Страница 26 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

217. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами в точках $A(-4; -5)$, $B(-3; 2)$, $C(3; 4)$ и $D(8; -1)$ является трапецией.

217. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами в точках $A(-4; -5)$, $B(-3; 2)$, $C(3; 4)$ и $D(8; -1)$ является трапецией.

Для того чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD является трапецией, необходимо показать, что одна пара его противоположных сторон параллельна, а другая — нет. Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты равны.

Координаты вершин четырёхугольника: A(-4; -5), B(-3; 2), C(3; 4) и D(8; -1).

Угловой коэффициент $k$ прямой, проходящей через две точки с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, вычисляется по формуле: $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Вычислим угловые коэффициенты для каждой стороны четырёхугольника:

1. Угловой коэффициент стороны AB, проходящей через точки A(-4; -5) и B(-3; 2):
$k_{AB} = \frac{2 - (-5)}{-3 - (-4)} = \frac{2 + 5}{-3 + 4} = \frac{7}{1} = 7$

2. Угловой коэффициент стороны BC, проходящей через точки B(-3; 2) и C(3; 4):
$k_{BC} = \frac{4 - 2}{3 - (-3)} = \frac{2}{3 + 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

3. Угловой коэффициент стороны CD, проходящей через точки C(3; 4) и D(8; -1):
$k_{CD} = \frac{-1 - 4}{8 - 3} = \frac{-5}{5} = -1$

4. Угловой коэффициент стороны DA, проходящей через точки D(8; -1) и A(-4; -5):
$k_{DA} = \frac{-5 - (-1)}{-4 - 8} = \frac{-5 + 1}{-12} = \frac{-4}{-12} = \frac{1}{3}$

Теперь сравним угловые коэффициенты противоположных сторон:

- Для сторон BC и DA: $k_{BC} = \frac{1}{3}$ и $k_{DA} = \frac{1}{3}$. Так как их угловые коэффициенты равны, стороны BC и DA параллельны (BC || DA).

- Для сторон AB и CD: $k_{AB} = 7$ и $k_{CD} = -1$. Так как их угловые коэффициенты не равны, стороны AB и CD не параллельны.

Поскольку у четырёхугольника ABCD ровно одна пара противоположных сторон параллельна, он является трапецией по определению. Что и требовалось доказать.

Ответ: Четырёхугольник ABCD является трапецией, так как его стороны BC и DA параллельны (их угловые коэффициенты равны $1/3$), а стороны AB и CD не параллельны (их угловые коэффициенты равны $7$ и $-1$ соответственно).

218. Лежат ли точки $A (4; 2)$, $B (5; 6)$ и $C (7; 14)$ на одной прямой?

218. Лежат ли точки $A(4; 2)$, $B(5; 6)$ и $C(7; 14)$ на одной прямой?

Чтобы определить, лежат ли точки A(4; 2), B(5; 6) и C(7; 14) на одной прямой, можно воспользоваться одним из следующих способов.

Сначала найдём уравнение прямой, проходящей через две из трёх точек, например, через точки A(4; 2) и B(5; 6). Уравнение прямой в общем виде выглядит так: $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — смещение по оси y.

Подставим координаты точек A и B в уравнение прямой, чтобы получить систему уравнений:

$\begin{cases} 2 = k \cdot 4 + b \\ 6 = k \cdot 5 + b \end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти $k$:

$(5k + b) - (4k + b) = 6 - 2$

$k = 4$

Теперь подставим найденное значение $k$ в первое уравнение, чтобы найти $b$:

$2 = 4 \cdot 4 + b$

$2 = 16 + b$

$b = 2 - 16 = -14$

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точки A и B, имеет вид: $y = 4x - 14$.

Теперь проверим, принадлежит ли точка C(7; 14) этой прямой. Для этого подставим её координаты в полученное уравнение:

$14 = 4 \cdot 7 - 14$

$14 = 28 - 14$

$14 = 14$

Равенство верное, следовательно, точка C лежит на той же прямой, что и точки A и B.

Ответ: Да, точки A, B и C лежат на одной прямой.

Если три точки лежат на одной прямой, то угловые коэффициенты отрезков, образованных этими точками, должны быть равны. Угловой коэффициент $k$ отрезка, соединяющего точки $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$, вычисляется по формуле: $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

Найдём угловой коэффициент отрезка AB, где A(4; 2) и B(5; 6):

$k_{AB} = \frac{6 - 2}{5 - 4} = \frac{4}{1} = 4$

Найдём угловой коэффициент отрезка BC, где B(5; 6) и C(7; 14):

$k_{BC} = \frac{14 - 6}{7 - 5} = \frac{8}{2} = 4$

Так как угловые коэффициенты $k_{AB}$ и $k_{BC}$ равны ($k_{AB} = k_{BC} = 4$) и у них есть общая точка B, все три точки A, B и C лежат на одной прямой.

Ответ: Да, точки A, B и C лежат на одной прямой.

219. О — точка пересечения диагоналей трапеции ABCD ($BC \parallel AD$), $BC = 3$, $AD = 7$. Найдите такое число $x$, что:

1) $\vec{OC} = x \cdot \vec{AC}$;

2) $\vec{OB} = x \cdot \vec{OD}$.

219. O — точка пересечения диагоналей трапеции ABCD ($BC \parallel AD$), $BC = 3$, $AD = 7$. Найдите такое число $x$, что:

1) $\vec{OC} = x \cdot \vec{AC}$;

2) $\vec{OB} = x \cdot \vec{OD}$.

Рассмотрим треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle DOA$, образованные пересечением диагоналей трапеции.

1. Угол $\angle BOC$ равен углу $\angle DOA$ как вертикальные углы.

2. Угол $\angle OCB$ равен углу $\angle OAD$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$.

Следовательно, треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle DOA$ подобны по двум углам.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон: $ \frac{OC}{OA} = \frac{OB}{OD} = \frac{BC}{AD} $

Подставим известные значения длин оснований $BC = 3$ и $AD = 7$: $ \frac{OC}{OA} = \frac{OB}{OD} = \frac{3}{7} $

1) $\overrightarrow{OC} = x \cdot \overrightarrow{AC}$

Точки $A, O, C$ лежат на одной прямой (диагонали $AC$), причем точка $O$ находится между $A$ и $C$. Следовательно, векторы $\overrightarrow{OC}$ и $\overrightarrow{AC}$ сонаправлены, и число $x$ будет положительным.

Длина вектора $\overrightarrow{AC}$ равна сумме длин векторов $\overrightarrow{AO}$ и $\overrightarrow{OC}$: $ |\overrightarrow{AC}| = AC = AO + OC $

Из соотношения подобия имеем $ \frac{OC}{OA} = \frac{3}{7} $, откуда $OA = \frac{7}{3}OC$.

Тогда $AC = \frac{7}{3}OC + OC = (\frac{7}{3} + 1)OC = \frac{10}{3}OC$.

Из условия $\overrightarrow{OC} = x \cdot \overrightarrow{AC}$ следует, что $x$ равно отношению длин векторов: $ x = \frac{|\overrightarrow{OC}|}{|\overrightarrow{AC}|} = \frac{OC}{AC} $

Подставим выражение для $AC$: $ x = \frac{OC}{\frac{10}{3}OC} = \frac{1}{\frac{10}{3}} = \frac{3}{10} $

Ответ: $x = \frac{3}{10}$

2) $\overrightarrow{OB} = x \cdot \overrightarrow{OD}$

Точки $B, O, D$ лежат на одной прямой (диагонали $BD$), причем точка $O$ находится между $B$ и $D$. Векторы $\overrightarrow{OB}$ и $\overrightarrow{OD}$ начинаются в одной точке $O$, но направлены в противоположные стороны. Следовательно, число $x$ будет отрицательным.

Модуль числа $x$ равен отношению длин векторов: $ |x| = \frac{|\overrightarrow{OB}|}{|\overrightarrow{OD}|} = \frac{OB}{OD} $

Из соотношения подобия треугольников мы знаем, что $ \frac{OB}{OD} = \frac{3}{7} $.

Значит, $|x| = \frac{3}{7}$.

Поскольку векторы противоположно направлены, $x$ отрицателен. $ x = -\frac{3}{7} $

Ответ: $x = -\frac{3}{7}$

220. Даны векторы $\vec{a}(3;-4)$, $\vec{b}(2; 3)$ и $\vec{m}(8; -5)$. Найдите такие числа $x$ и $y$, что $\vec{m} = x\vec{a} + y\vec{b}$.

220. Даны векторы $\vec{a}(3; -4)$, $\vec{b}(2; 3)$ и $\vec{m}(8; -5)$. Найдите такие числа x и y, что $\vec{m} = x\vec{a} + y\vec{b}$.

По условию задачи, вектор $\vec{m}$ является линейной комбинацией векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ с коэффициентами $x$ и $y$ соответственно: $\vec{m} = x\vec{a} + y\vec{b}$.

Запишем это векторное уравнение в координатной форме. Для этого подставим координаты данных векторов $\vec{a}(3; -4)$, $\vec{b}(2; 3)$ и $\vec{m}(8; -5)$.

Сначала найдем координаты векторов $x\vec{a}$ и $y\vec{b}$:

$x\vec{a} = x(3; -4) = (3x; -4x)$

$y\vec{b} = y(2; 3) = (2y; 3y)$

Теперь найдем координаты суммы векторов $x\vec{a} + y\vec{b}$:

$x\vec{a} + y\vec{b} = (3x + 2y; -4x + 3y)$

Подставим полученное выражение в исходное векторное уравнение:

$(8; -5) = (3x + 2y; -4x + 3y)$

Два вектора равны, если их соответствующие координаты равны. Это позволяет нам составить систему из двух линейных уравнений с двумя переменными $x$ и $y$:

$\begin{cases} 3x + 2y = 8 \\ -4x + 3y = -5\end{cases}$

Решим эту систему уравнений. Можно использовать метод сложения. Умножим первое уравнение на 4, а второе на 3, чтобы коэффициенты при $x$ стали противоположными по знаку:

$4 \cdot (3x + 2y = 8) \implies 12x + 8y = 32$

$3 \cdot (-4x + 3y = -5) \implies -12x + 9y = -15$

Теперь система выглядит так:

$\begin{cases} 12x + 8y = 32 \\ -12x + 9y = -15\end{cases}$

Сложим два уравнения почленно:

$(12x + 8y) + (-12x + 9y) = 32 + (-15)$

$17y = 17$

$y = 1$

Подставим найденное значение $y=1$ в первое уравнение исходной системы ($3x + 2y = 8$) для нахождения $x$:

$3x + 2(1) = 8$

$3x + 2 = 8$

$3x = 8 - 2$

$3x = 6$

$x = \frac{6}{3}$

$x = 2$

Таким образом, мы нашли искомые числа.

Ответ: $x = 2$, $y = 1$.

221. Найдите скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, если:

1) $|\vec{a}|=2, |\vec{b}|=5, \angle(\vec{a}, \vec{b})=60^{\circ}$;

2) $|\vec{a}|=4, |\vec{b}|=7, \angle(\vec{a}, \vec{b})=135^{\circ}$;

3) $|\vec{a}|=9, |\vec{b}|=8, \angle(\vec{a}, \vec{b})=90^{\circ}$.

221. Найдите скалярное произведение векторов $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $, если:

1) $ |\vec{a}|=2, |\vec{b}|=5, \angle(\vec{a}, \vec{b})=60^{\circ}; $

2) $ |\vec{a}|=4, |\vec{b}|=7, \angle(\vec{a}, \vec{b})=135^{\circ}; $

3) $ |\vec{a}|=9, |\vec{b}|=8, \angle(\vec{a}, \vec{b})=90^{\circ}. $

Скалярное произведение двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ определяется как произведение их длин (модулей) на косинус угла между ними. Формула для вычисления скалярного произведения выглядит следующим образом:$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\angle(\vec{a}, \vec{b}))$.Применим эту формулу для каждого из заданных случаев.

1) Даны значения: $|\vec{a}| = 2$, $|\vec{b}| = 5$, и угол между векторами $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 60^\circ$. Подставляем эти значения в формулу скалярного произведения: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 5 \cdot \cos(60^\circ)$. Так как $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5$.
Ответ: 5

2) Даны значения: $|\vec{a}| = 4$, $|\vec{b}| = 7$, и угол между векторами $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 135^\circ$. Подставляем значения в формулу: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot 7 \cdot \cos(135^\circ)$. Значение косинуса для угла $135^\circ$ равно $\cos(135^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Следовательно, скалярное произведение равно: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 28 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -14\sqrt{2}$.
Ответ: $-14\sqrt{2}$

3) Даны значения: $|\vec{a}| = 9$, $|\vec{b}| = 8$, и угол между векторами $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 90^\circ$. Подставляем значения в формулу: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 9 \cdot 8 \cdot \cos(90^\circ)$. Косинус прямого угла равен нулю: $\cos(90^\circ) = 0$. Поэтому скалярное произведение равно: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 72 \cdot 0 = 0$. Скалярное произведение равно нулю, что является признаком перпендикулярности (ортогональности) векторов.
Ответ: 0

222. Угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен $120^\circ$, $|\vec{a}|=5$, $|\vec{b}|=6$.
Найдите:

1) $\vec{a} \cdot \vec{b}$;

2) $(2\vec{a} + 3\vec{b}) \cdot \vec{a}$.

222. Угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен $120^\circ$, $|\vec{a}|=5$, $|\vec{b}|=6$.

Найдите:

1) $\vec{a} \cdot \vec{b};$

2) $(2\vec{a}+3\vec{b})\cdot \vec{a}.$

1) $\vec{a} \cdot \vec{b}$

Скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ определяется формулой: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$, где $\alpha$ — угол между векторами.

По условию задачи нам даны следующие значения:

• Длина вектора $\vec{a}$: $|\vec{a}|=5$
• Длина вектора $\vec{b}$: $|\vec{b}|=6$
• Угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$: $\alpha = 120^{\circ}$

Значение косинуса угла $120^{\circ}$ равно $\cos(120^{\circ}) = \cos(180^{\circ} - 60^{\circ}) = -\cos(60^{\circ}) = -1/2$.

Теперь подставим все известные значения в формулу скалярного произведения:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 5 \cdot 6 \cdot \cos(120^{\circ}) = 30 \cdot (-1/2) = -15$.

Ответ: -15

2) $(2\vec{a} + 3\vec{b}) \cdot \vec{a}$

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами скалярного произведения:

• Распределительный закон (дистрибутивность): $(\vec{x} + \vec{y}) \cdot \vec{z} = \vec{x} \cdot \vec{z} + \vec{y} \cdot \vec{z}$
• Сочетательный закон для скалярного множителя: $(k\vec{x}) \cdot \vec{y} = k(\vec{x} \cdot \vec{y})$

Раскроем скобки в заданном выражении:

$(2\vec{a} + 3\vec{b}) \cdot \vec{a} = (2\vec{a}) \cdot \vec{a} + (3\vec{b}) \cdot \vec{a}$

Применим сочетательный закон:

$2(\vec{a} \cdot \vec{a}) + 3(\vec{b} \cdot \vec{a})$

Скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его длины (модуля): $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$.

Также скалярное произведение коммутативно: $\vec{b} \cdot \vec{a} = \vec{a} \cdot \vec{b}$.

Таким образом, выражение преобразуется к виду:

$2|\vec{a}|^2 + 3(\vec{a} \cdot \vec{b})$

Из условия задачи мы знаем, что $|\vec{a}|=5$. Из предыдущего пункта мы вычислили, что $\vec{a} \cdot \vec{b} = -15$.

Подставим эти значения в полученное выражение:

$2 \cdot 5^2 + 3 \cdot (-15) = 2 \cdot 25 - 45 = 50 - 45 = 5$.

Ответ: 5

223. Угол между векторами $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $ равен $ 30^\circ $, $ |\vec{a}| = |\vec{b}| = 1 $.

Найдите скалярное произведение $ (\vec{a} - 2\vec{b})(\vec{a} + \vec{b}) $.

223. Угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен $30^\circ$, $|\vec{a}|=|\vec{b}|=1$.

Найдите скалярное произведение $(\vec{a}-2\vec{b})(\vec{a}+\vec{b})$.

Для того чтобы найти скалярное произведение $(\vec{a}-2\vec{b})(\vec{a}+\vec{b})$, мы воспользуемся свойствами скалярного произведения. Сначала раскроем скобки, как при умножении многочленов:

$(\vec{a}-2\vec{b}) \cdot (\vec{a}+\vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{b} - 2\vec{b} \cdot \vec{a} - 2\vec{b} \cdot \vec{b}$

Теперь используем следующие свойства скалярного произведения:

1. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля: $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$.

2. Скалярное произведение коммутативно: $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$.

Применив эти свойства, упростим выражение:

$\vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{b} - 2\vec{a} \cdot \vec{b} - 2\vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 - \vec{a} \cdot \vec{b} - 2|\vec{b}|^2$

Скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ вычисляется по формуле:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$, где $\alpha$ — угол между векторами.

Из условия задачи мы знаем, что $|\vec{a}| = 1$, $|\vec{b}| = 1$, а угол между ними равен $30^\circ$.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 1 \cdot \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь подставим все известные значения в наше упрощенное выражение:

$|\vec{a}|^2 - \vec{a} \cdot \vec{b} - 2|\vec{b}|^2 = 1^2 - \frac{\sqrt{3}}{2} - 2 \cdot 1^2 = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} - 2 = -1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $-1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$

224. Найдите скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, если:

1) $\vec{a}(3; 4)$, $\vec{b}(5; 2)$;

2) $\vec{a}(4; -3)$, $\vec{b}(-6; 1)$.

224. Найдите скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, если:

1) $\vec{a}(3; 4)$, $\vec{b}(5; 2)$;

2) $\vec{a}(4; -3)$, $\vec{b}(-6; 1)$.

Скалярное произведение двух векторов $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2)$, заданных своими координатами на плоскости, вычисляется по формуле:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2$

Используем эту формулу для решения задачи.

1) Даны векторы $\vec{a}(3; 4)$ и $\vec{b}(5; 2)$.

Здесь $x_1 = 3, y_1 = 4$ и $x_2 = 5, y_2 = 2$.

Подставим эти значения в формулу скалярного произведения:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 5 + 4 \cdot 2 = 15 + 8 = 23$

Ответ: 23

2) Даны векторы $\vec{a}(4; -3)$ и $\vec{b}(-6; 1)$.

Здесь $x_1 = 4, y_1 = -3$ и $x_2 = -6, y_2 = 1$.

Подставим эти значения в формулу скалярного произведения:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot (-6) + (-3) \cdot 1 = -24 - 3 = -27$

Ответ: -27

225. Даны векторы $ \vec{a}(3; -2) $ и $ \vec{b}(x; 4) $. При каком значении $ x $ выполняется равенство $ \vec{a} \cdot \vec{b} = 15 $?

225. Даны векторы $\vec{a}(3; -2)$ и $\vec{b}(x; 4)$. При каком значении х выполняется равенство $\vec{a} \cdot \vec{b} = 15$?

Для нахождения значения $x$, при котором выполняется равенство $\vec{a} \cdot \vec{b} = 15$, необходимо использовать формулу скалярного произведения векторов в координатах.

Скалярное произведение векторов $\vec{a}(a_1; a_2)$ и $\vec{b}(b_1; b_2)$ вычисляется как сумма произведений их соответствующих координат:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2$

Подставим в эту формулу координаты данных векторов $\vec{a}(3; -2)$ и $\vec{b}(x; 4)$:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot x + (-2) \cdot 4$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3x - 8$

По условию задачи, скалярное произведение равно 15. Составим уравнение и решим его относительно $x$:

$3x - 8 = 15$

$3x = 15 + 8$

$3x = 23$

$x = \frac{23}{3}$

Ответ: $\frac{23}{3}$

226. Найдите косинус угла между векторами $\vec{a}(-2; 3)$ и $\vec{b}(3; -4)$.

226. Найдите косинус угла между векторами $\vec{a}(-2; 3)$ и $\vec{b}(3; -4)$.

Косинус угла $\theta$ между двумя векторами $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле, основанной на их скалярном произведении:

$\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

где $\vec{a} \cdot \vec{b}$ — скалярное произведение векторов, а $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — их длины (модули).

Для заданных векторов $\vec{a}(-2; 3)$ и $\vec{b}(3; -4)$ последовательно найдем все необходимые величины.

1. Найдем скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 = (-2) \cdot 3 + 3 \cdot (-4) = -6 - 12 = -18$

2. Найдем длину (модуль) вектора $\vec{a}$:

$|\vec{a}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2} = \sqrt{(-2)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$

3. Найдем длину (модуль) вектора $\vec{b}$:

$|\vec{b}| = \sqrt{x_2^2 + y_2^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

4. Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла:

$\cos(\theta) = \frac{-18}{\sqrt{13} \cdot 5} = -\frac{18}{5\sqrt{13}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{13}$:

$\cos(\theta) = -\frac{18 \cdot \sqrt{13}}{5\sqrt{13} \cdot \sqrt{13}} = -\frac{18\sqrt{13}}{5 \cdot 13} = -\frac{18\sqrt{13}}{65}$

Ответ: $-\frac{18\sqrt{13}}{65}$.

227. Медианы $BM$ и $CD$ правильного треугольника $ABC$ со стороной 18 см пересекаются в точке $O$. Найдите скалярное произведение векторов:

1) $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$;

2) $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$;

3) $\vec{BM}$ и $\vec{AC}$;

4) $\vec{OM}$ и $\vec{OC}$;

5) $\vec{CD}$ и $\vec{OM}$;

6) $\vec{OB}$ и $\vec{OM}$.

227. Медианы $BM$ и $CD$ правильного треугольника $ABC$ со стороной 18 см пересекаются в точке $O$. Найдите скалярное произведение векторов:

1) $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$;

2) $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$;

3) $\vec{BM}$ и $\vec{AC}$;

4) $\vec{OM}$ и $\vec{OC}$;

5) $\vec{CD}$ и $\vec{OM}$;

6) $\vec{OB}$ и $\vec{OM}$.

Дан правильный треугольник $ABC$ со стороной $a = 18$ см. В правильном треугольнике все углы равны $60^\circ$, а медианы являются также высотами и биссектрисами.

Длина медианы (она же высота) в правильном треугольнике вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
$|\vec{BM}| = |\vec{CD}| = \frac{18\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3}$ см.
Точка пересечения медиан $O$ делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
$|\vec{BO}| = \frac{2}{3} |\vec{BM}| = \frac{2}{3} \cdot 9\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$ см.
$|\vec{OM}| = \frac{1}{3} |\vec{BM}| = \frac{1}{3} \cdot 9\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$ см.
$|\vec{CO}| = \frac{2}{3} |\vec{CD}| = \frac{2}{3} \cdot 9\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$ см.
$|\vec{OD}| = \frac{1}{3} |\vec{CD}| = \frac{1}{3} \cdot 9\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$ см.

Скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ находится по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$, где $\alpha$ — угол между векторами.

1) $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$
Длины векторов: $|\vec{AB}| = 18$ и $|\vec{AC}| = 18$.
Угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ равен углу при вершине $A$ треугольника $ABC$, то есть $\angle BAC = 60^\circ$.
$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos(60^\circ) = 18 \cdot 18 \cdot \frac{1}{2} = 162$.
Ответ: 162.

2) $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$
Длины векторов: $|\vec{AB}| = 18$ и $|\vec{BC}| = 18$.
Чтобы найти угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$, их нужно отложить от одной точки. Этот угол будет смежным с углом $\angle ABC$.
Угол между векторами равен $180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.
$\vec{AB} \cdot \vec{BC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{BC}| \cdot \cos(120^\circ) = 18 \cdot 18 \cdot (-\frac{1}{2}) = -162$.
Ответ: -162.

3) $\vec{BM}$ и $\vec{AC}$
В правильном треугольнике медиана $BM$ также является высотой, проведенной к стороне $AC$. Следовательно, $BM \perp AC$.
Угол между векторами $\vec{BM}$ и $\vec{AC}$ равен $90^\circ$.
$\vec{BM} \cdot \vec{AC} = |\vec{BM}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos(90^\circ) = 9\sqrt{3} \cdot 18 \cdot 0 = 0$.
Ответ: 0.

4) $\vec{OM}$ и $\vec{OC}$
Длины векторов: $|\vec{OM}| = 3\sqrt{3}$ и $|\vec{OC}| = 6\sqrt{3}$.
Угол между векторами равен $\angle MOC$. Рассмотрим $\triangle OMC$.
Так как $BM$ — высота, $\angle OMC = 90^\circ$.
Так как $CD$ — биссектриса, $\angle OCM = \frac{1}{2}\angle C = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ$.
Из суммы углов треугольника: $\angle MOC = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.
$\vec{OM} \cdot \vec{OC} = |\vec{OM}| \cdot |\vec{OC}| \cdot \cos(60^\circ) = 3\sqrt{3} \cdot 6\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 18 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = 27$.
Ответ: 27.

5) $\vec{CD}$ и $\vec{OM}$
Длины векторов: $|\vec{CD}| = 9\sqrt{3}$ и $|\vec{OM}| = 3\sqrt{3}$.
Векторы $\vec{CD}$ и $\vec{OD}$ сонаправлены. Вектор $\vec{OM}$ также сонаправлен с самим собой. Угол между $\vec{CD}$ и $\vec{OM}$ равен углу $\angle MOD$.
Угол $\angle MOD$ является вертикальным к углу $\angle BOC$. Найдем $\angle BOC$ из $\triangle BOC$ по теореме косинусов ($OB=OC=6\sqrt{3}$, $BC=18$):
$BC^2 = OB^2 + OC^2 - 2 \cdot OB \cdot OC \cdot \cos(\angle BOC)$
$18^2 = (6\sqrt{3})^2 + (6\sqrt{3})^2 - 2 \cdot (6\sqrt{3})^2 \cdot \cos(\angle BOC)$
$324 = 108 + 108 - 2 \cdot 108 \cdot \cos(\angle BOC)$
$108 = -216 \cos(\angle BOC) \Rightarrow \cos(\angle BOC) = -0.5 \Rightarrow \angle BOC = 120^\circ$.
Следовательно, $\angle MOD = \angle BOC = 120^\circ$.
$\vec{CD} \cdot \vec{OM} = |\vec{CD}| \cdot |\vec{OM}| \cdot \cos(120^\circ) = 9\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3} \cdot (-\frac{1}{2}) = 81 \cdot (-\frac{1}{2}) = -40,5$.
Ответ: -40,5.

6) $\vec{OB}$ и $\vec{OM}$
Длины векторов: $|\vec{OB}| = 6\sqrt{3}$ и $|\vec{OM}| = 3\sqrt{3}$.
Векторы $\vec{OB}$ и $\vec{OM}$ лежат на одной прямой (медиане $BM$), но направлены в противоположные стороны, так как точка $O$ лежит между $B$ и $M$.
Угол между ними равен $180^\circ$.
$\vec{OB} \cdot \vec{OM} = |\vec{OB}| \cdot |\vec{OM}| \cdot \cos(180^\circ) = 6\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3} \cdot (-1) = 54 \cdot (-1) = -54$.
Ответ: -54.