Страница 39 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

31. В треугольнике $ABC$ $AC = 9$ см, $BC = 7$ см. Может ли $\sin A$ быть равным $\frac{4}{5}$?

31. В треугольнике $ABC$ $AC = 9$ см, $BC = 7$ см. Может ли $\sin A$ быть равным $\frac{4}{5}$?

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой синусов. Теорема синусов для треугольника $ABC$ гласит, что отношение сторон треугольника к синусам противолежащих углов равны:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

В нашем случае, сторона $a = BC = 7$ см лежит напротив угла $A$, а сторона $b = AC = 9$ см лежит напротив угла $B$.

Применим теорему синусов к сторонам $BC$, $AC$ и противолежащим им углам $A$, $B$:

$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}$

Предположим, что $\sin A$ может быть равен $\frac{4}{5}$. Подставим известные значения в формулу:

$\frac{7}{\frac{4}{5}} = \frac{9}{\sin B}$

Теперь выразим из этого уравнения $\sin B$:

$\sin B = \frac{9 \cdot \frac{4}{5}}{7} = \frac{\frac{36}{5}}{7} = \frac{36}{35}$

Значение синуса любого угла треугольника (как и любого действительного угла) не может быть больше 1. Мы получили, что $\sin B = \frac{36}{35}$, что больше 1. Это невозможно.

Следовательно, наше предположение о том, что $\sin A$ может быть равен $\frac{4}{5}$, неверно, так как оно приводит к противоречию.

Ответ: нет, $\sin A$ не может быть равным $\frac{4}{5}$.

32. В треугольнике $ABC$ $BC = 5\sqrt{3}$ см, $\angle A = 120^\circ$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$.

32. В треугольнике $ABC$ $BC = 5\sqrt{3}$ см, $\angle A = 120^\circ$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$.

Для нахождения радиуса $R$ описанной окружности около треугольника $ABC$ воспользуемся обобщенной теоремой синусов. Согласно этой теореме, отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности:

$ \frac{a}{\sin A} = 2R $

В нашем случае известна сторона $BC = 5\sqrt{3}$ см и противолежащий ей угол $\angle A = 120^\circ$. Подставим эти значения в формулу:

$ 2R = \frac{BC}{\sin \angle A} = \frac{5\sqrt{3}}{\sin 120^\circ} $

Найдем значение $\sin 120^\circ$. Используя формулу приведения, имеем:

$ \sin 120^\circ = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $

Теперь подставим это значение в наше уравнение:

$ 2R = \frac{5\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} $

Упростим выражение в правой части:

$ 2R = 5\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 5 \cdot 2 = 10 $

Отсюда находим радиус $R$:

$ R = \frac{10}{2} = 5 $

Таким образом, радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, равен 5 см.

Ответ: 5 см.

33. Сторона треугольника равна 15 см, а радиус окружности, описанной около треугольника, — $5\sqrt{3}$ см. Чему равен угол треугольника, противолежащий данной стороне?

33. Сторона треугольника равна 15 см, а радиус окружности, описанной около треугольника, — $5\sqrt{3}$ см. Чему равен угол треугольника, противолежащий данной стороне?

Для нахождения угла треугольника, противолежащего известной стороне, воспользуемся обобщенной теоремой синусов. Она устанавливает связь между стороной треугольника, синусом противолежащего угла и радиусом описанной окружности.

Формула выглядит следующим образом:

$\frac{a}{\sin\alpha} = 2R$

где $a$ – длина стороны треугольника, $\alpha$ – величина угла, противолежащего этой стороне, а $R$ – радиус окружности, описанной около треугольника.

Из условия задачи нам известны следующие величины:

• Сторона треугольника $a = 15$ см.
• Радиус описанной окружности $R = 5\sqrt{3}$ см.

Выразим из формулы $\sin\alpha$:

$\sin\alpha = \frac{a}{2R}$

Теперь подставим в эту формулу числовые значения из условия:

$\sin\alpha = \frac{15}{2 \cdot 5\sqrt{3}} = \frac{15}{10\sqrt{3}}$

Сократим дробь на 5:

$\sin\alpha = \frac{3}{2\sqrt{3}}$

Для дальнейшего упрощения избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$\sin\alpha = \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{3\sqrt{3}}{6}$

Сократив дробь на 3, получаем:

$\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Угол в треугольнике может принимать значения от $0^\circ$ до $180^\circ$. В этом диапазоне уравнение $\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ имеет два решения:

1. $\alpha_1 = 60^\circ$ (для остроугольного треугольника)

2. $\alpha_2 = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ (для тупоугольного треугольника)

Поскольку в условии задачи нет дополнительной информации о типе треугольника, оба варианта являются верными.

Ответ: 60° или 120°.

34. Две стороны треугольника равны $2\sqrt{3}$ см и 8 см. Найдите третью сторону треугольника, если она равна радиусу окружности, описанной около данного треугольника.

34. Две стороны треугольника равны $2\sqrt{3}$ см и 8 см. Найдите третью сторону треугольника, если она равна радиусу окружности, описанной около данного треугольника.

Пусть стороны треугольника равны $a$, $b$ и $c$, а радиус описанной окружности равен $R$.

По условию задачи нам даны две стороны и связь третьей стороны с радиусом описанной окружности:
$a = 2\sqrt{3}$ см
$b = 8$ см
$c = R$

Воспользуемся расширенной теоремой синусов, которая связывает стороны треугольника, противолежащие им углы и радиус описанной окружности:
$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

Из этой теоремы следует, что $\frac{c}{\sin C} = 2R$. Подставим в это соотношение условие $c = R$:
$\frac{R}{\sin C} = 2R$

Так как радиус $R$ не может быть равен нулю, мы можем разделить обе части уравнения на $R$:
$\frac{1}{\sin C} = 2$
Отсюда находим синус угла $C$, противолежащего стороне $c$:
$\sin C = \frac{1}{2}$

В треугольнике угол может быть в диапазоне от $0^{\circ}$ до $180^{\circ}$. Существует два угла в этом диапазоне, синус которых равен $\frac{1}{2}$:
$C_1 = 30^{\circ}$
$C_2 = 150^{\circ}$

Теперь, чтобы найти длину стороны $c$, применим теорему косинусов: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$. Мы должны рассмотреть оба возможных случая для угла $C$.

Случай 1: $C = 30^{\circ}$
Подставляем известные значения в теорему косинусов:
$c^2 = (2\sqrt{3})^2 + 8^2 - 2 \cdot (2\sqrt{3}) \cdot 8 \cdot \cos(30^{\circ})$
$c^2 = (4 \cdot 3) + 64 - 32\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
$c^2 = 12 + 64 - 16 \cdot 3$
$c^2 = 76 - 48$
$c^2 = 28$
$c = \sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$ см.

Случай 2: $C = 150^{\circ}$
Значение косинуса для этого угла: $\cos(150^{\circ}) = -\cos(30^{\circ}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Подставляем значения в теорему косинусов:
$c^2 = (2\sqrt{3})^2 + 8^2 - 2 \cdot (2\sqrt{3}) \cdot 8 \cdot \cos(150^{\circ})$
$c^2 = 12 + 64 - 32\sqrt{3} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})$
$c^2 = 76 + 16 \cdot 3$
$c^2 = 76 + 48$
$c^2 = 124$
$c = \sqrt{124} = \sqrt{4 \cdot 31} = 2\sqrt{31}$ см.

Оба найденных значения являются решениями задачи, так как для обоих случаев выполняется неравенство треугольника.

Ответ: $2\sqrt{7}$ см или $2\sqrt{31}$ см.

35. В треугольнике $ABC$ $\angle C = 73^\circ$, $\angle B = 77^\circ$, отрезок $BM$ — высота треугольника. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $BMC$, если радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, равен 6 см.

35. В треугольнике $ABC$ $\angle C = 73^\circ$, $\angle B = 77^\circ$, отрезок $BM$ — высота треугольника. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $BMC$, если радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, равен 6 см.

Для решения задачи воспользуемся расширенной теоремой синусов, которая гласит, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности ($ \frac{a}{\sin A} = 2R $).

1. Найдем угол $A$ в треугольнике $ABC$. Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$. $ \angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C = 180^\circ - 77^\circ - 73^\circ = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ $.

2. Применим теорему синусов для треугольника $ABC$, чтобы найти длину стороны $BC$. Радиус описанной около него окружности $R_{ABC}$ равен 6 см. $ \frac{BC}{\sin \angle A} = 2R_{ABC} $ Отсюда выразим $BC$: $ BC = 2 \cdot R_{ABC} \cdot \sin \angle A = 2 \cdot 6 \cdot \sin 30^\circ = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6 $ см.

3. Рассмотрим треугольник $BMC$. По условию, $BM$ — высота, проведенная к стороне $AC$, следовательно, угол $ \angle BMC = 90^\circ $. Это значит, что треугольник $BMC$ — прямоугольный.

4. Найдем радиус $R_{BMC}$ окружности, описанной около прямоугольного треугольника $BMC$. Центр такой окружности лежит на середине гипотенузы, а ее радиус равен половине длины гипотенузы. В треугольнике $BMC$ гипотенузой является сторона $BC$, так как она лежит напротив прямого угла. $ R_{BMC} = \frac{BC}{2} = \frac{6}{2} = 3 $ см.

Этот же результат можно получить, применив теорему синусов для треугольника $BMC$: $ \frac{BC}{\sin \angle BMC} = 2R_{BMC} $ $ \frac{6}{\sin 90^\circ} = 2R_{BMC} $ $ \frac{6}{1} = 2R_{BMC} $ $ R_{BMC} = 3 $ см.

Ответ: 3 см.

36. В треугольнике $ABC$ $AB = c$, $\angle A = \alpha$, $\angle C = \gamma$. Найдите стороны $BC$ и $AC$.

36. В треугольнике $ABC$ $AB = c$, $\angle A = \alpha$, $\angle C = \gamma$. Найдите стороны $BC$ и $AC$.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой синусов. Теорема синусов гласит, что для любого треугольника отношение длины стороны к синусу противолежащего ей угла постоянно. Для треугольника $ABC$ это записывается так:

$ \frac{BC}{\sin(\angle A)} = \frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{AB}{\sin(\angle C)} $

По условию задачи нам даны: сторона $AB = c$, угол $\angle A = \alpha$ и угол $\angle C = \gamma$.

Сначала найдем третий угол треугольника, $\angle B$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому:

$\angle B = 180^\circ - (\angle A + \angle C) = 180^\circ - (\alpha + \gamma)$

Теперь, зная все углы и одну сторону, мы можем найти остальные стороны, используя теорему синусов.

BC

Чтобы найти сторону $BC$, воспользуемся пропорцией, связывающей стороны $AB$ и $BC$ с противолежащими им углами $\angle C$ и $\angle A$:

$ \frac{BC}{\sin(\angle A)} = \frac{AB}{\sin(\angle C)} $

Подставим известные значения:

$ \frac{BC}{\sin \alpha} = \frac{c}{\sin \gamma} $

Выразим из этого соотношения сторону $BC$.

Ответ: $ BC = \frac{c \sin \alpha}{\sin \gamma} $

AC

Чтобы найти сторону $AC$, воспользуемся пропорцией, связывающей стороны $AB$ и $AC$ с противолежащими им углами $\angle C$ и $\angle B$:

$ \frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{AB}{\sin(\angle C)} $

Подставим известные значения и найденный угол $\angle B$:

$ \frac{AC}{\sin(180^\circ - (\alpha + \gamma))} = \frac{c}{\sin \gamma} $

Используя формулу приведения $\sin(180^\circ - x) = \sin(x)$, получаем $\sin(180^\circ - (\alpha + \gamma)) = \sin(\alpha + \gamma)$. Тогда соотношение принимает вид:

$ \frac{AC}{\sin(\alpha + \gamma)} = \frac{c}{\sin \gamma} $

Выразим из этого соотношения сторону $AC$.

Ответ: $ AC = \frac{c \sin(\alpha + \gamma)}{\sin \gamma} $

37. На рисунке 28 $AC = b$, $\angle C = 90^\circ$, $\angle ABC = \beta$, $\angle ADB = \gamma$, $AD = m$. Найдите синус угла $ABD$.

Рис. 28

37. На рисунке 28 $AC = b$, $\angle C = 90^\circ$, $\angle ABC = \beta$, $\angle ADB = \gamma$, $AD = m$, Найдите синус угла $ABD$.

Рис. 28

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, в котором по условию $\angle C = 90^\circ$, $AC = b$ и $\angle ABC = \beta$.

Из определения синуса острого угла в прямоугольном треугольнике следует, что синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

$\sin(\angle ABC) = \frac{AC}{AB}$

Подставим известные нам значения:

$\sin(\beta) = \frac{b}{AB}$

Из этого равенства выразим длину гипотенузы $AB$:

$AB = \frac{b}{\sin(\beta)}$

Теперь рассмотрим треугольник $ABD$. В этом треугольнике нам известны сторона $AD = m$, угол $\angle ADB = \gamma$ и мы нашли выражение для стороны $AB$. Мы можем применить теорему синусов, согласно которой отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла является постоянным для всех сторон и углов данного треугольника.

Запишем теорему синусов для сторон $AD$ и $AB$ и противолежащих им углов $\angle ABD$ и $\angle ADB$:

$\frac{AD}{\sin(\angle ABD)} = \frac{AB}{\sin(\angle ADB)}$

Подставим известные значения $AD=m$ и $\angle ADB = \gamma$:

$\frac{m}{\sin(\angle ABD)} = \frac{AB}{\sin(\gamma)}$

Выразим отсюда искомый $\sin(\angle ABD)$:

$\sin(\angle ABD) = \frac{m \cdot \sin(\gamma)}{AB}$

На последнем шаге подставим в это выражение найденное ранее выражение для $AB$:

$\sin(\angle ABD) = \frac{m \cdot \sin(\gamma)}{\frac{b}{\sin(\beta)}}$

Упростим полученную многоэтажную дробь:

$\sin(\angle ABD) = \frac{m \cdot \sin(\gamma) \cdot \sin(\beta)}{b}$

Ответ: $\frac{m \sin(\beta) \sin(\gamma)}{b}$

38. В равнобедренном треугольнике основание равно $a$, а угол при основании — $\alpha$. Найдите боковую сторону треугольника и биссектрису треугольника, проведённую из вершины угла при основании.

38. В равнобедренном треугольнике основание равно $a$, а угол при основании — $\alpha$. Найдите боковую сторону треугольника и биссектрису треугольника, проведённую из вершины угла при основании.

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC с основанием $AC = a$ и углами при основании $\angle BAC = \angle BCA = \alpha$. Боковые стороны равны: $AB = BC$.

Боковая сторона треугольника

Для нахождения длины боковой стороны проведем высоту BH из вершины B к основанию AC. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой. Следовательно, точка H является серединой отрезка AC, и длина отрезка AH равна половине длины основания:

$AH = \frac{AC}{2} = \frac{a}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH (угол $\angle AHB = 90^\circ$). В этом треугольнике нам известны катет AH и прилежащий к нему угол $\angle BAH = \alpha$. Боковая сторона AB является гипотенузой.

Из определения косинуса угла в прямоугольном треугольнике:

$\cos(\angle BAH) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AH}{AB}$

Подставим известные значения:

$\cos \alpha = \frac{a/2}{AB}$

Отсюда выражаем длину боковой стороны AB:

$AB = \frac{a/2}{\cos \alpha} = \frac{a}{2 \cos \alpha}$

Ответ: $\frac{a}{2 \cos \alpha}$.

Биссектриса треугольника, проведённая из вершины угла при основании

Проведем биссектрису AD из вершины угла при основании A к боковой стороне BC. Обозначим длину этой биссектрисы как $l_{a}$.

Поскольку AD — биссектриса угла BAC, она делит его на два равных угла:

$\angle CAD = \angle DAB = \frac{\angle BAC}{2} = \frac{\alpha}{2}$

Теперь рассмотрим треугольник ADC. В этом треугольнике нам известны:

• Сторона $AC = a$.
• Угол $\angle CAD = \frac{\alpha}{2}$.
• Угол $\angle ACD = \alpha$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому можем найти третий угол $\angle ADC$:

$\angle ADC = 180^\circ - (\angle CAD + \angle ACD) = 180^\circ - (\frac{\alpha}{2} + \alpha) = 180^\circ - \frac{3\alpha}{2}$

Применим к треугольнику ADC теорему синусов:

$\frac{AD}{\sin(\angle ACD)} = \frac{AC}{\sin(\angle ADC)}$

Подставим известные нам значения:

$\frac{l_{a}}{\sin \alpha} = \frac{a}{\sin(180^\circ - \frac{3\alpha}{2})}$

Используя тригонометрическое тождество $\sin(180^\circ - x) = \sin x$, получаем:

$\sin(180^\circ - \frac{3\alpha}{2}) = \sin(\frac{3\alpha}{2})$

Тогда уравнение принимает вид:

$\frac{l_{a}}{\sin \alpha} = \frac{a}{\sin(\frac{3\alpha}{2})}$

Выражаем длину биссектрисы $l_{a}$:

$l_{a} = \frac{a \sin \alpha}{\sin(\frac{3\alpha}{2})}$

Ответ: $\frac{a \sin \alpha}{\sin(\frac{3\alpha}{2})}$.

39. В треугольнике $ABC$ провели биссектрису $CE$. Найдите стороны $AC$ и $BC$ и биссектрису $CE$, если $AE = a$, $\angle A = \alpha$, $\angle B = \beta$.

39. В треугольнике $ABC$ провели биссектрису $CE$. Найдите стороны $AC$ и $BC$ и биссектрису $CE$, если $AE = a$, $\angle A = \alpha$, $\angle B = \beta$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой синусов. Сначала найдём все необходимые углы.

1. Найдём угол $\angle C$ в треугольнике $ABC$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому:

$\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (\alpha + \beta)$.

2. Так как $CE$ является биссектрисой угла $\angle C$, она делит этот угол пополам:

$\angle ACE = \angle BCE = \frac{\angle C}{2} = \frac{180^\circ - (\alpha + \beta)}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha + \beta}{2}$.

3. Теперь рассмотрим треугольник $AEC$. Мы знаем два его угла: $\angle A = \alpha$ и $\angle ACE = 90^\circ - \frac{\alpha + \beta}{2}$. Найдём третий угол, $\angle AEC$:

$\angle AEC = 180^\circ - (\angle A + \angle ACE) = 180^\circ - \left(\alpha + 90^\circ - \frac{\alpha + \beta}{2}\right) = 90^\circ - \alpha + \frac{\alpha + \beta}{2} = 90^\circ - \frac{2\alpha - \alpha - \beta}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha - \beta}{2}$.

Теперь, зная все углы и сторону $AE = a$ в треугольнике $AEC$, мы можем применить теорему синусов, чтобы найти искомые стороны и биссектрису.

Теорема синусов для $\triangle AEC$:

$\frac{AE}{\sin(\angle ACE)} = \frac{AC}{\sin(\angle AEC)} = \frac{CE}{\sin(\angle A)}$

Нахождение стороны AC

Из соотношения $\frac{AC}{\sin(\angle AEC)} = \frac{AE}{\sin(\angle ACE)}$ выразим $AC$:

$AC = AE \cdot \frac{\sin(\angle AEC)}{\sin(\angle ACE)} = a \cdot \frac{\sin(90^\circ - \frac{\alpha - \beta}{2})}{\sin(90^\circ - \frac{\alpha + \beta}{2})}$.

Используя формулу приведения $\sin(90^\circ - x) = \cos(x)$, получаем:

$AC = a \frac{\cos(\frac{\alpha - \beta}{2})}{\cos(\frac{\alpha + \beta}{2})}$.

Ответ: $AC = a \frac{\cos(\frac{\alpha - \beta}{2})}{\cos(\frac{\alpha + \beta}{2})}$.

Нахождение стороны BC

Применим теорему синусов к основному треугольнику $ABC$:

$\frac{BC}{\sin(\angle A)} = \frac{AC}{\sin(\angle B)}$

Выразим $BC$:

$BC = AC \cdot \frac{\sin(\angle A)}{\sin(\angle B)} = AC \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\sin(\beta)}$.

Теперь подставим ранее найденное выражение для $AC$:

$BC = \left( a \frac{\cos(\frac{\alpha - \beta}{2})}{\cos(\frac{\alpha + \beta}{2})} \right) \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\sin(\beta)} = \frac{a \sin(\alpha) \cos(\frac{\alpha - \beta}{2})}{\sin(\beta) \cos(\frac{\alpha + \beta}{2})}$.

Ответ: $BC = \frac{a \sin(\alpha) \cos(\frac{\alpha - \beta}{2})}{\sin(\beta) \cos(\frac{\alpha + \beta}{2})}$.

Нахождение биссектрисы CE

Вернемся к теореме синусов для треугольника $AEC$. Из соотношения $\frac{CE}{\sin(\angle A)} = \frac{AE}{\sin(\angle ACE)}$ выразим $CE$:

$CE = AE \cdot \frac{\sin(\angle A)}{\sin(\angle ACE)} = a \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\sin(90^\circ - \frac{\alpha + \beta}{2})}$.

Используя ту же формулу приведения, получаем:

$CE = \frac{a \sin(\alpha)}{\cos(\frac{\alpha + \beta}{2})}$.

Ответ: $CE = \frac{a \sin(\alpha)}{\cos(\frac{\alpha + \beta}{2})}$.

40. Высоты треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $AHC$, если радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, равен $5$ см.

40. Высоты треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $AHC$, если радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, равен $5$ см.

Пусть $R$ — радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, а $R_{AHC}$ — радиус окружности, описанной около треугольника $AHC$. По условию задачи, $R = 5$ см.

Воспользуемся обобщенной теоремой синусов. Для треугольника $ABC$ она записывается как:$ \frac{AC}{\sin(\angle B)} = 2R $Отсюда можно выразить сторону $AC$: $AC = 2R \sin(\angle B)$.

Аналогично, для треугольника $AHC$ теорема синусов выглядит так:$ \frac{AC}{\sin(\angle AHC)} = 2R_{AHC} $Отсюда $AC = 2R_{AHC} \sin(\angle AHC)$.

Приравнивая два полученных выражения для стороны $AC$, получаем соотношение между радиусами:$ 2R \sin(\angle B) = 2R_{AHC} \sin(\angle AHC) $$ R \sin(\angle B) = R_{AHC} \sin(\angle AHC) $

Теперь найдем зависимость между углами $\angle B$ и $\angle AHC$. Пусть $AA_1$ и $CC_1$ — высоты треугольника $ABC$, проведенные из вершин $A$ и $C$ соответственно. Точка $H$ является их точкой пересечения (ортоцентром).

Рассмотрим четырехугольник $BC_1HA_1$. В нем $\angle BC_1H = 90^\circ$ и $\angle BA_1H = 90^\circ$, так как $CC_1$ и $AA_1$ — высоты. Сумма углов в любом четырехугольнике равна $360^\circ$. Следовательно:$ \angle B + \angle BC_1H + \angle C_1HA_1 + \angle HA_1B = 360^\circ $$ \angle B + 90^\circ + \angle C_1HA_1 + 90^\circ = 360^\circ $$ \angle C_1HA_1 = 180^\circ - \angle B $

Углы $\angle AHC$ и $\angle C_1HA_1$ являются вертикальными, поэтому они равны: $\angle AHC = \angle C_1HA_1 = 180^\circ - \angle B$.

Подставим это соотношение в равенство, связывающее радиусы:$ R \sin(\angle B) = R_{AHC} \sin(180^\circ - \angle B) $

Используя тригонометрическую формулу приведения $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)$, получаем:$ R \sin(\angle B) = R_{AHC} \sin(\angle B) $

Поскольку $\angle B$ является углом треугольника $ABC$, его синус не равен нулю ($\sin(\angle B) \ne 0$). Поэтому мы можем разделить обе части равенства на $\sin(\angle B)$:$ R = R_{AHC} $

Таким образом, мы доказали, что радиус окружности, описанной около треугольника $AHC$, равен радиусу окружности, описанной около треугольника $ABC$.Поскольку $R = 5$ см, то и $R_{AHC} = 5$ см.

Ответ: 5 см.