Страница 34 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

296. Параллельные прямые пересекают стороны угла A в точках B, C, D и E (рис. 27).

$AB : BD = 2 : 1$. Укажите коэффициент и центр гомотетии, при которой:

1) отрезок $BC$ является образом отрезка $DE$;

2) отрезок $DE$ является образом отрезка $BC$.

296. Параллельные прямые пересекают стороны угла $A$ в точках $B, C, D$ и $E$ (рис. 27).

$AB : BD = 2 : 1$.

Укажите коэффициент и центр гомотетии, при которой:

1) отрезок $BC$ является образом отрезка $DE$;

2) отрезок $DE$ является образом отрезка $BC$.

Поскольку прямые, содержащие отрезки BC и DE, параллельны, а прямые, соединяющие соответствующие концы этих отрезков (B с D и C с E), пересекаются в точке А, то преобразование, переводящее один отрезок в другой, является гомотетией с центром в точке А.

Найдем соотношение длин отрезков, выходящих из центра гомотетии. По условию дано, что $AB : BD = 2 : 1$. Пусть длина отрезка $BD = x$, тогда длина отрезка $AB = 2x$. Длина отрезка AD будет суммой длин отрезков AB и BD:

$AD = AB + BD = 2x + x = 3x$.

Теперь мы можем найти коэффициент гомотетии $k$ для каждого случая. Коэффициент гомотетии равен отношению расстояния от центра до точки-образа к расстоянию от центра до точки-прообраза.

1) отрезок BC является образом отрезка DE

В этом случае отрезок DE является прообразом, а отрезок BC — образом. Точка B является образом точки D. Коэффициент гомотетии $k$ равен отношению $AB$ к $AD$.

$k = \frac{AB}{AD} = \frac{2x}{3x} = \frac{2}{3}$.

Ответ: центр гомотетии — точка А, коэффициент $k = \frac{2}{3}$.

2) отрезок DE является образом отрезка BC

В этом случае отрезок BC является прообразом, а отрезок DE — образом. Точка D является образом точки B. Коэффициент гомотетии $k$ равен отношению $AD$ к $AB$.

$k = \frac{AD}{AB} = \frac{3x}{2x} = \frac{3}{2}$.

Ответ: центр гомотетии — точка А, коэффициент $k = \frac{3}{2}$.

297. Стороны двух правильных треугольников относятся как $5:7$. Как относятся их площади?

297. Стороны двух правильных треугольников относятся как $5:7$. Как относятся их площади?

Пусть стороны двух правильных треугольников равны $a_1$ и $a_2$, а их площади — $S_1$ и $S_2$ соответственно.

По условию задачи, отношение сторон треугольников составляет:

$\frac{a_1}{a_2} = \frac{5}{7}$

Площадь правильного треугольника с длиной стороны $a$ вычисляется по формуле:

$S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

Используя эту формулу, найдем отношение площадей $S_1$ и $S_2$:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\frac{a_1^2 \sqrt{3}}{4}}{\frac{a_2^2 \sqrt{3}}{4}}$

Сокращая общие множители $\frac{\sqrt{3}}{4}$ в числителе и знаменателе, мы получаем, что отношение площадей равно квадрату отношения их сторон. Это общее свойство для любых подобных фигур.

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{a_1^2}{a_2^2} = (\frac{a_1}{a_2})^2$

Теперь подставим заданное в условии отношение сторон $\frac{5}{7}$ в полученное выражение:

$\frac{S_1}{S_2} = (\frac{5}{7})^2 = \frac{5^2}{7^2} = \frac{25}{49}$

Таким образом, площади двух правильных треугольников относятся как 25 к 49.

Ответ: 25 : 49

298. Высота одного равностороннего треугольника равна стороне другого. Как относятся их площади?

298. Высота одного равностороннего треугольника равна стороне другого. Как относятся их площади?

Пусть есть два равносторонних треугольника. Обозначим площадь, сторону и высоту первого треугольника как $S_1$, $a_1$ и $h_1$ соответственно. Аналогично, для второго треугольника обозначим площадь, сторону и высоту как $S_2$, $a_2$ и $h_2$.

По условию задачи, высота первого треугольника равна стороне второго:

$h_1 = a_2$

Площадь равностороннего треугольника можно выразить как через его сторону $a$, так и через высоту $h$.
Формула площади через сторону: $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.
Формула площади через высоту: $S = \frac{h^2\sqrt{3}}{3}$.

Чтобы найти соотношение площадей, выразим площадь первого треугольника через его высоту $h_1$, а площадь второго — через его сторону $a_2$.

$S_1 = \frac{h_1^2\sqrt{3}}{3}$

$S_2 = \frac{a_2^2\sqrt{3}}{4}$

Теперь найдем отношение их площадей $\frac{S_1}{S_2}$.

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\frac{h_1^2\sqrt{3}}{3}}{\frac{a_2^2\sqrt{3}}{4}}$

Так как по условию $h_1 = a_2$, мы можем заменить $a_2$ на $h_1$ в знаменателе дроби:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\frac{h_1^2\sqrt{3}}{3}}{\frac{h_1^2\sqrt{3}}{4}} = \frac{h_1^2\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{4}{h_1^2\sqrt{3}} = \frac{4}{3}$

Таким образом, отношение площади первого треугольника (чья высота была взята) к площади второго треугольника (чья сторона была взята) равно 4 к 3.

Ответ: Их площади относятся как 4:3.

299. Стороны двух правильных треугольников относятся как $4:7$, а площадь большего из них равна $98 \text{ см}^2$. Найдите площадь меньшего треугольника.

299. Стороны двух правильных треугольников относятся как $4 : 7$, а площадь большего из них равна $98 \text{ см}^2$. Найдите площадь меньшего треугольника.

Обозначим стороны меньшего и большего правильных треугольников как $a_1$ и $a_2$, а их площади как $S_1$ и $S_2$ соответственно.

Согласно условию, стороны треугольников относятся как 4:7. Это означает, что отношение стороны меньшего треугольника к стороне большего равно $\frac{4}{7}$. $$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{4}{7} $$

Все правильные (равносторонние) треугольники подобны друг другу. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия ($k$). Коэффициент подобия для этих треугольников равен отношению их сторон. $$ \frac{S_1}{S_2} = k^2 = \left(\frac{a_1}{a_2}\right)^2 $$

Площадь большего треугольника известна: $S_2 = 98$ см². Подставим известные значения в формулу отношения площадей: $$ \frac{S_1}{98} = \left(\frac{4}{7}\right)^2 $$

Теперь найдем площадь меньшего треугольника $S_1$, решив полученное уравнение: $$ \frac{S_1}{98} = \frac{4^2}{7^2} = \frac{16}{49} $$ $$ S_1 = 98 \cdot \frac{16}{49} $$ $$ S_1 = \frac{98}{49} \cdot 16 $$ Так как $98 \div 49 = 2$, получаем: $$ S_1 = 2 \cdot 16 = 32 $$ Таким образом, площадь меньшего треугольника составляет 32 см².

Ответ: 32 см².

300. Соответственные стороны двух подобных многоугольников равны $8 \text{ см}$ и $12 \text{ см}$. Площадь меньшего многоугольника равна $108 \text{ см}^2$. Найдите площадь большего многоугольника.

300. Соответственные стороны двух подобных многоугольников равны 8 см и 12 см. Площадь меньшего многоугольника равна 108 см$^2$. Найдите площадь большего многоугольника.

Пусть даны два подобных многоугольника. Обозначим их соответственные стороны как $a_1$ и $a_2$, а их площади — как $S_1$ и $S_2$.

Согласно условию задачи, нам известно:
Сторона меньшего многоугольника $a_1 = 8$ см.
Сторона большего многоугольника $a_2 = 12$ см.
Площадь меньшего многоугольника $S_1 = 108$ см².

Отношение площадей двух подобных фигур равно квадрату их коэффициента подобия. Коэффициент подобия $k$ равен отношению их соответственных сторон.

Сначала найдем коэффициент подобия $k$:
$k = \frac{a_2}{a_1} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$

Теперь воспользуемся свойством отношения площадей подобных многоугольников:
$\frac{S_2}{S_1} = k^2$

Подставим известные значения в эту формулу, чтобы найти площадь большего многоугольника $S_2$:
$\frac{S_2}{108} = (\frac{3}{2})^2$
$\frac{S_2}{108} = \frac{9}{4}$

Выразим $S_2$:
$S_2 = 108 \cdot \frac{9}{4}$
$S_2 = \frac{108 \cdot 9}{4} = 27 \cdot 9 = 243$ см²

Ответ: 243 см²

301. Периметры подобных многоугольников относятся как $3 : 8$, а разность их площадей равна $385 \text{ см}^2$. Найдите площади многоугольников.

301. Периметры подобных многоугольников относятся как $3:8$, а разность их площадей равна $385 \text{ см}^2$. Найдите площади многоугольников.

Пусть $P_1$ и $P_2$ – периметры двух подобных многоугольников, а $S_1$ и $S_2$ – их площади.

Отношение периметров подобных многоугольников равно коэффициенту подобия $k$. Из условия задачи имеем:
$k = \frac{P_1}{P_2} = \frac{3}{8}$

Отношение площадей подобных многоугольников равно квадрату коэффициента подобия $k^2$:
$\frac{S_1}{S_2} = k^2 = (\frac{3}{8})^2 = \frac{9}{64}$

Из этого соотношения можно выразить площади через общий множитель $x$. Пусть $S_1 = 9x$, а $S_2 = 64x$.

По условию, разность их площадей равна $385$ см². Так как периметр второго многоугольника больше ($P_2 > P_1$), то и его площадь будет больше ($S_2 > S_1$). Составим и решим уравнение:
$S_2 - S_1 = 385$
$64x - 9x = 385$
$55x = 385$
$x = \frac{385}{55} = 7$

Теперь, зная значение $x$, мы можем найти искомые площади многоугольников:
Площадь меньшего многоугольника: $S_1 = 9x = 9 \cdot 7 = 63$ см².
Площадь большего многоугольника: $S_2 = 64x = 64 \cdot 7 = 448$ см².

Ответ: $63$ см² и $448$ см².

302. Площади двух квадратов относятся как $2:5$. Сторона большего квадрата равна 10 см. Найдите сторону меньшего квадрата.

302. Площади двух квадратов относятся как $2 : 5$. Сторона большего квадрата равна 10 см. Найдите сторону меньшего квадрата.

Пусть $S_1$ и $a_1$ — площадь и сторона меньшего квадрата, а $S_2$ и $a_2$ — площадь и сторона большего квадрата.

Согласно условию, отношение их площадей составляет 2 к 5:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{2}{5}$

Сторона большего квадрата равна $a_2 = 10$ см.

Площадь квадрата вычисляется по формуле $S = a^2$. Найдем площадь большего квадрата:

$S_2 = a_2^2 = 10^2 = 100$ см².

Теперь мы можем найти площадь меньшего квадрата, подставив значение $S_2$ в пропорцию:

$\frac{S_1}{100} = \frac{2}{5}$

Выразим $S_1$:

$S_1 = 100 \cdot \frac{2}{5} = 40$ см².

Зная площадь меньшего квадрата, найдем его сторону $a_1$:

$a_1^2 = S_1$

$a_1 = \sqrt{S_1} = \sqrt{40}$

Упростим корень, разложив подкоренное выражение на множители:

$a_1 = \sqrt{4 \cdot 10} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{10} = 2\sqrt{10}$ см.

Ответ: $2\sqrt{10}$ см.

303. Сторона $BC$ треугольника $ABC$ равна 6 см. Прямая, параллельная стороне $BC$, делит треугольник на две равновеликие фигуры. Найдите отрезок этой прямой, содержащийся между сторонами треугольника.

303. Сторона $BC$ треугольника $ABC$ равна 6 см. Прямая, параллельная стороне $BC$, делит треугольник на две равновеликие фигуры. Найдите отрезок этой прямой, содержащийся между сторонами треугольника.

Пусть в треугольнике $ABC$ сторона $BC$ равна 6 см. Проведена прямая, параллельная $BC$, которая пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $D$ и $E$ соответственно. Отрезок этой прямой, содержащийся между сторонами треугольника, — это отрезок $DE$.

Прямая $DE$ делит треугольник $ABC$ на две равновеликие фигуры: треугольник $ADE$ и трапецию $DBCE$. Это означает, что их площади равны: $S_{ADE} = S_{DBCE}$.

Площадь всего треугольника $ABC$ является суммой площадей этих двух фигур: $$ S_{ABC} = S_{ADE} + S_{DBCE} $$ Поскольку $S_{ADE} = S_{DBCE}$, мы можем записать: $$ S_{ABC} = S_{ADE} + S_{ADE} = 2 \cdot S_{ADE} $$ Следовательно, отношение площади треугольника $ADE$ к площади треугольника $ABC$ равно: $$ \frac{S_{ADE}}{S_{ABC}} = \frac{1}{2} $$

Так как прямая $DE$ параллельна стороне $BC$, то треугольник $ADE$ подобен треугольнику $ABC$ (по двум углам: угол $A$ — общий, а углы $\angle ADE$ и $\angle ABC$ равны как соответственные при параллельных прямых $DE$ и $BC$ и секущей $AB$).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия, который, в свою очередь, равен отношению их соответственных сторон: $$ \frac{S_{ADE}}{S_{ABC}} = \left(\frac{DE}{BC}\right)^2 $$

Подставим известные значения в это равенство: $$ \frac{1}{2} = \left(\frac{DE}{6}\right)^2 $$

Чтобы найти отношение сторон, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения: $$ \frac{DE}{6} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$

Теперь выразим длину отрезка $DE$: $$ DE = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \text{ см} $$

Ответ: $3\sqrt{2}$ см.

304. Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $E$. Найдите площадь трапеции, если $AD : BC = 7 : 5$, а площадь треугольника $AED$ равна на $98 \text{ см}^2$.

304. Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $E$. Найдите площадь трапеции, если $AD : BC = 7 : 5$, а площадь треугольника $AED$ равна $98 \text{ см}^2$.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $E$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AED$ и $\triangle BEC$.

Так как $ABCD$ — трапеция, то её основания параллельны, то есть $AD \parallel BC$.

Поскольку $AD \parallel BC$, то:

• $\angle EAD = \angle EBC$ (как соответственные углы при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AE$).
• $\angle EDA = \angle ECB$ (как соответственные углы при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $DE$).
• $\angle E$ — общий для обоих треугольников.

Следовательно, треугольник $\triangle AED$ подобен треугольнику $\triangle BEC$ по двум углам (или по трем).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия. Коэффициент подобия $k$ равен отношению длин соответственных сторон:

$k = \frac{AD}{BC}$

По условию задачи дано отношение сторон $AD : BC = 7 : 5$, значит, коэффициент подобия $k = \frac{7}{5}$.

Тогда отношение площадей этих треугольников равно:

$\frac{S_{\triangle AED}}{S_{\triangle BEC}} = k^2 = \left(\frac{7}{5}\right)^2 = \frac{49}{25}$

Из условия мы знаем площадь треугольника $\triangle AED$: $S_{\triangle AED} = 98 \text{ см}^2$.

Теперь мы можем найти площадь треугольника $\triangle BEC$:

$S_{\triangle BEC} = \frac{S_{\triangle AED}}{\frac{49}{25}} = \frac{98}{\frac{49}{25}} = 98 \cdot \frac{25}{49} = 2 \cdot 25 = 50 \text{ см}^2$.

Площадь трапеции $ABCD$ равна разности площадей треугольника $\triangle AED$ и треугольника $\triangle BEC$:

$S_{ABCD} = S_{\triangle AED} - S_{\triangle BEC} = 98 - 50 = 48 \text{ см}^2$.

Ответ: $48 \text{ см}^2$.

305. Точка $M$ делит сторону $BC$ квадрата $ABCD$ в отношении $3 : 5$, считая от точки $B$. Отрезки $AM$ и $BD$ пересекаются в точке $P$. Найдите площадь треугольника $APD$, если площадь треугольника $BPM$ равна $18 \text{ см}^2$.

305. Точка $M$ делит сторону $BC$ квадрата $ABCD$ в отношении $3 : 5$, считая от точки $B$. Отрезки $AM$ и $BD$ пересекаются в точке $P$. Найдите площадь треугольника $APD$, если площадь треугольника $BPM$ равна $18$ см$^2$.

Пусть сторона квадрата $ABCD$ равна $a$. Тогда $AD = BC = a$.

Точка $M$ делит сторону $BC$ в отношении $BM : MC = 3 : 5$. Это означает, что вся сторона $BC$ состоит из $3+5=8$ равных частей. Длина отрезка $BM$ составляет 3 такие части. Следовательно, $BM = \frac{3}{3+5} BC = \frac{3}{8} BC = \frac{3}{8} a$.

Рассмотрим треугольники $\triangle APD$ и $\triangle MPB$. Так как $ABCD$ – квадрат, его противоположные стороны параллельны, то есть $AD \parallel BC$. Поскольку точка $M$ лежит на стороне $BC$, то и $AD \parallel BM$.

В треугольниках $\triangle APD$ и $\triangle MPB$:

1. Угол $\angle PDA$ и угол $\angle PBM$ равны как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых $AD$ и $BC$ секущей $BD$.

2. Угол $\angle PAD$ и угол $\angle PMB$ равны как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых $AD$ и $BC$ секущей $AM$.

Поскольку два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то по первому признаку подобия треугольников $\triangle APD \sim \triangle MPB$.

Коэффициент подобия $k$ равен отношению длин соответственных сторон: $k = \frac{AD}{MB} = \frac{a}{\frac{3}{8}a} = \frac{8}{3}$.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия: $\frac{S_{APD}}{S_{BPM}} = k^2 = (\frac{8}{3})^2 = \frac{64}{9}$.

По условию задачи площадь треугольника $BPM$ равна 18 см², то есть $S_{BPM} = 18$ см². Найдем площадь треугольника $APD$: $S_{APD} = S_{BPM} \cdot \frac{64}{9} = 18 \cdot \frac{64}{9} = \frac{18}{9} \cdot 64 = 2 \cdot 64 = 128$ см².

Ответ: 128 см².