Страница 33 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

287. Проведите луч $OA$. Постройте образ этого луча при повороте на угол $80^\circ$ против часовой стрелки вокруг:

1) точки $M$, принадлежащей лучу;

2) точки $B$, не принадлежащей лучу.

287. Проведите луч OA. Постройте образ этого луча при повороте на угол $80^\circ$ против часовой стрелки вокруг:

1) точки M, принадлежащей лучу;

2) точки B, не принадлежащей лучу.

Для построения образа луча при повороте достаточно построить образы двух любых его точек. В качестве этих точек выберем начало луча, точку O, и любую другую точку на луче, точку A.

1) Поворот вокруг точки M, принадлежащей лучу.

Пусть дан луч OA и точка M, лежащая на этом луче. Чтобы найти образ луча OA при повороте на угол $80^\circ$ против часовой стрелки вокруг точки M, выполним следующие шаги:
1. Построим образ точки O. Для этого соединим точку M (центр поворота) с точкой O. От луча MO отложим угол $\angle OMO' = 80^\circ$ против часовой стрелки. На стороне этого угла отложим отрезок $MO'$, равный отрезку $MO$. Точка $O'$ — это образ точки O.
2. Построим образ точки A. Аналогично, соединим точку M с точкой A. От луча MA отложим угол $\angle AMA' = 80^\circ$ против часовой стрелки. На стороне этого угла отложим отрезок $MA'$, равный отрезку $MA$. Точка $A'$ — это образ точки A.
3. Проведем луч с началом в точке $O'$ через точку $A'$. Полученный луч $O'A'$ является искомым образом луча OA.

Ответ: Искомый образ — луч $O'A'$, полученный путем поворота точек O и A вокруг точки M на $80^\circ$ против часовой стрелки.

2) Поворот вокруг точки B, не принадлежащей лучу.

Пусть дан луч OA и точка B, не лежащая на этом луче. Алгоритм построения образа луча остается таким же, но центром поворота теперь является точка B.
1. Построим образ точки O. Соединим точку B (центр поворота) с точкой O. От луча BO отложим угол $\angle OBO' = 80^\circ$ против часовой стрелки. На полученной стороне угла отложим отрезок $BO'$, равный отрезку $BO$. Точка $O'$ — это образ точки O.
2. Построим образ точки A. Соединим точку B с точкой A. От луча BA отложим угол $\angle ABA' = 80^\circ$ против часовой стрелки. На полученной стороне угла отложим отрезок $BA'$, равный отрезку $BA$. Точка $A'$ — это образ точки A.
3. Проведем луч с началом в точке $O'$ через точку $A'$. Этот луч $O'A'$ является искомым образом луча OA.

Ответ: Искомый образ — луч $O'A'$, полученный путем поворота точек O и A вокруг точки B на $80^\circ$ против часовой стрелки.

288. Постройте точки, являющиеся образами точек $A (4; 0)$, $B (0; -3)$, $C (4; 1)$, $D (-1; -4)$ при повороте на угол $90^\circ$ по часовой стрелке вокруг начала координат. Укажите координаты полученных точек.

288. Постройте точки, являющиеся образами точек $A (4; 0)$, $B (0; -3)$, $C (4; 1)$, $D (-1; -4)$ при повороте на угол $90^\circ$ по часовой стрелке вокруг начала координат. Укажите координаты полученных точек.

При повороте точки с координатами $(x; y)$ на угол 90° по часовой стрелке вокруг начала координат, ее новые координаты $(x'; y')$ находятся по формуле преобразования:
$(x; y) \rightarrow (y; -x)$
Это означает, что новая абсцисса $x'$ равна старой ординате $y$, а новая ордината $y'$ равна старой абсциссе $x$, взятой с противоположным знаком.
Применим это правило для каждой из заданных точек.

A (4; 0)
Для точки $A(4; 0)$ имеем $x=4$ и $y=0$.
Применяя формулу, получаем образ точки $A'$:
$x' = y = 0$
$y' = -x = -4$
Таким образом, координаты новой точки $A'$ равны $(0; -4)$.
Ответ: $A'(0; -4)$

B (0; -3)
Для точки $B(0; -3)$ имеем $x=0$ и $y=-3$.
Применяя формулу, получаем образ точки $B'$:
$x' = y = -3$
$y' = -x = -0 = 0$
Таким образом, координаты новой точки $B'$ равны $(-3; 0)$.
Ответ: $B'(-3; 0)$

C (4; 1)
Для точки $C(4; 1)$ имеем $x=4$ и $y=1$.
Применяя формулу, получаем образ точки $C'$:
$x' = y = 1$
$y' = -x = -4$
Таким образом, координаты новой точки $C'$ равны $(1; -4)$.
Ответ: $C'(1; -4)$

D (-1; -4)
Для точки $D(-1; -4)$ имеем $x=-1$ и $y=-4$.
Применяя формулу, получаем образ точки $D'$:
$x' = y = -4$
$y' = -x = -(-1) = 1$
Таким образом, координаты новой точки $D'$ равны $(-4; 1)$.
Ответ: $D'(-4; 1)$

Для построения необходимо нанести на координатную плоскость исходные точки $A(4; 0)$, $B(0; -3)$, $C(4; 1)$, $D(-1; -4)$ и их образы $A'(0; -4)$, $B'(-3; 0)$, $C'(1; -4)$, $D'(-4; 1)$ с вычисленными координатами. Каждая точка-образ получается из соответствующей исходной точки поворотом радиус-вектора этой точки на 90° по часовой стрелке вокруг начала координат.

289. Образом точки $A (5; a)$ при повороте на угол $90^\circ$ против часовой стрелки вокруг начала координат является точка $B (-4; b)$. Найдите $a$ и $b$.

289. Образом точки $A (5; a)$ при повороте на угол $90^\circ$ против часовой стрелки вокруг начала координат является точка $B (-4; b)$. Найдите $a$ и $b$.

При повороте точки с координатами $(x; y)$ на угол $90^\circ$ против часовой стрелки вокруг начала координат ее новые координаты $(x'; y')$ определяются по правилу: $x' = -y$ и $y' = x$.

В данной задаче исходная точка — это $A(5; a)$, следовательно, $x = 5$ и $y = a$. Точка, полученная в результате поворота, — это $B(-4; b)$, следовательно, $x' = -4$ и $y' = b$.

Подставим координаты точки $A$ в формулы поворота:

$x' = -y \Rightarrow x' = -a$

$y' = x \Rightarrow y' = 5$

Теперь приравняем полученные выражения к координатам точки $B$:

$x' = -4$ и $x' = -a$, отсюда $-4 = -a$.

$y' = b$ и $y' = 5$, отсюда $b = 5$.

Решим полученные уравнения:

Из уравнения $-4 = -a$ следует, что $a = 4$.

Из уравнения $b = 5$ мы уже имеем значение $b$.

Таким образом, $a = 4$ и $b = 5$.

Ответ: $a = 4$, $b = 5$.

290. На какой наименьший угол надо повернуть правильный двенадцатиугольник вокруг его центра, чтобы его образом был этот же двенадцатиугольник?

290. На какой наименьший угол надо повернуть правильный двенадцатиугольник вокруг его центра, чтобы его образом был этот же двенадцатиугольник?

Правильный многоугольник обладает поворотной симметрией. Это означает, что при повороте на определенный угол вокруг своего центра он совмещается сам с собой. Чтобы правильный n-угольник совпал со своим первоначальным положением, его нужно повернуть на такой угол, чтобы каждая его вершина заняла место другой вершины.

Наименьший положительный угол поворота будет соответствовать перемещению каждой вершины в положение, которое до этого занимала соседняя вершина.

Поскольку правильный двенадцатиугольник имеет 12 вершин, расположенных равномерно по окружности, для нахождения наименьшего угла поворота необходимо полный угол ($360^\circ$) разделить на количество вершин $n$.

В данном случае, $n = 12$.

Вычислим наименьший угол поворота $\alpha$:
$\alpha = \frac{360^\circ}{n} = \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ$

При повороте на $30^\circ$ каждая вершина двенадцатиугольника переместится на место соседней, и, таким образом, двенадцатиугольник совместится сам с собой.

Ответ: $30^\circ$.

291. Начертите отрезок $AB$ длиной 2 см и отметьте точку $O$, не принадлежащую этому отрезку. Постройте отрезок, гомотетичный отрезку $AB$, с центром гомотетии в точке $O$ и коэффициентом гомотетии:

1) $k = 3$;

2) $k = -\frac{1}{4}$.

291. Начертите отрезок AB длиной 2 см и отметьте точку O, не принадлежащую этому отрезку. Постройте отрезок, гомотетичный отрезок AB, с центром гомотетии в точке O и коэффициентом гомотетии:

1) $k = 3$;

2) $k = -\frac{1}{4}$.

Для построения отрезка, гомотетичного отрезку $AB$, необходимо построить образы его концов, точек $A$ и $B$, при гомотетии с центром в точке $O$ и заданным коэффициентом $k$. Затем эти образы, точки $A'$ и $B'$, соединяются, образуя искомый отрезок $A'B'$.

По определению гомотетии, для любой точки $M$ её образ $M'$ находится из векторного равенства $\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$. Это означает, что:

1. Точка $M'$ лежит на прямой $OM$.
2. Если $k > 0$, то $M'$ лежит на луче $OM$ (то есть $O$ не лежит между $M$ и $M'$).
3. Если $k < 0$, то $M'$ лежит на луче, дополнительном к лучу $OM$ (то есть $O$ лежит между $M$ и $M'$).
4. Расстояние между $O$ и $M'$ равно $OM' = |k| \cdot OM$.

Длина полученного отрезка $A'B'$ будет равна $|k| \cdot AB$.

Исходные данные: длина отрезка $AB = 2$ см.

1) k = 3

Построение:

1. Проводим луч $OA$ из центра гомотетии $O$ через точку $A$.
2. Так как коэффициент $k = 3 > 0$, точка $A'$ (образ точки $A$) будет лежать на этом луче.
3. На луче $OA$ откладываем от точки $O$ отрезок $OA'$, длина которого в три раза больше длины отрезка $OA$. То есть, $OA' = 3 \cdot OA$.
4. Аналогично проводим луч $OB$ и на нем откладываем отрезок $OB'$ так, чтобы $OB' = 3 \cdot OB$.
5. Соединяем точки $A'$ и $B'$. Отрезок $A'B'$ является искомым.

Длина полученного отрезка $A'B'$ равна $|k| \cdot AB = 3 \cdot 2 = 6$ см. Отрезок $A'B'$ параллелен отрезку $AB$.
Ответ: Искомый отрезок $A'B'$ строится путем нахождения образов $A'$ и $B'$ на лучах $OA$ и $OB$ соответственно, так что $OA' = 3 \cdot OA$ и $OB' = 3 \cdot OB$. Длина отрезка $A'B'$ равна 6 см, и он параллелен $AB$.

2) k = -1/4

Построение:

1. Проводим прямую через точки $O$ и $A$.
2. Так как коэффициент $k = -\frac{1}{4} < 0$, точка $A'$ (образ точки $A$) будет лежать на этой прямой, но с противоположной стороны от точки $O$ по отношению к точке $A$.
3. На продолжении отрезка $AO$ за точку $O$ откладываем отрезок $OA'$, длина которого равна четверти длины отрезка $OA$. То есть, $OA' = |-\frac{1}{4}| \cdot OA = \frac{1}{4} \cdot OA$.
4. Аналогично проводим прямую через точки $O$ и $B$. На продолжении отрезка $BO$ за точку $O$ откладываем отрезок $OB'$ так, чтобы $OB' = \frac{1}{4} \cdot OB$.
5. Соединяем точки $A'$ и $B'$. Отрезок $A'B'$ является искомым.

Длина полученного отрезка $A'B'$ равна $|k| \cdot AB = |-\frac{1}{4}| \cdot 2 = \frac{1}{4} \cdot 2 = 0,5$ см. Отрезок $A'B'$ параллелен отрезку $AB$.
Ответ: Искомый отрезок $A'B'$ строится путем нахождения образов $A'$ и $B'$ на прямых $OA$ и $OB$ соответственно, так что точки $A'$ и $B'$ лежат с противоположной стороны от центра $O$ (по сравнению с $A$ и $B$), и $OA' = \frac{1}{4} \cdot OA$, $OB' = \frac{1}{4} \cdot OB$. Длина отрезка $A'B'$ равна 0,5 см, и он параллелен $AB$.

292. Начертите острый угол и отметьте точку A, принадлежащую этому углу, но не принадлежащую его сторонам. Постройте угол, гомотетичный данному, с центром гомотетии в точке A и коэффициентом гомотетии $k = \frac{1}{2}$.

292. Начертите острый угол и отметьте точку $A$, принадлежащую этому углу, но не принадлежащую его сторонам. Постройте угол, гомотетичный данному, с центром гомотетии в точке $A$ и коэффициентом гомотетии $k = \frac{1}{2}$.

Для решения этой задачи необходимо выполнить геометрическое построение, основанное на свойствах гомотетии (преобразования подобия). Гомотетия с центром в точке $A$ и коэффициентом $k$ преобразует каждую точку $M$ в точку $M'$ так, что выполняется векторное равенство $\vec{AM'} = k \cdot \vec{AM}$.

Построение будет состоять из следующих шагов:

1. Начальные построения

Сначала начертим острый угол. Обозначим его вершину как $O$, а стороны (лучи) — как $l_1$ и $l_2$. Затем внутри этого угла, но не на его сторонах, отметим точку $A$, которая будет служить центром гомотетии.

2. Построение вершины искомого угла

Чтобы найти образ угла, нужно сначала найти образ его вершины $O$. Обозначим образ вершины как $O'$. Согласно определению гомотетии, точка $O'$ должна лежать на прямой $AO$, и должно выполняться равенство $\vec{AO'} = k \cdot \vec{AO}$.

Поскольку в нашей задаче коэффициент гомотетии $k = \frac{1}{2}$, то $\vec{AO'} = \frac{1}{2} \vec{AO}$. Это означает, что точка $O'$ является серединой отрезка $AO$.

Для построения точки $O'$ соединим точки $A$ и $O$ отрезком и найдем его середину (например, с помощью циркуля и линейки). Полученная точка $O'$ будет вершиной нового, гомотетичного угла.

3. Построение сторон искомого угла

Важным свойством гомотетии является то, что она преобразует прямую в параллельную ей прямую. Следовательно, стороны искомого угла будут параллельны сторонам исходного угла.

Проведем через новую вершину $O'$ луч $l'_1$, параллельный стороне $l_1$ исходного угла. Затем через точку $O'$ проведем луч $l'_2$, параллельный стороне $l_2$. Так как коэффициент $k = \frac{1}{2}$ положителен, то лучи $l'_1$ и $l'_2$ должны быть сонаправлены исходным лучам $l_1$ и $l_2$.

Угол, образованный лучами $l'_1$ и $l'_2$ с вершиной в точке $O'$, и является искомым углом. По свойствам гомотетии, он будет равен исходному углу.

Ответ: Построенный угол с вершиной в точке $O'$ (середина отрезка $AO$) и сторонами, параллельными и сонаправленными сторонам исходного угла, является гомотетичным данному углу с центром гомотетии в точке $A$ и коэффициентом $k = \frac{1}{2}$.

293. Постройте треугольник, гомотетичный данному треугольнику, с центром гомотетии в точке пересечения его медиан и коэффициентом гомотетии:

1) $k = 2,5$;

2) $k = -1$.

293. Постройте треугольник, гомотетичный данному треугольнику, с центром гомотетии в точке пересечения его медиан и коэффициентом гомотетии:

1) $k = 2,5$

2) $k = -1$

1) k = 2,5

Построение выполняется в следующем порядке. Сначала строим произвольный треугольник $ABC$. Затем находим центр гомотетии $O$, который является точкой пересечения медиан треугольника. Для этого находим середину $M_a$ стороны $BC$ и проводим медиану $AM_a$. Далее находим середину $M_b$ стороны $AC$ и проводим медиану $BM_b$. Точка пересечения $O$ этих двух медиан и есть искомый центр гомотетии.
Теперь необходимо построить образы вершин $A$, $B$ и $C$. Так как коэффициент гомотетии $k = 2,5$ положителен, то образ $A'$ вершины $A$ лежит на луче $OA$. Откладываем на этом луче от точки $O$ отрезок $OA'$, длина которого равна $2,5 \cdot |OA|$. Векторно это записывается как $\vec{OA'} = 2,5 \cdot \vec{OA}$. Аналогично строим точку $B'$ на луче $OB$ так, чтобы $|OB'| = 2,5 \cdot |OB|$, и точку $C'$ на луче $OC$ так, чтобы $|OC'| = 2,5 \cdot |OC|$.
В завершение соединяем точки $A'$, $B'$, $C'$ отрезками. Полученный треугольник $A'B'C'$ является искомым.
Ответ: Искомый треугольник $A'B'C'$ строится путем нахождения точки пересечения медиан $O$ исходного треугольника $ABC$ и последующего применения гомотетии к вершинам $A, B, C$ с центром $O$ и коэффициентом $k = 2,5$.

2) k = -1

Как и в первом случае, сначала строим треугольник $ABC$ и находим его центр гомотетии $O$ как точку пересечения его медиан.
Гомотетия с коэффициентом $k = -1$ является центральной симметрией относительно центра гомотетии $O$. Поскольку коэффициент отрицательный, образ $A'$ вершины $A$ будет лежать на прямой $AO$, но по другую сторону от точки $O$ на том же расстоянии. Таким образом, для построения точки $A'$ необходимо провести прямую через $A$ и $O$ и отложить на ней от точки $O$ отрезок $OA'$, равный отрезку $OA$, так чтобы $O$ была серединой отрезка $AA'$. Векторное равенство для этого преобразования: $\vec{OA'} = -\vec{OA}$.
Аналогично строим образы других вершин: точка $B'$ строится на прямой $BO$ так, что $O$ — середина отрезка $BB'$, а точка $C'$ строится на прямой $CO$ так, что $O$ — середина отрезка $CC'$.
Соединив точки $A'$, $B'$, $C'$, получаем искомый треугольник $A'B'C'$. Он будет конгруэнтен (равен) исходному треугольнику $ABC$.
Ответ: Искомый треугольник $A'B'C'$ является результатом центральной симметрии треугольника $ABC$ относительно точки пересечения его медиан.

294. Отметьте точки $A$ и $B$. Найдите такую точку $O$, чтобы точка $B$ была образом точки $A$ при гомотетии с центром $O$ и коэффициентом гомотетии $k = 2$.

294. Отметьте точки $A$ и $B$. Найдите такую точку $O$, чтобы точка $B$ была образом точки $A$ при гомотетии с центром $O$ и коэффициентом гомотетии $k = 2$.

По определению гомотетии с центром в точке $O$ и коэффициентом $k$, точка $B$ является образом точки $A$, если выполняется векторное равенство:

$\vec{OB} = k \cdot \vec{OA}$

В условии задачи дан коэффициент гомотетии $k = 2$. Подставим это значение в формулу:

$\vec{OB} = 2 \cdot \vec{OA}$

Это векторное равенство означает следующее:

1. Точки $O$, $A$ и $B$ лежат на одной прямой (коллинеарны).
2. Поскольку коэффициент $k = 2 > 0$, точки $A$ и $B$ лежат по одну сторону от центра гомотетии $O$. Из этого следует, что точка $A$ находится между точками $O$ и $B$.
3. Длина вектора $\vec{OB}$ в 2 раза больше длины вектора $\vec{OA}$. То есть, расстояние от центра $O$ до точки $B$ вдвое больше расстояния от центра $O$ до точки $A$: $|OB| = 2|OA|$.

Так как точка $A$ лежит на отрезке $OB$, то длина отрезка $OB$ равна сумме длин отрезков $OA$ и $AB$:

$|OB| = |OA| + |AB|$

Теперь мы можем составить уравнение, используя два выражения для $|OB|$:

$2|OA| = |OA| + |AB|$

Вычтем $|OA|$ из обеих частей равенства:

$|OA| = |AB|$

Таким образом, мы выяснили, что искомая точка $O$ должна удовлетворять двум условиям:

• Она должна лежать на прямой, проходящей через точки $A$ и $B$.
• Расстояние от $O$ до $A$ должно быть равно расстоянию от $A$ до $B$, причем точка $A$ должна лежать между $O$ и $B$.

Это означает, что точка $A$ является серединой отрезка $OB$. Для нахождения точки $O$ необходимо на прямой, проходящей через точки $A$ и $B$, отложить от точки $A$ отрезок $AO$, равный по длине отрезку $AB$, в направлении, противоположном лучу $AB$. Конец отложенного отрезка и будет искомой точкой $O$.

Ответ: Искомая точка $O$ — это такая точка на прямой $AB$, что точка $A$ является серединой отрезка $OB$.

295. Точка $B(-1; 4)$ — образ точки $A(-2; 8)$ при гомотетии с центром в начале координат. Найдите коэффициент гомотетии.

295. Точка $B (-1; 4)$ — образ точки $A (-2; 8)$ при гомотетии с центром в начале координат. Найдите коэффициент гомотетии.

Гомотетия с центром в начале координат $O(0; 0)$ и коэффициентом $k$ преобразует каждую точку $A(x; y)$ в точку $B(x'; y')$, координаты которой вычисляются по формулам:

$x' = k \cdot x$

$y' = k \cdot y$

По условию задачи, точка $B(-1; 4)$ является образом точки $A(-2; 8)$. Это значит, что $x = -2$, $y = 8$, а $x' = -1$, $y' = 4$.

Подставим эти значения в формулы гомотетии, чтобы найти коэффициент $k$.

Для координаты x:

$-1 = k \cdot (-2)$

Отсюда находим $k$:

$k = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2} = 0.5$

Для координаты y:

$4 = k \cdot 8$

Отсюда также находим $k$:

$k = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} = 0.5$

Значения коэффициента, найденные по обеим координатам, совпадают. Следовательно, коэффициент гомотетии равен 0.5.

Ответ: $0.5$