Страница 71 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

31. В треугольнике $ABC$ $AC = 4$ см, $BC = 2$ см. Может ли $\sin A$ быть равным $\frac{3}{5}$?

31. В треугольнике ABC AC = 4 см, BC = 2 см. Может ли $ \sin A $ быть равным $ \frac{3}{5} $?

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой синусов. Теорема синусов гласит, что стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

В нашем треугольнике $ABC$ известны стороны $AC$ и $BC$. Сторона $BC$ лежит напротив угла $A$, а сторона $AC$ — напротив угла $B$. Обозначим их длины как $a$ и $b$ соответственно:

$a = BC = 2$ см

$b = AC = 4$ см

Предположим, что $\sin A = \frac{3}{5}$.

Подставим известные значения в соотношение из теоремы синусов, чтобы найти синус угла $B$:

$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}$

$\frac{2}{\frac{3}{5}} = \frac{4}{\sin B}$

Теперь выразим $\sin B$ из этого уравнения:

$\sin B = \frac{4 \cdot \sin A}{2} = \frac{4 \cdot \frac{3}{5}}{2} = \frac{\frac{12}{5}}{2} = \frac{12}{5 \cdot 2} = \frac{12}{10} = 1.2$

Мы получили, что значение $\sin B$ должно быть равно $1.2$. Однако, область значений функции синус для любого угла, включая углы треугольника (от 0° до 180°), лежит в пределах от $0$ до $1$. Синус угла не может быть больше $1$.

Полученное противоречие ($\sin B = 1.2 > 1$) означает, что наше первоначальное предположение о том, что $\sin A$ может быть равен $\frac{3}{5}$ при заданных длинах сторон, неверно. Треугольник с такими параметрами существовать не может.

Ответ: нет, не может.

32. В треугольнике ABC $AC = 5\sqrt{2}$ см, $\angle B = 45^\circ$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC.

32. В треугольнике $ABC$ $AC = 5\sqrt{2}$ см, $\angle B = 45^\circ$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$.

Для решения данной задачи необходимо использовать расширенную теорему синусов. Согласно этой теореме, отношение стороны треугольника к синусу противолежащего ей угла равно двум радиусам ($2R$) описанной около него окружности.

Формула выглядит так: $ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R $.

В нашем треугольнике $ABC$ известны сторона $AC$ и противолежащий ей угол $∠B$.
Дано:
$AC = 5\sqrt{2}$ см
$∠B = 45°$

Воспользуемся соответствующей частью формулы:
$ \frac{AC}{\sin(\angle B)} = 2R $

Подставим известные значения в уравнение:
$ \frac{5\sqrt{2}}{\sin(45°)} = 2R $

Значение синуса 45 градусов является стандартной тригонометрической величиной: $ \sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Подставим это значение в нашу формулу:
$ 2R = \frac{5\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} $

Теперь выполним вычисления. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:
$ 2R = 5\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} $
Сократим $ \sqrt{2} $ в числителе и знаменателе:
$ 2R = 5 \cdot 2 $
$ 2R = 10 $

Из последнего уравнения находим радиус $R$:
$ R = \frac{10}{2} = 5 $ см.

Ответ: 5 см.

33. Сторона треугольника равна 10 см, а радиус описанной около него окружности — также 10 см. Чему равен угол треугольника, противолежащий данной стороне?

33. Сторона треугольника равна 10 см, а радиус описанной около него окружности — также 10 см. Чему равен угол треугольника, противолежащий данной стороне?

Для нахождения угла треугольника, противолежащего данной стороне, используется обобщенная теорема синусов. Она связывает сторону треугольника, синус противолежащего ей угла и радиус описанной около треугольника окружности.

Формула выглядит следующим образом:

$$ \frac{a}{\sin \alpha} = 2R $$

где $a$ — это длина стороны треугольника, $\alpha$ — величина угла, противолежащего этой стороне, а $R$ — радиус описанной окружности.

Из условия задачи нам известно:

• Длина стороны $a = 10$ см.
• Радиус описанной окружности $R = 10$ см.

Подставим эти данные в формулу:

$$ \frac{10}{\sin \alpha} = 2 \cdot 10 $$

Упростим полученное выражение:

$$ \frac{10}{\sin \alpha} = 20 $$

Теперь выразим $\sin \alpha$:

$$ \sin \alpha = \frac{10}{20} = \frac{1}{2} $$

Угол в треугольнике может принимать значения в диапазоне от 0° до 180°. В этом диапазоне уравнение $\sin \alpha = \frac{1}{2}$ имеет два возможных решения:

1. $\alpha_1 = 30°$

2. $\alpha_2 = 180° - 30° = 150°$

Оба значения являются правильными, так как можно построить два разных треугольника, удовлетворяющих заданным условиям: один с острым углом 30°, а другой — с тупым углом 150° напротив данной стороны. Поскольку в задаче не указан тип треугольника, необходимо учесть оба варианта.

Геометрически это объясняется тем, что сторона треугольника является хордой в описанной окружности. Так как длина хорды (10 см) равна радиусу (10 см), центральный угол, опирающийся на эту хорду, равен 60° (так как образуется равносторонний треугольник с центром окружности). Вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, равен половине центрального угла, то есть $60° / 2 = 30°$. Третья вершина треугольника также может лежать на большей дуге, и тогда вписанный угол будет равен $(360° - 60°) / 2 = 150°$.

Ответ: 30° или 150°.

34. Две стороны треугольника равны 5 см и 6 см. Найдите третью сторону треугольника, если она относится к радиусу описанной окружности как $\sqrt{3} : 1$.

34. Две стороны треугольника равны 5 см и 6 см. Найдите третью сторону треугольника, если она относится к радиусу описанной окружности как $\sqrt{3} : 1$.

Пусть стороны треугольника равны $a = 5$ см, $b = 6$ см, а третья сторона равна $c$. $R$ — радиус описанной окружности.

По условию задачи, третья сторона относится к радиусу описанной окружности как $\sqrt{3}:1$. Запишем это в виде уравнения:

$\frac{c}{R} = \frac{\sqrt{3}}{1}$

Отсюда выразим сторону $c$:

$c = R\sqrt{3}$

Воспользуемся теоремой синусов, которая гласит, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности:

$\frac{c}{\sin C} = 2R$

Подставим в эту формулу выражение для $c$, полученное ранее:

$\frac{R\sqrt{3}}{\sin C} = 2R$

Так как радиус описанной окружности $R$ не может быть равен нулю, мы можем сократить обе части уравнения на $R$:

$\frac{\sqrt{3}}{\sin C} = 2$

Отсюда находим синус угла $C$, противолежащего стороне $c$:

$\sin C = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Угол треугольника может быть от $0^\circ$ до $180^\circ$. В этом диапазоне есть два угла, синус которых равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$:

1. $C_1 = 60^\circ$

2. $C_2 = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

Рассмотрим оба случая, используя теорему косинусов для нахождения стороны $c$:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$

Случай 1: Угол $C = 60^\circ$.

$\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$. Подставим известные значения в формулу:

$c^2 = 5^2 + 6^2 - 2 \cdot 5 \cdot 6 \cdot \cos(60^\circ)$

$c^2 = 25 + 36 - 60 \cdot \frac{1}{2}$

$c^2 = 61 - 30 = 31$

$c = \sqrt{31}$ см.

Случай 2: Угол $C = 120^\circ$.

$\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$. Подставим известные значения в формулу:

$c^2 = 5^2 + 6^2 - 2 \cdot 5 \cdot 6 \cdot \cos(120^\circ)$

$c^2 = 25 + 36 - 60 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$

$c^2 = 61 + 30 = 91$

$c = \sqrt{91}$ см.

Оба значения удовлетворяют неравенству треугольника, следовательно, задача имеет два решения.

Ответ: $\sqrt{31}$ см или $\sqrt{91}$ см.

35. В треугольнике $ABC$ $\angle A = 48^\circ$, $\angle C = 87^\circ$, отрезок $CE$ — высота треугольника. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, если радиус окружности, описанной около треугольника $AEC$, равен $2\sqrt{2}$ см.

35. В треугольнике $ABC$ $\angle A = 48^\circ$, $\angle C = 87^\circ$, отрезок $CE$ —

высота треугольника. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, если радиус

окружности, описанной около треугольника $AEC$, равен $2\sqrt{2}$ см.

Рассмотрим треугольник $AEC$. Так как $CE$ — высота, проведенная к стороне $AB$, то $\angle AEC = 90^\circ$. Следовательно, треугольник $AEC$ является прямоугольным.

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине его гипотенузы. В треугольнике $AEC$ гипотенузой является сторона $AC$. Пусть $R_{AEC}$ — радиус окружности, описанной около $\triangle AEC$. Тогда:
$R_{AEC} = \frac{AC}{2}$

По условию $R_{AEC} = 2\sqrt{2}$ см. Найдем длину стороны $AC$:
$AC = 2 \cdot R_{AEC} = 2 \cdot 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $ABC$. Найдем угол $\angle B$, зная, что сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$:
$\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 48^\circ - 87^\circ = 45^\circ$.

Для нахождения радиуса $R_{ABC}$ окружности, описанной около треугольника $ABC$, воспользуемся теоремой синусов:
$\frac{AC}{\sin(\angle B)} = 2R_{ABC}$

Выразим $R_{ABC}$ и подставим известные значения:
$R_{ABC} = \frac{AC}{2\sin(\angle B)} = \frac{4\sqrt{2}}{2\sin(45^\circ)}$

Так как $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:
$R_{ABC} = \frac{4\sqrt{2}}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 4$ см.

Ответ: 4 см.

36. В треугольнике $ABC$ $AC = b$, $\angle A = \alpha$, $\angle B = \beta$. Найдите стороны $AB$ и $BC$.

36. В треугольнике ABC $AC = b$, $\angle A = \alpha$, $\angle B = \beta$. Найдите стороны $AB$ и $BC$.

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой синусов. Согласно этой теореме, стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Но для её применения нам необходимо знать все три угла треугольника.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Зная два угла $\angle A = \alpha$ и $\angle B = \beta$, мы можем найти третий угол $\angle C$:

$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - (\alpha + \beta)$

Теперь запишем теорему синусов для треугольника ABC:

$\frac{BC}{\sin(\angle A)} = \frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{AB}{\sin(\angle C)}$

Подставим известные нам значения $AC = b$, $\angle A = \alpha$, $\angle B = \beta$ и найденное выражение для $\angle C$:

$\frac{BC}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{AB}{\sin(180^\circ - (\alpha + \beta))}$

Используя формулу приведения $\sin(180^\circ - x) = \sin(x)$, мы можем упростить синус угла C:

$\sin(180^\circ - (\alpha + \beta)) = \sin(\alpha + \beta)$

Таким образом, соотношение принимает окончательный вид:

$\frac{BC}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{AB}{\sin(\alpha + \beta)}$

Из этого двойного равенства мы можем найти искомые стороны AB и BC.

BC

Чтобы найти сторону BC, приравняем первую и вторую части пропорции:

$\frac{BC}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)}$

Выразим из этого уравнения сторону BC:

$BC = \frac{b \cdot \sin(\alpha)}{\sin(\beta)}$

Ответ: $BC = \frac{b \sin(\alpha)}{\sin(\beta)}$

AB

Чтобы найти сторону AB, приравняем вторую и третью части пропорции:

$\frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{AB}{\sin(\alpha + \beta)}$

Выразим из этого уравнения сторону AB:

$AB = \frac{b \cdot \sin(\alpha + \beta)}{\sin(\beta)}$

Ответ: $AB = \frac{b \sin(\alpha + \beta)}{\sin(\beta)}$

37. На рисунке 55 $\angle BAC = 90^\circ$, $BC = a$, $\angle B = \alpha$, $\angle DAC = \beta$, $\angle DCA = \varphi$. Найдите отрезок $DC$.

Рис. 55

37. На рисунке 55 $\angle BAC = 90^\circ$, $BC = a$, $\angle B = \alpha$, $\angle DAC = \beta$, $\angle DCA = \varphi$. Найдите отрезок $DC$.

Рис. 55

Для решения задачи разобьем ее на два этапа. Сначала найдем сторону AC, которая является общей для треугольников ABC и ADC. Затем, зная сторону AC и углы в треугольнике ADC, найдем искомую сторону DC.

1. Нахождение стороны AC из треугольника ABC.

Треугольник ABC является прямоугольным, так как по условию $\angle BAC = 90^\circ$. В этом треугольнике нам известна гипотенуза $BC = a$ и прилежащий к катету AB угол $\angle B = \alpha$. Сторона AC является катетом, противолежащим углу $\angle B$.

Отношение противолежащего катета к гипотенузе равно синусу угла. Следовательно:

$\sin(\angle B) = \frac{AC}{BC}$

Подставим известные значения:

$\sin(\alpha) = \frac{AC}{a}$

Отсюда выражаем длину стороны AC:

$AC = a \cdot \sin(\alpha)$

2. Нахождение стороны DC из треугольника ADC.

Теперь рассмотрим треугольник ADC. В нем нам известна сторона $AC = a \sin(\alpha)$ и два угла: $\angle DAC = \beta$ и $\angle DCA = \phi$. Мы можем найти третий угол $\angle ADC$, зная, что сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$:

$\angle ADC = 180^\circ - (\angle DAC + \angle DCA) = 180^\circ - (\beta + \phi)$

Для нахождения стороны DC воспользуемся теоремой синусов, согласно которой отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла постоянно для всех сторон и углов данного треугольника:

$\frac{DC}{\sin(\angle DAC)} = \frac{AC}{\sin(\angle ADC)}$

Выразим искомую сторону DC:

$DC = \frac{AC \cdot \sin(\angle DAC)}{\sin(\angle ADC)}$

Подставим известные и ранее найденные значения:

$DC = \frac{(a \sin(\alpha)) \cdot \sin(\beta)}{\sin(180^\circ - (\beta + \phi))}$

Используя формулу приведения $\sin(180^\circ - x) = \sin(x)$, получаем:

$\sin(180^\circ - (\beta + \phi)) = \sin(\beta + \phi)$

Таким образом, окончательное выражение для длины отрезка DC:

$DC = \frac{a \sin(\alpha) \sin(\beta)}{\sin(\beta + \phi)}$

Ответ: $DC = \frac{a \sin(\alpha) \sin(\beta)}{\sin(\beta + \phi)}$.

38. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна $b$, а угол при вершине равен $\alpha$. Найдите основание треугольника и биссектрису треугольника, проведённую из вершины угла при основании.

38. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна $b$, а угол при вершине равен $\alpha$. Найдите основание треугольника и биссектрису треугольника, проведённую из вершины угла при основании.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. По условию, боковые стороны $AB = BC = b$, а угол при вершине $\angle ABC = \alpha$.

1. Нахождение основания треугольника

Проведём высоту $BH$ из вершины $B$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также медианой и биссектрисой. Следовательно, точка $H$ — середина основания $AC$, а угол $\angle CBH = \frac{\alpha}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHC$. Гипотенуза $BC=b$, а угол $\angle CBH = \frac{\alpha}{2}$. Катет $HC$, противолежащий этому углу, можно найти через синус:

$HC = BC \cdot \sin(\angle CBH) = b \sin(\frac{\alpha}{2})$

Так как высота $BH$ является медианой, $AC = 2 \cdot HC$.

$AC = 2b \sin(\frac{\alpha}{2})$

Ответ: $2b \sin(\frac{\alpha}{2})$

2. Нахождение биссектрисы, проведённой из вершины угла при основании

Сначала найдём углы при основании треугольника $ABC$. Так как сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$ и углы при основании равны, то:

$\angle BAC = \angle BCA = \frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$

Пусть $AD$ — биссектриса угла $\angle BAC$, проведённая к стороне $BC$. Она делит угол $\angle BAC$ пополам:

$\angle BAD = \frac{\angle BAC}{2} = \frac{90^\circ - \frac{\alpha}{2}}{2} = 45^\circ - \frac{\alpha}{4}$

Теперь рассмотрим треугольник $ABD$. В нём известны сторона $AB=b$ и два угла: $\angle ABD = \alpha$ и $\angle BAD = 45^\circ - \frac{\alpha}{4}$.

Найдём третий угол этого треугольника, $\angle ADB$:

$\angle ADB = 180^\circ - (\angle ABD + \angle BAD) = 180^\circ - (\alpha + 45^\circ - \frac{\alpha}{4}) = 180^\circ - 45^\circ - \frac{3\alpha}{4} = 135^\circ - \frac{3\alpha}{4}$

Применим теорему синусов для треугольника $ABD$:

$\frac{AD}{\sin(\angle ABD)} = \frac{AB}{\sin(\angle ADB)}$

Подставим известные значения:

$\frac{AD}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(135^\circ - \frac{3\alpha}{4})}$

Отсюда выражаем длину биссектрисы $AD$:

$AD = \frac{b \sin(\alpha)}{\sin(135^\circ - \frac{3\alpha}{4})}$

Ответ: $\frac{b \sin(\alpha)}{\sin(135^\circ - \frac{3\alpha}{4})}$

39. В треугольнике $ABC$ провели биссектрису $AF$. Найдите стороны треугольника $ABC$, если $AF = m, \angle A = \alpha, \angle B = \beta$.

39. В треугольнике ABC провели биссектрису AF. Найдите стороны треугольника ABC, если $AF = m$, $\angle A = \alpha$, $\angle B = \beta$.

Для нахождения сторон треугольника $ABC$ воспользуемся теоремой синусов. Сначала определим все необходимые углы.

Дано: $AF = m$, $\angle A = \alpha$, $\angle B = \beta$.

Поскольку $AF$ — биссектриса угла $A$, то $\angle BAF = \angle CAF = \frac{\alpha}{2}$.

Из суммы углов треугольника $ABC$ находим угол $C$: $\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - (\alpha + \beta)$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABF$. Найдем в нем угол, противолежащий стороне $AB$: $\angle AFB = 180^\circ - \angle B - \angle BAF = 180^\circ - \beta - \frac{\alpha}{2} = 180^\circ - (\beta + \frac{\alpha}{2})$.

По теореме синусов для треугольника $ABF$ имеем:

$\frac{AB}{\sin(\angle AFB)} = \frac{AF}{\sin(\angle B)}$

$\frac{AB}{\sin(180^\circ - (\beta + \frac{\alpha}{2}))} = \frac{m}{\sin(\beta)}$

Используя свойство синуса $\sin(180^\circ - x) = \sin(x)$, получаем:

$AB = \frac{m \sin(\beta + \frac{\alpha}{2})}{\sin(\beta)}$

Далее рассмотрим треугольник $ACF$. Найдем в нем угол, противолежащий стороне $AC$: $\angle AFC = 180^\circ - \angle C - \angle CAF = 180^\circ - (180^\circ - (\alpha + \beta)) - \frac{\alpha}{2} = \beta + \frac{\alpha}{2}$.

По теореме синусов для треугольника $ACF$ имеем:

$\frac{AC}{\sin(\angle AFC)} = \frac{AF}{\sin(\angle C)}$

$\frac{AC}{\sin(\beta + \frac{\alpha}{2})} = \frac{m}{\sin(180^\circ - (\alpha + \beta))}$

Используя свойство синуса $\sin(180^\circ - x) = \sin(x)$, получаем:

$AC = \frac{m \sin(\beta + \frac{\alpha}{2})}{\sin(\alpha + \beta)}$

Наконец, найдем сторону $BC$, применив теорему синусов к исходному треугольнику $ABC$. Мы уже знаем стороны $AB$, $AC$ и все углы.

$\frac{BC}{\sin(\angle A)} = \frac{AC}{\sin(\angle B)}$

$BC = AC \cdot \frac{\sin(\angle A)}{\sin(\angle B)} = \frac{m \sin(\beta + \frac{\alpha}{2})}{\sin(\alpha + \beta)} \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\sin(\beta)}$

$BC = \frac{m \sin(\alpha) \sin(\beta + \frac{\alpha}{2})}{\sin(\beta)\sin(\alpha + \beta)}$

Ответ: $AB = \frac{m \sin(\beta + \frac{\alpha}{2})}{\sin(\beta)}$, $AC = \frac{m \sin(\beta + \frac{\alpha}{2})}{\sin(\alpha + \beta)}$, $BC = \frac{m \sin(\alpha) \sin(\beta + \frac{\alpha}{2})}{\sin(\beta)\sin(\alpha + \beta)}$.

40. Высоты треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, если радиус окружности, описанной около треугольника $BHC$, равен $7 \text{ см}$.

40. Высоты треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, если радиус окружности, описанной около треугольника $BHC$, равен 7 см.

Пусть $R$ – радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, а $R_{BHC}$ – радиус окружности, описанной около треугольника $BHC$. По условию задачи, $R_{BHC} = 7$ см.

Воспользуемся обобщенной теоремой синусов.

Для треугольника $ABC$ справедливо соотношение:$ \frac{BC}{\sin(\angle BAC)} = 2R $Отсюда $R = \frac{BC}{2\sin(\angle BAC)}$.

Для треугольника $BHC$ справедливо соотношение:$ \frac{BC}{\sin(\angle BHC)} = 2R_{BHC} $Отсюда $R_{BHC} = \frac{BC}{2\sin(\angle BHC)}$.

Найдем связь между углами $\angle BAC$ и $\angle BHC$. Пусть $BB_1$ и $CC_1$ – высоты треугольника $ABC$, проведенные из вершин $B$ и $C$ соответственно. Точка $H$ является точкой их пересечения (ортоцентром).

Рассмотрим четырехугольник $AC_1HB_1$. Сумма его углов равна $360^\circ$. Так как $BB_1$ и $CC_1$ – высоты, то $\angle AC_1H = 90^\circ$ и $\angle AB_1H = 90^\circ$.Следовательно, сумма двух других углов четырехугольника равна:$ \angle C_1AB_1 + \angle C_1HB_1 = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ = 180^\circ $

Угол $\angle C_1AB_1$ совпадает с углом $\angle BAC$. Углы $\angle C_1HB_1$ и $\angle BHC$ являются вертикальными, поэтому они равны: $\angle C_1HB_1 = \angle BHC$.Таким образом, мы получаем соотношение:$ \angle BAC + \angle BHC = 180^\circ $

Это означает, что углы $\angle BAC$ и $\angle BHC$ являются смежными (в сумме дают $180^\circ$). Для таких углов их синусы равны:$ \sin(\angle BHC) = \sin(180^\circ - \angle BAC) = \sin(\angle BAC) $

Теперь сравним выражения для радиусов $R$ и $R_{BHC}$:$ R = \frac{BC}{2\sin(\angle BAC)} $$ R_{BHC} = \frac{BC}{2\sin(\angle BHC)} $

Поскольку $\sin(\angle BAC) = \sin(\angle BHC)$, правые части этих равенств равны. Следовательно, равны и левые части:$ R = R_{BHC} $

Так как по условию радиус окружности, описанной около треугольника $BHC$, равен 7 см, то и радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, также равен 7 см.

Ответ: 7 см.