Страница 38 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

19. Диагонали параллелограмма равны 18 см и 26 см, а одна из сторон на 10 см больше другой. Найдите стороны параллелограмма.

19. Диагонали параллелограмма равны 18 см и 26 см, а одна из сторон на 10 см больше другой. Найдите стороны параллелограмма.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством параллелограмма, которое связывает его стороны и диагонали: сумма квадратов диагоналей равна удвоенной сумме квадратов его смежных сторон. Эта зависимость выражается формулой:

$d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$

где $d_1$ и $d_2$ — диагонали параллелограмма, а $a$ и $b$ — его смежные стороны.

Согласно условию задачи, имеем:

$d_1 = 18$ см

$d_2 = 26$ см

Пусть одна сторона параллелограмма равна $a = x$ см, тогда другая сторона, которая на 10 см больше, будет равна $b = x + 10$ см.

Подставим все известные значения в формулу:

$18^2 + 26^2 = 2(x^2 + (x + 10)^2)$

Вычислим квадраты чисел в левой части и раскроем скобки в правой:

$324 + 676 = 2(x^2 + x^2 + 20x + 100)$

Упростим обе части уравнения:

$1000 = 2(2x^2 + 20x + 100)$

Разделим обе части уравнения на 2:

$500 = 2x^2 + 20x + 100$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$2x^2 + 20x + 100 - 500 = 0$

$2x^2 + 20x - 400 = 0$

Разделим все члены уравнения на 2 для упрощения:

$x^2 + 10x - 200 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$):

$D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-200) = 100 + 800 = 900$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-10 + \sqrt{900}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 + 30}{2} = \frac{20}{2} = 10$

$x_2 = \frac{-10 - \sqrt{900}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 - 30}{2} = \frac{-40}{2} = -20$

Так как длина стороны геометрической фигуры не может быть отрицательной, корень $x_2 = -20$ не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, длина одной стороны параллелограмма равна 10 см.

Найдем длину второй стороны:

$b = x + 10 = 10 + 10 = 20$ см.

Итак, стороны параллелограмма равны 10 см и 20 см.

Ответ: 10 см и 20 см.

20. В четырёхугольнике $ABCD$ $AB = AD = 13$ см, $BC = 4$ см, $CD = 14$ см. Найдите диагональ $AC$, если около четырёхугольника $ABCD$ можно описать окружность.

20. В четырёхугольнике $ABCD$ $AB = AD = 13$ см, $BC = 4$ см, $CD = 14$ см. Найдите диагональ $AC$, если около четырёхугольника $ABCD$ можно описать окружность.

Поскольку около четырехугольника ABCD можно описать окружность, он является вписанным в эту окружность. Основное свойство вписанного четырехугольника заключается в том, что сумма его противоположных углов равна $180^\circ$. Таким образом, $\angle B + \angle D = 180^\circ$.

Из этого свойства следует важное соотношение для косинусов этих углов: $\cos(\angle D) = \cos(180^\circ - \angle B) = -\cos(\angle B)$.

Диагональ AC делит четырехугольник ABCD на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$. Мы можем применить теорему косинусов для каждого из этих треугольников, чтобы выразить квадрат длины диагонали AC.

1. Для треугольника $ABC$ по теореме косинусов:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle B)$

Подставим известные значения $AB = 13$ см и $BC = 4$ см:

$AC^2 = 13^2 + 4^2 - 2 \cdot 13 \cdot 4 \cdot \cos(\angle B)$

$AC^2 = 169 + 16 - 104 \cdot \cos(\angle B)$

$AC^2 = 185 - 104 \cdot \cos(\angle B)$

2. Для треугольника $ADC$ по теореме косинусов:

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos(\angle D)$

Подставим известные значения $AD = 13$ см и $CD = 14$ см:

$AC^2 = 13^2 + 14^2 - 2 \cdot 13 \cdot 14 \cdot \cos(\angle D)$

$AC^2 = 169 + 196 - 364 \cdot \cos(\angle D)$

$AC^2 = 365 - 364 \cdot \cos(\angle D)$

Теперь заменим $\cos(\angle D)$ на $-\cos(\angle B)$ в последнем выражении:

$AC^2 = 365 - 364 \cdot (-\cos(\angle B))$

$AC^2 = 365 + 364 \cdot \cos(\angle B)$

Мы получили два выражения для $AC^2$. Приравняем их, чтобы найти значение $\cos(\angle B)$:

$185 - 104 \cdot \cos(\angle B) = 365 + 364 \cdot \cos(\angle B)$

$364 \cdot \cos(\angle B) + 104 \cdot \cos(\angle B) = 185 - 365$

$468 \cdot \cos(\angle B) = -180$

$\cos(\angle B) = -\frac{180}{468}$

Сократим полученную дробь. Оба числа делятся на 36:

$\cos(\angle B) = -\frac{5 \cdot 36}{13 \cdot 36} = -\frac{5}{13}$

Наконец, подставим найденное значение $\cos(\angle B)$ в любое из выражений для $AC^2$. Воспользуемся первым:

$AC^2 = 185 - 104 \cdot (-\frac{5}{13})$

$AC^2 = 185 + \frac{104 \cdot 5}{13}$

$AC^2 = 185 + 8 \cdot 5$

$AC^2 = 185 + 40$

$AC^2 = 225$

$AC = \sqrt{225} = 15$ см.

Ответ: 15 см.

21. В трапеции $ABCD$ ($AD \parallel BC$) $BC = 12$ см, $CD = 9$ см, $AD = 16$ см, $\cos D = \frac{1}{8}$. Найдите сторону $AB$ трапеции.

21. В трапеции $ABCD (AD \parallel BC)$ $BC = 12$ см, $CD = 9$ см,

$AD = 16$ см, $\cos D = \frac{1}{8}$. Найдите сторону $AB$ трапеции.

Дано: трапеция $ABCD$, основания $AD \parallel BC$, $BC = 12$ см, $CD = 9$ см, $AD = 16$ см, $\cos D = \frac{1}{8}$.

Для нахождения стороны $AB$ проведем высоты $CH$ и $BK$ из вершин $C$ и $B$ на основание $AD$.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CHD$ (так как $CH$ — высота, $\angle CHD = 90^\circ$).

Из определения косинуса в прямоугольном треугольнике:

$\cos D = \frac{HD}{CD}$

Найдем длину отрезка $HD$:

$HD = CD \cdot \cos D = 9 \cdot \frac{1}{8} = \frac{9}{8}$ см.

Теперь найдем высоту $CH$ по теореме Пифагора:

$CH^2 = CD^2 - HD^2$

$CH^2 = 9^2 - \left(\frac{9}{8}\right)^2 = 81 - \frac{81}{64} = 81 \left(1 - \frac{1}{64}\right) = 81 \cdot \frac{63}{64}$

$CH = \sqrt{\frac{81 \cdot 63}{64}} = \frac{9\sqrt{63}}{8} = \frac{9\sqrt{9 \cdot 7}}{8} = \frac{9 \cdot 3\sqrt{7}}{8} = \frac{27\sqrt{7}}{8}$ см.

2. Так как $AD \parallel BC$ и $CH, BK$ — высоты, то четырехугольник $KBCH$ является прямоугольником. Следовательно, $BK = CH = \frac{27\sqrt{7}}{8}$ см и $KH = BC = 12$ см.

3. Отрезок $AD$ состоит из трех частей: $AK$, $KH$ и $HD$.

$AD = AK + KH + HD$

Найдем длину отрезка $AK$:

$AK = AD - KH - HD = 16 - 12 - \frac{9}{8} = 4 - \frac{9}{8} = \frac{32 - 9}{8} = \frac{23}{8}$ см.

4. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABK$ (так как $BK$ — высота, $\angle BKA = 90^\circ$).

По теореме Пифагора найдем сторону $AB$:

$AB^2 = AK^2 + BK^2$

$AB^2 = \left(\frac{23}{8}\right)^2 + \left(\frac{27\sqrt{7}}{8}\right)^2 = \frac{529}{64} + \frac{729 \cdot 7}{64} = \frac{529 + 5103}{64} = \frac{5632}{64}$

Выполним деление: $5632 \div 64 = 88$.

$AB^2 = 88$

$AB = \sqrt{88} = \sqrt{4 \cdot 22} = 2\sqrt{22}$ см.

Ответ: $2\sqrt{22}$ см.

22. Стороны треугольника равны 8 см, 14 см и 11 см. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины его среднего по величине угла.

22. Стороны треугольника равны 8 см, 14 см и 11 см. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины его среднего по величине угла.

Пусть стороны треугольника равны $a = 8$ см, $b = 11$ см и $c = 14$ см.

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Сравним длины сторон: $8 < 11 < 14$. Следовательно, средний по величине угол лежит против стороны длиной 11 см. Нам нужно найти биссектрису, проведенную из вершины этого угла. Обозначим эту биссектрису $l_b$.

Для нахождения длины биссектрисы воспользуемся формулой, которая связывает её с длинами сторон треугольника:$l_b^2 = ac - mn$,где $a$ и $c$ — стороны, между которыми проходит биссектриса ($a=8$ см и $c=14$ см), а $m$ и $n$ — отрезки, на которые биссектриса делит противолежащую сторону $b=11$ см.

Сначала найдем длины отрезков $m$ и $n$. По свойству биссектрисы треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:$\frac{m}{n} = \frac{a}{c}$

Подставим известные значения:$\frac{m}{n} = \frac{8}{14} = \frac{4}{7}$Отсюда получаем соотношение $m = \frac{4}{7}n$.

Так как биссектриса делит сторону $b$ на отрезки $m$ и $n$, их сумма равна длине этой стороны:$m + n = b = 11$ см.

Подставим выражение для $m$ в это уравнение:$\frac{4}{7}n + n = 11$$\frac{11}{7}n = 11$$n = 7$ см.

Теперь найдем $m$:$m = 11 - n = 11 - 7 = 4$ см.

Теперь, когда мы знаем длины отрезков $m$ и $n$, можем вычислить длину биссектрисы $l_b$:$l_b^2 = ac - mn = 8 \cdot 14 - 4 \cdot 7$$l_b^2 = 112 - 28$$l_b^2 = 84$$l_b = \sqrt{84} = \sqrt{4 \cdot 21} = 2\sqrt{21}$ см.

Ответ: $2\sqrt{21}$ см.

23. Стороны треугольника равны 8 см, 9 см и 13 см. Найдите медиану треугольника, проведённую к его наибольшей стороне.

23. Стороны треугольника равны 8 см, 9 см и 13 см. Найдите медиану треугольника, проведённую к его наибольшей стороне.

Пусть стороны треугольника равны $a = 8$ см, $b = 9$ см и $c = 13$ см.
Наибольшей стороной является сторона $c = 13$ см. Требуется найти длину медианы, проведённой к этой стороне. Обозначим искомую медиану как $m_c$.
Для вычисления длины медианы треугольника, проведённой к стороне $c$, используется формула:
$m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}$
Подставим известные значения длин сторон в эту формулу:
$m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 8^2 + 2 \cdot 9^2 - 13^2}$
Выполним последовательные вычисления:
$m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 64 + 2 \cdot 81 - 169}$
$m_c = \frac{1}{2}\sqrt{128 + 162 - 169}$
$m_c = \frac{1}{2}\sqrt{290 - 169}$
$m_c = \frac{1}{2}\sqrt{121}$
$m_c = \frac{1}{2} \cdot 11$
$m_c = 5,5$ см.
Таким образом, длина медианы, проведённой к наибольшей стороне треугольника, равна 5,5 см.
Ответ: 5,5 см.

24. Основание равнобедренного треугольника равно $8\sqrt{2}$ см, а боковая сторона — 12 см. Найдите медиану треугольника, проведённую к его боковой стороне.

24. Основание равнобедренного треугольника равно $8\sqrt{2}$ см, а боковая сторона — 12 см. Найдите медиану треугольника, проведённую к его боковой стороне.

Пусть дан равнобедренный треугольник со сторонами $a$, $b$ и $c$, где $a=12$ см и $b=12$ см — боковые стороны, а $c=8\sqrt{2}$ см — основание.

Для нахождения длины медианы $m_a$, проведённой к боковой стороне $a$, воспользуемся формулой длины медианы через стороны треугольника:

$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}$

В нашем случае, медиана проводится к боковой стороне, поэтому в качестве стороны $a$ мы берем боковую сторону ($a=12$ см), а в качестве $b$ и $c$ — другую боковую сторону ($b=12$ см) и основание ($c=8\sqrt{2}$ см).

Подставим значения в формулу:

$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 12^2 + 2 \cdot (8\sqrt{2})^2 - 12^2}$

Упростим выражение под корнем:

$2 \cdot 12^2 - 12^2 + 2 \cdot (8\sqrt{2})^2 = 12^2 + 2 \cdot (64 \cdot 2) = 144 + 2 \cdot 128 = 144 + 256 = 400$

Теперь вычислим длину медианы:

$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{400} = \frac{1}{2} \cdot 20 = 10$ см.

Ответ: 10 см.

25. Стороны треугольника равны $3\sqrt{3}$ см и 4 см, а угол между ними — $150^\circ$. Найдите медиану треугольника, проведённую к его третьей стороне.

25. Стороны треугольника равны $3\sqrt{3}$ см и 4 см, а угол между ними — $150^\circ$. Найдите медиану треугольника, проведённую к его третьей стороне.

Пусть стороны треугольника равны $a = 3\sqrt{3}$ см и $b = 4$ см, а угол между ними $\gamma = 150^{\circ}$. Необходимо найти медиану $m_c$, проведенную к третьей стороне $c$.

Для решения задачи удобно достроить исходный треугольник до параллелограмма. Пусть дан треугольник $ABC$, где $AC = 3\sqrt{3}$, $BC = 4$, и $\angle C = 150^{\circ}$. Достроим его до параллелограмма $ACBD$. В этом параллелограмме диагональ $CD$ проходит через середину стороны $AB$ (третьей стороны исходного треугольника). Таким образом, искомая медиана, проведенная из вершины $C$, является половиной диагонали $CD$. Обозначим длину медианы как $m$, тогда $CD = 2m$.

Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна $180^{\circ}$. Следовательно, $\angle ACB + \angle CBD = 180^{\circ}$. Отсюда можем найти угол $\angle CBD$:

$\angle CBD = 180^{\circ} - \angle ACB = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ}$.

Теперь рассмотрим треугольник $BCD$. В нем известны две стороны $BC = 4$ см, $BD = AC = 3\sqrt{3}$ см и угол между ними $\angle CBD = 30^{\circ}$. Мы можем найти длину третьей стороны $CD$ по теореме косинусов:

$CD^2 = BC^2 + BD^2 - 2 \cdot BC \cdot BD \cdot \cos(\angle CBD)$

Подставим известные значения в формулу. Учтем, что $CD = 2m$ и $\cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$(2m)^2 = 4^2 + (3\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 4 \cdot 3\sqrt{3} \cdot \cos(30^{\circ})$

Выполним вычисления:

$4m^2 = 16 + (9 \cdot 3) - 24\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$4m^2 = 16 + 27 - 12 \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3})$

$4m^2 = 43 - 12 \cdot 3$

$4m^2 = 43 - 36$

$4m^2 = 7$

Из этого уравнения находим квадрат длины медианы:

$m^2 = \frac{7}{4}$

Теперь найдем длину медианы, извлекая квадратный корень:

$m = \sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$

Таким образом, длина медианы треугольника, проведенной к его третьей стороне, составляет $\frac{\sqrt{7}}{2}$ см.

Ответ: $\frac{\sqrt{7}}{2}$ см.

26. В треугольнике $ABC$ $AC = 22$ см, отрезок $AK$ — медиана, $AK = 14$ см. Найдите стороны $AB$ и $BC$, если $AB : BC = 7 : 12$.

26. В треугольнике $ABC$ $AC = 22$ см, отрезок $AK$ — медиана, $AK = 14$ см. Найдите стороны $AB$ и $BC$, если $AB : BC = 7 : 12$.

Для решения этой задачи воспользуемся формулой длины медианы треугольника, которая является следствием теоремы Аполлония. Медиана $m_a$, проведенная к стороне $a$ в треугольнике со сторонами $a$, $b$ и $c$, вычисляется по формуле:
$4m_a^2 = 2b^2 + 2c^2 - a^2$

В нашем треугольнике $ABC$ известны следующие данные:
Сторона $AC = 22$ см.
Медиана $AK = 14$ см (проведена к стороне $BC$).
Отношение сторон $AB : BC = 7 : 12$.

Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда длины сторон $AB$ и $BC$ можно выразить через $x$:
$AB = 7x$
$BC = 12x$

Теперь применим формулу длины медианы для медианы $AK$. В наших обозначениях: $a = BC$, $b = AC$, $c = AB$, а медиана к стороне $a$ — это $AK$.
$4 \cdot AK^2 = 2 \cdot AC^2 + 2 \cdot AB^2 - BC^2$

Подставим все известные значения и выражения в эту формулу:
$4 \cdot 14^2 = 2 \cdot 22^2 + 2 \cdot (7x)^2 - (12x)^2$

Выполним вычисления и решим полученное уравнение:
$4 \cdot 196 = 2 \cdot 484 + 2 \cdot (49x^2) - 144x^2$
$784 = 968 + 98x^2 - 144x^2$
$784 = 968 - 46x^2$

Теперь выразим $x^2$:
$46x^2 = 968 - 784$
$46x^2 = 184$
$x^2 = \frac{184}{46}$
$x^2 = 4$

Поскольку $x$ является коэффициентом пропорциональности для длин сторон, его значение должно быть положительным.
$x = \sqrt{4} = 2$

Зная значение $x$, найдем длины искомых сторон $AB$ и $BC$:
$AB = 7x = 7 \cdot 2 = 14$ см.
$BC = 12x = 12 \cdot 2 = 24$ см.

Ответ: $AB = 14$ см, $BC = 24$ см.

27. Сторона треугольника равна 30 см, а медианы, проведённые к двум другим сторонам, — 24 см и 27 см. Найдите третью медиану треугольника.

27. Сторона треугольника равна 30 см, а медианы, проведённые к двум другим сторонам, — 24 см и 27 см. Найдите третью медиану треугольника.

Пусть в заданном треугольнике сторона $a = 30$ см, а медианы, проведенные к двум другим сторонам, равны $m_b = 24$ см и $m_c = 27$ см. Требуется найти длину третьей медианы $m_a$.

Известно, что медианы треугольника пересекаются в одной точке (центроиде) и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины. Обозначим точку пересечения медиан как $O$.

Используя это свойство, найдем длины отрезков двух известных медиан от вершин до точки их пересечения:
Длина отрезка от вершины до центроида для медианы $m_b$ составляет $BO = \frac{2}{3} m_b = \frac{2}{3} \cdot 24 = 16$ см.
Длина отрезка от вершины до центроида для медианы $m_c$ составляет $CO = \frac{2}{3} m_c = \frac{2}{3} \cdot 27 = 18$ см.

Рассмотрим треугольник $BOC$, образованный точкой пересечения медиан $O$ и концами стороны $a$. Стороны этого треугольника равны: $BO = 16$ см, $CO = 18$ см, $BC = a = 30$ см.

Продолжение медианы $m_a$ от точки $O$ до середины стороны $BC$ (обозначим ее $D$) является медианой треугольника $BOC$, проведенной из вершины $O$. Длина этого отрезка $OD$ составляет $\frac{1}{3}$ от длины всей медианы $m_a$, то есть $m_a = 3 \cdot OD$.

Найдем длину $OD$ по формуле для длины медианы, примененной к треугольнику $BOC$:
$OD^2 = \frac{2 \cdot BO^2 + 2 \cdot CO^2 - BC^2}{4}$
Подставим известные значения:
$OD^2 = \frac{2 \cdot 16^2 + 2 \cdot 18^2 - 30^2}{4} = \frac{2 \cdot 256 + 2 \cdot 324 - 900}{4}$
$OD^2 = \frac{512 + 648 - 900}{4} = \frac{1160 - 900}{4} = \frac{260}{4} = 65$.
Следовательно, $OD = \sqrt{65}$ см.

Теперь можем найти полную длину искомой третьей медианы $m_a$:
$m_a = 3 \cdot OD = 3\sqrt{65}$ см.

Ответ: $3\sqrt{65}$ см.

28. В треугольнике $ABC$ $AB = 4\sqrt{2}$ см, $\angle C = 45^\circ$, $\angle A = 30^\circ$.

Найдите сторону $BC$.

28. В треугольнике $ABC$ $AB = 4\sqrt{2}$ см, $\angle C = 45^\circ$, $\angle A = 30^\circ$.

Найдите сторону $BC$.

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой синусов. Теорема синусов гласит, что стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Для треугольника $ABC$ это соотношение выглядит так:

$\frac{AB}{\sin(\angle C)} = \frac{BC}{\sin(\angle A)} = \frac{AC}{\sin(\angle B)}$

В задаче даны сторона $AB = 4\sqrt{2}$ см, а также углы $\angle C = 45^\circ$ и $\angle A = 30^\circ$. Мы можем использовать часть теоремы, связывающую сторону $AB$ с углом $C$ и искомую сторону $BC$ с углом $A$:

$\frac{BC}{\sin(\angle A)} = \frac{AB}{\sin(\angle C)}$

Выразим из этого уравнения искомую сторону $BC$:

$BC = \frac{AB \cdot \sin(\angle A)}{\sin(\angle C)}$

Теперь подставим известные значения в формулу:

$BC = \frac{4\sqrt{2} \cdot \sin(30^\circ)}{\sin(45^\circ)}$

Значения синусов для данных углов являются табличными:

$\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$

$\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Подставим эти значения в наше выражение и произведем вычисления:

$BC = \frac{4\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

Чтобы разделить на дробь, умножим на обратную ей дробь:

$BC = 2\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}}$

Сократим $\sqrt{2}$:

$BC = 2 \cdot 2 = 4$ см.

Ответ: 4 см.

29. В треугольнике $ABC$ $BC = 6\sqrt{3}$ см, $\angle A = 120^\circ$, $\angle B = 15^\circ$. Найдите сторону $AB$.

29. В треугольнике ABC $BC = 6\sqrt{3}$ см, $\angle A = 120^\circ$, $\angle B = 15^\circ$.

Найдите сторону AB.

Поскольку сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$, мы можем найти величину угла $C$:
$\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B)$
$\angle C = 180^\circ - (120^\circ + 15^\circ) = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$.

Теперь, зная все углы и одну сторону, мы можем использовать теорему синусов для нахождения стороны $AB$. Теорема синусов гласит, что отношение длины стороны треугольника к синусу противолежащего угла является величиной постоянной для всех сторон и углов данного треугольника.

$\frac{AB}{\sin \angle C} = \frac{BC}{\sin \angle A}$

Выразим из этого соотношения искомую сторону $AB$:

$AB = \frac{BC \cdot \sin \angle C}{\sin \angle A}$

Подставим известные нам значения: $BC = 6\sqrt{3}$ см, $\angle C = 45^\circ$, $\angle A = 120^\circ$.

$AB = \frac{6\sqrt{3} \cdot \sin 45^\circ}{\sin 120^\circ}$

Нам известны значения синусов для этих углов:
$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin 120^\circ = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Подставим эти значения в формулу для $AB$:

$AB = \frac{6\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

Сократим дробь, умножив числитель и знаменатель на 2, и сократив $\sqrt{3}$:

$AB = \frac{6\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{3}} = 6\sqrt{2}$

Таким образом, длина стороны $AB$ равна $6\sqrt{2}$ см.

Ответ: $6\sqrt{2}$ см.

30. Найдите угол $A$ треугольника $ABC$, если:

1) $AB = 6$ см, $BC = 2\sqrt{6}$ см, $\angle C = 60^\circ$;

2) $AC = 4$ см, $BC = 4\sqrt{2}$ см, $\angle B = 30^\circ$.

Сколько решений в каждом случае имеет задача?

30. Найдите угол $A$ треугольника $ABC$, если:

1) $AB = 6$ см, $BC = 2\sqrt{6}$ см, $\angle C = 60^\circ$;

2) $AC = 4$ см, $BC = 4\sqrt{2}$ см, $\angle B = 30^\circ$.

Сколько решений в каждом случае имеет задача?

1)

Дано: в треугольнике $ABC$ сторона $AB = 6$ см, сторона $BC = 2\sqrt{6}$ см и угол $\angle C = 60^\circ$.

Для нахождения угла $A$ воспользуемся теоремой синусов:

$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C}$

Подставим известные значения в формулу:

$\frac{2\sqrt{6}}{\sin A} = \frac{6}{\sin 60^\circ}$

Отсюда выразим $\sin A$:

$\sin A = \frac{2\sqrt{6} \cdot \sin 60^\circ}{6}$

Зная, что $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, подставим это значение:

$\sin A = \frac{2\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{6} = \frac{\sqrt{6} \cdot \sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{18}}{6} = \frac{3\sqrt{2}}{6} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Уравнение $\sin A = \frac{\sqrt{2}}{2}$ для угла в треугольнике ($0^\circ < A < 180^\circ$) имеет два возможных решения: $A_1 = 45^\circ$ и $A_2 = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

Проверим оба варианта, помня, что сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$.

Случай 1: Если $\angle A = 45^\circ$.

Сумма двух известных углов $\angle A + \angle C = 45^\circ + 60^\circ = 105^\circ$. Так как $105^\circ < 180^\circ$, такой треугольник существует. Третий угол $\angle B$ будет равен $180^\circ - 105^\circ = 75^\circ$. Это решение является допустимым.

Случай 2: Если $\angle A = 135^\circ$.

Сумма двух известных углов $\angle A + \angle C = 135^\circ + 60^\circ = 195^\circ$. Так как $195^\circ > 180^\circ$, треугольник с такими углами существовать не может.

Следовательно, задача в этом случае имеет одно решение.

Ответ: $\angle A = 45^\circ$. Задача имеет одно решение.

2)

Дано: в треугольнике $ABC$ сторона $AC = 4$ см, сторона $BC = 4\sqrt{2}$ см и угол $\angle B = 30^\circ$.

Применим теорему синусов:

$\frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A}$

Подставим известные значения:

$\frac{4}{\sin 30^\circ} = \frac{4\sqrt{2}}{\sin A}$

Выразим $\sin A$:

$\sin A = \frac{4\sqrt{2} \cdot \sin 30^\circ}{4}$

Зная, что $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, получаем:

$\sin A = \frac{4\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2}}{4} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Как и в предыдущем пункте, возможные значения для угла $A$: $A_1 = 45^\circ$ и $A_2 = 135^\circ$.

Проверим оба варианта.

Случай 1: Если $\angle A = 45^\circ$.

Сумма двух известных углов $\angle A + \angle B = 45^\circ + 30^\circ = 75^\circ$. Так как $75^\circ < 180^\circ$, такой треугольник существует. Третий угол $\angle C = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$. Это допустимое решение.

Случай 2: Если $\angle A = 135^\circ$.

Сумма двух известных углов $\angle A + \angle B = 135^\circ + 30^\circ = 165^\circ$. Так как $165^\circ < 180^\circ$, такой треугольник тоже существует. Третий угол $\angle C = 180^\circ - 165^\circ = 15^\circ$. Это также допустимое решение.

Следовательно, задача в этом случае имеет два решения.

Ответ: $\angle A = 45^\circ$ или $\angle A = 135^\circ$. Задача имеет два решения.