Страница 87 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

185. Модуль вектора $\vec{a}(-15; y)$ равен 17. Найдите $y$.

185. Модуль вектора $\vec{a}(-15; y)$ равен 17. Найдите $y$.

Модуль (или длина) вектора $\vec{a}(x; y)$ на плоскости вычисляется по формуле, основанной на теореме Пифагора:

$|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$

В нашем случае, координаты вектора $\vec{a}$ равны $(-15; y)$, а его модуль равен 17. Подставим известные значения в формулу:

$\sqrt{(-15)^2 + y^2} = 17$

Для того чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{(-15)^2 + y^2})^2 = 17^2$

$(-15)^2 + y^2 = 17^2$

Вычислим значения квадратов:

$225 + y^2 = 289$

Теперь выразим $y^2$, перенеся 225 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$y^2 = 289 - 225$

$y^2 = 64$

Чтобы найти $y$, извлечем квадратный корень из 64. Уравнение имеет два решения:

$y_1 = \sqrt{64} = 8$

$y_2 = -\sqrt{64} = -8$

Ответ: $y = -8$ или $y = 8$.

186. Модуль вектора $\vec{b}$ равен 6, а его координаты равны. Найдите координаты вектора $\vec{b}$.

186. Модуль вектора $ \vec{b} $ равен 6, а его координаты равны.

Найдите координаты вектора $ \vec{b} $.

По условию задачи, модуль (длина) вектора $\vec{b}$ равен 6, а его координаты равны между собой. Обозначим каждую координату вектора как $x$.

Так как в условии не указана размерность пространства, рассмотрим два наиболее распространенных случая: вектор на плоскости (двумерное пространство) и вектор в пространстве (трехмерное пространство).

Случай 1: Вектор на плоскости (2D)

В этом случае вектор $\vec{b}$ имеет две равные координаты: $\vec{b} = (x, x)$.

Модуль вектора на плоскости вычисляется по формуле: $|\vec{b}| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2}$.

Подставим наши значения:

$|\vec{b}| = \sqrt{x^2 + x^2} = \sqrt{2x^2} = |x|\sqrt{2}$

По условию $|\vec{b}| = 6$. Составим и решим уравнение:

$|x|\sqrt{2} = 6$

$|x| = \frac{6}{\sqrt{2}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$|x| = \frac{6 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$

Это означает, что $x$ может быть равен $3\sqrt{2}$ или $-3\sqrt{2}$.

Таким образом, есть два возможных вектора, удовлетворяющих условию: $(3\sqrt{2}, 3\sqrt{2})$ и $(-3\sqrt{2}, -3\sqrt{2})$.

Ответ: Если вектор находится на плоскости, его координаты могут быть $(3\sqrt{2}, 3\sqrt{2})$ или $(-3\sqrt{2}, -3\sqrt{2})$.

Случай 2: Вектор в пространстве (3D)

В этом случае вектор $\vec{b}$ имеет три равные координаты: $\vec{b} = (x, x, x)$.

Модуль вектора в пространстве вычисляется по формуле: $|\vec{b}| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + x_3^2}$.

Подставим наши значения:

$|\vec{b}| = \sqrt{x^2 + x^2 + x^2} = \sqrt{3x^2} = |x|\sqrt{3}$

По условию $|\vec{b}| = 6$. Составим и решим уравнение:

$|x|\sqrt{3} = 6$

$|x| = \frac{6}{\sqrt{3}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$|x| = \frac{6 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$

Это означает, что $x$ может быть равен $2\sqrt{3}$ или $-2\sqrt{3}$.

Таким образом, есть два возможных вектора, удовлетворяющих условию: $(2\sqrt{3}, 2\sqrt{3}, 2\sqrt{3})$ и $(-2\sqrt{3}, -2\sqrt{3}, -2\sqrt{3})$.

Ответ: Если вектор находится в пространстве, его координаты могут быть $(2\sqrt{3}, 2\sqrt{3}, 2\sqrt{3})$ или $(-2\sqrt{3}, -2\sqrt{3}, -2\sqrt{3})$.

187. Модуль вектора $\vec{k}(x; y)$ равен $\sqrt{17}$, а координата $x$ этого вектора больше координаты $y$ на 3. Найдите координаты вектора $\vec{k}$.

187. Модуль вектора $\vec{k}(x; y)$ равен $\sqrt{17}$, а координата $x$ этого вектора больше координаты $y$ на 3. Найдите координаты вектора $\vec{k}$.

Пусть вектор $\vec{k}$ имеет координаты $(x; y)$.

Модуль вектора, $|\vec{k}|$, вычисляется по формуле $|\vec{k}| = \sqrt{x^2 + y^2}$. Согласно условию, модуль вектора равен $\sqrt{17}$. Таким образом, мы можем составить первое уравнение:

$\sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{17}$

Возведя обе части уравнения в квадрат, получаем:

$x^2 + y^2 = 17$

Также в условии сказано, что координата $x$ этого вектора больше координаты $y$ на 3. Это можно записать в виде второго уравнения:

$x = y + 3$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 17 \\ x = y + 3 \end{cases}$

Для решения системы подставим выражение для $x$ из второго уравнения в первое:

$(y + 3)^2 + y^2 = 17$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение относительно $y$:

$(y^2 + 6y + 9) + y^2 = 17$

$2y^2 + 6y + 9 - 17 = 0$

$2y^2 + 6y - 8 = 0$

Для удобства разделим все члены уравнения на 2:

$y^2 + 3y - 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета: сумма корней равна $-3$, а их произведение равно $-4$. Этим условиям удовлетворяют числа $1$ и $-4$.

$y_1 = 1$

$y_2 = -4$

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого найденного значения $y$, используя уравнение $x = y + 3$:

1. Если $y_1 = 1$, то $x_1 = 1 + 3 = 4$. Координаты вектора: $(4; 1)$.

2. Если $y_2 = -4$, то $x_2 = -4 + 3 = -1$. Координаты вектора: $(-1; -4)$.

Таким образом, существуют два вектора, удовлетворяющих условиям задачи.

Ответ: Координаты вектора $\vec{k}$ равны $(4; 1)$ или $(-1; -4)$.

188. С помощью правила треугольника постройте сумму векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, изображённых на рисунке 67.

Рис. 67

$\vec{a}$, $\vec{b}$

$\vec{a}$, $\vec{b}$

$\vec{a}$, $\vec{b}$

$\vec{a}$, $\vec{b}$

188. С помощью правила треугольника постройте сумму векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, изображённых на рисунке 67.

Рис. 67

a

б

в

г

Чтобы построить сумму векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ по правилу треугольника, необходимо выполнить параллельный перенос одного из векторов так, чтобы его начало совпало с концом другого вектора. Вектор суммы будет соединять начало первого вектора и конец второго (перенесенного) вектора.

а

Вектор $\vec{a}$ имеет координаты (3, 1), если принять его начало за (0,0), то есть он смещен на 3 клетки вправо и 1 клетку вверх. Вектор $\vec{b}$ имеет координаты (2, 0) — смещение на 2 клетки вправо. Чтобы найти сумму $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$, перенесем начало вектора $\vec{b}$ в конец вектора $\vec{a}$. Тогда конец перенесенного вектора $\vec{b}$ будет в точке, смещенной от начала вектора $\vec{a}$ на (3+2) клеток вправо и 1 клетку вверх. Таким образом, результирующий вектор $\vec{c}$ будет направлен от начала вектора $\vec{a}$ к концу перенесенного вектора $\vec{b}$.
Ответ: Вектор суммы $\vec{c}$ направлен на 5 клеток вправо и на 1 клетку вверх.

б

Вектор $\vec{a}$ направлен на 2 клетки влево и 1 клетку вверх. Вектор $\vec{b}$ направлен на 1 клетку влево и 2 клетки вниз. На рисунке векторы исходят из одной точки. Применим правило треугольника: перенесем вектор $\vec{b}$ так, чтобы его начало совпало с концом вектора $\vec{a}$. Результирующий вектор $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ соединит начало вектора $\vec{a}$ с концом перенесенного вектора $\vec{b}$. Суммарное смещение будет: по горизонтали на 2+1=3 клетки влево, по вертикали на 1 клетку вверх и 2 клетки вниз, то есть на 1 клетку вниз.
Ответ: Вектор суммы $\vec{c}$ направлен на 3 клетки влево и на 1 клетку вниз.

в

Вектор $\vec{a}$ направлен на 1 клетку вправо и 2 клетки вниз. Вектор $\vec{b}$ направлен на 2 клетки вправо и 1 клетку вверх. Для нахождения суммы $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ перенесем начало вектора $\vec{b}$ в конец вектора $\vec{a}$. Результирующий вектор $\vec{c}$ соединит начало вектора $\vec{a}$ с концом перенесенного вектора $\vec{b}$. Суммарное смещение по горизонтали составит 1+2=3 клетки вправо. Суммарное смещение по вертикали: 2 клетки вниз и 1 клетка вверх, то есть итоговое смещение на 1 клетку вниз.
Ответ: Вектор суммы $\vec{c}$ направлен на 3 клетки вправо и на 1 клетку вниз.

г

Вектор $\vec{a}$ направлен на 4 клетки влево. Вектор $\vec{b}$ направлен на 2 клетки вправо. Векторы коллинеарны и противоположно направлены. Для сложения по правилу треугольника, отложим от конца вектора $\vec{a}$ вектор $\vec{b}$. Так как вектор $\vec{b}$ направлен вправо, его конец окажется на 2 клетки правее конца вектора $\vec{a}$. Вектор суммы $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ соединит начало вектора $\vec{a}$ и конец отложенного вектора $\vec{b}$. Направление результирующего вектора совпадет с направлением большего по модулю вектора $\vec{a}$ (влево), а его длина будет равна разности их длин: $4 - 2 = 2$.
Ответ: Вектор суммы $\vec{c}$ направлен на 2 клетки влево.

189. С помощью правила параллелограмма постройте сумму векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, изображённых на рисунке 67.

189. С помощью правила параллелограмма постройте сумму векторов $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $, изображённых на рисунке 67.

Для построения суммы векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ по правилу параллелограмма необходимо отложить оба вектора от одной точки и на них как на сторонах построить параллелограмм. Диагональ, выходящая из общего начала векторов, и будет их суммой. Поскольку сам рисунок 67 не предоставлен, рассмотрим решение для типичных случаев, которые обычно предлагаются в таких задачах.

а)

В этом случае, как правило, изображены два неколлинеарных вектора, начала которых не совпадают.

1. Выберем произвольную точку $O$ на плоскости.
2. От точки $O$ отложим вектор $\vec{OA}$, равный вектору $\vec{a}$ (то есть $\vec{OA}$ сонаправлен вектору $\vec{a}$ и имеет такую же длину: $\vec{OA} \uparrow\uparrow \vec{a}$ и $|\vec{OA}| = |\vec{a}|$).
3. От той же точки $O$ отложим вектор $\vec{OB}$, равный вектору $\vec{b}$.
4. На векторах $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$ как на смежных сторонах построим параллелограмм $OACB$. Для этого через точку $A$ проведем прямую, параллельную вектору $\vec{OB}$, а через точку $B$ — прямую, параллельную вектору $\vec{OA}$. Точку их пересечения обозначим $C$.
5. Вектор $\vec{OC}$, исходящий из общего начала $O$, является искомой суммой $\vec{a} + \vec{b}$.

Ответ: Искомый вектор-сумма — это диагональ $\vec{OC}$ построенного параллелограмма $OACB$.

б)

В этом случае обычно изображены два неколлинеарных вектора, отложенные от одной точки $O$. Пусть это векторы $\vec{OA} = \vec{a}$ и $\vec{OB} = \vec{b}$.

1. На векторах $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$ как на сторонах достраиваем параллелограмм $OACB$.
2. Проводим диагональ $OC$.

Вектор $\vec{OC}$ является суммой векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Ответ: Сумма векторов $\vec{a} + \vec{b}$ — это вектор $\vec{OC}$, являющийся диагональю параллелограмма, построенного на данных векторах.

в)

В этом случае обычно изображены два коллинеарных и сонаправленных вектора (направленных в одну сторону).

Строго говоря, правило параллелограмма здесь вырождается в прямую линию. Сложение удобнее выполнять по правилу треугольника (последовательного откладывания векторов).

1. От произвольной точки $O$ отложим вектор $\vec{OA} = \vec{a}$.
2. От конца первого вектора, точки $A$, отложим вектор $\vec{AC} = \vec{b}$. Так как векторы сонаправлены, точка $C$ окажется на продолжении отрезка $OA$.
3. Суммирующий вектор $\vec{OC}$ соединяет начало первого вектора с концом второго.

Его направление совпадает с направлением исходных векторов, а его длина равна сумме их длин: $|\vec{OC}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$.

Ответ: Вектор-сумма $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ сонаправлен исходным векторам, а его длина равна сумме их длин.

г)

В этом случае, как правило, изображены два коллинеарных, но противоположно направленных вектора.

Этот случай также является вырожденным для правила параллелограмма.

1. От произвольной точки $O$ отложим вектор $\vec{OA} = \vec{a}$.
2. От конца первого вектора, точки $A$, отложим вектор $\vec{AC} = \vec{b}$. Так как векторы направлены в противоположные стороны, точка $C$ окажется либо на отрезке $OA$, либо на его продолжении за точку $O$.
3. Суммирующий вектор $\vec{OC}$ соединяет начало первого вектора ($O$) с концом второго ($C$).

Его направление совпадет с направлением вектора, большего по модулю (длине), а его длина будет равна модулю разности длин исходных векторов: $|\vec{OC}| = ||\vec{a}| - |\vec{b}||$.

Ответ: Вектор-сумма $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ направлен в сторону большего по модулю вектора, а его длина равна модулю разности их длин.

190. Для векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, изображённых на рисунке 67, постройте вектор $\vec{a} - \vec{b}$.

190. Для векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, изображённых на рисунке 67, постройте вектор $\vec{a}-\vec{b}$.

Для построения вектора разности $ \vec{c} = \vec{a} - \vec{b} $ можно воспользоваться одним из двух способов. Поскольку в задании не приведён сам рисунок 67, ниже дано общее описание методов построения, которые можно применить к любым векторам, в том числе и к изображённым на вашем рисунке.

Способ 1: Сложение с противоположным вектором

Этот метод основан на том, что вычитание вектора $ \vec{b} $ эквивалентно прибавлению противоположного ему вектора $ -\vec{b} $. То есть, $ \vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b}) $.

Построение выполняется в несколько шагов:

1. Сначала нужно построить вектор $ -\vec{b} $. Этот вектор имеет такую же длину (модуль), как и вектор $ \vec{b} $, но направлен в строго противоположную сторону.

2. Затем выберите на плоскости произвольную точку O (начало) и отложите от неё вектор $ \vec{a} $. Пусть его конец окажется в точке A. Таким образом, $ \vec{OA} = \vec{a} $.

3. От конца вектора $ \vec{a} $ (то есть от точки A) отложите построенный ранее вектор $ -\vec{b} $. Пусть его конец окажется в точке C. Таким образом, $ \vec{AC} = -\vec{b} $.

4. Соедините начальную точку O с конечной точкой C. Полученный вектор $ \vec{OC} $ и будет искомой разностью $ \vec{a} - \vec{b} $. По правилу треугольника для сложения векторов: $ \vec{OC} = \vec{OA} + \vec{AC} = \vec{a} + (-\vec{b}) = \vec{a} - \vec{b} $.

Ответ: Искомый вектор $ \vec{a} - \vec{b} $ — это вектор, соединяющий начало вектора $ \vec{a} $ с концом вектора $ -\vec{b} $, при условии, что вектор $ -\vec{b} $ отложен от конца вектора $ \vec{a} $.

Способ 2: Правило разности векторов (правило треугольника)

Этот метод особенно удобен, когда векторы уже отложены или их легко отложить из одной общей точки.

Построение выполняется в следующие шаги:

1. Выберите на плоскости произвольную точку O (начало) и отложите от неё оба вектора, $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $. Пусть конец вектора $ \vec{a} $ будет в точке A ($ \vec{OA} = \vec{a} $), а конец вектора $ \vec{b} $ — в точке B ($ \vec{OB} = \vec{b} $).

2. Соедините точки B и A. Вектор $ \vec{BA} $, направленный от конца вектора $ \vec{b} $ (точка B) к концу вектора $ \vec{a} $ (точка A), и будет являться их разностью $ \vec{a} - \vec{b} $.

3. Правильность этого построения можно проверить через правило сложения векторов для треугольника OAB: $ \vec{OB} + \vec{BA} = \vec{OA} $. Если подставить обозначения векторов, получим $ \vec{b} + \vec{BA} = \vec{a} $, откуда следует, что $ \vec{BA} = \vec{a} - \vec{b} $.

Ответ: Искомый вектор $ \vec{a} - \vec{b} $ — это вектор, идущий из конца вектора $ \vec{b} $ в конец вектора $ \vec{a} $, при условии, что оба вектора ($ \vec{a} $ и $ \vec{b} $) отложены из одной общей точки.

191. Четырёхугольник $ABCD$ — ромб, $O$ — точка пересечения его диагоналей. Среди данных пар векторов укажите пары противоположных векторов:

1) $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$;

2) $\vec{CB}$ и $\vec{DA}$;

3) $\vec{OA}$ и $\vec{OC}$;

4) $\vec{BO}$ и $\vec{CO}$;

5) $\vec{AC}$ и $\vec{CA}$;

6) $\vec{BA}$ и $\vec{CD}$.

191. Четырёхугольник $ABCD$ — ромб, $O$ — точка пересечения его диагоналей. Среди данных пар векторов укажите пары противоположных векторов:

1) $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$;

2) $\vec{CB}$ и $\vec{DA}$;

3) $\vec{OA}$ и $\vec{OC}$;

4) $\vec{BO}$ и $\vec{CO}$;

5) $\vec{AC}$ и $\vec{CA}$;

6) $\vec{BA}$ и $\vec{CD}$.

Противоположные векторы — это коллинеарные векторы, которые имеют одинаковую длину (модуль) и противоположное направление. Если вектор $\vec{a}$ противоположен вектору $\vec{b}$, то это записывается как $\vec{a} = -\vec{b}$.

Рассмотрим каждую пару векторов на основе свойств ромба $ABCD$ с центром $O$.

1) $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$
Векторы $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ — это диагонали ромба. Они не коллинеарны (а взаимно перпендикулярны), поэтому не могут быть противоположными.
Ответ: не являются противоположными.

2) $\vec{CB}$ и $\vec{DA}$
Поскольку $ABCD$ — ромб (а значит и параллелограмм), его противолежащие стороны параллельны и равны. Векторы $\vec{CB}$ и $\vec{DA}$ сонаправлены и имеют одинаковую длину. Следовательно, эти векторы равны ($\vec{CB} = \vec{DA}$), а не противоположны.
Ответ: не являются противоположными (они равны).

3) $\vec{OA}$ и $\vec{OC}$
Диагонали ромба точкой пересечения $O$ делятся пополам, поэтому длины отрезков $OA$ и $OC$ равны ($|OA| = |OC|$). Векторы $\vec{OA}$ и $\vec{OC}$ лежат на одной прямой $AC$ и направлены от точки $O$ в противоположные стороны (один к вершине $A$, другой к вершине $C$). Таким образом, они имеют равные модули и противоположные направления.
Ответ: являются противоположными.

4) $\vec{BO}$ и $\vec{CO}$
Эти векторы исходят из разных точек ($B$ и $C$) и заканчиваются в одной точке ($O$). Они не лежат на одной прямой (не коллинеарны), так как точки $B, C, O$ образуют треугольник. Следовательно, они не могут быть противоположными.
Ответ: не являются противоположными.

5) $\vec{AC}$ и $\vec{CA}$
Эти векторы лежат на одной прямой. Их длины равны длине диагонали $AC$. Вектор $\vec{AC}$ направлен из точки $A$ в точку $C$, а вектор $\vec{CA}$ — из точки $C$ в точку $A$. У них одинаковая длина и противоположные направления. По определению, $\vec{AC} = -\vec{CA}$.
Ответ: являются противоположными.

6) $\vec{BA}$ и $\vec{CD}$
В ромбе $ABCD$ стороны $AB$ и $CD$ противолежащие, значит, они параллельны и равны по длине. Векторы $\vec{BA}$ и $\vec{CD}$ сонаправлены, так как соответствуют направлению обхода вершин. Следовательно, эти векторы равны ($\vec{BA} = \vec{CD}$), а не противоположны.
Ответ: не являются противоположными (они равны).

192. Четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм. Найдите:

1) $\vec{BA} - \vec{BC} + \vec{AD};$

2) $\vec{BC} + \vec{BA} + \vec{DB};$

3) $\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CB} - \vec{DA}.$

192. Четырёхугольник ABCD — параллелограмм. Найдите:

1) $\vec{BA} - \vec{BC} + \vec{AD};$

2) $\vec{BC} + \vec{BA} + \vec{DB};$

3) $\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CB} - \vec{DA}.$

Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, для векторов, образованных его сторонами, справедливы следующие равенства: $\vec{AB} = \vec{DC}$, $\vec{BC} = \vec{AD}$, $\vec{BA} = \vec{CD}$ и $\vec{CB} = \vec{DA}$. Также будем использовать правила сложения и вычитания векторов.

1) $\vec{BA} - \vec{BC} + \vec{AD}$

Разность векторов $\vec{BA} - \vec{BC}$ равна вектору $\vec{CA}$. Заменим это в выражении:

$\vec{CA} + \vec{AD}$

По правилу сложения векторов (правило треугольника), сумма этих векторов равна вектору $\vec{CD}$:

$\vec{CA} + \vec{AD} = \vec{CD}$

Так как $ABCD$ — параллелограмм, то $\vec{CD} = \vec{BA}$.

Альтернативное решение:
Заменим вектор $\vec{AD}$ на равный ему вектор $\vec{BC}$ (свойство параллелограмма):
$\vec{BA} - \vec{BC} + \vec{BC} = \vec{BA} + (-\vec{BC} + \vec{BC}) = \vec{BA} + \vec{0} = \vec{BA}$.

Ответ: $\vec{BA}$

2) $\vec{BC} + \vec{BA} + \vec{DB}$

Переставим векторы местами для удобства сложения по правилу треугольника:

$\vec{DB} + \vec{BC} + \vec{BA}$

Сумма первых двух векторов $\vec{DB} + \vec{BC}$ равна вектору $\vec{DC}$:

$(\vec{DB} + \vec{BC}) + \vec{BA} = \vec{DC} + \vec{BA}$

По свойству параллелограмма, вектор $\vec{DC}$ равен вектору $\vec{AB}$. Заменим $\vec{DC}$ на $\vec{AB}$:

$\vec{AB} + \vec{BA}$

Сумма двух противоположных векторов равна нулевому вектору.

$\vec{AB} + \vec{BA} = \vec{0}$

Ответ: $\vec{0}$

3) $\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CB} - \vec{DA}$

В выражении есть сумма двух противоположных векторов $\vec{BC}$ и $\vec{CB}$, которая равна нулевому вектору: $\vec{BC} + \vec{CB} = \vec{0}$.

Выражение упрощается до:

$\vec{AB} + \vec{0} - \vec{DA} = \vec{AB} - \vec{DA}$

Заменим вычитание вектора на сложение с противоположным ему вектором: $-\vec{DA} = \vec{AD}$.

$\vec{AB} + \vec{AD}$

По свойству параллелограмма, вектор $\vec{AD}$ равен вектору $\vec{BC}$.

$\vec{AB} + \vec{BC}$

По правилу треугольника, сумма этих векторов равна вектору $\vec{AC}$.

$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$

Альтернативное решение для последнего шага:
Сумма векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$, исходящих из одной вершины $A$ параллелограмма, по правилу параллелограмма равна вектору диагонали $\vec{AC}$, исходящей из той же вершины.

Ответ: $\vec{AC}$