Страница 57 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

201. Постройте два неколлинеарных вектора $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $. Отметьте произвольную точку и отложите от неё вектор:

1) $ -2\vec{a} - 3\vec{b}; $

2) $ \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}. $

201. Постройте два неколлинеарных вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Отметьте произвольную точку и отложите от неё вектор:

1) $-2\vec{a} - 3\vec{b};$

2) $\frac{1}{3}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}.$

Для решения задачи сначала построим два произвольных неколлинеарных вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Неколлинеарные векторы — это векторы, которые не лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Затем выберем на плоскости произвольную точку $O$, которая будет служить началом для искомых векторов.

1) $-2\vec{a}-3\vec{b}$

Чтобы построить вектор $\vec{c} = -2\vec{a}-3\vec{b}$, выполним следующие шаги:

1. Построим вектор $-2\vec{a}$. Этот вектор имеет направление, противоположное направлению вектора $\vec{a}$, и его длина в два раза больше длины вектора $\vec{a}$. Отложим этот вектор от точки $O$ и назовем его $\vec{OA}$. Таким образом, $\vec{OA} = -2\vec{a}$.
2. Построим вектор $-3\vec{b}$. Этот вектор направлен в сторону, противоположную вектору $\vec{b}$, и его длина в три раза больше длины вектора $\vec{b}$.
3. Теперь сложим полученные векторы, используя правило треугольника. От конца первого вектора (точки $A$) отложим вектор, равный вектору $-3\vec{b}$. Назовем его $\vec{AB}$. То есть $\vec{AB} = -3\vec{b}$.
4. Соединим начальную точку $O$ с конечной точкой $B$. Полученный вектор $\vec{OB}$ и будет искомым вектором $\vec{c}$.

Таким образом, по правилу сложения векторов: $\vec{c} = \vec{OB} = \vec{OA} + \vec{AB} = -2\vec{a} - 3\vec{b}$.

Ответ: Искомый вектор строится путем последовательного откладывания от произвольной точки $O$ вектора, противоположного $\vec{a}$ и вдвое длиннее его, а затем от конца полученного вектора — вектора, противоположного $\vec{b}$ и втрое длиннее его. Результирующий вектор соединяет начальную точку $O$ с концом второго построенного вектора.

2) $\frac{1}{3}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}$

Чтобы построить вектор $\vec{d} = \frac{1}{3}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}$, выполним следующие шаги:

1. Построим вектор $\frac{1}{3}\vec{a}$. Этот вектор сонаправлен с вектором $\vec{a}$ (имеет то же направление), а его длина составляет одну треть от длины вектора $\vec{a}$. Отложим этот вектор от точки $O$ и назовем его $\vec{OC}$. Таким образом, $\vec{OC} = \frac{1}{3}\vec{a}$.
2. Построим вектор $\frac{1}{2}\vec{b}$. Этот вектор сонаправлен с вектором $\vec{b}$, а его длина равна половине длины вектора $\vec{b}$.
3. Сложим полученные векторы, используя правило параллелограмма. От точки $O$ отложим второй вектор, $\vec{OD} = \frac{1}{2}\vec{b}$.
4. На векторах $\vec{OC}$ и $\vec{OD}$ как на сторонах построим параллелограмм $OCED$.
5. Диагональ этого параллелограмма, выходящая из общего начала (точки $O$), то есть вектор $\vec{OE}$, и будет искомым вектором $\vec{d}$.

Таким образом, по правилу параллелограмма: $\vec{d} = \vec{OE} = \vec{OC} + \vec{OD} = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$.

Ответ: Искомый вектор является диагональю параллелограмма, построенного на векторах $\frac{1}{3}\vec{a}$ и $\frac{1}{2}\vec{b}$, отложенных от одной точки $O$. Вектор $\frac{1}{3}\vec{a}$ сонаправлен с $\vec{a}$ и имеет длину $1/3$ от его длины. Вектор $\frac{1}{2}\vec{b}$ сонаправлен с $\vec{b}$ и имеет длину $1/2$ от его длины.

202. $|\vec{b}|=1,6$. Чему равен модуль вектора:

1) $-2\vec{b}$;

2) $\frac{1}{4}\vec{b}$?

202. $|\vec{b}| = 1,6$. Чему равен модуль вектора:

1) $-2\vec{b}$;

2) $\frac{1}{4}\vec{b}$?

Для решения данной задачи воспользуемся свойством модуля вектора, умноженного на скаляр (число). Свойство гласит: модуль произведения вектора на число равен произведению модуля этого числа на модуль вектора. Математически это записывается так: $|k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|$, где $k$ — любое число, а $\vec{a}$ — вектор.
По условию нам дан модуль вектора $\vec{b}$: $|\vec{b}| = 1,6$.

1) Найдём модуль вектора $-2\vec{b}$.
В данном случае скаляр $k = -2$.
Используя свойство, получаем:
$|-2\vec{b}| = |-2| \cdot |\vec{b}|$
Модуль числа $-2$ равен 2, то есть $|-2|=2$.
Подставляем известные значения:
$|-2\vec{b}| = 2 \cdot 1,6 = 3,2$.
Ответ: 3,2.

2) Найдём модуль вектора $\frac{1}{4}\vec{b}$.
В данном случае скаляр $k = \frac{1}{4}$.
Используя то же свойство, получаем:
$|\frac{1}{4}\vec{b}| = |\frac{1}{4}| \cdot |\vec{b}|$
Модуль числа $\frac{1}{4}$ равен $\frac{1}{4}$, то есть $|\frac{1}{4}|=\frac{1}{4}$.
Подставляем известные значения:
$|\frac{1}{4}\vec{b}| = \frac{1}{4} \cdot 1,6 = \frac{1,6}{4} = 0,4$.
Ответ: 0,4.

203. Найдите модуль вектора $\vec{a} = 4\vec{c}$, где $\vec{c} (5; -12)$.

203. Найдите модуль вектора $ \vec{a} = 4\vec{c} $, где $ \vec{c} (5; -12) $.

Для нахождения модуля вектора $\vec{a}$ необходимо выполнить несколько шагов. Есть два способа решения этой задачи.

Способ 1. Через нахождение координат вектора $\vec{a}$

1. Сначала найдем координаты вектора $\vec{a}$. По условию $\vec{a} = 4\vec{c}$, где $\vec{c} = (5; -12)$. Чтобы найти координаты вектора $\vec{a}$, нужно каждую координату вектора $\vec{c}$ умножить на скаляр 4.

$\vec{a} = (4 \cdot 5; 4 \cdot (-12)) = (20; -48)$

2. Теперь, зная координаты вектора $\vec{a} = (20; -48)$, найдем его модуль (длину). Модуль вектора с координатами $(x; y)$ вычисляется по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

Подставляем наши значения:

$|\vec{a}| = \sqrt{20^2 + (-48)^2}$

Вычисляем квадраты координат и их сумму:

$|\vec{a}| = \sqrt{400 + 2304} = \sqrt{2704}$

Извлекаем квадратный корень:

$|\vec{a}| = 52$

Способ 2. Через использование свойств модуля вектора

1. Сначала найдем модуль исходного вектора $\vec{c} = (5; -12)$.

$|\vec{c}| = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$

2. Воспользуемся свойством модуля вектора, умноженного на число: $|k\vec{v}| = |k| \cdot |\vec{v}|$. В нашем случае $k=4$.

$|\vec{a}| = |4\vec{c}| = |4| \cdot |\vec{c}| = 4 \cdot |\vec{c}|$

Подставляем найденное значение модуля вектора $\vec{c}$:

$|\vec{a}| = 4 \cdot 13 = 52$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 52

204. Даны векторы $$\vec{a}(4; -7)$ и $$\vec{b}(-3; 6)$. Найдите координаты вектора:

1) $$3\vec{a} + \vec{b};$

2) $$3\vec{b} - 5\vec{a}.$

204. Даны векторы $\vec{a}(4; -7)$ и $\vec{b}(-3; 6)$. Найдите координаты вектора:

1) $3\vec{a} + \vec{b}$;

2) $3\vec{b} - 5\vec{a}$.

Даны векторы $\vec{a}(4; -7)$ и $\vec{b}(-3; 6)$. Чтобы найти координаты результирующих векторов, необходимо выполнить операции умножения вектора на число и сложения/вычитания векторов.

При умножении вектора на число каждая его координата умножается на это число. При сложении (вычитании) векторов их соответствующие координаты складываются (вычитаются).

1) $3\vec{a} + \vec{b}$

Сначала найдём координаты вектора $3\vec{a}$:

$3\vec{a} = 3 \cdot (4; -7) = (3 \cdot 4; 3 \cdot (-7)) = (12; -21)$

Теперь сложим полученный вектор $3\vec{a}$ с вектором $\vec{b}$:

$3\vec{a} + \vec{b} = (12; -21) + (-3; 6) = (12 + (-3); -21 + 6) = (9; -15)$

Ответ: $(9; -15)$

2) $3\vec{b} - 5\vec{a}$

Сначала найдём координаты векторов $3\vec{b}$ и $5\vec{a}$:

$3\vec{b} = 3 \cdot (-3; 6) = (3 \cdot (-3); 3 \cdot 6) = (-9; 18)$

$5\vec{a} = 5 \cdot (4; -7) = (5 \cdot 4; 5 \cdot (-7)) = (20; -35)$

Теперь вычтем из вектора $3\vec{b}$ вектор $5\vec{a}$:

$3\vec{b} - 5\vec{a} = (-9; 18) - (20; -35) = (-9 - 20; 18 - (-35)) = (-29; 18 + 35) = (-29; 53)$

Ответ: $(-29; 53)$

205. Найдите модуль вектора $\vec{m} = 2\vec{a} - 3\vec{b}$, где $\vec{a}(-4; 2)$; $\vec{b}(1; -2)$.

205. Найдите модуль вектора $\vec{m} = 2\vec{a} - 3\vec{b}$, где $\vec{a}(-4; 2)$; $\vec{b}(1; -2)$.

Чтобы найти модуль вектора $\vec{m}$, необходимо сначала вычислить его координаты. Вектор $\vec{m}$ является результатом линейной комбинации векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$: $\vec{m} = 2\vec{a} - 3\vec{b}$.

Даны координаты векторов: $\vec{a}(-4; 2)$ и $\vec{b}(1; -2)$.

1. Сначала найдем координаты вектора $2\vec{a}$. Для этого умножим каждую координату вектора $\vec{a}$ на скаляр 2:

$2\vec{a} = (2 \cdot (-4); 2 \cdot 2) = (-8; 4)$.

2. Затем найдем координаты вектора $3\vec{b}$. Для этого умножим каждую координату вектора $\vec{b}$ на скаляр 3:

$3\vec{b} = (3 \cdot 1; 3 \cdot (-2)) = (3; -6)$.

3. Теперь вычислим координаты вектора $\vec{m}$, вычитая из координат вектора $2\vec{a}$ соответствующие координаты вектора $3\vec{b}$:

$\vec{m} = 2\vec{a} - 3\vec{b} = (-8 - 3; 4 - (-6)) = (-11; 4 + 6) = (-11; 10)$.

4. Модуль вектора $\vec{m}$ с координатами $(x; y)$ находится по формуле $|\vec{m}| = \sqrt{x^2 + y^2}$. Подставим координаты вектора $\vec{m}(-11; 10)$:

$|\vec{m}| = \sqrt{(-11)^2 + 10^2} = \sqrt{121 + 100} = \sqrt{221}$.

Число 221 является произведением двух простых чисел (13 и 17), поэтому корень из него не извлекается нацело и не упрощается.

Ответ: $\sqrt{221}$.

206. Точки K и P — середины сторон AB и AD параллело- грамма ABCD (рис. 43). Выразите вектор $\vec{KP}$ через векторы $\vec{BC} = \vec{a}$ и $\vec{CD} = \vec{b}$.

Рис. 43

206. Точки K и P — середины сторон AB и AD параллелограмма ABCD (рис. 43). Выразите вектор $\vec{KP}$ через векторы $\vec{BC} = \vec{a}$ и $\vec{CD} = \vec{b}$.

Рис. 43

Для выражения вектора $\vec{KP}$ через векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ воспользуемся правилом разности векторов, исходящих из одной точки, или правилом треугольника. Выразим вектор $\vec{KP}$ через векторы $\vec{AK}$ и $\vec{AP}$:

$\vec{KP} = \vec{AP} - \vec{AK}$

По условию задачи, точки K и P являются серединами сторон AB и AD соответственно. Это означает, что:

$\vec{AK} = \frac{1}{2}\vec{AB}$

$\vec{AP} = \frac{1}{2}\vec{AD}$

Подставим эти выражения в формулу для $\vec{KP}$:

$\vec{KP} = \frac{1}{2}\vec{AD} - \frac{1}{2}\vec{AB} = \frac{1}{2}(\vec{AD} - \vec{AB})$

Теперь необходимо выразить векторы сторон параллелограмма $\vec{AD}$ и $\vec{AB}$ через заданные векторы $\vec{a} = \vec{BC}$ и $\vec{b} = \vec{CD}$.

Поскольку ABCD — параллелограмм, его противоположные стороны равны и параллельны, а значит, соответствующие им векторы равны:

$\vec{AD} = \vec{BC} = \vec{a}$

$\vec{AB} = \vec{DC}$

Вектор $\vec{DC}$ противоположен вектору $\vec{CD}$, поэтому:

$\vec{DC} = -\vec{CD} = -\vec{b}$

Следовательно, $\vec{AB} = -\vec{b}$.

Подставим найденные выражения для $\vec{AD}$ и $\vec{AB}$ в формулу для $\vec{KP}$:

$\vec{KP} = \frac{1}{2}(\vec{a} - (-\vec{b})) = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b})$

Ответ: $\vec{KP} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b})$

207. Точки N и M — середины сторон BC и CD трапеции ABCD (рис. 44). Выразите вектор $\vec{MN}$ через векторы $\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{AD} = \vec{b}$.

Рис. 44

207. Точки N и M — середины сторон BC и CD трапеции ABCD (рис. 44). Выразите вектор $\vec{MN}$ через векторы $\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{AD} = \vec{b}$.

Рис. 44

Для того чтобы выразить вектор $\vec{MN}$ через векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, воспользуемся правилом многоугольника для сложения векторов. Представим вектор $\vec{MN}$ как сумму векторов, составляющих ломаную линию $MCN$:

$\vec{MN} = \vec{MC} + \vec{CN}$

Из условия задачи известно, что точка $N$ является серединой стороны $BC$, а точка $M$ — серединой стороны $CD$. Это позволяет выразить векторы $\vec{CN}$ и $\vec{MC}$ через векторы сторон трапеции:

$\vec{CN} = \frac{1}{2}\vec{CB}$
$\vec{MC} = \frac{1}{2}\vec{DC}$

Теперь подставим эти выражения в исходное равенство для $\vec{MN}$:

$\vec{MN} = \frac{1}{2}\vec{DC} + \frac{1}{2}\vec{CB} = \frac{1}{2}(\vec{DC} + \vec{CB})$

Согласно правилу треугольника для сложения векторов, сумма векторов $\vec{DC}$ и $\vec{CB}$ равна вектору $\vec{DB}$, который соединяет начало первого вектора с концом второго:

$\vec{DC} + \vec{CB} = \vec{DB}$

Таким образом, выражение для $\vec{MN}$ можно упростить:

$\vec{MN} = \frac{1}{2}\vec{DB}$

Следующим шагом выразим вектор $\vec{DB}$ через заданные векторы $\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{AD} = \vec{b}$. Для этого рассмотрим треугольник $ABD$. По правилу вычитания векторов (или по правилу треугольника $\vec{AD} + \vec{DB} = \vec{AB}$), имеем:

$\vec{DB} = \vec{AB} - \vec{AD}$

Подставим известные обозначения векторов:

$\vec{DB} = \vec{a} - \vec{b}$

Наконец, подставим полученное выражение для вектора $\vec{DB}$ в формулу для вектора $\vec{MN}$:

$\vec{MN} = \frac{1}{2}(\vec{a} - \vec{b})$

Ответ: $\vec{MN} = \frac{1}{2}(\vec{a} - \vec{b})$.

208. D — точка пересечения диагоналей выпуклого четырехугольника MKPF, $MD : DP = 4 : 9$, $KD : DF = 7 : 3$.

Выразите векторы $\vec{MK}$, $\vec{KP}$, $\vec{PF}$ и $\vec{FM}$ через векторы

$\vec{KD} = \vec{m}$ и $\vec{MD} = \vec{p}$.

208. $D$ — точка пересечения диагоналей выпуклого четырёхугольника $MKPF$, $MD : DP = 4 : 9$, $KD : DF = 7 : 3$.

Выразите векторы $\overrightarrow{MK}$, $\overrightarrow{KP}$, $\overrightarrow{PF}$ и $\overrightarrow{FM}$ через векторы $\overrightarrow{KD} = \vec{m}$ и $\overrightarrow{MD} = \vec{p}$.

Для решения задачи воспользуемся данными из условия и правилами действий с векторами. Нам дано, что $\vec{KD} = \vec{m}$ и $\vec{MD} = \vec{p}$.

Из отношения $MD : DP = 4 : 9$ следует, что векторы $\vec{MD}$ и $\vec{DP}$ коллинеарны и сонаправлены, так как точка $D$ — точка пересечения диагоналей, лежащая между вершинами. Следовательно, мы можем выразить вектор $\vec{DP}$ через $\vec{MD}$: $\vec{DP} = \frac{9}{4}\vec{MD} = \frac{9}{4}\vec{p}$.

Аналогично, из отношения $KD : DF = 7 : 3$ следует, что векторы $\vec{KD}$ и $\vec{DF}$ коллинеарны и сонаправлены. Выразим вектор $\vec{DF}$ через $\vec{KD}$: $\vec{DF} = \frac{3}{7}\vec{KD} = \frac{3}{7}\vec{m}$.

Теперь выразим искомые векторы, используя правило сложения векторов (правило треугольника).

$\vec{MK}$
Вектор $\vec{MK}$ можно выразить как сумму векторов $\vec{MD}$ и $\vec{DK}$. $\vec{MK} = \vec{MD} + \vec{DK}$. Поскольку $\vec{DK} = -\vec{KD} = -\vec{m}$, получаем: $\vec{MK} = \vec{p} + (-\vec{m}) = \vec{p} - \vec{m}$.
Ответ: $\vec{MK} = \vec{p} - \vec{m}$

$\vec{KP}$
Вектор $\vec{KP}$ можно выразить как сумму векторов $\vec{KD}$ и $\vec{DP}$. $\vec{KP} = \vec{KD} + \vec{DP}$. Подставляя известные выражения, получаем: $\vec{KP} = \vec{m} + \frac{9}{4}\vec{p}$.
Ответ: $\vec{KP} = \vec{m} + \frac{9}{4}\vec{p}$

$\vec{PF}$
Вектор $\vec{PF}$ можно выразить как сумму векторов $\vec{PD}$ и $\vec{DF}$. $\vec{PF} = \vec{PD} + \vec{DF}$. Поскольку $\vec{PD} = -\vec{DP} = -\frac{9}{4}\vec{p}$, получаем: $\vec{PF} = -\frac{9}{4}\vec{p} + \frac{3}{7}\vec{m} = \frac{3}{7}\vec{m} - \frac{9}{4}\vec{p}$.
Ответ: $\vec{PF} = \frac{3}{7}\vec{m} - \frac{9}{4}\vec{p}$

$\vec{FM}$
Вектор $\vec{FM}$ можно выразить как сумму векторов $\vec{FD}$ и $\vec{DM}$. $\vec{FM} = \vec{FD} + \vec{DM}$. Поскольку $\vec{FD} = -\vec{DF} = -\frac{3}{7}\vec{m}$ и $\vec{DM} = -\vec{MD} = -\vec{p}$, получаем: $\vec{FM} = -\frac{3}{7}\vec{m} - \vec{p}$.
Ответ: $\vec{FM} = -\frac{3}{7}\vec{m} - \vec{p}$

209. На сторонах $DF$ и $EF$ треугольника $DEF$ отмечены такие точки $P$ и $K$ соответственно, что $DP : PF = 1 : 4$, $EK : KF = 4 : 3$. Выразите векторы $\vec{EF}$, $\vec{FD}$, $\vec{DE}$, $\vec{KD}$ и $\vec{PE}$ через векторы $\vec{DP} = \vec{m}$ и $\vec{FK} = \vec{n}$.

209. На сторонах $DF$ и $EF$ треугольника $DEF$ отмечены такие точки $P$ и $K$ соответственно, что $DP : PF = 1 : 4$, $EK : KF = 4 : 3$. Выразите векторы $\overrightarrow{EF}$, $\overrightarrow{FD}$, $\overrightarrow{DE}$, $\overrightarrow{KD}$ и $\overrightarrow{PE}$ через векторы $\overrightarrow{DP} = \overrightarrow{m}$ и $\overrightarrow{FK} = \overrightarrow{n}$.

Для решения задачи воспользуемся данными из условия и правилами действий с векторами.

Дано: $\vec{DP} = \vec{m}$, $\vec{FK} = \vec{n}$, $DP : PF = 1 : 4$, $EK : KF = 4 : 3$.

$\vec{EF}$

Точка $K$ лежит на стороне $EF$, причём $EK : KF = 4 : 3$. Это означает, что векторы $\vec{EK}$ и $\vec{KF}$ сонаправлены (оба направлены от $E$ к $F$). Вектор $\vec{KF}$ противоположен заданному вектору $\vec{FK} = \vec{n}$, следовательно, $\vec{KF} = -\vec{n}$.

Из отношения длин отрезков $|\vec{EK}| = \frac{4}{3}|\vec{KF}|$. Так как векторы $\vec{EK}$ и $\vec{KF}$ сонаправлены, то $\vec{EK} = \frac{4}{3}\vec{KF} = \frac{4}{3}(-\vec{n}) = -\frac{4}{3}\vec{n}$.

Вектор $\vec{EF}$ можно найти как сумму его частей: $\vec{EF} = \vec{EK} + \vec{KF}$.

$\vec{EF} = -\frac{4}{3}\vec{n} + (-\vec{n}) = -\frac{4}{3}\vec{n} - \frac{3}{3}\vec{n} = -\frac{7}{3}\vec{n}$.

Ответ: $\vec{EF} = -\frac{7}{3}\vec{n}$.

$\vec{FD}$

Точка $P$ лежит на стороне $DF$, причём $DP : PF = 1 : 4$. Это означает, что векторы $\vec{DP}$ и $\vec{PF}$ сонаправлены. По условию $\vec{DP} = \vec{m}$.

Из отношения длин отрезков $|\vec{PF}| = 4|\vec{DP}|$. Так как векторы сонаправлены, $\vec{PF} = 4\vec{DP} = 4\vec{m}$.

Вектор $\vec{DF}$ равен сумме его частей: $\vec{DF} = \vec{DP} + \vec{PF} = \vec{m} + 4\vec{m} = 5\vec{m}$.

Вектор $\vec{FD}$ является противоположным вектору $\vec{DF}$, поэтому $\vec{FD} = -\vec{DF} = -5\vec{m}$.

Ответ: $\vec{FD} = -5\vec{m}$.

$\vec{DE}$

По правилу треугольника для сложения векторов: $\vec{DE} = \vec{DF} + \vec{FE}$.

Из предыдущих пунктов мы нашли, что $\vec{DF} = 5\vec{m}$ и $\vec{EF} = -\frac{7}{3}\vec{n}$.

Вектор $\vec{FE}$ противоположен вектору $\vec{EF}$, следовательно, $\vec{FE} = -\vec{EF} = -(-\frac{7}{3}\vec{n}) = \frac{7}{3}\vec{n}$.

Подставляем найденные выражения: $\vec{DE} = 5\vec{m} + \frac{7}{3}\vec{n}$.

Ответ: $\vec{DE} = 5\vec{m} + \frac{7}{3}\vec{n}$.

$\vec{KD}$

Для нахождения вектора $\vec{KD}$ воспользуемся правилом ломаной: $\vec{KD} = \vec{KF} + \vec{FD}$.

Мы уже определили, что $\vec{KF} = -\vec{n}$ и $\vec{FD} = -5\vec{m}$.

Следовательно, $\vec{KD} = -\vec{n} + (-5\vec{m}) = -5\vec{m} - \vec{n}$.

Ответ: $\vec{KD} = -5\vec{m} - \vec{n}$.

$\vec{PE}$

Аналогично, представим вектор $\vec{PE}$ как сумму векторов по ломаной PFE: $\vec{PE} = \vec{PF} + \vec{FE}$.

Из предыдущих расчетов мы знаем, что $\vec{PF} = 4\vec{m}$ и $\vec{FE} = \frac{7}{3}\vec{n}$.

Следовательно, $\vec{PE} = 4\vec{m} + \frac{7}{3}\vec{n}$.

Ответ: $\vec{PE} = 4\vec{m} + \frac{7}{3}\vec{n}$.