Страница 27 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

228. Даны векторы $\vec{a}(5; 2)$ и $\vec{b}(-4; y)$. При каком значении $y$ векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ перпендикулярны?

228. Даны векторы $\vec{a}(5; 2)$ и $\vec{b}(-4; y)$. При каком значении $y$ векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ перпендикулярны?

Два вектора считаются перпендикулярными, если их скалярное произведение равно нулю.

Даны векторы с координатами $\vec{a}(5; 2)$ и $\vec{b}(-4; y)$.

Скалярное произведение векторов $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2)$ находится по формуле:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2$

Чтобы векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ были перпендикулярны, должно выполняться условие $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$. Подставим координаты данных векторов в это равенство:
$5 \cdot (-4) + 2 \cdot y = 0$

Теперь решим полученное уравнение, чтобы найти значение $y$:
$-20 + 2y = 0$
$2y = 20$
$y = \frac{20}{2}$
$y = 10$

Таким образом, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ перпендикулярны при $y = 10$.

Ответ: 10

229. Даны векторы $ \vec{a}(3; -5) $ и $ \vec{b}(x; 6) $. При каких значениях x угол между векторами $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $:1) острый; 2) прямой; 3) тупой?

229. Даны векторы $\vec{a}(3;-5)$ и $\vec{b}(x; 6)$. При каких значениях $x$ угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

1) острый;

2) прямой;

3) тупой?

Тип угла между двумя ненулевыми векторами определяется знаком их скалярного произведения. Если скалярное произведение положительно, угол острый; если равно нулю — прямой; если отрицательно — тупой.

Скалярное произведение векторов $\vec{a}(a_1; a_2)$ и $\vec{b}(b_1; b_2)$ вычисляется по формуле: $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2$.

Для данных векторов $\vec{a}(3; -5)$ и $\vec{b}(x; 6)$ скалярное произведение равно:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot x + (-5) \cdot 6 = 3x - 30$.

Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ являются ненулевыми при любых значениях $x$, так как их длины всегда больше нуля.

1) острый

Угол между векторами является острым, если их скалярное произведение положительно, то есть $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$.

Решим неравенство:

$3x - 30 > 0$

$3x > 30$

$x > 10$

Ответ: при $x > 10$.

2) прямой

Угол между векторами является прямым, если их скалярное произведение равно нулю, то есть $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$. В этом случае векторы перпендикулярны.

Решим уравнение:

$3x - 30 = 0$

$3x = 30$

$x = 10$

Ответ: при $x = 10$.

3) тупой

Угол между векторами является тупым, если их скалярное произведение отрицательно, то есть $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$.

Решим неравенство:

$3x - 30 < 0$

$3x < 30$

$x < 10$

Ответ: при $x < 10$.

230. Найдите координаты вектора $\vec{m}$, коллинеарного вектору $\vec{n}(-3; 1)$, если $\vec{m} \cdot \vec{n} = 24$.

230. Найдите координаты вектора $ \vec{m} $, коллинеарного вектору $ \vec{n}(-3; 1) $, если $ \vec{m} \cdot \vec{n} = 24 $.

По условию задачи, вектор $\vec{m}$ коллинеарен вектору $\vec{n}(-3; 1)$. Два вектора называются коллинеарными, если один из них можно выразить через другой, умножив на некоторое число (скаляр). Обозначим это число как $k$. Тогда можно записать равенство:

$\vec{m} = k \cdot \vec{n}$

Пусть вектор $\vec{m}$ имеет координаты $(x; y)$. Тогда, исходя из определения умножения вектора на число, его координаты будут равны:

$x = k \cdot (-3) = -3k$

$y = k \cdot 1 = k$

Таким образом, координаты вектора $\vec{m}$ можно выразить через $k$: $\vec{m}(-3k; k)$.

Также нам дано, что скалярное произведение векторов $\vec{m}$ и $\vec{n}$ равно 24:

$\vec{m} \cdot \vec{n} = 24$

Скалярное произведение векторов $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2$

Подставим координаты векторов $\vec{m}(-3k; k)$ и $\vec{n}(-3; 1)$ в эту формулу:

$\vec{m} \cdot \vec{n} = (-3k) \cdot (-3) + k \cdot 1 = 9k + k = 10k$

Теперь приравняем полученное выражение к заданному значению скалярного произведения и решим уравнение относительно $k$:

$10k = 24$

$k = \frac{24}{10} = 2.4$

Зная значение $k$, мы можем найти координаты вектора $\vec{m}$, подставив $k=2.4$ в выражения для его координат:

$x = -3k = -3 \cdot 2.4 = -7.2$

$y = k = 2.4$

Следовательно, искомые координаты вектора $\vec{m}$ равны $(-7.2; 2.4)$.

Ответ: $\vec{m}(-7.2; 2.4)$

231. Найдите координаты вектора, перпендикулярного вектору $\vec{m}(2; 5)$, модуль которого равен модулю вектора $\vec{m}$.

231. Найдите координаты вектора, перпендикулярного вектору $ \vec{m}(2; 5) $, модуль которого равен модулю вектора $ m $.

Пусть искомый вектор $\vec{n}$ имеет координаты $(x; y)$. Согласно условию задачи, он должен удовлетворять двум требованиям.

Первое требование: вектор $\vec{n}$ должен быть перпендикулярен вектору $\vec{m}(2; 5)$. Два вектора на плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение векторов $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2$.

Применив это правило к нашим векторам, получим первое уравнение:

$2 \cdot x + 5 \cdot y = 0$

Второе требование: модуль (длина) искомого вектора должен быть равен модулю вектора $\vec{m}$. Модуль вектора $\vec{a}(x_a; y_a)$ вычисляется по формуле $|\vec{a}| = \sqrt{x_a^2 + y_a^2}$.

Сначала вычислим модуль вектора $\vec{m}$:

$|\vec{m}| = \sqrt{2^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29}$

Модуль искомого вектора $\vec{n}$ равен $|\vec{n}| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

Из условия $|\vec{n}| = |\vec{m}|$ следует второе уравнение:

$\sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{29}$

Возведя обе части в квадрат, получим:

$x^2 + y^2 = 29$

Теперь нам нужно решить систему из двух полученных уравнений:

$\begin{cases} 2x + 5y = 0 \\ x^2 + y^2 = 29 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим переменную $x$ через $y$:

$2x = -5y \implies x = -\frac{5}{2}y$

Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$(-\frac{5}{2}y)^2 + y^2 = 29$

$\frac{25}{4}y^2 + y^2 = 29$

Чтобы избавиться от дроби, приведем к общему знаменателю:

$\frac{25y^2 + 4y^2}{4} = 29$

$\frac{29y^2}{4} = 29$

Разделим обе части уравнения на 29:

$\frac{y^2}{4} = 1 \implies y^2 = 4$

Это уравнение имеет два корня: $y_1 = 2$ и $y_2 = -2$.

Для каждого значения $y$ найдем соответствующее значение $x$:

1. Если $y_1 = 2$, то $x_1 = -\frac{5}{2} \cdot 2 = -5$. Координаты первого возможного вектора: $(-5; 2)$.
2. Если $y_2 = -2$, то $x_2 = -\frac{5}{2} \cdot (-2) = 5$. Координаты второго возможного вектора: $(5; -2)$.

Таким образом, существуют два вектора, удовлетворяющие условиям задачи.

Ответ: $(-5; 2)$ или $(5; -2)$.

232. Даны векторы $\vec{a}(-2; 3)$ и $\vec{b}(1; -3)$. Найдите значение $m$, при котором векторы $\vec{a} + m\vec{b}$ и $\vec{b}$ перпендикулярны.

232. Даны векторы $\vec{a}(-2; 3)$ и $\vec{b}(1; -3)$. Найдите значение $m$, при котором векторы $\vec{a} + m\vec{b}$ и $\vec{b}$ перпендикулярны.

По условию, даны векторы $\vec{a}(-2; 3)$ и $\vec{b}(1; -3)$.

Два вектора являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Векторы, о которых идет речь в задаче, это $\vec{a} + m\vec{b}$ и $\vec{b}$.

Следовательно, для их перпендикулярности должно выполняться условие:

$(\vec{a} + m\vec{b}) \cdot \vec{b} = 0$

Для начала найдем координаты вектора $\vec{a} + m\vec{b}$.

1. Найдем координаты вектора $m\vec{b}$:

$m\vec{b} = m(1; -3) = (m \cdot 1; m \cdot (-3)) = (m; -3m)$

2. Теперь найдем координаты вектора $\vec{a} + m\vec{b}$, сложив соответствующие координаты векторов $\vec{a}$ и $m\vec{b}$:

$\vec{a} + m\vec{b} = (-2; 3) + (m; -3m) = (-2 + m; 3 - 3m)$

Теперь, когда у нас есть координаты обоих векторов, мы можем вычислить их скалярное произведение и приравнять его к нулю.

Скалярное произведение векторов $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле $x_1x_2 + y_1y_2$.

В нашем случае, векторы это $(-2 + m; 3 - 3m)$ и $(1; -3)$.

$(-2 + m) \cdot 1 + (3 - 3m) \cdot (-3) = 0$

Решим полученное линейное уравнение относительно $m$:

$-2 + m - 9 + 9m = 0$

Сгруппируем подобные члены:

$(m + 9m) + (-2 - 9) = 0$

$10m - 11 = 0$

$10m = 11$

$m = \frac{11}{10}$

$m = 1.1$

Таким образом, при значении $m = 1.1$ векторы $\vec{a} + m\vec{b}$ и $\vec{b}$ будут перпендикулярны.

Ответ: $1.1$

233. Даны векторы $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $, $ |\vec{a}|=3 $, $ |\vec{b}|=2 $, $ \angle(\vec{a}, \vec{b})=60^{\circ} $. Найдите:

1) $ |\vec{a}+\vec{b}|; $

2) $ |2\vec{a}-3\vec{b}|. $

233. Даны векторы $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $, $ |\vec{a}|=3 $, $ |\vec{b}|=2 $, $ \angle(\vec{a}, \vec{b})=60^{\circ} $. Найдите:

1) $ |\vec{a}+\vec{b}|; $

2) $ |2\vec{a}-3\vec{b}|. $

Для решения задачи воспользуемся свойством скалярного произведения векторов. Квадрат модуля (длины) вектора равен его скалярному квадрату: $|\vec{c}|^2 = \vec{c} \cdot \vec{c}$.

Сначала вычислим скалярное произведение исходных векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, используя формулу $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\angle(\vec{a}, \vec{b}))$.

Подставим данные из условия: $|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 2$, $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 60^\circ$.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 2 \cdot \cos(60^\circ) = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$.

Найдем квадрат модуля вектора суммы $\vec{a}+\vec{b}$.

$|\vec{a}+\vec{b}|^2 = (\vec{a}+\vec{b}) \cdot (\vec{a}+\vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$.

Подставим известные значения в полученное выражение:

$|\vec{a}+\vec{b}|^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 + 2^2 = 9 + 6 + 4 = 19$.

Тогда модуль вектора $\vec{a}+\vec{b}$ равен корню из этого значения:

$|\vec{a}+\vec{b}| = \sqrt{19}$.

Ответ: $\sqrt{19}$.

Аналогично найдем квадрат модуля вектора $2\vec{a}-3\vec{b}$.

$|2\vec{a}-3\vec{b}|^2 = (2\vec{a}-3\vec{b}) \cdot (2\vec{a}-3\vec{b}) = (2\vec{a}) \cdot (2\vec{a}) - 2(2\vec{a} \cdot 3\vec{b}) + (3\vec{b}) \cdot (3\vec{b})$

$= 4(\vec{a} \cdot \vec{a}) - 12(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 9(\vec{b} \cdot \vec{b}) = 4|\vec{a}|^2 - 12(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 9|\vec{b}|^2$.

Подставим известные значения:

$|2\vec{a}-3\vec{b}|^2 = 4 \cdot 3^2 - 12 \cdot 3 + 9 \cdot 2^2 = 4 \cdot 9 - 36 + 9 \cdot 4 = 36 - 36 + 36 = 36$.

Тогда модуль вектора $2\vec{a}-3\vec{b}$ равен:

$|2\vec{a}-3\vec{b}| = \sqrt{36} = 6$.

Ответ: $6$.

234. Найдите косинус угла между векторами $\vec{a} = \vec{m} + 3\vec{n}$ и $\vec{b} = 2\vec{m} - \vec{n}$, если $|\vec{m}| = |\vec{n}| = 1$ и $\vec{m} \perp \vec{n}$.

234. Найдите косинус угла между векторами $\vec{a} = \vec{m} + 3\vec{n}$ и $\vec{b} = 2\vec{m} - \vec{n}$, если $|\vec{m}| = |\vec{n}| = 1$ и $\vec{m} \perp \vec{n}$.

Косинус угла $\alpha$ между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ определяется по формуле скалярного произведения:

$\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

где $\vec{a} \cdot \vec{b}$ — скалярное произведение векторов, а $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — их длины (модули).

Нам даны векторы $\vec{a} = \vec{m} + 3\vec{n}$ и $\vec{b} = 2\vec{m} - \vec{n}$, а также условия: $|\vec{m}| = 1$, $|\vec{n}| = 1$ и $\vec{m} \perp \vec{n}$.

Условие перпендикулярности векторов $\vec{m}$ и $\vec{n}$ означает, что их скалярное произведение равно нулю: $\vec{m} \cdot \vec{n} = 0$.

Для нахождения косинуса угла выполним три шага.

1. Вычислим скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$

Используя свойства скалярного произведения, раскроем скобки:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (\vec{m} + 3\vec{n}) \cdot (2\vec{m} - \vec{n}) = \vec{m} \cdot (2\vec{m}) - \vec{m} \cdot \vec{n} + (3\vec{n}) \cdot (2\vec{m}) - (3\vec{n}) \cdot \vec{n}$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2(\vec{m} \cdot \vec{m}) - \vec{m} \cdot \vec{n} + 6(\vec{n} \cdot \vec{m}) - 3(\vec{n} \cdot \vec{n})$

Зная, что $\vec{m} \cdot \vec{m} = |\vec{m}|^2$, $\vec{n} \cdot \vec{n} = |\vec{n}|^2$ и $\vec{m} \cdot \vec{n} = 0$, подставим заданные значения:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2|\vec{m}|^2 + 5(\vec{m} \cdot \vec{n}) - 3|\vec{n}|^2 = 2 \cdot 1^2 + 5 \cdot 0 - 3 \cdot 1^2 = 2 - 3 = -1$.

2. Вычислим длины векторов $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$

Длина вектора - это корень квадратный из его скалярного квадрата ($|\vec{v}| = \sqrt{\vec{v}^2} = \sqrt{\vec{v} \cdot \vec{v}}$). Найдем квадраты длин векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$|\vec{a}|^2 = (\vec{m} + 3\vec{n})^2 = (\vec{m} + 3\vec{n}) \cdot (\vec{m} + 3\vec{n}) = |\vec{m}|^2 + 6(\vec{m} \cdot \vec{n}) + 9|\vec{n}|^2$

Подставляем известные значения:

$|\vec{a}|^2 = 1^2 + 6 \cdot 0 + 9 \cdot 1^2 = 1 + 9 = 10$.

Следовательно, длина вектора $\vec{a}$ равна $|\vec{a}| = \sqrt{10}$.

Аналогично для вектора $\vec{b}$:

$|\vec{b}|^2 = (2\vec{m} - \vec{n})^2 = (2\vec{m} - \vec{n}) \cdot (2\vec{m} - \vec{n}) = 4|\vec{m}|^2 - 4(\vec{m} \cdot \vec{n}) + |\vec{n}|^2$

Подставляем известные значения:

$|\vec{b}|^2 = 4 \cdot 1^2 - 4 \cdot 0 + 1^2 = 4 + 1 = 5$.

Следовательно, длина вектора $\vec{b}$ равна $|\vec{b}| = \sqrt{5}$.

3. Найдем косинус угла между векторами

Теперь подставим все найденные значения в исходную формулу:

$\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{-1}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{5}} = \frac{-1}{\sqrt{50}}$

Упростим знаменатель: $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$.

$\cos(\alpha) = \frac{-1}{5\sqrt{2}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$\cos(\alpha) = \frac{-1 \cdot \sqrt{2}}{5\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{-\sqrt{2}}{5 \cdot 2} = -\frac{\sqrt{2}}{10}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{10}$.

235. Найдите косинусы углов, которые образует вектор $\vec{AB}$, если A (-5; 4), B (1; -4), с положительными направлениями координатных осей.

235. Найдите косинусы углов, которые образует вектор $\vec{AB}$, если A (-5; 4), B (1; -4), с положительными направлениями координатных осей.

Для того чтобы найти косинусы углов, которые вектор образует с положительными направлениями координатных осей (также известные как направляющие косинусы), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти координаты вектора $\vec{AB}$

Координаты вектора, заданного двумя точками $A(x_A; y_A)$ и $B(x_B; y_B)$, вычисляются по формуле: $\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A)$.

Подставим координаты данных точек $A(-5; 4)$ и $B(1; -4)$: $\vec{AB} = (1 - (-5); -4 - 4) = (1 + 5; -8) = (6; -8)$. Итак, координаты вектора $\vec{AB}$ равны $(6; -8)$.

2. Найти модуль (длину) вектора $\vec{AB}$

Модуль вектора $\vec{a}(a_x; a_y)$ вычисляется по формуле: $|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}$.

Для вектора $\vec{AB}(6; -8)$ его модуль будет равен: $|\vec{AB}| = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.

3. Найти направляющие косинусы вектора $\vec{AB}$

Косинус угла $\alpha$, который вектор образует с положительным направлением оси Ox, равен отношению абсциссы вектора к его модулю: $\cos \alpha = \frac{x_{AB}}{|\vec{AB}|}$.

Косинус угла $\beta$, который вектор образует с положительным направлением оси Oy, равен отношению ординаты вектора к его модулю: $\cos \beta = \frac{y_{AB}}{|\vec{AB}|}$.

Вычисляем значения для нашего вектора:
Косинус угла с осью Ox: $\cos \alpha = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.
Косинус угла с осью Oy: $\cos \beta = \frac{-8}{10} = -\frac{4}{5}$.

Ответ: косинус угла с положительным направлением оси Ox равен $\frac{3}{5}$, а с положительным направлением оси Oy — $-\frac{4}{5}$.

236. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами $A (-2; 1)$, $B (2; 5)$, $C (5; 2)$ и $D (1; -2)$ является прямоугольником.

236. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами $A (-2; 1), B (2; 5), C (5; 2)$ и $D (1; -2)$ является прямоугольником.

Для того чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, можно воспользоваться одним из его определений: прямоугольник — это параллелограмм, у которого есть хотя бы один прямой угол. Доказательство проведём в два этапа: сначала докажем, что ABCD — параллелограмм, а затем — что у него есть прямой угол.

1. Доказательство того, что ABCD — параллелограмм.

Один из признаков параллелограмма в координатах — равенство угловых коэффициентов противолежащих сторон. Найдём угловые коэффициенты всех сторон четырёхугольника по формуле $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

• Угловой коэффициент стороны AB с вершинами A(-2; 1) и B(2; 5):
  $k_{AB} = \frac{5 - 1}{2 - (-2)} = \frac{4}{4} = 1$.
• Угловой коэффициент стороны BC с вершинами B(2; 5) и C(5; 2):
  $k_{BC} = \frac{2 - 5}{5 - 2} = \frac{-3}{3} = -1$.
• Угловой коэффициент стороны CD с вершинами C(5; 2) и D(1; -2):
  $k_{CD} = \frac{-2 - 2}{1 - 5} = \frac{-4}{-4} = 1$.
• Угловой коэффициент стороны DA с вершинами D(1; -2) и A(-2; 1):
  $k_{DA} = \frac{1 - (-2)}{-2 - 1} = \frac{3}{-3} = -1$.

Сравним угловые коэффициенты противолежащих сторон: $k_{AB} = k_{CD} = 1$, следовательно, сторона $AB$ параллельна стороне $CD$ ($AB \parallel CD$).
$k_{BC} = k_{DA} = -1$, следовательно, сторона $BC$ параллельна стороне $DA$ ($BC \parallel DA$).
Поскольку противолежащие стороны четырёхугольника попарно параллельны, ABCD является параллелограммом.

2. Доказательство наличия прямого угла.

В координатной плоскости две прямые (невертикальные) перпендикулярны, если произведение их угловых коэффициентов равно -1. Проверим это условие для смежных сторон, например, AB и BC.

$k_{AB} \cdot k_{BC} = 1 \cdot (-1) = -1$.

Так как произведение угловых коэффициентов равно -1, стороны $AB$ и $BC$ перпендикулярны ($AB \perp BC$), а значит, угол $\angle B$ является прямым.

Поскольку ABCD — это параллелограмм, у которого есть прямой угол, он по определению является прямоугольником.

Ответ: Четырёхугольник ABCD с заданными вершинами является прямоугольником, что и требовалось доказать.

237. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами $A (-2; 3)$, $B (2; 7)$, $C (6; 3)$ и $D (2; -1)$ является квадратом.

237. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами $A (-2; 3)$, $B (2; 7)$, $C (6; 3)$ и $D (2; -1)$ является квадратом.

Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является квадратом, необходимо установить, что все его стороны равны между собой и его диагонали также равны.

Даны координаты вершин: A(–2; 3), B(2; 7), C(6; 3), D(2; –1).

Для вычисления длин отрезков будем использовать формулу расстояния между двумя точками с координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Длина стороны AB:
$AB = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (7 - 3)^2} = \sqrt{(2+2)^2 + 4^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32}$.

Длина стороны BC:
$BC = \sqrt{(6 - 2)^2 + (3 - 7)^2} = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32}$.

Длина стороны CD:
$CD = \sqrt{(2 - 6)^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32}$.

Длина стороны DA:
$DA = \sqrt{(-2 - 2)^2 + (3 - (-1))^2} = \sqrt{(-4)^2 + (3+1)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32}$.

Так как $AB = BC = CD = DA = \sqrt{32}$, все стороны четырехугольника равны. Это означает, что ABCD является ромбом.

Длина диагонали AC:
$AC = \sqrt{(6 - (-2))^2 + (3 - 3)^2} = \sqrt{(6+2)^2 + 0^2} = \sqrt{8^2} = 8$.

Длина диагонали BD:
$BD = \sqrt{(2 - 2)^2 + (-1 - 7)^2} = \sqrt{0^2 + (-8)^2} = \sqrt{64} = 8$.

Так как $AC = BD = 8$, диагонали четырехугольника равны.

Поскольку четырехугольник ABCD является ромбом (все его стороны равны) и его диагонали равны, он является квадратом, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано: четырехугольник ABCD является квадратом, так как все его стороны равны $\sqrt{32}$, а диагонали равны 8.

238. Каким треугольником, остроугольным, тупоугольным или прямоугольным, является треугольник $ABC$, если $A (-3; 2)$, $B (5; 3)$, $C (-4; -3)$?

238. Каким треугольником, остроугольным, тупоугольным или прямоугольным, является треугольник $ABC$, если $A (-3; 2)$, $B (5; 3)$, $C (-4; -3)$?

Для того чтобы определить вид треугольника $ABC$ (остроугольный, тупоугольный или прямоугольный), необходимо найти длины его сторон, а точнее, их квадраты, и применить теорему, обратную теореме Пифагора. Пусть $a, b, c$ — стороны треугольника, причем $c$ — наибольшая сторона.

• Если $c^2 = a^2 + b^2$, то треугольник прямоугольный.
• Если $c^2 < a^2 + b^2$, то треугольник остроугольный.
• Если $c^2 > a^2 + b^2$, то треугольник тупоугольный.

Найдем квадраты длин сторон треугольника $ABC$ с вершинами в точках $A(-3; 2)$, $B(5; 3)$, $C(-4; -3)$, используя формулу квадрата расстояния между двумя точками $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.

1. Вычисление квадрата длины стороны AB:
$AB^2 = (5 - (-3))^2 + (3 - 2)^2 = (5 + 3)^2 + 1^2 = 8^2 + 1^2 = 64 + 1 = 65$.

2. Вычисление квадрата длины стороны BC:
$BC^2 = (-4 - 5)^2 + (-3 - 3)^2 = (-9)^2 + (-6)^2 = 81 + 36 = 117$.

3. Вычисление квадрата длины стороны AC:
$AC^2 = (-4 - (-3))^2 + (-3 - 2)^2 = (-4 + 3)^2 + (-5)^2 = (-1)^2 + 25 = 1 + 25 = 26$.

4. Сравнение квадратов сторон:
Мы получили квадраты длин сторон: $AB^2 = 65$, $BC^2 = 117$, $AC^2 = 26$.Наибольшей стороной является $BC$, так как $BC^2$ имеет наибольшее значение.Теперь сравним квадрат наибольшей стороны с суммой квадратов двух других сторон:

$BC^2$ vs $AB^2 + AC^2$
$117$ vs $65 + 26$
$117$ vs $91$

Поскольку $117 > 91$, то выполняется неравенство $BC^2 > AB^2 + AC^2$.Это означает, что угол, противолежащий стороне $BC$ (угол $A$), является тупым. Следовательно, треугольник $ABC$ — тупоугольный.

Ответ: Треугольник $ABC$ является тупоугольным.

239. Найтите косинус угла между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$, если $|\vec{a}|=|\vec{b}|=1$, а векторы $\vec{a}+2\vec{b}$ и $3\vec{a}+\vec{b}$ перпендикулярны.

239. Найдите косинус угла между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$, если $|\vec{a}|=|\vec{b}|=1$, а векторы $\vec{a}+2\vec{b}$ и $3\vec{a}+\vec{b}$ перпендикулярны.

Косинус угла $\theta$ между двумя векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ определяется через их скалярное произведение и модули по формуле:
$\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$

В задаче даны следующие условия:
1. Модули векторов: $|\vec{a}| = 1$ и $|\vec{b}| = 1$.
2. Векторы $\vec{p} = \vec{a} + 2\vec{b}$ и $\vec{q} = 3\vec{a} + \vec{b}$ перпендикулярны.

Условие перпендикулярности двух векторов означает, что их скалярное произведение равно нулю. Таким образом, $\vec{p} \cdot \vec{q} = 0$.
Запишем это условие для наших векторов:
$(\vec{a} + 2\vec{b}) \cdot (3\vec{a} + \vec{b}) = 0$

Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения (дистрибутивность, коммутативность и связь с модулем вектора $\vec{v} \cdot \vec{v} = |\vec{v}|^2$):
$\vec{a} \cdot (3\vec{a}) + \vec{a} \cdot \vec{b} + (2\vec{b}) \cdot (3\vec{a}) + (2\vec{b}) \cdot \vec{b} = 0$
$3(\vec{a} \cdot \vec{a}) + \vec{a} \cdot \vec{b} + 6(\vec{b} \cdot \vec{a}) + 2(\vec{b} \cdot \vec{b}) = 0$
$3|\vec{a}|^2 + 7(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 2|\vec{b}|^2 = 0$

Теперь подставим известные значения модулей $|\vec{a}| = 1$ и $|\vec{b}| = 1$ в полученное уравнение:
$3(1)^2 + 7(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 2(1)^2 = 0$
$3 + 7(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 2 = 0$
$5 + 7(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 0$

Из этого уравнения найдем скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$:
$7(\vec{a} \cdot \vec{b}) = -5$
$\vec{a} \cdot \vec{b} = -\frac{5}{7}$

Наконец, вычислим косинус угла между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$, используя найденное скалярное произведение и данные модули:
$\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{-5/7}{1 \cdot 1} = -\frac{5}{7}$

Ответ: $-\frac{5}{7}$

240. Найдите геометрическое место точек $K(x; y)$ координатной плоскости таких, что для точек $A(3; -2)$ и $B(5; 4)$ выполняется равенство:

1) $\vec{AK} \cdot \vec{AB} = 0;$

2) $\vec{AK} \cdot \vec{BK} = 4.$

240. Найдите геометрическое место точек K(x; y) координатной плоскости таких, что для точек A(3; -2) и B(5; 4) выполняется равенство:

1) $\vec{AK} \cdot \vec{AB} = 0;$

2) $\vec{AK} \cdot \vec{BK} = 4.$

Для решения задачи найдем координаты векторов, которые зависят от координат искомой точки $K(x; y)$ и заданных точек $A(3; -2)$ и $B(5; 4)$.

Координаты вектора $\vec{AK}$ равны разности соответствующих координат его конца (K) и начала (A):

$\vec{AK} = (x - 3; y - (-2)) = (x - 3; y + 2)$

Координаты вектора $\vec{BK}$:

$\vec{BK} = (x - 5; y - 4)$

Координаты вектора $\vec{AB}$:

$\vec{AB} = (5 - 3; 4 - (-2)) = (2; 6)$

1) $\vec{AK} \cdot \vec{AB} = 0$

Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда они перпендикулярны. Это означает, что геометрическое место точек K — это прямая, проходящая через точку A и перпендикулярная вектору $\vec{AB}$.

Запишем условие равенства нулю скалярного произведения, используя формулу $\vec{a}(x_1, y_1) \cdot \vec{b}(x_2, y_2) = x_1x_2 + y_1y_2$:

$\vec{AK} \cdot \vec{AB} = (x - 3) \cdot 2 + (y + 2) \cdot 6 = 0$

Раскроем скобки и упростим полученное уравнение:

$2x - 6 + 6y + 12 = 0$

$2x + 6y + 6 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы получить его в каноническом виде:

$x + 3y + 3 = 0$

Это уравнение прямой, которая и является искомым геометрическим местом точек.

Ответ: Прямая, заданная уравнением $x + 3y + 3 = 0$.

2) $\vec{AK} \cdot \vec{BK} = 4$

Выразим скалярное произведение через координаты векторов $\vec{AK} = (x - 3; y + 2)$ и $\vec{BK} = (x - 5; y - 4)$:

$\vec{AK} \cdot \vec{BK} = (x - 3)(x - 5) + (y + 2)(y - 4) = 4$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение:

$(x^2 - 5x - 3x + 15) + (y^2 - 4y + 2y - 8) = 4$

$x^2 - 8x + 15 + y^2 - 2y - 8 = 4$

$x^2 - 8x + y^2 - 2y + 7 = 4$

$x^2 - 8x + y^2 - 2y + 3 = 0$

Чтобы определить вид кривой, которую задает это уравнение, выделим полные квадраты для переменных x и y. Для этого сгруппируем слагаемые с x и с y:

$(x^2 - 8x) + (y^2 - 2y) + 3 = 0$

Дополним выражения в скобках до полного квадрата, прибавляя и вычитая необходимые числа:

$(x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2) - 4^2 + (y^2 - 2 \cdot y \cdot 1 + 1^2) - 1^2 + 3 = 0$

$(x - 4)^2 - 16 + (y - 1)^2 - 1 + 3 = 0$

$(x - 4)^2 + (y - 1)^2 - 14 = 0$

$(x - 4)^2 + (y - 1)^2 = 14$

Это каноническое уравнение окружности $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$ с центром в точке $C(4; 1)$ и радиусом $R = \sqrt{14}$.

Ответ: Окружность, заданная уравнением $(x - 4)^2 + (y - 1)^2 = 14$.