Страница 21 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

175. Какие из векторов, изображённых на рисунке 10:

1) равны;

2) сонаправлены;

3) противоположно направлены;

4) коллинеарны;

5) имеют равные модули?

Рис. 10

$\vec{a}$$\vec{b}$$\vec{c}$$\vec{d}$$\vec{e}$$\vec{f}$$\vec{m}$$\vec{n}$$\vec{k}$$\vec{s}$$\vec{x}$$\vec{q}$

175. Какие из векторов, изображённых на рисунке 10:

1) равны;

2) сонаправлены;

3) противоположно направлены;

4) коллинеарны;

5) имеют равные модули?

Рис. 10

Векторы, изображенные на рисунке:

$ \vec{a} $

$ \vec{b} $

$ \vec{c} $

$ \vec{d} $

$ \vec{e} $

$ \vec{f} $

$ \vec{m} $

$ \vec{k} $

$ \vec{n} $

$ \vec{s} $

$ \vec{x} $

$ \vec{q} $

Для решения задачи определим координаты каждого вектора, принимая за единицу длины сторону одной клетки координатной сетки. Начало каждого вектора мысленно поместим в начало координат. Тогда конец вектора будет иметь следующие координаты:

• $\vec{a} = (2; 2)$
• $\vec{b} = (2; -2)$
• $\vec{c} = (2; 2)$
• $\vec{d} = (2; 0)$
• $\vec{e} = (2; 0)$
• $\vec{f} = (2; 0)$
• $\vec{m} = (-2; 0)$
• $\vec{n} = (3; 0)$
• $\vec{k} = (-3; 0)$
• $\vec{s} = (1; -2)$
• $\vec{x} = (2; 2)$
• $\vec{q} = (1; 2)$

1) равны

Равные векторы — это векторы, которые сонаправлены и имеют одинаковую длину (модуль). Это означает, что их соответствующие координаты должны быть равны. Сравнивая координаты векторов, находим группы равных векторов:

• $\vec{a} = (2; 2)$, $\vec{c} = (2; 2)$, $\vec{x} = (2; 2)$. Таким образом, $\vec{a} = \vec{c} = \vec{x}$.
• $\vec{d} = (2; 0)$, $\vec{e} = (2; 0)$, $\vec{f} = (2; 0)$. Таким образом, $\vec{d} = \vec{e} = \vec{f}$.

Ответ: $\vec{a}$, $\vec{c}$ и $\vec{x}$; $\vec{d}$, $\vec{e}$ и $\vec{f}$.

2) сонаправлены

Сонаправленные векторы — это коллинеарные векторы, указывающие в одном направлении. Координаты одного такого вектора можно получить из координат другого умножением на положительное число.

• Векторы $\vec{a}=(2;2)$, $\vec{c}=(2;2)$ и $\vec{x}=(2;2)$ равны, следовательно, они сонаправлены.
• Векторы $\vec{d}=(2;0)$, $\vec{e}=(2;0)$, $\vec{f}=(2;0)$ и $\vec{n}=(3;0)$ направлены вдоль положительного направления оси абсцисс, поэтому они все сонаправлены.
• Векторы $\vec{m}=(-2;0)$ и $\vec{k}=(-3;0)$ направлены вдоль отрицательного направления оси абсцисс, поэтому они сонаправлены друг с другом.

Ответ: $\vec{a}, \vec{c}, \vec{x}$; $\vec{d}, \vec{e}, \vec{f}, \vec{n}$; $\vec{m}, \vec{k}$.

3) противоположно направлены

Противоположно направленные векторы — это коллинеарные векторы, указывающие в противоположных направлениях. Координаты одного такого вектора можно получить из координат другого умножением на отрицательное число.

• Группа векторов $\{\vec{d}, \vec{e}, \vec{f}, \vec{n}\}$ направлена вправо (положительное направление оси Ох).
• Группа векторов $\{\vec{m}, \vec{k}\}$ направлена влево (отрицательное направление оси Ох).

Следовательно, любой вектор из первой группы будет противоположно направлен любому вектору из второй группы. Например, $\vec{m} = -1 \cdot \vec{d}$. Ответ: векторы из группы $\{\vec{d}, \vec{e}, \vec{f}, \vec{n}\}$ противоположно направлены векторам из группы $\{\vec{m}, \vec{k}\}$.

4) коллинеарны

Коллинеарные векторы лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Они могут быть сонаправлены или противоположно направлены.

• Векторы $\vec{a}$, $\vec{c}$, $\vec{x}$ сонаправлены, а значит и коллинеарны.
• Все горизонтальные векторы $\vec{d}, \vec{e}, \vec{f}, \vec{n}, \vec{m}, \vec{k}$ лежат на параллельных прямых, следовательно, они коллинеарны между собой.

Ответ: $\vec{a}, \vec{c}, \vec{x}$; $\vec{d}, \vec{e}, \vec{f}, \vec{m}, \vec{n}, \vec{k}$.

5) имеют равные модули

Модуль (длина) вектора $\vec{v}=(v_x; v_y)$ вычисляется по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$. Вычислим модули всех векторов:

• $|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
• $|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
• $|\vec{c}| = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
• $|\vec{d}| = \sqrt{2^2 + 0^2} = 2$
• $|\vec{e}| = \sqrt{2^2 + 0^2} = 2$
• $|\vec{f}| = \sqrt{2^2 + 0^2} = 2$
• $|\vec{m}| = \sqrt{(-2)^2 + 0^2} = 2$
• $|\vec{n}| = \sqrt{3^2 + 0^2} = 3$
• $|\vec{k}| = \sqrt{(-3)^2 + 0^2} = 3$
• $|\vec{s}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{5}$
• $|\vec{x}| = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
• $|\vec{q}| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$

Группируем векторы с равными модулями:

• Длина $2\sqrt{2}$: $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{x}$
• Длина $2$: $\vec{d}, \vec{e}, \vec{f}, \vec{m}$
• Длина $3$: $\vec{n}, \vec{k}$
• Длина $\sqrt{5}$: $\vec{s}, \vec{q}$

Ответ: $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{x}$ (модуль равен $2\sqrt{2}$); $\vec{d}, \vec{e}, \vec{f}, \vec{m}$ (модуль равен $2$); $\vec{n}, \vec{k}$ (модуль равен $3$); $\vec{s}, \vec{q}$ (модуль равен $\sqrt{5}$).

176. Четырёхугольник $ABCD$ — ромб (рис. 11). Укажите вектор, равный вектору:

1) $ \overrightarrow{CD} $

2) $ \overrightarrow{DC} $

3) $ \overrightarrow{BO} $

4) $ \overrightarrow{DO} $

Рис. 11

176. Четырёхугольник ABCD — ромб (рис. 11). Укажите вектор, равный вектору: 1) $ \overrightarrow{CD} $; 2) $ \overrightarrow{DC} $; 3) $ \overrightarrow{BO} $; 4) $ \overrightarrow{DO} $.

Рис. 11

Два вектора называются равными, если они сонаправлены (имеют одинаковое направление) и их длины равны. Для решения задачи воспользуемся свойствами ромба $ABCD$.

1) $\overline{CD}$
По определению ромба, все его стороны равны, а противоположные стороны параллельны. Таким образом, сторона $BA$ параллельна стороне $CD$ ($BA \parallel CD$) и равна ей по длине ($|BA| = |CD|$). Вектор $\overline{BA}$ направлен от точки $B$ к точке $A$, что совпадает с направлением вектора $\overline{CD}$ (от $C$ к $D$). Следовательно, векторы $\overline{CD}$ и $\overline{BA}$ сонаправлены и их длины равны, а значит $\overline{CD} = \overline{BA}$.
Ответ: $\overline{BA}$.

2) $\overline{DC}$
Аналогично пункту 1, сторона $AB$ параллельна стороне $DC$ ($AB \parallel DC$) и равна ей по длине ($|AB| = |DC|$). Вектор $\overline{AB}$ направлен от точки $A$ к точке $B$, что совпадает с направлением вектора $\overline{DC}$ (от $D$ к $C$). Следовательно, векторы $\overline{DC}$ и $\overline{AB}$ сонаправлены и их длины равны, а значит $\overline{DC} = \overline{AB}$.
Ответ: $\overline{AB}$.

3) $\overline{BO}$
Диагонали ромба в точке пересечения $O$ делятся пополам. Это означает, что $BO = OD$. Векторы $\overline{BO}$ и $\overline{OD}$ лежат на одной прямой (диагонали $BD$) и направлены в одну сторону (от $B$ к $D$). Так как их длины равны и они сонаправлены, то $\overline{BO} = \overline{OD}$.
Ответ: $\overline{OD}$.

4) $\overline{DO}$
По свойству диагоналей ромба, $DO = OB$. Векторы $\overline{DO}$ и $\overline{OB}$ лежат на одной прямой (диагонали $BD$) и направлены в одну сторону (от $D$ к $B$). Так как их длины равны и они сонаправлены, то $\overline{DO} = \overline{OB}$.
Ответ: $\overline{OB}$.

177. В прямоугольнике $ABCD$

$AB = 5$ см, $BD = 13$ см, $O$ —

точка пересечения диагоналей. Найдите:

1) $|\overrightarrow{CD}|$;

2) $|\overrightarrow{AO}|$; 3) $|\overrightarrow{BC}|.$

177. В прямоугольнике $ABCD$ $AB = 5$ см, $BD = 13$ см, $O$ — точка пересечения диагоналей. Найдите:

1) $\left| \overrightarrow{CD} \right|$;

2) $\left| \overrightarrow{AO} \right|$;

3) $\left| \overrightarrow{BC} \right|$.

1) Дано, что $ABCD$ — прямоугольник. В прямоугольнике противоположные стороны равны по длине. Сторона $CD$ противоположна стороне $AB$. Следовательно, их длины равны. По условию задачи $AB = 5$ см. Таким образом, $|\overrightarrow{CD}| = AB = 5$ см.
Ответ: 5 см.

2) В прямоугольнике диагонали равны между собой и в точке пересечения делятся пополам. Точка $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. Это означает, что $AC = BD$ и $AO = OC = BO = OD$. По условию, длина диагонали $BD = 13$ см. Следовательно, длина отрезка $AO$ составляет половину длины диагонали $BD$. $|\overrightarrow{AO}| = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} \cdot 13 = 6,5$ см.
Ответ: 6,5 см.

3) Рассмотрим треугольник $\triangle BCD$. Так как $ABCD$ — прямоугольник, то все его углы прямые, в частности $\angle C = 90^\circ$. Следовательно, $\triangle BCD$ — прямоугольный треугольник, где $BC$ и $CD$ — катеты, а $BD$ — гипотенуза. По теореме Пифагора: $BC^2 + CD^2 = BD^2$. Нам известны длины гипотенузы $BD = 13$ см и катета $CD = 5$ см (из пункта 1). Подставим эти значения в уравнение: $|\overrightarrow{BC}|^2 + 5^2 = 13^2$. Вычислим: $|\overrightarrow{BC}|^2 + 25 = 169$. Отсюда $|\overrightarrow{BC}|^2 = 169 - 25 = 144$. Найдем длину $BC$, извлекая квадратный корень: $|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{144} = 12$ см.
Ответ: 12 см.

178. Найдите координаты вектора $\vec{AB}$, если:

1) A (5; -7), B (3; 1);

2) A (-8; 0), B (0; 8).

178. Найдите координаты вектора $\vec{AB}$, если:

1) $A (5; -7), B (3; 1);$

2) $A (-8; 0), B (0; 8).$

Чтобы найти координаты вектора $\vec{AB}$, зная координаты его начальной точки $A(x_A; y_A)$ и конечной точки $B(x_B; y_B)$, необходимо из координат конечной точки вычесть соответствующие координаты начальной точки. Формула для вычисления координат вектора выглядит следующим образом:

$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A)$

1) A (5; -7), B (3; 1)

Подставим координаты точек $A$ и $B$ в формулу. Здесь $x_A = 5$, $y_A = -7$ и $x_B = 3$, $y_B = 1$.

Координата по оси x:

$x_B - x_A = 3 - 5 = -2$

Координата по оси y:

$y_B - y_A = 1 - (-7) = 1 + 7 = 8$

Таким образом, координаты вектора $\vec{AB}$ равны $(-2; 8)$.

Ответ: $\vec{AB}(-2; 8)$.

2) A (-8; 0), B (0; 8)

Аналогично подставим координаты точек $A$ и $B$ в формулу. Здесь $x_A = -8$, $y_A = 0$ и $x_B = 0$, $y_B = 8$.

Координата по оси x:

$x_B - x_A = 0 - (-8) = 0 + 8 = 8$

Координата по оси y:

$y_B - y_A = 8 - 0 = 8$

Таким образом, координаты вектора $\vec{AB}$ равны $(8; 8)$.

Ответ: $\vec{AB}(8; 8)$.

179. Даны точки A $(3; -7)$, B $(x; -5)$, C $(5; 8)$, D $(5, y)$. Найдите x и y, если $\vec{AB} = \vec{CD}$.

179. Даны точки A (3; -7), B (x; -5), C (5; 8), D (5, y). Найдите x и y, если $\vec{AB} = \vec{CD}$.

По условию задачи вектор $\vec{AB}$ равен вектору $\vec{CD}$. Два вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты.

Координаты вектора, заданного начальной точкой $P_1(x_1; y_1)$ и конечной точкой $P_2(x_2; y_2)$, вычисляются по формуле: $\vec{P_1P_2} = (x_2 - x_1; y_2 - y_1)$.

1. Найдем координаты вектора $\vec{AB}$, используя координаты точек $A(3; -7)$ и $B(x; -5)$:

$\vec{AB} = (x - 3; -5 - (-7)) = (x - 3; -5 + 7) = (x - 3; 2)$.

2. Найдем координаты вектора $\vec{CD}$, используя координаты точек $C(5; 8)$ и $D(5; y)$:

$\vec{CD} = (5 - 5; y - 8) = (0; y - 8)$.

3. Так как $\vec{AB} = \vec{CD}$, мы можем приравнять их соответствующие координаты и составить систему уравнений:

$\begin{cases} x - 3 = 0 \\ 2 = y - 8 \end{cases}$

4. Решим каждое уравнение системы, чтобы найти $x$ и $y$.

Из первого уравнения находим $x$:

$x - 3 = 0$

$x = 3$

Из второго уравнения находим $y$:

$2 = y - 8$

$y = 2 + 8$

$y = 10$

Таким образом, искомые значения переменных равны $x=3$ и $y=10$.

Ответ: $x = 3, y = 10$.