лежит на оси $y$ и на одной горизонтали с точкой $C$, поэтому её координаты $D(0, -7)$.

Точка $K$ расположена на отрезке $DC$. В условии задачи её точное положение не определено. В подобных случаях, при отсутствии дополнительной информации, принято считать, что точка занимает симметричное положение, то есть является серединой отрезка. Предположим, что $K$ — середина отрезка $DC$.

Координаты середины отрезка вычисляются как среднее арифметическое координат его концов:

$x_K = \frac{x_D + x_C}{2} = \frac{0 + 4}{2} = 2$

$y_K = \frac{y_D + y_C}{2} = \frac{-7 + (-7)}{2} = -7$

Таким образом, координаты точки $K$ — это $K(2, -7)$.

Теперь, зная координаты начальной точки $K(2, -7)$ и конечной точки $B(4, 0)$, мы можем найти координаты вектора $\vec{KB}$. Координаты вектора равны разности соответствующих координат его конца и начала:

$\vec{KB} = (x_B - x_K, y_B - y_K)$

Подставляя значения, получаем:

$\vec{KB} = (4 - 2, 0 - (-7)) = (2, 7)$

Ответ: $(2, 7)$

181. От точки $M(-2; 4)$ отложен вектор $\vec{n}(4; -6)$. Найдите координаты конца вектора $\vec{n}$.

181. От точки $M (-2; 4)$ отложен вектор $\vec{n}(4; -6)$. Найдите
координаты конца вектора $\vec{n}$.

Пусть начальная точка вектора (его начало) — это точка $M(x_M; y_M)$, а конечная точка (его конец) — это точка $K(x_K; y_K)$. По условию, $M(-2; 4)$. Вектор, отложенный от точки $M$, — это $\vec{n}(4; -6)$.

Координаты вектора $\vec{MK}$ равны разности соответствующих координат его конца и начала:
$\vec{MK} = (x_K - x_M; y_K - y_M)$.

Так как от точки $M$ отложен вектор $\vec{n}$, то $\vec{MK} = \vec{n}$. Следовательно, их координаты равны:
$x_K - x_M = 4$
$y_K - y_M = -6$

Чтобы найти координаты конца вектора, точки $K$, выразим $x_K$ и $y_K$ из этих уравнений:
$x_K = x_M + 4$
$y_K = y_M - 6$

Теперь подставим известные координаты точки $M(-2; 4)$:
$x_K = -2 + 4 = 2$
$y_K = 4 - 6 = -2$

Таким образом, координаты конца вектора $\vec{n}$ равны $(2; -2)$.

Ответ: $(2; -2)$

182. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами в точках $A (3; -7)$, $B (2; 4)$, $C (-5; 1)$, $D (-4; -10)$ является параллелограммом.

182. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами в точках $A (3; -7)$, $B (2; 4)$, $C (-5; 1)$, $D (-4; -10)$ является параллелограммом.

Для доказательства того, что четырёхугольник ABCD является параллелограммом, можно использовать свойство его диагоналей. В параллелограмме диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Это означает, что середины диагоналей AC и BD должны иметь одинаковые координаты.

Координаты вершин четырёхугольника: A(3; -7), B(2; 4), C(-5; 1), D(-4; -10).

Сначала найдём координаты середины диагонали AC. Пусть это будет точка O. Координаты середины отрезка находятся по формулам:

$x_O = \frac{x_A + x_C}{2}$

$y_O = \frac{y_A + y_C}{2}$

Подставим значения координат точек A и C:

$x_O = \frac{3 + (-5)}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

$y_O = \frac{-7 + 1}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Таким образом, середина диагонали AC имеет координаты (-1; -3).

Теперь найдём координаты середины диагонали BD. Пусть это будет точка P. Координаты середины этого отрезка находятся по аналогичным формулам:

$x_P = \frac{x_B + x_D}{2}$

$y_P = \frac{y_B + y_D}{2}$

Подставим значения координат точек B и D:

$x_P = \frac{2 + (-4)}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

$y_P = \frac{4 + (-10)}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Таким образом, середина диагонали BD также имеет координаты (-1; -3).

Поскольку координаты середин диагоналей AC и BD совпадают, это означает, что диагонали пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. По признаку параллелограмма, четырёхугольник ABCD является параллелограммом.

Ответ: Что и требовалось доказать.

183. Даны координаты трёх вершин параллелограмма $ABCD$: $A(1; 2)$, $C(-2; 4)$, $D(7; -1)$. Найдите координаты вершины $B$.

183. Даны координаты трёх вершин параллелограмма $ABCD$: $A (1; 2)$, $C (-2; 4)$, $D (7; -1)$. Найдите координаты вершины $B$.

Для нахождения координат четвертой вершины параллелограмма ABCD можно воспользоваться свойством векторов. В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны, следовательно, векторы, лежащие на этих сторонах и имеющие одинаковое направление, равны. Например, вектор $\vec{AB}$ равен вектору $\vec{DC}$.

Пусть координаты искомой вершины B будут $(x_B; y_B)$.

Координаты вектора находятся как разность соответствующих координат его конца и начала.Найдем координаты вектора $\vec{AB}$, зная координаты точки A(1; 2):
$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A) = (x_B - 1; y_B - 2)$

Теперь найдем координаты вектора $\vec{DC}$, зная координаты точек D(7; -1) и C(-2; 4):
$\vec{DC} = (x_C - x_D; y_C - y_D) = (-2 - 7; 4 - (-1)) = (-9; 5)$

Так как векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ равны, их соответствующие координаты также должны быть равны. Составим и решим систему уравнений:
$x_B - 1 = -9$
$y_B - 2 = 5$

Из первого уравнения находим $x_B$:
$x_B = -9 + 1 = -8$

Из второго уравнения находим $y_B$:
$y_B = 5 + 2 = 7$

Таким образом, координаты вершины B: (-8; 7).

Ответ: B(-8; 7)

184. Среди векторов $\vec{a}(8; -6)$, $\vec{b}(1; -7)$, $\vec{c}(\sqrt{10}; 3\sqrt{10})$, $\vec{d}(5; 5)$, $\vec{e}(4; -2)$, $\vec{f}(-3; 6)$ найдите те, которые имеют равные модули.

184. Среди векторов $\vec{a}(8; -6)$, $\vec{b}(1; -7)$, $\vec{c}(\sqrt{10}; 3\sqrt{10})$, $\vec{d}(5; 5)$, $\vec{e}(4; -2)$, $\vec{f}(-3; 6)$ найдите те, которые имеют равные модули.

Для решения задачи необходимо найти модули (длины) каждого из заданных векторов и сравнить их. Модуль вектора с координатами $(x; y)$ вычисляется по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

Вычислим модули для каждого вектора:

1. Для вектора $\vec{a}(8; -6)$:
$|\vec{a}| = \sqrt{8^2 + (-6)^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$.

2. Для вектора $\vec{b}(1; -7)$:
$|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + (-7)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$.

3. Для вектора $\vec{c}(\sqrt{10}; 3\sqrt{10})$:
$|\vec{c}| = \sqrt{(\sqrt{10})^2 + (3\sqrt{10})^2} = \sqrt{10 + 9 \cdot 10} = \sqrt{10 + 90} = \sqrt{100} = 10$.

4. Для вектора $\vec{d}(5; 5)$:
$|\vec{d}| = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$.

5. Для вектора $\vec{e}(4; -2)$:
$|\vec{e}| = \sqrt{4^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$.

6. Для вектора $\vec{f}(-3; 6)$:
$|\vec{f}| = \sqrt{(-3)^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$.

Сравнив полученные значения, мы видим, что равные модули имеют две пары векторов:

$|\vec{a}| = |\vec{c}| = 10$

$|\vec{b}| = |\vec{d}| = 5\sqrt{2}$

Ответ: равные модули имеют векторы $\vec{a}$ и $\vec{c}$, а также векторы $\vec{b}$ и $\vec{d}$.