Страница 31 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

264. Найдите координаты точки, симметричной точке K $(3; -1)$ относительно:

1) оси абсцисс;

2) оси ординат.

264. Найдите координаты точки, симметричной точке $K(3; -1)$ относительно:

1) оси абсцисс;

2) оси ординат.

1) оси абсцисс
При симметрии точки относительно оси абсцисс (оси $Ox$) её абсцисса (координата $x$) остается неизменной, а ордината (координата $y$) меняет свой знак на противоположный. Общая формула для точки $(x; y)$ будет $(x; -y)$.
Для точки $K(3; -1)$ имеем:
Абсцисса $x = 3$ остается без изменений.
Ордината $y = -1$ меняет знак на противоположный: $-(-1) = 1$.
Следовательно, координаты точки, симметричной точке $K$ относительно оси абсцисс, равны $(3; 1)$.
Ответ: $(3; 1)$

2) оси ординат
При симметрии точки относительно оси ординат (оси $Oy$) её ордината (координата $y$) остается неизменной, а абсцисса (координата $x$) меняет свой знак на противоположный. Общая формула для точки $(x; y)$ будет $(-x; y)$.
Для точки $K(3; -1)$ имеем:
Абсцисса $x = 3$ меняет знак на противоположный: $-3$.
Ордината $y = -1$ остается без изменений.
Следовательно, координаты точки, симметричной точке $K$ относительно оси ординат, равны $(-3; -1)$.
Ответ: $(-3; -1)$

265. Точки $A (x; -1)$ и $B (7; y)$ симметричны относительно:

1) оси абсцисс;

2) оси ординат. Найдите $x$ и $y$.

265. Точки $A (x; -1)$ и $B (7; y)$ симметричны относительно:

1) оси абсцисс;

2) оси ординат. Найдите $x$ и $y$.

1) оси абсцисс
Если две точки симметричны относительно оси абсцисс (оси $Ox$), то их абсциссы (координаты $x$) равны, а ординаты (координаты $y$) являются противоположными числами.
Для точек $A(x; -1)$ и $B(7; y)$ это означает выполнение следующих условий:
$x_A = x_B \implies x = 7$
$y_A = -y_B \implies -1 = -y$
Из второго равенства находим $y$:
$y = 1$
Таким образом, при симметрии относительно оси абсцисс координаты равны $x = 7$ и $y = 1$.
Ответ: $x = 7$, $y = 1$.

2) оси ординат
Если две точки симметричны относительно оси ординат (оси $Oy$), то их ординаты (координаты $y$) равны, а абсциссы (координаты $x$) являются противоположными числами.
Для точек $A(x; -1)$ и $B(7; y)$ это означает выполнение следующих условий:
$x_A = -x_B \implies x = -7$
$y_A = y_B \implies -1 = y$
Таким образом, при симметрии относительно оси ординат координаты равны $x = -7$ и $y = -1$.
Ответ: $x = -7$, $y = -1$.

266. Осями симметрии ромба являются прямые $x = -2$ и $y = 1$. Двумя его соседними вершинами являются точки $A (-2; 3)$ и $B (2; 1)$. Найдите координаты остальных вершин ромба.

266. Осями симметрии ромба являются прямые $x = -2$ и $y = 1$. Двумя его соседними вершинами являются точки $A (-2; 3)$ и $B (2; 1)$. Найдите координаты остальных вершин ромба.

Осями симметрии ромба являются прямые, на которых лежат его диагонали. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и пересекаются в его центре. В данном случае оси симметрии — это прямые $x = -2$ и $y = 1$.

Найдем точку пересечения осей симметрии, которая является центром ромба $O$. Решая систему уравнений:

$\begin{cases} x = -2 \\ y = 1 \end{cases}$

Получаем координаты центра ромба $O(-2; 1)$.

Центр ромба является серединой отрезков, соединяющих противоположные вершины. Пусть вершины ромба, идущие по порядку, — это $A, B, C, D$. По условию, $A(-2; 3)$ и $B(2; 1)$ — соседние вершины. Это означает, что вершина $C$ противоположна вершине $A$, а вершина $D$ противоположна вершине $B$. Таким образом, точка $O$ является серединой диагоналей $AC$ и $BD$.

Найдем координаты вершины $C(x_C; y_C)$, зная, что $O$ — середина $AC$:

$x_O = \frac{x_A + x_C}{2} \Rightarrow -2 = \frac{-2 + x_C}{2}$

$-4 = -2 + x_C$

$x_C = -2$

$y_O = \frac{y_A + y_C}{2} \Rightarrow 1 = \frac{3 + y_C}{2}$

$2 = 3 + y_C$

$y_C = -1$

Таким образом, координаты вершины $C$ — $(-2; -1)$.

Теперь найдем координаты вершины $D(x_D; y_D)$, зная, что $O$ — середина $BD$:

$x_O = \frac{x_B + x_D}{2} \Rightarrow -2 = \frac{2 + x_D}{2}$

$-4 = 2 + x_D$

$x_D = -6$

$y_O = \frac{y_B + y_D}{2} \Rightarrow 1 = \frac{1 + y_D}{2}$

$2 = 1 + y_D$

$y_D = 1$

Таким образом, координаты вершины $D$ — $(-6; 1)$.

Итак, остальные вершины ромба — это $C(-2; -1)$ и $D(-6; 1)$.

Ответ: $(-2; -1)$ и $(-6; 1)$.

267. Найдите координаты точек, симметричных точкам $M (3; -4)$ и $K (4; 0)$ относительно прямой $y = x$.

267. Найдите координаты точек, симметричных точкам $M (3; -4)$ и $K (4; 0)$ относительно прямой $y = x$.

Чтобы найти координаты точки, симметричной данной точке относительно прямой $y=x$, необходимо поменять местами абсциссу и ординату исходной точки. Таким образом, точка с координатами $(x_0; y_0)$ переходит в точку с координатами $(y_0; x_0)$.

Для точки M(3; -4)

Исходная точка M имеет координаты $x = 3$ и $y = -4$. Для нахождения координат симметричной ей точки $M'$, поменяем местами её абсциссу и ординату. Новые координаты будут: $x' = -4$ и $y' = 3$. Следовательно, точка, симметричная точке M, это точка $M'(-4; 3)$.
Ответ: $M'(-4; 3)$.

Для точки K(4; 0)

Исходная точка K имеет координаты $x = 4$ и $y = 0$. Аналогично, для нахождения координат симметричной ей точки $K'$, поменяем местами её абсциссу и ординату. Новые координаты будут: $x' = 0$ и $y' = 4$. Следовательно, точка, симметричная точке K, это точка $K'(0; 4)$.
Ответ: $K'(0; 4)$.

268. Осями симметрии прямоугольника являются прямые $y = 5$ и $x = 3$. Одна из его вершин имеет координаты $(-2; 3)$. Найдите координаты остальных вершин прямоугольника.

268. Осями симметрии прямоугольника являются прямые $y = 5$ и $x = 3$. Одна из его вершин имеет координаты $(-2; 3)$. Найдите координаты остальных вершин прямоугольника.

Оси симметрии прямоугольника — это прямые, проходящие через середины его противоположных сторон. Точка пересечения осей симметрии является центром прямоугольника.

Найдем координаты центра прямоугольника (обозначим его O), который является точкой пересечения прямых $x = 3$ и $y = 5$. Следовательно, центр O имеет координаты $(3; 5)$.

Пусть данная вершина будет A с координатами $(-2; 3)$. Остальные три вершины B, C и D можно найти, используя свойства симметрии относительно осей и центра.

1. Найдем координаты вершины, симметричной вершине A относительно оси $x = 3$.

Пусть это будет вершина B с координатами $(x_B; y_B)$. При симметрии относительно вертикальной прямой $x = a$ координата y сохраняется, а новая координата x вычисляется по формуле $x' = 2a - x$.
$y_B = y_A = 3$
$x_B = 2 \cdot 3 - x_A = 6 - (-2) = 8$
Таким образом, координаты вершины B: $(8; 3)$.

2. Найдем координаты вершины, симметричной вершине A относительно оси $y = 5$.

Пусть это будет вершина D с координатами $(x_D; y_D)$. При симметрии относительно горизонтальной прямой $y = b$ координата x сохраняется, а новая координата y вычисляется по формуле $y' = 2b - y$.
$x_D = x_A = -2$
$y_D = 2 \cdot 5 - y_A = 10 - 3 = 7$
Таким образом, координаты вершины D: $(-2; 7)$.

3. Найдем координаты последней вершины C.

Вершина C симметрична вершине A относительно центра симметрии O$(3; 5)$. Координаты $(x_C; y_C)$ можно найти по формулам для центральной симметрии: $x_C = 2x_O - x_A$ и $y_C = 2y_O - y_A$.
$x_C = 2 \cdot 3 - (-2) = 6 + 2 = 8$
$y_C = 2 \cdot 5 - 3 = 10 - 3 = 7$
Таким образом, координаты вершины C: $(8; 7)$.

Ответ: $(8; 3)$, $(-2; 7)$, $(8; 7)$.

269. Диагонали ромба лежат на координатных осях. Найдите координаты вершин ромба, если середина одной из его сторон имеет координаты $ (4; -3) $.

269. Диагонали ромба лежат на координатных осях. Найдите координаты вершин ромба, если середина одной из его сторон имеет координаты $(4; -3)$.

Поскольку диагонали ромба лежат на координатных осях, их точка пересечения — это начало координат (0, 0). Вершины ромба также лежат на координатных осях. Обозначим полудлины диагоналей как $a$ и $b$. Тогда координаты вершин ромба можно записать как:$A(a, 0)$, $C(-a, 0)$, $B(0, b)$ и $D(0, -b)$, где $a > 0$ и $b > 0$.

Найдем координаты середины каждой из четырех сторон ромба, используя формулу для координат середины отрезка $M(\frac{x_1+x_2}{2}; \frac{y_1+y_2}{2})$.

• Середина стороны, соединяющей вершины $(a, 0)$ и $(0, b)$, имеет координаты $(\frac{a}{2}; \frac{b}{2})$. Эта точка находится в I координатной четверти.
• Середина стороны, соединяющей вершины $(0, b)$ и $(-a, 0)$, имеет координаты $(-\frac{a}{2}; \frac{b}{2})$. Эта точка находится во II координатной четверти.
• Середина стороны, соединяющей вершины $(-a, 0)$ и $(0, -b)$, имеет координаты $(-\frac{a}{2}; -\frac{b}{2})$. Эта точка находится в III координатной четверти.
• Середина стороны, соединяющей вершины $(0, -b)$ и $(a, 0)$, имеет координаты $(\frac{a}{2}; -\frac{b}{2})$. Эта точка находится в IV координатной четверти.

В условии задачи дано, что середина одной из сторон имеет координаты (4; -3). Эта точка расположена в IV координатной четверти. Следовательно, мы можем приравнять ее координаты к координатам середины соответствующей стороны:

$\frac{a}{2} = 4$

$-\frac{b}{2} = -3$

Решим полученную систему уравнений:

Из первого уравнения находим $a$:
$a = 4 \cdot 2 = 8$

Из второго уравнения находим $b$:
$b = 3 \cdot 2 = 6$

Теперь мы можем определить координаты всех вершин ромба, подставив найденные значения $a=8$ и $b=6$:

• $(a, 0) \rightarrow (8, 0)$
• $(-a, 0) \rightarrow (-8, 0)$
• $(0, b) \rightarrow (0, 6)$
• $(0, -b) \rightarrow (0, -6)$

Ответ: Координаты вершин ромба: (8; 0), (-8; 0), (0; 6) и (0; -6).

270. Отметьте точки $M$ и $K$. Постройте точку $M_1$, симметричную точку $M$ относительно точки $K$.

270. Отметьте точки $M$ и $K$. Постройте точку $M_1$, симметричную точку $M$ относительно точки $K$.

Чтобы построить точку $M_1$, симметричную точке $M$ относительно точки $K$, нужно воспользоваться определением центральной симметрии. Точка $M_1$ называется симметричной точке $M$ относительно центра $K$, если точка $K$ является серединой отрезка $MM_1$.

Построение выполняется следующим образом:

1. Отмечаем на плоскости две произвольные точки $M$ и $K$.
2. С помощью линейки проводим прямую через точки $M$ и $K$.
3. Измеряем расстояние между точками $M$ и $K$. Это можно сделать с помощью линейки или установив раствор циркуля равным длине отрезка $MK$.
4. На проведенной прямой, по другую сторону от точки $K$ (продолжая луч $MK$ за точку $K$), откладываем отрезок $KM_1$, равный по длине отрезку $MK$. Точка $M_1$ и будет искомой точкой.

В результате такого построения мы получим три точки $M$, $K$ и $M_1$, лежащие на одной прямой, причем точка $K$ будет находиться ровно посередине между точками $M$ и $M_1$. Это означает, что выполняется условие симметрии: $MK = KM_1$.

Ответ: Для построения точки $M_1$, симметричной точке $M$ относительно точки $K$, следует провести луч $MK$ и на его продолжении за точку $K$ отложить отрезок $KM_1$, равный отрезку $MK$.

271. Даны отрезок $AB$ и точка $O$ (рис. 23).

Постройте отрезок, симметричный отрезку $AB$ относительно точки $O$.

Рис. 23

271. Даны отрезок $AB$ и точка $O$ (рис. 23). Постройте отрезок, симметричный отрезку $AB$ относительно точки $O$.

Рис. 23

Для построения отрезка, симметричного отрезку $AB$ относительно точки $O$, необходимо построить точки $A'$ и $B'$, которые симметричны точкам $A$ и $B$ соответственно относительно точки $O$. Искомым отрезком будет отрезок $A'B'$.

Точка $X'$ называется симметричной точке $X$ относительно центра $O$, если точка $O$ является серединой отрезка $XX'$. Это значит, что точки $X$, $O$ и $X'$ лежат на одной прямой и расстояния $XO$ и $OX'$ равны.

Выполним построение на клетчатой бумаге по шагам:

1. Построение точки $A'$, симметричной точке $A$ относительно точки $O$.
   Чтобы переместиться из точки $A$ в точку $O$, нужно сдвинуться на 5 клеток вправо и на 1 клетку вверх. Для нахождения симметричной точки $A'$, необходимо выполнить такое же смещение от точки $O$. Таким образом, от точки $O$ сдвигаемся на 5 клеток вправо и на 1 клетку вверх и ставим точку $A'$.
2. Построение точки $B'$, симметричной точке $B$ относительно точки $O$.
   Чтобы переместиться из точки $B$ в точку $O$, нужно сдвинуться на 2 клетки вправо и на 2 клетки вниз. Аналогично, для нахождения точки $B'$, откладываем от точки $O$ такое же смещение: 2 клетки вправо и 2 клетки вниз. В полученном месте ставим точку $B'$.
3. Построение искомого отрезка $A'B'$.
   Соединяем полученные точки $A'$ и $B'$ прямым отрезком.

Отрезок $A'B'$ является искомым отрезком, симметричным отрезку $AB$ относительно точки $O$.

Ответ: Чтобы построить отрезок, симметричный отрезку $AB$ относительно точки $O$, нужно найти точки $A'$ и $B'$, симметричные концам $A$ и $B$ относительно $O$. Для этого нужно соединить точку $A$ с $O$ лучом и отложить на нем за точкой $O$ отрезок $OA' = AO$. Аналогично найти точку $B'$, отложив на луче $BO$ отрезок $OB' = BO$. Полученные точки $A'$ и $B'$ соединить отрезком. На данном рисунке точка $A'$ будет расположена на 5 клеток правее и на 1 клетку выше точки $O$, а точка $B'$ — на 2 клетки правее и на 2 клетки ниже точки $O$.

272. Начертите треугольник $ABC$ и отметьте точку $M$, лежащую вне треугольника. Постройте треугольник, симметричный данному относительно точки $M$.

272. Начертите треугольник $ABC$ и отметьте точку $M$, лежащую вне треугольника. Постройте треугольник, симметричный данному относительно точки $M$.

Чтобы построить треугольник, симметричный данному треугольнику $ABC$ относительно точки $M$, необходимо для каждой вершины исходного треугольника ($A$, $B$ и $C$) найти симметричную ей точку относительно центра $M$. Новый треугольник будет образован соединением этих новых точек.

Симметрия относительно точки (центральная симметрия) означает, что для любой точки $P$ ее симметричное отражение $P'$ находится на прямой, проходящей через $P$ и центр симметрии $M$, причем $M$ является серединой отрезка $PP'$.

Алгоритм построения:

1. Начертите произвольный треугольник $ABC$ и отметьте точку $M$ в любом месте вне треугольника.
2. Для построения точки $A'$, симметричной вершине $A$, проведите луч из точки $A$ через точку $M$. С помощью циркуля или линейки отложите на этом луче от точки $M$ отрезок $MA'$, равный по длине отрезку $AM$. Таким образом, точка $M$ будет серединой отрезка $AA'$, и будет выполняться равенство $AM = MA'$.
3. Аналогичным образом постройте точку $B'$, симметричную вершине $B$. Проведите луч $BM$ и на его продолжении отложите отрезок $MB'$, равный отрезку $BM$. Точка $M$ будет серединой отрезка $BB'$, то есть $BM = MB'$.
4. Повторите процедуру для вершины $C$. Проведите луч $CM$ и отложите на нем отрезок $MC'$, равный отрезку $CM$. Точка $M$ будет серединой отрезка $CC'$, то есть $CM = MC'$.
5. Соедините отрезками полученные точки $A'$, $B'$ и $C'$.

Полученный в результате этих построений треугольник $A'B'C'$ и будет искомым треугольником, симметричным треугольнику $ABC$ относительно точки $M$.

Ответ: Треугольник $A'B'C'$, вершины которого ($A'$, $B'$, $C'$) симметричны соответствующим вершинам ($A$, $B$, $C$) треугольника $ABC$ относительно точки $M$, является искомым треугольником.

273. Начертите угол $ABC$ и отметьте точку $O$, принадлежащую углу, но не принадлежащую его сторонам. Постройте угол, симметричный углу $ABC$ относительно точки $O$.

273. Начертите угол $ABC$ и отметьте точку $O$, принадлежащую углу, но не принадлежащую его сторонам. Постройте угол, симметричный углу $ABC$ относительно точки $O$.

Чтобы построить угол, симметричный углу $ABC$ относительно точки $O$, нужно выполнить построение точек, симметричных вершине и точкам на сторонах исходного угла, относительно центра симметрии $O$.

Алгоритм построения:

1. Начертим произвольный угол $ABC$. Точка $B$ является его вершиной, а лучи $BA$ и $BC$ — его сторонами. Внутри угла отметим точку $O$, которая не принадлежит его сторонам.

2. Построим точку $B'$, симметричную вершине $B$ относительно точки $O$. Для этого соединим точки $B$ и $O$ отрезком и продолжим его за точку $O$. На этой прямой отложим отрезок $OB'$, равный отрезку $OB$. Точка $O$ будет серединой отрезка $BB'$.

3. Построим точку $A'$, симметричную точке $A$ на стороне угла, относительно точки $O$. Проведем прямую через точки $A$ и $O$. На продолжении луча $AO$ за точку $O$ отложим отрезок $OA'$, равный отрезку $OA$.

4. Аналогично построим точку $C'$, симметричную точке $C$ на другой стороне угла, относительно точки $O$. Проведем прямую через точки $C$ и $O$ и на ее продолжении за точку $O$ отложим отрезок $OC'$, равный отрезку $OC$.

5. Соединим полученные точки. Проведем лучи из новой вершины $B'$ через точки $A'$ и $C'$. Полученный угол $A'B'C'$ является симметричным углу $ABC$ относительно точки $O$.

Центральная симметрия является движением, поэтому она сохраняет расстояния и углы. Следовательно, построенный угол $A'B'C'$ равен исходному углу $ABC$. Стороны симметричных углов будут попарно параллельны и противоположно направлены ($BA \parallel B'A'$ и $BC \parallel B'C'$).

Ответ: Искомый угол $A'B'C'$ получается путем построения точек $A'$, $B'$, $C'$, симметричных соответственно точкам $A$, $B$, $C$ относительно центра $O$, и проведения лучей $B'A'$ и $B'C'$ из новой вершины $B'$.

точки O.

274. Может ли образом прямой при центральной симметрии быть эта же прямая?

274. Может ли образом прямой при центральной симметрии быть эта же прямая?

Да, образом прямой при центральной симметрии может быть эта же самая прямая. Рассмотрим, при каком условии это возможно.

Центральная симметрия относительно точки $O$ (центра симметрии) — это преобразование плоскости, при котором каждая точка $A$ переходит в такую точку $A'$, что $O$ является серединой отрезка $AA'$.

Пусть дана прямая $l$. Существует два возможных варианта расположения центра симметрии $O$ относительно этой прямой:

1. Центр симметрии $O$ не принадлежит прямой $l$ ($O \notin l$).
В этом случае, для любой точки $A$, принадлежащей прямой $l$, ее симметричный образ $A'$ не будет лежать на прямой $l$. Образом прямой $l$ будет прямая $l'$, которая проходит через точку $A'$ и параллельна исходной прямой $l$. Так как $O \notin l$, прямые $l$ и $l'$ различны. Следовательно, прямая не переходит в себя.

2. Центр симметрии $O$ принадлежит прямой $l$ ($O \in l$).
Возьмем любую точку $A$ на прямой $l$. Ее образ $A'$ также должен лежать на прямой, проходящей через точки $A$ и $O$. Поскольку обе точки $A$ и $O$ лежат на прямой $l$, то и точка $A'$ будет лежать на той же прямой $l$. Это означает, что каждая точка прямой $l$ отображается в некоторую точку на этой же прямой. Следовательно, вся прямая $l$ отображается на себя.

Таким образом, прямая является своим образом при центральной симметрии тогда и только тогда, когда центр симметрии лежит на этой прямой.

Ответ: Да, может, если центр симметрии лежит на этой прямой.

275. Найдите координаты точки, симметричной точке $D(-5; -7)$ относительно начала координат.

275. Найдите координаты точки, симметричной точке $D (-5; -7)$ относительно начала координат.

Две точки называются симметричными относительно начала координат (центральная симметрия), если начало координат является серединой отрезка, соединяющего эти точки.

Пусть дана точка $D(x_D; y_D)$ с координатами $x_D = -5$ и $y_D = -7$. Начало координат — это точка $O(0; 0)$. Обозначим искомую симметричную точку как $D'(x'; y')$.

Поскольку точка $O(0; 0)$ является серединой отрезка $DD'$, её координаты можно найти по формулам координат середины отрезка:

$x_O = \frac{x_D + x'}{2}$

$y_O = \frac{y_D + y'}{2}$

Подставим известные значения и найдём $x'$:

$0 = \frac{-5 + x'}{2}$

$0 \cdot 2 = -5 + x'$

$0 = -5 + x'$

$x' = 5$

Теперь подставим известные значения и найдём $y'$:

$0 = \frac{-7 + y'}{2}$

$0 \cdot 2 = -7 + y'$

$0 = -7 + y'$

$y' = 7$

Таким образом, координаты искомой точки $D'$ равны $(5; 7)$.

Простым правилом для нахождения координат точки, симметричной точке $(x; y)$ относительно начала координат, является изменение знаков обеих координат на противоположные: $(-x; -y)$. Для точки $D(-5; -7)$ симметричной будет точка с координатами $(-(-5); -(-7))$, то есть $(5; 7)$.

Ответ: $(5; 7)$