Страница 51 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

155. Составьте уравнение окружности, проходящей через точку $M$ (2; -3), центр которой принадлежит оси абсцисс, а радиус равен 5.

155. Составьте уравнение окружности, проходящей через точку M $(2; -3)$, центр которой принадлежит оси абсцисс, а радиус равен 5.

Общее уравнение окружности с центром в точке $(x_0; y_0)$ и радиусом $R$ имеет вид:

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$

По условию задачи, центр окружности принадлежит оси абсцисс, следовательно, его вторая координата $y_0 = 0$. Таким образом, центр окружности имеет координаты $(x_0; 0)$. Радиус по условию равен $R = 5$.

Подставим эти данные в общее уравнение окружности:

$(x - x_0)^2 + (y - 0)^2 = 5^2$

$(x - x_0)^2 + y^2 = 25$

Известно, что окружность проходит через точку $M(2; -3)$. Это означает, что координаты этой точки должны удовлетворять уравнению окружности. Подставим значения $x = 2$ и $y = -3$ в полученное уравнение, чтобы найти координату центра $x_0$:

$(2 - x_0)^2 + (-3)^2 = 25$

Раскроем скобки и решим уравнение:

$(2 - x_0)^2 + 9 = 25$

$(2 - x_0)^2 = 25 - 9$

$(2 - x_0)^2 = 16$

Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, получаем два возможных случая:

1) $2 - x_0 = 4$

$-x_0 = 4 - 2$

$-x_0 = 2$

$x_0 = -2$

2) $2 - x_0 = -4$

$-x_0 = -4 - 2$

$-x_0 = -6$

$x_0 = 6$

Таким образом, мы получили две возможные абсциссы для центра окружности, а значит, существуют две окружности, удовлетворяющие заданным условиям. Составим уравнение для каждой из них.

Первая окружность:

Центр находится в точке $(-2; 0)$, радиус $R=5$. Уравнение окружности:

$(x - (-2))^2 + y^2 = 25$

$(x + 2)^2 + y^2 = 25$

Вторая окружность:

Центр находится в точке $(6; 0)$, радиус $R=5$. Уравнение окружности:

$(x - 6)^2 + y^2 = 25$

Ответ: $(x + 2)^2 + y^2 = 25$ или $(x - 6)^2 + y^2 = 25$.

156. Докажите, что данное уравнение является уравнением окружности, и укажите координаты центра и радиус этой окружности:

1) $x^2 + y^2 + 6x - 2y - 10 = 0;$

2) $x^2 + y^2 - 12x - 36 = 0.$

156. Докажите, что данное уравнение является уравнением окружности, и укажите координаты центра и радиус этой окружности:

1) $x^2 + y^2 + 6x - 2y - 10 = 0;$

2) $x^2 + y^2 - 12x - 36 = 0.$

Каноническое уравнение окружности с центром в точке $(a; b)$ и радиусом $r$ имеет вид: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$. Чтобы доказать, что данное уравнение является уравнением окружности, необходимо привести его к этому каноническому виду с помощью метода выделения полного квадрата. Уравнение будет задавать окружность, если полученное значение $r^2$ будет положительным.

1) $x^2 + y^2 + 6x - 2y - 10 = 0$

Сначала сгруппируем слагаемые, содержащие $x$ и $y$:
$(x^2 + 6x) + (y^2 - 2y) - 10 = 0$

Теперь выделим полные квадраты для выражений в скобках, используя формулы сокращенного умножения: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Для группы с $x$: $x^2 + 6x = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3$. Чтобы получить полный квадрат, нужно добавить и вычесть $3^2=9$.
$x^2 + 6x = (x^2 + 6x + 9) - 9 = (x + 3)^2 - 9$

Для группы с $y$: $y^2 - 2y = y^2 - 2 \cdot y \cdot 1$. Чтобы получить полный квадрат, нужно добавить и вычесть $1^2=1$.
$y^2 - 2y = (y^2 - 2y + 1) - 1 = (y - 1)^2 - 1$

Подставим полученные выражения обратно в уравнение:
$((x + 3)^2 - 9) + ((y - 1)^2 - 1) - 10 = 0$
$(x + 3)^2 - 9 + (y - 1)^2 - 1 - 10 = 0$
$(x + 3)^2 + (y - 1)^2 - 20 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть уравнения:
$(x + 3)^2 + (y - 1)^2 = 20$

Мы привели уравнение к каноническому виду $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$. Так как правая часть $20 > 0$, это уравнение действительно является уравнением окружности. Сравнивая его с каноническим видом, находим координаты центра и радиус:
Центр окружности $(a; b)$ соответствует точке $(-3; 1)$.
Квадрат радиуса $r^2 = 20$, откуда радиус $r = \sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$.
Ответ: Координаты центра: $(-3; 1)$, радиус: $2\sqrt{5}$.

2) $x^2 + y^2 - 12x - 36 = 0$

Сгруппируем слагаемые, содержащие $x$ и $y$:
$(x^2 - 12x) + y^2 - 36 = 0$

Выделим полный квадрат для выражения с $x$. Выражение с $y$ уже является полным квадратом, так как его можно записать как $(y - 0)^2$.
Для группы с $x$: $x^2 - 12x = x^2 - 2 \cdot x \cdot 6$. Чтобы получить полный квадрат, нужно добавить и вычесть $6^2=36$.
$x^2 - 12x = (x^2 - 12x + 36) - 36 = (x - 6)^2 - 36$

Подставим полученное выражение обратно в уравнение:
$((x - 6)^2 - 36) + y^2 - 36 = 0$
$(x - 6)^2 + y^2 - 36 - 36 = 0$
$(x - 6)^2 + y^2 - 72 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть уравнения:
$(x - 6)^2 + (y - 0)^2 = 72$

Мы привели уравнение к каноническому виду $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$. Так как правая часть $72 > 0$, это уравнение является уравнением окружности.
Сравнивая его с каноническим видом, находим координаты центра и радиус:
Центр окружности $(a; b)$ соответствует точке $(6; 0)$.
Квадрат радиуса $r^2 = 72$, откуда радиус $r = \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$.
Ответ: Координаты центра: $(6; 0)$, радиус: $6\sqrt{2}$.

157. Найдите координаты центра и радиус окружности, заданной уравнением $x^2 - 8x + y^2 + 10y - 31 = 0$. Определите положение точек $O (0; 0)$, $A (-1; 2)$ и $B (10; 1)$ относительно этой окружности.

157. Найдите координаты центра и радиус окружности, заданной уравнением $x^2 - 8x + y^2 + 10y - 31 = 0$. Определите положение точек $O (0; 0)$, $A (-1; 2)$ и $B (10; 1)$ относительно этой окружности.

Для нахождения координат центра и радиуса окружности преобразуем данное уравнение к каноническому виду $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$, где $(a; b)$ — это координаты центра, а $R$ — радиус. Для этого используем метод выделения полного квадрата.

Исходное уравнение: $x^2 - 8x + y^2 + 10y - 31 = 0$.
Сгруппируем переменные и перенесем свободный член в правую часть:
$(x^2 - 8x) + (y^2 + 10y) = 31$
Дополним каждое выражение в скобках до полного квадрата. Для этого к выражению $x^2 - 8x$ нужно добавить $(\frac{8}{2})^2 = 16$, а к выражению $y^2 + 10y$ — $(\frac{10}{2})^2 = 25$. Чтобы уравнение осталось верным, эти же числа нужно добавить и в правую часть:
$(x^2 - 8x + 16) + (y^2 + 10y + 25) = 31 + 16 + 25$
Теперь свернем левую часть в полные квадраты:
$(x - 4)^2 + (y + 5)^2 = 72$
Сравнивая полученное уравнение с каноническим видом, находим, что центр окружности находится в точке с координатами $(4; -5)$, а квадрат радиуса $R^2 = 72$.
Следовательно, радиус $R = \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$.

Теперь определим положение точек $O(0; 0)$, $A(-1; 2)$ и $B(10; 1)$ относительно окружности. Для этого нужно подставить координаты каждой точки в левую часть канонического уравнения $(x - 4)^2 + (y + 5)^2$ и сравнить полученное значение с квадратом радиуса $R^2 = 72$.

Для точки O (0; 0):
Подставляем координаты в выражение: $(0 - 4)^2 + (0 + 5)^2 = (-4)^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41$.
Так как $41 < 72$ (то есть $41 < R^2$), точка O находится внутри окружности.

Для точки A (-1; 2):
Подставляем координаты в выражение: $(-1 - 4)^2 + (2 + 5)^2 = (-5)^2 + 7^2 = 25 + 49 = 74$.
Так как $74 > 72$ (то есть $74 > R^2$), точка A находится вне окружности.

Для точки B (10; 1):
Подставляем координаты в выражение: $(10 - 4)^2 + (1 + 5)^2 = 6^2 + 6^2 = 36 + 36 = 72$.
Так как $72 = 72$ (то есть $72 = R^2$), точка B находится на окружности.

Ответ: Координаты центра окружности — $(4; -5)$, радиус — $6\sqrt{2}$. Точка O(0; 0) лежит внутри окружности, точка A(-1; 2) лежит вне окружности, и точка B(10; 1) лежит на окружности.

158. Найдите координаты точек пересечения прямой $4x - 3y = -12$ с осями координат. Принадлежит ли этой прямой точка:

158. Найдите координаты точек пересечения прямой $4x - 3y = -12$ с осями координат. Принадлежит ли этой прямой точка:

1) $M (1; 5)$?

2) $N (3; 8)$?

Для нахождения координат точек пересечения прямой $4x - 3y = -12$ с осями координат необходимо поочередно подставить в уравнение прямой значения $y=0$ (для пересечения с осью Ox) и $x=0$ (для пересечения с осью Oy).

Пересечение с осью абсцисс (Ox):
Координата $y$ в любой точке на оси Ox равна 0. Подставим $y=0$ в уравнение прямой:
$4x - 3 \cdot 0 = -12$
$4x = -12$
$x = \frac{-12}{4}$
$x = -3$
Следовательно, координаты точки пересечения с осью Ox равны $(-3; 0)$.

Пересечение с осью ординат (Oy):
Координата $x$ в любой точке на оси Oy равна 0. Подставим $x=0$ в уравнение прямой:
$4 \cdot 0 - 3y = -12$
$-3y = -12$
$y = \frac{-12}{-3}$
$y = 4$
Следовательно, координаты точки пересечения с осью Oy равны $(0; 4)$.
Ответ: Координаты точек пересечения с осями: $(-3; 0)$ и $(0; 4)$.

Чтобы определить, принадлежит ли точка прямой, нужно подставить ее координаты в уравнение прямой. Если получится верное равенство, точка принадлежит прямой, в противном случае — нет.

1) M (1; 5)
Подставим координаты точки $M$ (где $x=1, y=5$) в уравнение $4x - 3y = -12$:
$4(1) - 3(5) = 4 - 15 = -11$
Сравниваем полученный результат с правой частью уравнения: $-11 \ne -12$.
Равенство не выполняется, значит, точка $M$ не принадлежит данной прямой.
Ответ: нет.

2) N (3; 8)
Подставим координаты точки $N$ (где $x=3, y=8$) в уравнение $4x - 3y = -12$:
$4(3) - 3(8) = 12 - 24 = -12$
Сравниваем полученный результат с правой частью уравнения: $-12 = -12$.
Равенство выполняется, значит, точка $N$ принадлежит данной прямой.
Ответ: да.

159. Составьте уравнение прямой, которая проходит через точку $E(-2; -3)$ и параллельна:

1) оси абсцисс;

2) оси ординат.

159. Составьте уравнение прямой, которая проходит через точку $E(-2; -3)$ и параллельна: 1) оси абсцисс; 2) оси ординат.

Для составления уравнений прямой воспользуемся общим видом уравнений прямых, параллельных осям координат, и координатами данной точки $E(-2; -3)$.

1) Прямая, параллельная оси абсцисс (оси $Ox$), является горизонтальной прямой. Уравнение любой горизонтальной прямой имеет вид $y = c$, где $c$ – некоторая константа. Это означает, что все точки на этой прямой имеют одинаковую ординату.Поскольку искомая прямая проходит через точку $E(-2; -3)$, ее ордината должна быть равна ординате точки $E$. Ордината точки $E$ равна $-3$.Следовательно, константа $c$ равна $-3$, и уравнение прямой имеет вид $y = -3$.
Ответ: $y = -3$

2) Прямая, параллельная оси ординат (оси $Oy$), является вертикальной прямой. Уравнение любой вертикальной прямой имеет вид $x = c$, где $c$ – некоторая константа. Это означает, что все точки на этой прямой имеют одинаковую абсциссу.Поскольку искомая прямая проходит через точку $E(-2; -3)$, ее абсцисса должна быть равна абсциссе точки $E$. Абсцисса точки $E$ равна $-2$.Следовательно, константа $c$ равна $-2$, и уравнение прямой имеет вид $x = -2$.
Ответ: $x = -2$

160. Составьте уравнение прямой, проходящей через точки $A (-2; 1)$ и $B (4; 7).$

160. Составьте уравнение прямой, проходящей через точки $A (-2; 1)$ и $B (4; 7)$.

Для составления уравнения прямой, проходящей через две точки $A(x_1; y_1)$ и $B(x_2; y_2)$, используется каноническое уравнение прямой:

$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

В данной задаче координаты точек: $A(-2; 1)$ и $B(4; 7)$.

Подставим эти значения в формулу, приняв $x_1 = -2$, $y_1 = 1$, $x_2 = 4$ и $y_2 = 7$:

$\frac{x - (-2)}{4 - (-2)} = \frac{y - 1}{7 - 1}$

Выполним вычисления в знаменателях:

$\frac{x + 2}{6} = \frac{y - 1}{6}$

Теперь можно умножить обе части уравнения на 6, чтобы избавиться от знаменателей:

$x + 2 = y - 1$

Для получения уравнения в стандартном виде $y = kx + b$ (уравнение с угловым коэффициентом), выразим y:

$y = x + 2 + 1$

$y = x + 3$

Это и есть искомое уравнение прямой.

Проверка:

Чтобы убедиться в правильности решения, подставим координаты исходных точек в полученное уравнение.

Для точки $A(-2; 1)$:

$1 = (-2) + 3$

$1 = 1$ (Верно)

Для точки $B(4; 7)$:

$7 = 4 + 3$

$7 = 7$ (Верно)

Так как координаты обеих точек удовлетворяют уравнению, решение найдено правильно.

Ответ: $y = x + 3$ (или в общем виде $x - y + 3 = 0$).

161. Запишите уравнение прямой, изображённой на рисунке 34.

Рис. 34

а

$y = -2$

б

$x = -2$

в

$y = 3x$

161. Запишите уравнение прямой, изображённой на рисунке 34.

Рис. 34

а

$y = -2$

б

$x = -2$

в

$y = 3x$

a

Прямая, изображенная на рисунке, параллельна оси абсцисс (оси Ox). Это означает, что для всех точек, лежащих на этой прямой, координата $y$ постоянна. На графике указана точка с координатами (6; -2), принадлежащая этой прямой. Следовательно, координата $y$ для любой точки на этой прямой равна -2.

Уравнение такой прямой имеет вид $y = c$, где $c$ — константа. В данном случае $c = -2$.

Ответ: $y = -2$

б

Прямая, изображенная на рисунке, параллельна оси ординат (оси Oy). Это означает, что для всех точек, лежащих на этой прямой, координата $x$ постоянна. На графике указана точка с координатами (-2; 2), принадлежащая этой прямой. Следовательно, координата $x$ для любой точки на этой прямой равна -2.

Уравнение такой прямой имеет вид $x = c$, где $c$ — константа. В данном случае $c = -2$.

Ответ: $x = -2$

в

Прямая, изображенная на рисунке, проходит через начало координат (точку (0; 0)). Уравнение такой прямой имеет общий вид $y = kx$, где $k$ — угловой коэффициент.

Чтобы найти значение коэффициента $k$, воспользуемся координатами другой точки, принадлежащей этой прямой, — (1; 3). Подставим значения $x = 1$ и $y = 3$ в уравнение прямой:

$3 = k \cdot 1$

Из этого уравнения находим, что $k = 3$.

Подставив найденное значение $k$ в общее уравнение, получаем искомое уравнение прямой.

Ответ: $y = 3x$

162. Найдите координаты точки пересечения прямых $2x - 5y = 7$ и $-x + 3y = 12$.

162. Найдите координаты точки пересечения прямых $2x - 5y = 7$ и $-x + 3y = 12.$

Чтобы найти координаты точки пересечения прямых, необходимо решить систему линейных уравнений, которыми заданы эти прямые. Координаты $(x; y)$ точки пересечения будут являться решением этой системы.

Составим систему уравнений:
$ \begin{cases} 2x - 5y = 7 \\ -x + 3y = 12 \end{cases} $

Решим эту систему методом алгебраического сложения. Для этого умножим второе уравнение системы на 2, чтобы коэффициенты при переменной $x$ стали противоположными числами.
$(-x + 3y) \cdot 2 = 12 \cdot 2$
$-2x + 6y = 24$

Теперь наша система уравнений выглядит так:
$ \begin{cases} 2x - 5y = 7 \\ -2x + 6y = 24 \end{cases} $

Теперь сложим почленно левые и правые части уравнений:
$(2x - 5y) + (-2x + 6y) = 7 + 24$
Приведем подобные слагаемые:
$(2x - 2x) + (-5y + 6y) = 31$
$y = 31$

Мы нашли значение координаты $y$. Теперь подставим это значение в любое из исходных уравнений, чтобы найти $x$. Удобнее подставить во второе уравнение: $-x + 3y = 12$.
$-x + 3 \cdot 31 = 12$
$-x + 93 = 12$
$-x = 12 - 93$
$-x = -81$
$x = 81$

Таким образом, мы нашли координаты точки пересечения: $(81; 31)$.

Для уверенности выполним проверку, подставив найденные значения $x=81$ и $y=31$ в первое исходное уравнение $2x - 5y = 7$:
$2 \cdot 81 - 5 \cdot 31 = 7$
$162 - 155 = 7$
$7 = 7$
Равенство верное, следовательно, координаты найдены правильно.

Ответ: (81; 31).