Страница 46 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

99. Найдите площадь кольца, расположенного между двумя окружностями, имеющими общий центр, радиусы которых равны 5 см и 8 см.

99. Найдите площадь кольца, расположенного между двумя окружностями, имеющими общий центр, радиусы которых равны 5 см и 8 см.

Кольцо представляет собой фигуру, расположенную между двумя окружностями с общим центром. Площадь такого кольца можно найти, вычислив разность площадей большего и меньшего кругов, которые ограничены этими окружностями.

Дано:

Радиус большей окружности, $R = 8$ см.

Радиус меньшей окружности, $r = 5$ см.

Найти:

Площадь кольца, $S_{кольца}$.

Решение:

Формула для вычисления площади круга имеет вид $S = \pi \cdot (\text{радиус})^2$.

Площадь кольца ($S_{кольца}$) равна разности площади большего круга ($S_R$) и площади меньшего круга ($S_r$).

Запишем формулу для площади кольца:

$S_{кольца} = S_R - S_r = \pi R^2 - \pi r^2$

Для удобства вычислений можно вынести общий множитель $\pi$ за скобки:

$S_{кольца} = \pi (R^2 - r^2)$

Теперь подставим в формулу числовые значения радиусов, данные в условии задачи:

$S_{кольца} = \pi (8^2 - 5^2)$

Выполним вычисления в скобках, сначала возведя числа в квадрат:

$S_{кольца} = \pi (64 - 25)$

Теперь найдем разность:

$S_{кольца} = \pi \cdot 39$

Таким образом, площадь кольца равна $39\pi$ квадратных сантиметров.

Ответ: $39\pi$ см².

100. Найдите длину окружности и площадь круга, описанных около квадрата со стороной 8 см.

100. Найдите длину окружности и площадь круга, описанных около квадрата со стороной 8 см.

Для того чтобы найти длину окружности и площадь круга, описанных около квадрата, необходимо сначала определить их радиус. Диаметр окружности, описанной около квадрата, равен диагонали этого квадрата.

Пусть сторона квадрата $a = 8$ см. Диагональ квадрата $d$ можно найти по теореме Пифагора или по формуле $d = a\sqrt{2}$.

$d = 8\sqrt{2}$ см.

Радиус описанной окружности $R$ равен половине диагонали:

$R = \frac{d}{2} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ см.

Теперь мы можем вычислить длину окружности и площадь круга.

Длина окружности

Длина окружности $C$ вычисляется по формуле $C = 2\pi R$. Подставим значение радиуса:

$C = 2 \pi \cdot 4\sqrt{2} = 8\pi\sqrt{2}$ см.

Ответ: $8\pi\sqrt{2}$ см.

Площадь круга

Площадь круга $S$ вычисляется по формуле $S = \pi R^2$. Подставим значение радиуса:

$S = \pi (4\sqrt{2})^2 = \pi \cdot (16 \cdot 2) = 32\pi$ см².

Ответ: $32\pi$ см².

101. Найдите отношение площадей вписанного в правильный треугольник и описанного около него кругов.

101. Найдите отношение площадей вписанного в правильный треугольник и описанного около него кругов.

Для решения задачи найдем соотношение между радиусами вписанной и описанной окружностей для правильного треугольника. Пусть $r$ — радиус вписанного круга, а $R$ — радиус описанного круга. Площади этих кругов ($S_{впис}$ и $S_{опис}$ соответственно) вычисляются по формулам:

$S_{впис} = \pi r^2$

$S_{опис} = \pi R^2$

В правильном (равностороннем) треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают. Эта точка является центром треугольника и точкой пересечения его медиан, высот и биссектрис.

Согласно свойству медиан треугольника, они пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины. В правильном треугольнике высота, опущенная из вершины, совпадает с медианой. Расстояние от вершины до центра треугольника является радиусом описанной окружности $R$, а расстояние от центра до противоположной стороны (которое равно длине перпендикуляра) является радиусом вписанной окружности $r$.

Таким образом, радиусы соотносятся как 2 к 1:

$R = 2r$

Теперь мы можем найти отношение площадей вписанного и описанного кругов, подставив это соотношение в формулы для площадей:

$\frac{S_{впис}}{S_{опис}} = \frac{\pi r^2}{\pi R^2} = \frac{\pi r^2}{\pi (2r)^2} = \frac{\pi r^2}{4\pi r^2} = \frac{1}{4}$

Следовательно, искомое отношение площадей равно 1:4.
Ответ: 1:4

102. Найдите площадь круга, описанного около равнобедренного треугольника с основанием 6 см и углом $45^\circ$ при вершине.

102. Найдите площадь круга, описанного около равнобедренного треугольника с основанием 6 см и углом $45^\circ$ при вершине.

Для того чтобы найти площадь круга, описанного около треугольника, необходимо сначала определить радиус этого круга ($R$). Площадь круга вычисляется по формуле $S = \pi R^2$.

Радиус окружности, описанной около любого треугольника, можно найти с помощью следствия из теоремы синусов, которое гласит, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего ей угла равно диаметру описанной окружности ($2R$):

$\frac{a}{\sin \alpha} = 2R$

В условии задачи нам дан равнобедренный треугольник, у которого основание $a = 6$ см, а угол при вершине, противолежащий этому основанию, равен $\alpha = 45^\circ$.

Подставим известные значения в формулу:

$\frac{6}{\sin 45^\circ} = 2R$

Известно, что $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Подставим это значение в наше уравнение:

$2R = \frac{6}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

Выполним деление:

$2R = \frac{6 \cdot 2}{\sqrt{2}} = \frac{12}{\sqrt{2}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{2}$:

$2R = \frac{12 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$ см.

Теперь найдем радиус $R$, разделив диаметр на 2:

$R = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$ см.

Зная радиус, мы можем вычислить площадь описанного круга:

$S = \pi R^2 = \pi (3\sqrt{2})^2 = \pi (3^2 \cdot (\sqrt{2})^2) = \pi (9 \cdot 2) = 18\pi$ см$^2$.

Ответ: $18\pi$ см$^2$.

103. Найдите площадь круга, вписанного в равнобедренный треугольник, основание которого равно 12 см, а боковая сторона — 10 см.

103. Найдите площадь круга, вписанного в равнобедренный треугольник, основание которого равно 12 см, а боковая сторона — 10 см.

Для того чтобы найти площадь круга, вписанного в треугольник, необходимо определить его радиус. Площадь круга вычисляется по формуле $S_{круга} = \pi r^2$, где $r$ – радиус вписанного круга.

Радиус окружности, вписанной в произвольный треугольник, можно найти по формуле $r = \frac{S_{тр}}{p}$, где $S_{тр}$ – площадь треугольника, а $p$ – его полупериметр.

Рассмотрим равнобедренный треугольник с основанием $a = 12$ см и боковыми сторонами $b = 10$ см.

1. Найдем полупериметр треугольника (p).
Полупериметр – это половина суммы длин всех сторон треугольника.
$p = \frac{a + b + b}{2} = \frac{12 + 10 + 10}{2} = \frac{32}{2} = 16$ см.

2. Найдем площадь треугольника ($S_{тр}$).
Для этого проведем высоту $h$ к основанию. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой, поэтому она делит основание на два равных отрезка по $\frac{12}{2} = 6$ см.
Получился прямоугольный треугольник с гипотенузой (боковая сторона) $10$ см и одним из катетов (половина основания) $6$ см. Второй катет – это высота $h$.
По теореме Пифагора найдем высоту $h$:
$h^2 + 6^2 = 10^2$
$h^2 + 36 = 100$
$h^2 = 100 - 36 = 64$
$h = \sqrt{64} = 8$ см.
Теперь вычислим площадь треугольника:
$S_{тр} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48$ см$^2$.

3. Найдем радиус вписанного круга (r).
Используем формулу, связывающую площадь, полупериметр и радиус вписанной окружности:
$r = \frac{S_{тр}}{p} = \frac{48}{16} = 3$ см.

4. Найдем площадь вписанного круга ($S_{круга}$).
Теперь, зная радиус, мы можем вычислить площадь круга:
$S_{круга} = \pi r^2 = \pi \cdot 3^2 = 9\pi$ см$^2$.

Ответ: $9\pi$ см$^2$.

104. Стороны треугольника равны 10 см, 17 см и 21 см. Найдите площади описанного около него и вписанного в него кругов.

104. Стороны треугольника равны 10 см, 17 см и 21 см. Найдите площади описанного около него и вписанного в него кругов.

Для нахождения площадей описанного и вписанного кругов необходимо сначала вычислить их радиусы. Радиусы, в свою очередь, можно найти, зная площадь и стороны треугольника.

Обозначим стороны треугольника как $a = 10$ см, $b = 17$ см и $c = 21$ см.

1. Вычисление площади треугольника.

Для нахождения площади треугольника ($S_{\triangle}$) по трем известным сторонам воспользуемся формулой Герона: $S_{\triangle} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр треугольника.

Найдем полупериметр:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{10+17+21}{2} = \frac{48}{2} = 24$ см.

Теперь вычислим площадь треугольника:

$S_{\triangle} = \sqrt{24(24-10)(24-17)(24-21)} = \sqrt{24 \cdot 14 \cdot 7 \cdot 3} = \sqrt{7056} = 84$ см².

Теперь, имея значение площади треугольника, мы можем найти площади искомых кругов.

Площадь описанного круга

Радиус описанного круга ($R$) вычисляется по формуле: $R = \frac{abc}{4S_{\triangle}}$.

Подставим известные значения:

$R = \frac{10 \cdot 17 \cdot 21}{4 \cdot 84} = \frac{3570}{336} = \frac{85}{8}$ см.

Площадь описанного круга ($S_{опис.}$) вычисляется по формуле $S_{опис.} = \pi R^2$.

$S_{опис.} = \pi \cdot (\frac{85}{8})^2 = \pi \cdot \frac{7225}{64} = \frac{7225}{64}\pi$ см².

Ответ: $\frac{7225}{64}\pi$ см².

Площадь вписанного круга

Радиус вписанного круга ($r$) вычисляется по формуле: $r = \frac{S_{\triangle}}{p}$.

Подставим известные значения:

$r = \frac{84}{24} = \frac{7}{2} = 3.5$ см.

Площадь вписанного круга ($S_{впис.}$) вычисляется по формуле $S_{впис.} = \pi r^2$.

$S_{впис.} = \pi \cdot (3.5)^2 = 12.25\pi$ см².

Ответ: $12.25\pi$ см².

105. Угол ромба равен $30^\circ$, а площадь круга, вписанного в ромб, — $6\pi$ см². Найдите площадь ромба.

105. Угол ромба равен $30^{\circ}$, а площадь круга, вписанного в ромб, — $6\pi \text{ см}^2$. Найдите площадь ромба.

Для решения задачи необходимо найти параметры ромба, используя данные о вписанном в него круге.

1. Найдём радиус вписанного круга. Площадь круга ($S_{круга}$) вычисляется по формуле $S_{круга} = \pi r^2$, где $r$ – это радиус. По условию, $S_{круга} = 6\pi \text{ см}^2$.

$\pi r^2 = 6\pi$

Разделив обе части уравнения на $\pi$, получаем:

$r^2 = 6$

$r = \sqrt{6} \text{ см}$

2. Найдём высоту ромба. Высота ромба ($h$) равна диаметру вписанной окружности, то есть $h = 2r$.

$h = 2 \cdot \sqrt{6} = 2\sqrt{6} \text{ см}$

3. Найдём сторону ромба. Высота ромба связана с его стороной ($a$) и острым углом ($\alpha$) через формулу $h = a \cdot \sin(\alpha)$. Нам дано, что $\alpha = 30^\circ$.

$2\sqrt{6} = a \cdot \sin(30^\circ)$

Поскольку значение $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, мы можем найти сторону $a$:

$2\sqrt{6} = a \cdot \frac{1}{2}$

$a = 2 \cdot 2\sqrt{6} = 4\sqrt{6} \text{ см}$

4. Вычислим площадь ромба. Площадь ромба ($S_{ромба}$) можно найти по формуле $S_{ромба} = a \cdot h$.

$S_{ромба} = (4\sqrt{6}) \cdot (2\sqrt{6}) = 8 \cdot (\sqrt{6})^2 = 8 \cdot 6 = 48 \text{ см}^2$

Альтернативно, можно использовать формулу $S_{ромба} = a^2 \sin(\alpha)$:

$S_{ромба} = (4\sqrt{6})^2 \cdot \sin(30^\circ) = (16 \cdot 6) \cdot \frac{1}{2} = 96 \cdot \frac{1}{2} = 48 \text{ см}^2$

Ответ: 48 см².

106. Постройте окружность, длина которой равна разности длин двух данных окружностей.

106. Постройте окружность, длина которой равна разности длин двух данных окружностей.

Пусть даны две окружности с радиусами $R_1$ и $R_2$ и длинами (длинами окружностей) $L_1$ и $L_2$ соответственно. Без ограничения общности, предположим, что $R_1 \ge R_2$.

Длина окружности вычисляется по формуле $L = 2 \pi R$. Следовательно, $L_1 = 2 \pi R_1$ и $L_2 = 2 \pi R_2$.

Требуется построить новую окружность с радиусом $R_3$ и длиной $L_3$, для которой выполняется условие, что её длина равна разности длин двух данных окружностей:$L_3 = L_1 - L_2$Подставим формулы для длин окружностей в это равенство:$2 \pi R_3 = 2 \pi R_1 - 2 \pi R_2$Вынесем общий множитель $2 \pi$ за скобки в правой части уравнения:$2 \pi R_3 = 2 \pi (R_1 - R_2)$Разделив обе части уравнения на $2 \pi$, получим выражение для радиуса искомой окружности:$R_3 = R_1 - R_2$

Таким образом, задача сводится к построению окружности, радиус которой равен разности радиусов двух данных окружностей. Построение выполняется с помощью циркуля и линейки без делений.

Построение
1. Начертим произвольный луч с началом в точке $A$.
2. С помощью циркуля измерим радиус большей окружности, $R_1$. Для этого установим иглу циркуля в центр первой окружности, а грифель — на любую точку этой окружности.
3. Не меняя раствора циркуля, установим его иглу в точку $A$ и отложим на луче отрезок $AB$, равный $R_1$.
4. Аналогично измерим циркулем радиус меньшей окружности, $R_2$.
5. Установим иглу циркуля в точку $B$ и отложим на отрезке $AB$ отрезок $BC$, равный $R_2$, так, чтобы точка $C$ лежала между точками $A$ и $B$.
6. Длина отрезка $AC$ будет равна разности длин отрезков $AB$ и $BC$, то есть $AC = AB - BC = R_1 - R_2$. Этот отрезок $AC$ и является радиусом $R_3$ искомой окружности.
7. Выберем на плоскости произвольную точку $O_3$ — центр будущей окружности.
8. Измерим циркулем длину отрезка $AC$.
9. Установим иглу циркуля в точку $O_3$ и, не меняя раствора, построим окружность.

Построенная окружность имеет радиус $R_3 = R_1 - R_2$, и её длина $L_3 = 2 \pi R_3 = 2 \pi (R_1 - R_2) = 2 \pi R_1 - 2 \pi R_2 = L_1 - L_2$, что и требовалось в задаче.

Ответ: Для построения искомой окружности необходимо сначала построить отрезок, длина которого равна разности радиусов двух данных окружностей. Этот отрезок будет радиусом искомой окружности. Затем следует выбрать произвольную точку в качестве центра и построить окружность с найденным радиусом.

107. В полукруг, диаметр которого равен 12 см, вписан прямоугольный треугольник, гипотенуза которого совпадает с диаметром полукруга, а один из катетов равен 6 см. Найдите площадь части полукруга, расположенной вне треугольника.

107. В полукруг, диаметр которого равен 12 см, вписан прямоугольный треугольник, гипотенуза которого совпадает с диаметром полукруга, а один из катетов равен 6 см. Найдите площадь части полукруга, расположенной вне треугольника.

Для того чтобы найти площадь части полукруга, расположенной вне треугольника, необходимо из площади полукруга вычесть площадь вписанного в него прямоугольного треугольника.

1. Найдем площадь полукруга

Диаметр полукруга по условию равен $d = 12$ см. Радиус $r$ равен половине диаметра:
$r = \frac{d}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Площадь полукруга ($S_{полукруга}$) составляет половину площади круга с тем же радиусом, которая вычисляется по формуле $\pi r^2$:
$S_{полукруга} = \frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \pi (6)^2 = \frac{1}{2} \pi \cdot 36 = 18\pi$ см².

2. Найдем площадь прямоугольного треугольника

Гипотенуза треугольника $c$ совпадает с диаметром полукруга, следовательно, $c = 12$ см. Один из катетов $a$ равен 6 см. Второй катет $b$ можно найти по теореме Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$.
$6^2 + b^2 = 12^2$
$36 + b^2 = 144$
$b^2 = 144 - 36$
$b^2 = 108$
$b = \sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}$ см.

Площадь прямоугольного треугольника ($S_{треуг.}$) равна половине произведения его катетов:
$S_{треуг.} = \frac{1}{2} a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6\sqrt{3} = 18\sqrt{3}$ см².

3. Найдем площадь искомой части полукруга

Искомая площадь $S$ равна разности площади полукруга и площади треугольника:
$S = S_{полукруга} - S_{треуг.} = 18\pi - 18\sqrt{3}$ см².

Для удобства можно вынести общий множитель за скобку:
$S = 18(\pi - \sqrt{3})$ см².

Ответ: $18(\pi - \sqrt{3})$ см².

108. Два круга имеют общую хорду. Найдите отношение площадей этих кругов, если из центра первого круга эта хорда видна под углом $90^{\circ}$, а из центра второго — под углом $120^{\circ}$.

108. Два круга имеют общую хорду. Найдите отношение площадей этих кругов, если из центра первого круга эта хорда видна под углом $90^{\circ}$, а из центра второго — под углом $120^{\circ}$.

Пусть $S_1$ и $S_2$ — площади первого и второго кругов соответственно, а $R_1$ и $R_2$ — их радиусы. Площадь круга вычисляется по формуле $S = \pi R^2$. Следовательно, отношение площадей кругов равно отношению квадратов их радиусов:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\pi R_1^2}{\pi R_2^2} = \frac{R_1^2}{R_2^2}$

Чтобы найти это отношение, нам нужно связать радиусы $R_1$ и $R_2$ через длину общей хорды, которую обозначим как $L$.

Рассмотрим первый круг. Хорда $L$ видна из центра под углом $\alpha_1 = 90^\circ$. Хорда и два радиуса, проведенные к ее концам, образуют равнобедренный треугольник с боковыми сторонами $R_1$ и углом между ними $90^\circ$. По теореме косинусов для этого треугольника:

$L^2 = R_1^2 + R_1^2 - 2 \cdot R_1 \cdot R_1 \cdot \cos(90^\circ)$

Поскольку $\cos(90^\circ) = 0$, получаем:

$L^2 = 2R_1^2$

Теперь рассмотрим второй круг. Та же хорда $L$ видна из центра второго круга под углом $\alpha_2 = 120^\circ$. Аналогично, хорда и два радиуса $R_2$ образуют равнобедренный треугольник. Снова применяем теорему косинусов:

$L^2 = R_2^2 + R_2^2 - 2 \cdot R_2 \cdot R_2 \cdot \cos(120^\circ)$

Поскольку $\cos(120^\circ) = -0.5$, получаем:

$L^2 = 2R_2^2 - 2R_2^2 \cdot (-0.5) = 2R_2^2 + R_2^2 = 3R_2^2$

Так как хорда общая, мы можем приравнять выражения для $L^2$:

$2R_1^2 = 3R_2^2$

Отсюда находим отношение квадратов радиусов, которое и является искомым отношением площадей:

$\frac{R_1^2}{R_2^2} = \frac{3}{2}$

Следовательно, $\frac{S_1}{S_2} = \frac{3}{2} = 1.5$.

Ответ: Отношение площадей кругов равно 3:2 (или 1.5).

109. Стороны треугольника равны 13 см, 14 см и 15 см. В треугольник вписан полукруг, центр которого лежит на большей стороне треугольника. Найдите площадь полукруга.

109. Стороны треугольника равны 13 см, 14 см и 15 см. В треугольник вписан полукруг, центр которого лежит на большей стороне треугольника. Найдите площадь полукруга.

Пусть стороны треугольника равны $13$ см, $14$ см и $15$ см. По условию, центр вписанного полукруга лежит на большей стороне, то есть на стороне длиной $15$ см. Полукруг касается двух других сторон (длиной $13$ см и $14$ см).

Пусть $r$ — радиус полукруга. Поскольку полукруг касается двух боковых сторон, расстояние от его центра $O$, лежащего на большей стороне, до этих сторон равно радиусу $r$.

Площадь всего треугольника можно представить как сумму площадей двух треугольников, на которые его делит отрезок, соединяющий вершину, противолежащую большей стороне, с центром полукруга $O$. Основаниями этих двух треугольников будут боковые стороны ($13$ см и $14$ см), а высотой для каждого из них, проведенной из вершины $O$, будет радиус полукруга $r$.

Таким образом, площадь всего треугольника $S$ можно выразить через радиус $r$:

$S = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot r + \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot r = \frac{1}{2} r (13+14) = \frac{27}{2} r$.

Теперь найдем площадь этого же треугольника по формуле Герона, зная все три стороны. Сначала вычислим полупериметр $p$:

$p = \frac{13+14+15}{2} = \frac{42}{2} = 21$ см.

Теперь вычислим площадь треугольника, обозначив стороны как $a=13, b=14, c=15$:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{(3 \cdot 7) \cdot (2^3) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3)} = \sqrt{3^2 \cdot 7^2 \cdot 2^4} = 3 \cdot 7 \cdot 2^2 = 84$ см².

Приравняем два выражения для площади, чтобы найти радиус $r$:

$84 = \frac{27}{2} r$.

Отсюда находим радиус:

$r = \frac{84 \cdot 2}{27} = \frac{168}{27} = \frac{56}{9}$ см.

Наконец, найдем площадь полукруга $S_{полукруга}$ по формуле:

$S_{полукруга} = \frac{1}{2} \pi r^2$.

$S_{полукруга} = \frac{1}{2} \pi \left(\frac{56}{9}\right)^2 = \frac{1}{2} \pi \frac{56^2}{9^2} = \frac{1}{2} \pi \frac{3136}{81} = \frac{1568\pi}{81}$ см².

Ответ: $\frac{1568\pi}{81}$ см².

110. Груз поднимают с помощью блока (рис. 32). На сколько метров поднимется груз за 8 оборотов блока, если радиус блока равен 5 см? Ответ округлите до десятых.

Рис. 32

110. Груз поднимают с помощью блока (рис. 32). На сколько метров поднимется груз за 8 оборотов блока, если радиус блока равен 5 см? Ответ округлите до десятых.

Рис. 32

Для решения задачи необходимо определить, какое расстояние проходит трос за 8 оборотов блока. Это расстояние и будет высотой, на которую поднимется груз.

1. Найдем длину окружности блока.

Длина окружности ($C$) вычисляется по формуле $C = 2 \pi r$, где $r$ — это радиус. За один полный оборот блока трос перемещается на расстояние, равное длине его окружности.

Подставим известные значения: радиус $r = 5$ см.

$C = 2 \times \pi \times 5 \text{ см} = 10\pi \text{ см}$

2. Найдем общую высоту подъема.

Груз поднимается за 8 оборотов блока, значит, общая высота подъема ($H$) будет в 8 раз больше длины окружности блока.

$H = 8 \times C = 8 \times 10\pi \text{ см} = 80\pi \text{ см}$

3. Вычислим числовое значение и переведем в метры.

Используем приближенное значение $\pi \approx 3.14159$.

$H \approx 80 \times 3.14159 \text{ см} \approx 251.327 \text{ см}$

Поскольку ответ нужно дать в метрах, переведем сантиметры в метры (1 м = 100 см):

$H \approx \frac{251.327}{100} \text{ м} \approx 2.51327 \text{ м}$

4. Округлим результат до десятых.

Округляем число $2.51327$ до одного знака после запятой. Так как вторая цифра после запятой (1) меньше 5, то первую цифру (5) оставляем без изменений.

$H \approx 2.5 \text{ м}$

Ответ: 2.5 м