Страница 78 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

100. Найдите длину окружности и площадь круга, вписанных в правильный треугольник со стороной 6 см.

100. Найдите длину окружности и площадь круга, вписанных в правильный треугольник со стороной 6 см.

Для того чтобы найти длину окружности и площадь круга, вписанных в правильный треугольник, необходимо сначала определить радиус этой окружности.

Сторона правильного треугольника дана, пусть $a = 6$ см. Радиус $r$ окружности, вписанной в правильный треугольник, вычисляется по формуле:
$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$

Подставим значение стороны $a = 6$ см в формулу для радиуса:
$r = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{3}$:
$r = \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$ см.

Теперь, зная радиус вписанной окружности, мы можем найти ее длину и площадь круга.

Длина окружности
Длина окружности ($C$) вычисляется по формуле $C = 2\pi r$. Подставим наше значение радиуса $r = \sqrt{3}$ см:
$C = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{3} = 2\pi\sqrt{3}$ см.
Ответ: $2\pi\sqrt{3}$ см.

Площадь круга
Площадь круга ($S$) вычисляется по формуле $S = \pi r^2$. Подставим наше значение радиуса $r = \sqrt{3}$ см:
$S = \pi \cdot (\sqrt{3})^2 = \pi \cdot 3 = 3\pi$ $см^2$.
Ответ: $3\pi$ $см^2$.

101. Найдите отношение площадей вписанного в правильный четырёхугольник и описанного около него кругов.

101. Найдите отношение площадей вписанного в правильный четырёхугольник и описанного около него кругов.

Правильный четырёхугольник — это квадрат. Обозначим длину его стороны как $a$. Необходимо найти отношение площади вписанного в него круга к площади описанного около него круга.

1. Найдем радиус и площадь вписанного круга
Круг, вписанный в квадрат, касается всех его четырех сторон. Диаметр этого круга равен стороне квадрата $a$. Следовательно, радиус вписанного круга $r$ равен половине стороны:
$r = \frac{a}{2}$
Площадь вписанного круга ($S_{вп}$) вычисляется по формуле $S = \pi r^2$:
$S_{вп} = \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{\pi a^2}{4}$

2. Найдем радиус и площадь описанного круга
Круг, описанный около квадрата, проходит через все его вершины. Диаметр этого круга равен диагонали квадрата $d$. Диагональ квадрата можно найти по теореме Пифагора: $d = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.
Следовательно, радиус описанного круга $R$ равен половине диагонали:
$R = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$
Площадь описанного круга ($S_{оп}$) вычисляется по формуле $S = \pi R^2$:
$S_{оп} = \pi \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \pi \frac{a^2 \cdot 2}{4} = \frac{\pi a^2}{2}$

3. Найдем отношение площадей
Теперь найдем искомое отношение площади вписанного круга к площади описанного круга:
$\frac{S_{вп}}{S_{оп}} = \frac{\frac{\pi a^2}{4}}{\frac{\pi a^2}{2}}$
Мы можем сократить $\pi a^2$ в числителе и знаменателе:
$\frac{S_{вп}}{S_{оп}} = \frac{1/4}{1/2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{1} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
Таким образом, отношение площадей составляет 1 к 2.

Ответ: $\frac{1}{2}$

102. Найдите площадь круга, описанного около равнобедренного треугольника с основанием 8 см и углом $120^\circ$ при вершине.

102. Найдите площадь круга, описанного около равнобедренного треугольника с основанием 8 см и углом $120^\circ$ при вершине.

Для того чтобы найти площадь круга, описанного около треугольника, необходимо сначала вычислить его радиус ($R$). Площадь круга находится по формуле $S = \pi R^2$.

Радиус окружности, описанной около любого треугольника, можно найти с помощью теоремы синусов, согласно которой отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности:

$ \frac{a}{\sin \alpha} = 2R $

В условии задачи дан равнобедренный треугольник, у которого основание $a = 8$ см, а угол при вершине, противолежащий основанию, $\alpha = 120°$.

Подставим эти значения в формулу, чтобы найти радиус $R$:

$ 2R = \frac{8}{\sin 120°} $

Вычислим значение $\sin 120°$. Используя формулы приведения, получаем:

$ \sin 120° = \sin(180° - 60°) = \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2} $

Теперь подставим это значение обратно в уравнение для радиуса:

$ 2R = \frac{8}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 8 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{16}{\sqrt{3}} $

Отсюда находим радиус $R$:

$ R = \frac{16}{2\sqrt{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}} $ см.

Теперь, когда радиус известен, мы можем вычислить площадь круга:

$ S = \pi R^2 = \pi \left(\frac{8}{\sqrt{3}}\right)^2 = \pi \cdot \frac{64}{3} = \frac{64\pi}{3} $ см².

Ответ: $ \frac{64\pi}{3} $ см².

103. Найдите площадь круга, вписанного в равнобедренный треугольник, основание которого равно 30 см, а боковая сторона — 17 см.

103. Найдите площадь круга, вписанного в равнобедренный треугольник, основание которого равно 30 см, а боковая сторона — 17 см.

Для нахождения площади круга, вписанного в равнобедренный треугольник, воспользуемся формулой площади круга $S = \pi r^2$, где $r$ — радиус вписанного круга. Чтобы найти площадь, нам сначала нужно определить этот радиус.

Радиус круга, вписанного в треугольник, можно найти по формуле: $r = \frac{S_{\triangle}}{p}$, где $S_{\triangle}$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.

Вычислим полупериметр и площадь данного треугольника.
Стороны треугольника: боковые стороны $a = b = 17$ см, основание $c = 30$ см.
Периметр треугольника $P = a + b + c = 17 + 17 + 30 = 64$ см.
Полупериметр $p = \frac{P}{2} = \frac{64}{2} = 32$ см.

Для вычисления площади треугольника проведем высоту $h$ к основанию. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой, поэтому она делит основание на два равных отрезка по $30 / 2 = 15$ см.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной (гипотенуза), высотой и половиной основания (катеты). По теореме Пифагора найдем высоту $h$:
$h^2 + 15^2 = 17^2$
$h^2 + 225 = 289$
$h^2 = 289 - 225 = 64$
$h = \sqrt{64} = 8$ см.

Теперь найдем площадь треугольника:
$S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 8 = 120$ см$^2$.

Зная площадь и полупериметр, найдем радиус вписанного круга:
$r = \frac{S_{\triangle}}{p} = \frac{120}{32}$ см.
Сократим дробь на 8: $r = \frac{15}{4}$ см.

Наконец, вычислим площадь вписанного круга:
$S = \pi r^2 = \pi \left(\frac{15}{4}\right)^2 = \pi \cdot \frac{225}{16} = \frac{225\pi}{16}$ см$^2$.

Ответ: $\frac{225\pi}{16}$ см$^2$.

104. Стороны треугольника равны 13 см, 20 см и 21 см. Найдите площади описанного около него и вписанного в него кругов.

104. Стороны треугольника равны 13 см, 20 см и 21 см. Найдите площади описанного около него и вписанного в него кругов.

Для нахождения площадей описанного и вписанного кругов необходимо сначала вычислить площадь самого треугольника. Зная длины всех сторон, мы можем использовать формулу Герона.

Пусть стороны треугольника равны $a = 13$ см, $b = 20$ см, $c = 21$ см.

1. Найдем полупериметр треугольника $p$:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{13+20+21}{2} = \frac{54}{2} = 27$ см.

2. Найдем площадь треугольника $S$ по формуле Герона:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{27(27-13)(27-20)(27-21)} = \sqrt{27 \cdot 14 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{15876} = 126$ см².

Площадь описанного круга

Радиус описанной окружности $R$ для произвольного треугольника вычисляется по формуле: $R = \frac{abc}{4S}$.

Подставим известные значения:

$R = \frac{13 \cdot 20 \cdot 21}{4 \cdot 126} = \frac{5460}{504} = \frac{65}{6}$ см.

Площадь описанного круга $S_{опис}$ равна $\pi R^2$:

$S_{опис} = \pi \left(\frac{65}{6}\right)^2 = \frac{4225}{36}\pi$ см², или $117\frac{13}{36}\pi$ см².

Ответ: $\frac{4225}{36}\pi$ см².

Площадь вписанного круга

Радиус вписанной окружности $r$ вычисляется по формуле: $r = \frac{S}{p}$.

Подставим известные значения:

$r = \frac{126}{27} = \frac{14}{3}$ см.

Площадь вписанного круга $S_{впис}$ равна $\pi r^2$:

$S_{впис} = \pi \left(\frac{14}{3}\right)^2 = \frac{196}{9}\pi$ см², или $21\frac{7}{9}\pi$ см².

Ответ: $\frac{196}{9}\pi$ см².

105. Площадь круга, вписанного в прямоугольную трапецию, равна $16\pi$ см$^2$, а угол трапеции равен $150^\circ$. Найдите площадь трапеции.

105. Площадь круга, вписанного в прямоугольную трапецию, равна $16\pi$ см$^2$, а угол трапеции равен $150^\circ$. Найдите площадь трапеции.

Площадь круга вычисляется по формуле $S_{круга} = \pi r^2$, где $r$ – это радиус вписанного круга. Согласно условию, площадь круга равна $16\pi$ см². Найдем радиус:
$\pi r^2 = 16\pi$
$r^2 = 16$
$r = 4$ см.

Высота трапеции, в которую можно вписать окружность, равна диаметру этой окружности. Обозначим высоту как $h$.
$h = 2r = 2 \cdot 4 = 8$ см.

Так как трапеция прямоугольная, одна из ее боковых сторон перпендикулярна основаниям и ее длина равна высоте трапеции. Пусть трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, а $AB$ — боковая сторона, перпендикулярная основаниям. Тогда $AB = h = 8$ см, и углы $\angle A$ и $\angle B$ равны $90^\circ$.

Сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$. Угол, данный в условии, равен $150^\circ$, он является тупым. Пусть это будет угол $\angle C = 150^\circ$. Тогда острый угол $\angle D$, прилежащий к той же боковой стороне $CD$, будет равен:
$\angle D = 180^\circ - \angle C = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.

Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ на основание $AD$. Мы получим прямоугольный треугольник $CHD$, в котором катет $CH$ равен высоте трапеции ($CH = h = 8$ см), а гипотенузой является боковая сторона $CD$. Угол $\angle D = 30^\circ$. Найдем длину стороны $CD$:
$\sin(\angle D) = \frac{CH}{CD}$
$\sin(30^\circ) = \frac{8}{CD}$
$\frac{1}{2} = \frac{8}{CD}$
$CD = 2 \cdot 8 = 16$ см.

В трапецию можно вписать окружность, а это значит, что суммы длин ее противоположных сторон равны. То есть, сумма оснований равна сумме боковых сторон:
$AD + BC = AB + CD$
Подставив известные значения, получим сумму оснований:
$AD + BC = 8 + 16 = 24$ см.

Теперь мы можем найти площадь трапеции по формуле:
$S_{трапеции} = \frac{AD + BC}{2} \cdot h$
$S_{трапеции} = \frac{24}{2} \cdot 8 = 12 \cdot 8 = 96$ см².

Ответ: 96 см².

106. Постройте окружность, длина которой равна сумме длин двух данных окружностей.

106. Постройте окружность, длина которой равна сумме длин двух данных окружностей.

Для решения этой задачи необходимо сначала проанализировать связь между длиной окружности и ее радиусом, а затем выполнить геометрическое построение с помощью циркуля и линейки.

Анализ

Длина окружности $C$ вычисляется по формуле $C = 2\pi R$, где $R$ — радиус окружности, а $\pi$ — математическая константа.

Пусть нам даны две окружности с радиусами $R_1$ и $R_2$. Их длины равны соответственно:

$C_1 = 2\pi R_1$

$C_2 = 2\pi R_2$

Нам нужно построить третью окружность с радиусом $R_3$ и длиной $C_3$ так, чтобы ее длина была равна сумме длин двух данных окружностей:

$C_3 = C_1 + C_2$

Подставим формулы для длин окружностей в это равенство:

$2\pi R_3 = 2\pi R_1 + 2\pi R_2$

Разделив обе части уравнения на $2\pi$, получим:

$R_3 = R_1 + R_2$

Таким образом, задача сводится к построению окружности, радиус которой равен сумме радиусов двух данных окружностей.

Построение

Пусть даны две окружности с центрами $O_1$, $O_2$ и радиусами $R_1$, $R_2$.

1. Проведем произвольную прямую (или луч) $a$. Отметим на ней точку $A$.
2. С помощью циркуля измерим радиус первой окружности $R_1$. Для этого можно установить иглу циркуля в центр $O_1$, а грифель — на любую точку окружности.
3. Не меняя раствора циркуля, установим его иглу в точку $A$ на прямой $a$ и отложим отрезок, равный $R_1$. Обозначим конец этого отрезка точкой $B$. Таким образом, $AB = R_1$.
4. С помощью циркуля измерим радиус второй окружности $R_2$.
5. Не меняя раствора циркуля, установим его иглу в точку $B$ и отложим на прямой $a$ отрезок, равный $R_2$, в направлении от точки $A$. Обозначим конец этого отрезка точкой $C$. Таким образом, $BC = R_2$.
6. Полученный отрезок $AC$ имеет длину $AC = AB + BC = R_1 + R_2$. Этот отрезок будет радиусом искомой окружности, $R_3 = AC$.
7. Выберем произвольную точку $O_3$ в качестве центра новой окружности.
8. Измерим циркулем длину отрезка $AC$.
9. Установим иглу циркуля в точку $O_3$ и, сохраняя раствор циркуля равным $AC$, проведем окружность.

Доказательство

Построенная окружность имеет радиус $R_3 = R_1 + R_2$. Ее длина $C_3$ равна $2\pi R_3 = 2\pi (R_1 + R_2) = 2\pi R_1 + 2\pi R_2$. Так как $C_1 = 2\pi R_1$ и $C_2 = 2\pi R_2$, то $C_3 = C_1 + C_2$. Следовательно, построенная окружность удовлетворяет условию задачи.

Ответ: Построенная окружность с радиусом, равным сумме радиусов двух данных окружностей ($R_3 = R_1 + R_2$), является искомой.

107. В полукруг, диаметр которого равен 20 см, вписан прямоугольный треугольник, гипотенуза которого совпадает с диаметром полукруга, а один из катетов равен $10\sqrt{3}$ см. Найдите площадь части полукруга, расположенной вне треугольника.

107. В полукруг, диаметр которого равен 20 см, вписан прямоугольный треугольник, гипотенуза которого совпадает с диаметром полукруга, а один из катетов равен $10\sqrt{3}$ см. Найдите площадь части полукруга, расположенной вне треугольника.

Для того чтобы найти площадь части полукруга, расположенной вне треугольника, необходимо из площади всего полукруга вычесть площадь вписанного в него треугольника. Обозначим искомую площадь как $S$.

1. Найдем площадь полукруга ($S_{полукруга}$).
Диаметр полукруга по условию равен $d = 20$ см. Радиус $r$ составляет половину диаметра:
$r = \frac{d}{2} = \frac{20}{2} = 10$ см.
Площадь полукруга вычисляется по формуле:
$S_{полукруга} = \frac{1}{2} \pi r^2$
Подставив значение радиуса, получим:
$S_{полукруга} = \frac{1}{2} \pi \cdot 10^2 = \frac{100\pi}{2} = 50\pi$ см$^2$.

2. Найдем площадь прямоугольного треугольника ($S_{треуг}$).
Гипотенуза треугольника $c$ совпадает с диаметром полукруга, следовательно, $c = 20$ см. Один из катетов по условию равен $a = 10\sqrt{3}$ см. Второй катет $b$ найдем по теореме Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$.
$(10\sqrt{3})^2 + b^2 = 20^2$
$100 \cdot 3 + b^2 = 400$
$300 + b^2 = 400$
$b^2 = 400 - 300 = 100$
$b = \sqrt{100} = 10$ см.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:
$S_{треуг} = \frac{1}{2} a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 10\sqrt{3} \cdot 10 = 50\sqrt{3}$ см$^2$.

3. Найдем искомую площадь.
Вычтем из площади полукруга площадь треугольника:
$S = S_{полукруга} - S_{треуг} = 50\pi - 50\sqrt{3}$ см$^2$.
Вынесем общий множитель $50$ за скобки:
$S = 50(\pi - \sqrt{3})$ см$^2$.
Ответ: $50(\pi - \sqrt{3})$ см$^2$.

108. Два круга имеют общую хорду. Найдите отношение площадей этих кругов, если из центра первого круга эта хорда видна под углом 60°, а из центра второго — под углом 90°.

Рис. 59

108. Два круга имеют общую хорду. Найдите отношение площадей этих кругов, если из центра первого круга эта хорда видна под углом $60^\circ$, а из центра второго — под углом $90^\circ$.

Рис. 59

Пусть $S_1$ и $R_1$ — площадь и радиус первого круга, а $S_2$ и $R_2$ — площадь и радиус второго круга. Длина их общей хорды пусть будет $L$.

Отношение площадей этих кругов равно:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\pi R_1^2}{\pi R_2^2} = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^2$

Чтобы найти это отношение, нам нужно выразить длину общей хорды $L$ через радиусы каждого из кругов.

1. Для первого круга:

Хорда $L$ видна из центра первого круга под углом $60^\circ$. Рассмотрим равнобедренный треугольник, образованный двумя радиусами $R_1$ и хордой $L$. Поскольку угол при вершине равен $60^\circ$, а боковые стороны равны (как радиусы), то углы при основании также равны $(180^\circ - 60^\circ) / 2 = 60^\circ$. Следовательно, этот треугольник является равносторонним, и длина хорды равна радиусу.

$L = R_1$

2. Для второго круга:

Хорда $L$ видна из центра второго круга под углом $90^\circ$. Рассмотрим равнобедренный треугольник, образованный двумя радиусами $R_2$ и хордой $L$. Этот треугольник является прямоугольным, где радиусы $R_2$ — катеты, а хорда $L$ — гипотенуза. По теореме Пифагора:

$L^2 = R_2^2 + R_2^2 = 2R_2^2$

Отсюда $L = R_2\sqrt{2}$.

3. Найдем отношение радиусов и площадей:

Так как хорда общая, мы можем приравнять выражения для ее длины:

$R_1 = R_2\sqrt{2}$

Теперь найдем отношение их радиусов:

$\frac{R_1}{R_2} = \sqrt{2}$

Наконец, подставим это отношение в формулу для отношения площадей:

$\frac{S_1}{S_2} = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$

Таким образом, отношение площади первого круга к площади второго равно 2. Также можно сказать, что отношение площадей равно 2:1.

Ответ: 2.

109. Стороны треугольника равны 10 см, 17 см и 21 см. В треугольник вписан полукруг, центр которого лежит на большей стороне треугольника. Найдите площадь полукруга.

109. Стороны треугольника равны 10 см, 17 см и 21 см. В треугольник вписан полукруг, центр которого лежит на большей стороне треугольника. Найдите площадь полукруга.

Пусть стороны треугольника равны $a = 10$ см, $b = 17$ см и $c = 21$ см. По условию, центр вписанного полукруга лежит на большей стороне, то есть на стороне $c = 21$ см. Диаметр полукруга также лежит на этой стороне, а сам полукруг касается двух других сторон, $a$ и $b$.

Для нахождения радиуса полукруга, сначала найдем площадь треугольника. Воспользуемся формулой Герона:$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр треугольника.

Найдем полупериметр:$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{10+17+21}{2} = \frac{48}{2} = 24$ см.

Теперь вычислим площадь треугольника:$S = \sqrt{24(24-10)(24-17)(24-21)} = \sqrt{24 \cdot 14 \cdot 7 \cdot 3} = \sqrt{(8 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 7) \cdot 7 \cdot 3} = \sqrt{16 \cdot 9 \cdot 49} = 4 \cdot 3 \cdot 7 = 84$ см².

Пусть $r$ — радиус вписанного полукруга. Центр полукруга (точка O) лежит на стороне $c$. Соединим центр O с вершиной, противолежащей стороне $c$. Этот отрезок разделит исходный треугольник на два треугольника, основаниями которых являются стороны $a$ и $b$. Высоты этих двух треугольников, проведенные из вершины O, равны радиусу полукруга $r$, так как полукруг касается сторон $a$ и $b$.

Площадь исходного треугольника можно представить как сумму площадей этих двух треугольников:$S = S_1 + S_2 = \frac{1}{2} a \cdot r + \frac{1}{2} b \cdot r = \frac{1}{2} r (a+b)$.

Подставим известные значения и найдем радиус $r$:$84 = \frac{1}{2} r (10+17)$
$84 = \frac{27}{2} r$
$r = \frac{84 \cdot 2}{27} = \frac{168}{27} = \frac{56}{9}$ см.

Теперь, зная радиус, можем найти площадь полукруга по формуле $S_{полукруга} = \frac{1}{2}\pi r^2$:$S_{полукруга} = \frac{1}{2} \pi \left(\frac{56}{9}\right)^2 = \frac{1}{2} \pi \frac{56^2}{9^2} = \frac{1}{2} \pi \frac{3136}{81} = \frac{1568}{81}\pi$ см².

Ответ: $\frac{1568}{81}\pi$ см².

110. Груз поднимают с помощью блока (рис. 59). На сколько метров поднимется груз за 8 оборотов блока, если радиус блока равен 8 см? Ответ округлите до десятых.

Рис. 59

110. Груз поднимают с помощью блока (рис. 59). На сколько метров поднимется груз за 8 оборотов блока, если радиус блока равен 8 см? Ответ округлите до десятых.

Рис. 59

Высота, на которую поднимется груз, равна длине веревки, прошедшей через блок. Эта длина вычисляется как произведение длины окружности блока на количество его оборотов. Решение можно разбить на несколько шагов.

1. Находим длину окружности блока.

Длина окружности $C$ вычисляется по формуле $C = 2\pi r$, где $r$ — радиус.

Согласно условию, радиус блока $r = 8$ см.

$C = 2 \cdot \pi \cdot 8 = 16\pi$ см.

Таким образом, за один оборот груз поднимается на $16\pi$ см.

2. Находим общую высоту подъема груза.

За 8 оборотов груз поднимется на высоту $H$, равную:

$H = 8 \cdot C = 8 \cdot 16\pi = 128\pi$ см.

3. Переводим высоту в метры и округляем результат.

Сначала переведем полученное значение из сантиметров в метры. В одном метре 100 сантиметров, поэтому:

$H = \frac{128\pi}{100} = 1.28\pi$ м.

Теперь подставим числовое значение $\pi \approx 3.14159$:

$H \approx 1.28 \cdot 3.14159 \approx 4.0212352$ м.

По условию задачи, ответ необходимо округлить до десятых. Смотрим на цифру в разряде сотых: это 2. Так как $2 < 5$, то цифру в разряде десятых (0) оставляем без изменений.

$H \approx 4.0$ м.

Ответ: 4.0 м.

111. На катушку, радиус которой равен 3,5 см, намотано 70 см проволоки. Сколько сделано полных витков?

111. На катушку, радиус которой равен $3,5 \text{ см}$, намотано $70 \text{ см}$ проволоки. Сколько сделано полных витков?

Чтобы найти количество полных витков проволоки на катушке, необходимо сначала определить длину одного витка. Длина одного витка равна длине окружности катушки. Длина окружности $C$ вычисляется по формуле:

$C = 2 \pi r$

где $r$ – это радиус катушки.

Подставим известные значения в формулу. Радиус катушки $r = 3,5$ см. В качестве значения $\pi$ для удобства вычислений можно использовать приближение $\pi \approx \frac{22}{7}$.

$C = 2 \cdot \frac{22}{7} \cdot 3,5 = 2 \cdot \frac{22}{7} \cdot \frac{7}{2} = 22$ см.

Таким образом, длина одного полного витка проволоки составляет 22 см.

Теперь разделим общую длину проволоки на длину одного витка, чтобы найти общее количество витков $N$:

$N = \frac{70}{22} = \frac{35}{11} \approx 3,18$

В задаче спрашивается, сколько полных витков было сделано. Это означает, что нам нужно взять целую часть от полученного числа.

Ответ: 3.