Страница 64 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

269. Диагонали ромба лежат на координатных осях. Найдите координаты вершин ромба, если середина одной из его сторон имеет координаты $(-3; 5)$.

269. Диагонали ромба лежат на координатных осях. Найдите координаты вершин ромба, если середина одной из его сторон имеет координаты $(-3; 5)$.

Поскольку диагонали ромба лежат на координатных осях, то точка их пересечения — это начало координат (0; 0). Вершины ромба также лежат на координатных осях. Обозначим вершины ромба как A, B, C, D.

Пусть вершины имеют следующие координаты: $A(0; b)$, $B(-a; 0)$, $C(0; -b)$, $D(a; 0)$, где $a > 0$ и $b > 0$ — это длины полудиагоналей ромба.

Стороны ромба — это отрезки AB, BC, CD и DA. Найдем координаты середин этих сторон по формуле середины отрезка: $M(\frac{x_1+x_2}{2}; \frac{y_1+y_2}{2})$.

• Середина AB: $(\frac{0+(-a)}{2}; \frac{b+0}{2}) = (-\frac{a}{2}; \frac{b}{2})$
• Середина BC: $(\frac{-a+0}{2}; \frac{0+(-b)}{2}) = (-\frac{a}{2}; -\frac{b}{2})$
• Середина CD: $(\frac{0+a}{2}; \frac{-b+0}{2}) = (\frac{a}{2}; -\frac{b}{2})$
• Середина DA: $(\frac{a+0}{2}; \frac{0+b}{2}) = (\frac{a}{2}; \frac{b}{2})$

По условию, середина одной из сторон имеет координаты (-3; 5). Эта точка находится во второй координатной четверти (x < 0, y > 0). Из найденных координат середин сторон только середина стороны AB $(-\frac{a}{2}; \frac{b}{2})$ может находиться в этой четверти, так как мы приняли $a > 0$ и $b > 0$.

Приравняем координаты середины стороны AB к заданным координатам:

$-\frac{a}{2} = -3$

$\frac{b}{2} = 5$

Решая эти уравнения, находим значения $a$ и $b$:

$a = 3 \cdot 2 = 6$

$b = 5 \cdot 2 = 10$

Теперь, зная значения $a$ и $b$, можем найти координаты всех вершин ромба:

$A(0; b) = (0; 10)$

$B(-a; 0) = (-6; 0)$

$C(0; -b) = (0; -10)$

$D(a; 0) = (6; 0)$

Ответ: Координаты вершин ромба: (0; 10), (-6; 0), (0; -10), (6; 0).

270. Отметьте точки $A$ и $B$. Постройте точку $B_1$, симметричную точку $B$ относительно точки $A$.

270. Отметьте точки $A$ и $B$. Постройте точку $B_1$, симметричную точку $B$ относительно точки $A$.

По определению, точка $B_1$ является симметричной точке $B$ относительно точки $A$, если точка $A$ является серединой отрезка $BB_1$. Для того чтобы построить точку $B_1$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Отметить на плоскости две произвольные точки $A$ и $B$.
2. С помощью линейки провести прямую, проходящую через точки $A$ и $B$.
3. Измерить расстояние между точками $A$ и $B$ с помощью циркуля. Для этого нужно установить иглу циркуля в точку $A$, а грифель (карандаш) — в точку $B$.
4. Не изменяя раствор циркуля, установить иглу в точку $A$ и провести дугу, которая пересечет прямую, построенную в шаге 2, с противоположной стороны от точки $B$.
5. Точка пересечения дуги и прямой является искомой точкой $B_1$.

В результате такого построения мы получим, что точки $B$, $A$ и $B_1$ лежат на одной прямой, и при этом расстояние от $A$ до $B$ равно расстоянию от $A$ до $B_1$. Математически это записывается как $|AB| = |AB_1|$. Таким образом, точка $A$ является серединой отрезка $BB_1$, что и требовалось.

Ответ: Искомая точка $B_1$ построена в соответствии с описанным алгоритмом. Она лежит на прямой $AB$ на таком же расстоянии от точки $A$, что и точка $B$, но с противоположной стороны.

271. Даны отрезок $CD$ и точка $M$ (рис. 50). Постройте отрезок, симметричный отрезку $CD$ относительно точки $M$.

Рис. 50

271. Даны отрезок $CD$ и точка $M$ (рис. 50). Постройте отрезок, симметричный отрезку $CD$ относительно точки $M$.

Рис. 50

Чтобы построить отрезок, симметричный отрезку $CD$ относительно точки $M$, необходимо построить точки $C'$ и $D'$, симметричные соответственно точкам $C$ и $D$ относительно точки $M$, и затем соединить их отрезком.

Точка $A'$ называется симметричной точке $A$ относительно центра симметрии $M$, если точка $M$ является серединой отрезка $AA'$.

Построение:

1. Построение точки $C'$, симметричной точке $C$ относительно точки $M$.
Проведём луч из точки $C$ через точку $M$. Отложим на этом луче от точки $M$ отрезок $MC'$, равный по длине отрезку $CM$. Полученная точка $C'$ будет симметрична точке $C$ относительно $M$.
Используя сетку на рисунке, можно определить смещение от точки $C$ до точки $M$. Чтобы попасть из $C$ в $M$, нужно сместиться на 1 клетку вправо и на 1 клетку вверх. Для нахождения точки $C'$ нужно выполнить такое же смещение от точки $M$: сместиться на 1 клетку вправо и на 1 клетку вверх от $M$.

2. Построение точки $D'$, симметричной точке $D$ относительно точки $M$.
Аналогично, проведём луч из точки $D$ через точку $M$. Отложим на этом луче от точки $M$ отрезок $MD'$, равный по длине отрезку $DM$. Полученная точка $D'$ будет симметрична точке $D$ относительно $M$.
Используя сетку, определим смещение от точки $D$ до точки $M$. Чтобы попасть из $D$ в $M$, нужно сместиться на 2 клетки влево и на 3 клетки вверх. Для нахождения точки $D'$ выполним такое же смещение от точки $M$: сместимся на 2 клетки влево и на 3 клетки вверх от $M$.

3. Построение искомого отрезка $C'D'$.
Соединим полученные точки $C'$ и $D'$ отрезком. Отрезок $C'D'$ является искомым отрезком, симметричным отрезку $CD$ относительно точки $M$.

Для проверки можно использовать координаты. Если принять левый нижний узел сетки на рисунке за начало координат $(0, 0)$, а сторону клетки за единицу длины, то координаты точек будут: $C(1, 3)$, $D(4, 1)$ и $M(2, 4)$.
Координаты $(x', y')$ точки, симметричной точке $(x, y)$ относительно центра $(a, b)$, вычисляются по формулам: $x' = 2a - x$ и $y' = 2b - y$.
Координаты точки $C'$, симметричной $C(1, 3)$:
$x_{C'} = 2 \cdot 2 - 1 = 3$
$y_{C'} = 2 \cdot 4 - 3 = 5$
Таким образом, $C'(3, 5)$.
Координаты точки $D'$, симметричной $D(4, 1)$:
$x_{D'} = 2 \cdot 2 - 4 = 0$
$y_{D'} = 2 \cdot 4 - 1 = 7$
Таким образом, $D'(0, 7)$.
Соединив точки $C'(3, 5)$ и $D'(0, 7)$, получаем искомый отрезок, что соответствует построению.

Ответ: Отрезок $C'D'$, построенный на рисунке красным цветом, является симметричным отрезку $CD$ относительно точки $M$. Его концы — точки $C'$ и $D'$, которые симметричны соответственно точкам $C$ и $D$ относительно точки $M$.

272. Начертите треугольник $DEF$ и отметьте точку $O$, лежащую вне треугольника. Постройте треугольник, симметричный данному относительно точки $O$.

272. Начертите треугольник $DEF$ и отметьте точку $O$, лежащую вне треугольника. Постройте треугольник, симметричный данному относительно точки $O$.

Построение треугольника, симметричного данному относительно точки, сводится к построению вершин нового треугольника, которые симметричны вершинам исходного треугольника относительно этой точки.

Пусть дан треугольник $DEF$ и точка $O$ вне его. Чтобы построить симметричный ему треугольник $D'E'F'$, выполним следующие действия:

1. Построение точки $D'$: Соединим точку $D$ с точкой $O$ и продолжим этот отрезок за точку $O$. На этой прямой отложим отрезок $OD'$, равный отрезку $DO$. Точка $D'$ является симметричной точке $D$ относительно центра $O$.
2. Построение точки $E'$: Аналогично соединим точку $E$ с точкой $O$ и продолжим отрезок. Отложим на продолжении отрезок $OE'$, равный отрезку $EO$. Точка $E'$ будет симметрична точке $E$.
3. Построение точки $F'$: Соединим точку $F$ с точкой $O$ и на продолжении отрезка $FO$ отложим отрезок $OF'$, равный $FO$. Точка $F'$ будет симметрична точке $F$.
4. Построение искомого треугольника: Соединим полученные точки $D'$, $E'$ и $F'$ отрезками.

Полученный треугольник $D'E'F'$ и есть искомый треугольник, симметричный треугольнику $DEF$ относительно точки $O$.

Графически это выглядит следующим образом:

Ответ: Треугольник $D'E'F'$, построенный путем нахождения симметричных вершин $D', E', F'$ относительно точки $O$ и их соединения, является искомым.

273. Начертите угол $ABC$ и отметьте точку $O$, принадлежащую лучу $BA$. Постройте угол, симметричный углу $ABC$ относительно точки $O$.

273. Начертите угол $ABC$ и отметьте точку $O$, принадлежащую лучу $BA$. Постройте угол, симметричный углу $ABC$ относительно точки $O$.

Для того чтобы построить угол, симметричный углу $ABC$ относительно точки $O$, необходимо выполнить построение центрально-симметричных образов для ключевых точек исходного угла. Центральная симметрия относительно точки $O$ переводит любую точку $X$ в точку $X'$ так, что $O$ является серединой отрезка $XX'$.

Построение выполняется по следующему алгоритму:

1. Начальное построение. Начертите произвольный угол $ABC$ с вершиной в точке $B$. Согласно условию, отметьте на луче $BA$ точку $O$, которая будет центром симметрии.

2. Построение симметричной вершины $B'$. Вершина искомого угла будет симметрична вершине $B$. Для её построения проведите прямую через точки $B$ и $O$. С помощью циркуля измерьте расстояние $OB$ и отложите такой же отрезок $OB'$ на этой прямой по другую сторону от точки $O$. Точка $B'$ — вершина нового угла.

3. Построение сторон симметричного угла.

   • Так как центр симметрии $O$ лежит на прямой $BA$, то луч $BA$ при симметрии перейдет в луч, который также лежит на прямой $BA$, но имеет начало в точке $B'$ и противоположное направление.
   • Для построения второй стороны угла выберем на луче $BC$ любую точку, например, саму точку $C$. Построим для неё симметричную точку $C'$. Для этого проведём прямую через $C$ и $O$. Измерим расстояние $OC$ и отложим такой же отрезок $OC'$ на прямой $CO$ по другую сторону от точки $O$.

4. Завершение построения. Проведите луч с началом в точке $B'$ через точку $C'$. Угол, образованный этим лучом и лучом, лежащим на прямой $BA$ с началом в $B'$, является искомым углом. Обозначим его $\angle A'B'C'$, где $A'$ — точка на луче, симметричном лучу $BA$.

В результате центральной симметрии получается угол, равный исходному, то есть $\angle A'B'C' = \angle ABC$.

Для построения искомого угла необходимо построить точку $B'$, симметричную вершине $B$ относительно точки $O$, и точку $C'$, симметричную произвольной точке $C$ на луче $BC$ относительно точки $O$. Точка $B'$ будет новой вершиной, а стороны угла будут образованы лучами, один из которых лежит на прямой $BA$, а другой проходит через точку $C'$.

274. Может ли образом луча при центральной симметрии быть этот же луч?

274. Может ли образом луча при центральной симметрии быть этот же луч?

Нет, образом луча при центральной симметрии не может быть этот же луч.

Для того чтобы доказать это, рассмотрим свойства центральной симметрии и определение луча. Центральная симметрия относительно точки $O$ (центра симметрии) переводит каждую точку $M$ в точку $M'$ так, что $O$ является серединой отрезка $MM'$. Это эквивалентно векторному равенству $\vec{OM'} = -\vec{OM}$.

Луч определяется двумя характеристиками: своим началом и своим направлением. Чтобы образ луча при преобразовании совпал с исходным лучом, он должен иметь то же начало и то же направление.

Пусть у нас есть луч $r$ с началом в точке $A$. Его образ при симметрии относительно центра $O$ — это луч $r'$, начало которого находится в точке $A'$, симметричной точке $A$. Для совпадения начал лучей $r$ и $r'$ требуется, чтобы $A=A'$. Это условие выполняется только тогда, когда точка $A$ сама является центром симметрии, то есть $A=O$. Следовательно, если луч и его образ совпадают, то этот луч должен выходить из центра симметрии.

Теперь рассмотрим луч $r$, выходящий из центра симметрии $O$. Возьмем на нем произвольную точку $B$, отличную от $O$. Образ этого луча, $r'$, также будет выходить из точки $O$, поскольку образ точки $O$ — это она сама. Направление луча $r'$ будет определяться образом точки $B$, то есть точкой $B'$. По определению центральной симметрии, точка $B'$ такова, что $\vec{OB'} = -\vec{OB}$. Это означает, что луч $r'$ направлен в сторону, ровно противоположную направлению луча $r$. Два луча, выходящие из одной точки в противоположных направлениях, различны.

Таким образом, образ луча при центральной симметрии всегда имеет направление, противоположное направлению исходного луча. Поэтому он не может совпадать с исходным лучом.

Ответ: Нет, не может.

275. Найдите координаты точки, симметричной точке $A (-7; 3)$ относительно начала координат.

275. Найдите координаты точки, симметричной точке $A(-7; 3)$ относительно начала координат.

Симметрия относительно начала координат (центральная симметрия) означает, что для любой точки $A(x; y)$ симметричная ей точка $A'(x'; y')$ находится на той же прямой, проходящей через начало координат $O(0; 0)$, на таком же расстоянии от него, но с другой стороны. Начало координат является серединой отрезка $AA'$.

Координаты точки, симметричной точке $A(x; y)$ относительно начала координат, находятся путем изменения знаков исходных координат на противоположные.

Формулы для нахождения координат точки $A'(x'; y')$ выглядят следующим образом:
$x' = -x$
$y' = -y$

В нашем случае дана точка $A(-7; 3)$. Подставим ее координаты в формулы:
$x' = -(-7) = 7$
$y' = -(3) = -3$

Таким образом, координаты точки, симметричной точке $A(-7; 3)$ относительно начала координат, равны $(7; -3)$.

Ответ: $(7; -3)$

276. Среди точек $A (2; 3)$, $B (3; 2)$, $C (-2; -3)$, $D (-3; 2)$, $E (2; -3)$ и $F (-2; 3)$ укажите пары точек, симметричных относительно начала координат.

276. Среди точек $A (2; 3)$, $B (3; 2)$, $C (-2; -3)$, $D (-3; 2)$, $E (2; -3)$ и $F (-2; 3)$ укажите пары точек, симметричных относительно начала координат.

Две точки $M(x; y)$ и $M'(x'; y')$ называются симметричными относительно начала координат (точки $O(0; 0)$), если их соответствующие координаты являются противоположными числами. То есть, для симметричной точки $M'(x'; y')$ должно выполняться условие: $x' = -x$ и $y' = -y$.

Проверим каждую из заданных точек, чтобы найти ей симметричную пару:

Для точки A (2; 3):
Симметричная ей точка должна иметь координаты $(-2; -3)$. В списке есть точка $C(-2; -3)$. Таким образом, первая пара симметричных точек — $A$ и $C$.

Для точки B (3; 2):
Симметричная ей точка должна иметь координаты $(-3; -2)$. Такой точки в списке нет.

Для точки D (-3; 2):
Симметричная ей точка должна иметь координаты $(3; -2)$. Такой точки в списке нет.

Для точки E (2; -3):
Симметричная ей точка должна иметь координаты $(-2; 3)$. В списке есть точка $F(-2; 3)$. Таким образом, вторая пара симметричных точек — $E$ и $F$.

Остальные точки ($C$ и $F$) уже были найдены как симметричные к $A$ и $E$ соответственно.

Ответ: $A(2; 3)$ и $C(-2; -3)$; $E(2; -3)$ и $F(-2; 3)$.

277. Симметричны ли точки $A (-3; 6)$ и $B (5; 4)$ относительно точки $P (-1; 5)$?

277. Симметричны ли точки $A (-3; 6)$ и $B (5; 4)$ относительно точки $P (-1; 5)$?

Две точки A и B симметричны относительно третьей точки P, если точка P является серединой отрезка AB. Чтобы проверить это, найдем координаты середины отрезка AB, обозначив ее M($x_m$; $y_m$).

Координаты середины отрезка с концами в точках A($x_A$; $y_A$) и B($x_B$; $y_B$) вычисляются по формулам:

$x_m = \frac{x_A + x_B}{2}$

$y_m = \frac{y_A + y_B}{2}$

Подставим известные координаты точек A(-3; 6) и B(5; 4):

$x_m = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$y_m = \frac{6 + 4}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Таким образом, середина отрезка AB имеет координаты M(1; 5).

Теперь сравним координаты найденной середины M(1; 5) с координатами точки P(-1; 5). Поскольку абсциссы этих точек не совпадают ($1 \neq -1$), точка P не является серединой отрезка AB.

Ответ: нет, точки A и B не симметричны относительно точки P.

278. Найдите координаты точки, относительно которой симметричны точки $A (-3; 8)$ и $B (-9; 6)$.

278. Найдите координаты точки, относительно которой симметричны точки $A(-3; 8)$ и $B(-9; 6)$.

Точка, относительно которой симметричны две другие точки, является серединой отрезка, соединяющего эти точки. Обозначим искомую точку как C с координатами $(x_c; y_c)$. Координаты середины отрезка с концами в точках $A(x_a; y_a)$ и $B(x_b; y_b)$ находятся по формулам:

$x_c = \frac{x_a + x_b}{2}$

$y_c = \frac{y_a + y_b}{2}$

Нам даны координаты точек $A(-3; 8)$ и $B(-9; 6)$. Подставим эти значения в формулы для нахождения координат точки C.

Вычислим абсциссу (координату x) точки C:
$x_c = \frac{-3 + (-9)}{2} = \frac{-3 - 9}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

Вычислим ординату (координату y) точки C:
$y_c = \frac{8 + 6}{2} = \frac{14}{2} = 7$

Таким образом, искомая точка имеет координаты $(-6; 7)$.

Ответ: $(-6; 7)$.