Страница 28 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

241. Составьте уравнение прямой, которая касается окружности с центром $M (3; -1)$ в точке $E (2; 4)$.

241. Составьте уравнение прямой, которая касается окружности с центром $M (3; -1)$ в точке $E (2; 4).$

Касательная к окружности в точке касания перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку. Поэтому сначала найдем угловой коэффициент прямой, содержащей радиус $ME$, соединяющий центр окружности $M(3; -1)$ и точку касания $E(2; 4)$.

Угловой коэффициент $k_{ME}$ прямой $ME$ вычисляется по формуле:
$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
$k_{ME} = \frac{4 - (-1)}{2 - 3} = \frac{4 + 1}{-1} = \frac{5}{-1} = -5$

Прямая-касательная перпендикулярна прямой $ME$. Угловой коэффициент касательной $k_{кас}$ связан с угловым коэффициентом радиуса $k_{ME}$ условием перпендикулярности прямых: $k_{кас} \cdot k_{ME} = -1$.
Отсюда находим угловой коэффициент касательной:
$k_{кас} = -\frac{1}{k_{ME}} = -\frac{1}{-5} = \frac{1}{5}$

Теперь, зная угловой коэффициент касательной ($k_{кас} = \frac{1}{5}$) и точку на ней (точка касания $E(2; 4)$), мы можем составить уравнение этой прямой, используя формулу уравнения прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом: $y - y_0 = k(x - x_0)$.
Подставляем координаты точки $E$ и значение $k_{кас}$:
$y - 4 = \frac{1}{5}(x - 2)$
Чтобы привести уравнение к общему виду $Ax + By + C = 0$, умножим обе части на 5:
$5(y - 4) = x - 2$
$5y - 20 = x - 2$
$x - 5y - 2 + 20 = 0$
$x - 5y + 18 = 0$

Ответ: $x - 5y + 18 = 0$

242. Составьте уравнение прямой, содержащей высоту $AH$ треугольника $ABC$, если $A (4; 5)$, $B (-3; 1)$, $C (-5; -6)$.

242. Составьте уравнение прямой, содержащей высоту $AH$ треугольника $ABC$, если $A (4; 5)$, $B (-3; 1)$, $C (-5; -6)$.

Высота AH треугольника ABC, проведенная из вершины A, перпендикулярна стороне BC. Следовательно, для нахождения уравнения прямой, содержащей высоту AH, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти угловой коэффициент прямой, содержащей сторону BC.

2. Используя условие перпендикулярности прямых, найти угловой коэффициент высоты AH.

3. Составить уравнение прямой, проходящей через точку A с найденным угловым коэффициентом.

1. Нахождение углового коэффициента прямой BC.

Найдем угловой коэффициент $k_{BC}$ прямой, проходящей через точки $B(-3; 1)$ и $C(-5; -6)$, по формуле:

$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

$k_{BC} = \frac{-6 - 1}{-5 - (-3)} = \frac{-7}{-5 + 3} = \frac{-7}{-2} = \frac{7}{2}$

2. Нахождение углового коэффициента высоты AH.

Прямая AH перпендикулярна прямой BC. Условие перпендикулярности двух прямых (не параллельных осям координат) заключается в том, что произведение их угловых коэффициентов равно -1:

$k_{AH} \cdot k_{BC} = -1$

Отсюда находим угловой коэффициент $k_{AH}$:

$k_{AH} = -\frac{1}{k_{BC}} = -\frac{1}{\frac{7}{2}} = -\frac{2}{7}$

3. Составление уравнения прямой AH.

Теперь у нас есть точка $A(4; 5)$, через которую проходит высота, и ее угловой коэффициент $k_{AH} = -\frac{2}{7}$. Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом:

$y - y_0 = k(x - x_0)$

Подставим наши значения:

$y - 5 = -\frac{2}{7}(x - 4)$

Чтобы привести уравнение к общему виду $Ax + By + C = 0$, умножим обе части на 7:

$7(y - 5) = -2(x - 4)$

$7y - 35 = -2x + 8$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$2x + 7y - 35 - 8 = 0$

$2x + 7y - 43 = 0$

Ответ: $2x + 7y - 43 = 0$

243. Точка $M$ — середина стороны $AB$ квадрата $ABCD$. Найдите косинус угла между прямыми $AC$ и $DM$.

243. Точка $M$ – середина стороны $AB$ квадрата $ABCD$. Найдите косинус угла между прямыми $AC$ и $DM$.

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке A, направив ось Ox вдоль стороны AB и ось Oy вдоль стороны AD.

Пусть сторона квадрата равна $2a$. Тогда координаты вершин будут:

• $A(0; 0)$
• $B(2a; 0)$
• $C(2a; 2a)$
• $D(0; 2a)$

Точка M — середина стороны AB. Ее координаты:

$M = (\frac{x_A+x_B}{2}; \frac{y_A+y_B}{2}) = (\frac{0+2a}{2}; \frac{0+0}{2}) = (a; 0)$

Угол между прямыми AC и DM можно найти как угол между их направляющими векторами $\vec{AC}$ и $\vec{DM}$. Найдем координаты этих векторов:

$\vec{AC} = \{x_C-x_A; y_C-y_A\} = \{2a-0; 2a-0\} = \{2a; 2a\}$

$\vec{DM} = \{x_M-x_D; y_M-y_D\} = \{a-0; 0-2a\} = \{a; -2a\}$

Косинус угла $\alpha$ между векторами находится по формуле скалярного произведения:

$\cos \alpha = \frac{\vec{AC} \cdot \vec{DM}}{|\vec{AC}| \cdot |\vec{DM}|}$

Вычислим скалярное произведение векторов:

$\vec{AC} \cdot \vec{DM} = (2a \cdot a) + (2a \cdot (-2a)) = 2a^2 - 4a^2 = -2a^2$

Вычислим длины (модули) векторов:

$|\vec{AC}| = \sqrt{(2a)^2 + (2a)^2} = \sqrt{4a^2 + 4a^2} = \sqrt{8a^2} = 2a\sqrt{2}$

$|\vec{DM}| = \sqrt{a^2 + (-2a)^2} = \sqrt{a^2 + 4a^2} = \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5}$

Подставим найденные значения в формулу для косинуса:

$\cos \alpha = \frac{-2a^2}{2a\sqrt{2} \cdot a\sqrt{5}} = \frac{-2a^2}{2a^2\sqrt{10}} = -\frac{1}{\sqrt{10}}$

Угол между прямыми по определению считается острым (или прямым), поэтому его значение находится в диапазоне от 0 до 90 градусов. Косинус такого угла должен быть неотрицательным. Полученный отрицательный косинус соответствует тупому углу между направлениями векторов. Угол $\phi$ между прямыми будет равен $180^\circ - \alpha$, и его косинус будет равен модулю косинуса угла $\alpha$.

$\cos \phi = |\cos \alpha| = |-\frac{1}{\sqrt{10}}| = \frac{1}{\sqrt{10}}$

Для удобства можно избавиться от иррациональности в знаменателе:

$\frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{1 \cdot \sqrt{10}}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$

Ответ: $\frac{\sqrt{10}}{10}$.

244. Дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, точка $M$ — середина стороны $CD$. Существует ли параллельный перенос, при котором:

1) сторона $CD$ является образом стороны $AB$;

2) сторона $AD$ является образом стороны $BC$;

3) отрезок $CM$ является образом отрезка $MD$?

В случае утвердительного ответа укажите вектор, на который должен осуществляться параллельный перенос.

Рис. 19

244. Дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, точка $M$ — середина стороны $CD$. Существует ли параллельный перенос, при котором:

1) сторона $CD$ является образом стороны $AB$;

2) сторона $AD$ является образом стороны $BC$;

3) отрезок $CM$ является образом отрезка $MD$? В случае утвердительного ответа укажите вектор, на который должен осуществляться параллельный перенос.

Рис. 19

1) Параллельный перенос является движением, при котором отрезок переходит в равный и параллельный ему отрезок. Для того чтобы сторона $CD$ являлась образом стороны $AB$ при параллельном переносе, необходимо, чтобы эти стороны были параллельны и равны по длине, то есть $AB \parallel CD$ и $|AB| = |CD|$. В равнобокой трапеции боковые стороны равны, поэтому условие $|AB| = |CD|$ выполняется. Однако боковые стороны трапеции не параллельны ($AB \not\parallel CD$), иначе фигура была бы параллелограммом. Так как одно из условий не выполняется, такого параллельного переноса не существует.
Ответ: Нет, не существует.

2) Для того чтобы сторона $AD$ была образом стороны $BC$ при параллельном переносе, необходимо, чтобы эти стороны были параллельны и равны по длине: $AD \parallel BC$ и $|AD| = |BC|$. По определению трапеции, ее основания параллельны, то есть $AD \parallel BC$. Однако в трапеции, которая не является параллелограммом, длины оснований различны, то есть $|AD| \neq |BC|$. Следовательно, такого параллельного переноса не существует.
Ответ: Нет, не существует.

3) Пусть существует параллельный перенос на вектор $\vec{v}$, при котором отрезок $MD$ переходит в отрезок $CM$. Это означает, что концы отрезка $MD$ переходят в концы отрезка $CM$. Рассмотрим два возможных случая:
а) Точка $M$ переходит в $C$, а точка $D$ переходит в $M$. В этом случае вектор переноса $\vec{v}$ должен быть равен вектору $\vec{MC}$ и одновременно вектору $\vec{DM}$. Проверим, равны ли эти векторы. По условию, $M$ — середина отрезка $CD$. Это означает, что векторы $\vec{CM}$ и $\vec{MD}$ равны: $\vec{CM} = \vec{MD}$. Вектор $\vec{MC}$ противоположен вектору $\vec{CM}$, то есть $\vec{MC} = -\vec{CM}$. Вектор $\vec{DM}$ противоположен вектору $\vec{MD}$, то есть $\vec{DM} = -\vec{MD}$. Так как $\vec{CM} = \vec{MD}$, то и $-\vec{CM} = -\vec{MD}$, откуда следует, что $\vec{MC} = \vec{DM}$. Таким образом, существует вектор переноса $\vec{v} = \vec{MC} = \vec{DM}$, при котором точка $M$ переходит в $C$, а точка $D$ — в $M$. Следовательно, отрезок $MD$ переходит в отрезок $CM$.
б) Точка $M$ переходит в $M$, а точка $D$ переходит в $C$. Если $M$ переходит в $M$, то вектор переноса нулевой: $\vec{v} = \vec{MM} = \vec{0}$. Если $D$ переходит в $C$, то вектор переноса $\vec{v} = \vec{DC}$. Так как точки $D$ и $C$ различны, $\vec{DC} \neq \vec{0}$. Этот случай невозможен.
Следовательно, такой перенос существует.
Ответ: Да, существует. Вектор переноса $\vec{v} = \vec{DM}$ (или равный ему вектор $\vec{MC}$).

245. Постройте образ треугольника ABC при параллельном переносе на вектор $\vec{a}$ (рис. 19).

Рис. 19

245. Постройте образ треугольника $ABC$ при параллельном переносе на вектор $\vec{a}$ (рис. 19).

Рис. 19

$A$

$B$

$C$

$\vec{a}$

Для построения образа треугольника $ABC$ при параллельном переносе на вектор $\vec{a}$, необходимо выполнить сдвиг каждой вершины треугольника ($A$, $B$ и $C$) на этот вектор. Это означает, что из каждой вершины нужно отложить вектор, равный по длине и направлению вектору $\vec{a}$. Концы построенных векторов и будут новыми вершинами $A'$, $B'$ и $C'$ искомого треугольника $A'B'C'$.

1. Сначала определим компоненты вектора переноса $\vec{a}$ по клеткам на рисунке. Его конец смещен относительно начала на 3 клетки вправо по горизонтали и на 1 клетку вверх по вертикали. Таким образом, каждая точка исходной фигуры должна быть смещена по такому же правилу.

2. Далее выполним перенос для каждой вершины треугольника $ABC$:

- Чтобы найти положение точки $A'$, отсчитываем от точки $A$ 3 клетки вправо и 1 клетку вверх.

- Чтобы найти положение точки $B'$, отсчитываем от точки $B$ 3 клетки вправо и 1 клетку вверх.

- Чтобы найти положение точки $C'$, отсчитываем от точки $C$ 3 клетки вправо и 1 клетку вверх.

3. Соединив полученные точки $A'$, $B'$ и $C'$ отрезками, мы получаем треугольник $A'B'C'$, который и является образом треугольника $ABC$ при заданном параллельном переносе.

На рисунке ниже показан исходный треугольник $ABC$ (синий), векторы переноса для каждой вершины (серые пунктирные линии) и итоговый треугольник $A'B'C'$ (красный).

Ответ: Искомый образ треугольника $ABC$ — это треугольник $A'B'C'$, построение которого показано на рисунке.

(рис. 15).

246. Постройте образы точек $A(1; 3)$, $B(0; -4)$ и $C(2; 0)$ при параллельном переносе на вектор $\vec{a}(2; 0)$. Запишите координаты построенных точек.

246. Постройте образы точек $A (1; 3)$, $B (0; -4)$ и $C (2; 0)$ при параллельном переносе на вектор $\vec{a}(2; 0)$. Запишите координаты построенных точек.

Параллельный перенос точки с координатами $(x; y)$ на вектор $\vec{a}(a_x; a_y)$ отображает ее в точку $(x'; y')$, координаты которой находятся по формулам:
$x' = x + a_x$
$y' = y + a_y$
В данной задаче вектор переноса $\vec{a}(2; 0)$. Это означает, что абсцисса каждой точки увеличится на 2, а ордината не изменится.

Найдем образ точки A(1; 3)
Пусть A' — это образ точки A. Найдем ее координаты $(x'; y')$:
$x' = 1 + 2 = 3$
$y' = 3 + 0 = 3$
Следовательно, образом точки A является точка A'(3; 3).
Ответ: A'(3; 3).

Найдем образ точки B(0; -4)
Пусть B' — это образ точки B. Найдем ее координаты $(x'; y')$:
$x' = 0 + 2 = 2$
$y' = -4 + 0 = -4$
Следовательно, образом точки B является точка B'(2; -4).
Ответ: B'(2; -4).

Найдем образ точки C(2; 0)
Пусть C' — это образ точки C. Найдем ее координаты $(x'; y')$:
$x' = 2 + 2 = 4$
$y' = 0 + 0 = 0$
Следовательно, образом точки C является точка C'(4; 0).
Ответ: C'(4; 0).

Построение:
1. Постройте прямоугольную систему координат.
2. Отметьте исходные точки A(1; 3), B(0; -4) и C(2; 0).
3. Для каждой точки выполните смещение на 2 единицы вправо вдоль оси Ox.
4. Отметьте новые положения точек: A'(3; 3), B'(2; -4) и C'(4; 0). Эти точки и являются образами исходных точек при заданном параллельном переносе.

247. Найдите точки, являющиеся образами точек $A (3; -1)$ и $B (0; 4)$ при параллельном переносе на вектор $\vec{m}(3; -4)$.
Образами каких точек при таком параллельном переносе являются точки $M (-2; 1)$ и $N (5; 0)$?

247. Найдите точки, являющиеся образами точек $A (3; -1)$ и $B (0; 4)$ при параллельном переносе на вектор $\vec{m} (3; -4)$. Образами каких точек при таком параллельном переносе являются точки $M (-2; 1)$ и $N (5; 0)$?

Параллельный перенос точки с координатами $(x; y)$ на вектор $\vec{m}(a; b)$ переводит ее в точку с координатами $(x'; y')$, которые вычисляются по формулам:

$x' = x + a$
$y' = y + b$

В данной задаче вектор переноса $\vec{m}(3; -4)$, следовательно, $a=3$ и $b=-4$.

Найдите точки, являющиеся образами точек A(3; −1) и B(0; 4)

Чтобы найти координаты образа точки, необходимо к ее исходным координатам прибавить соответствующие координаты вектора переноса.

Для точки $A(3; -1)$ найдем ее образ $A'(x'; y')$:
$x' = 3 + 3 = 6$
$y' = -1 + (-4) = -5$
Таким образом, образом точки A является точка $A'(6; -5)$.

Для точки $B(0; 4)$ найдем ее образ $B'(x'; y')$:
$x' = 0 + 3 = 3$
$y' = 4 + (-4) = 0$
Таким образом, образом точки B является точка $B'(3; 0)$.

Ответ: образами точек A(3; −1) и B(0; 4) являются точки (6; −5) и (3; 0) соответственно.

Образами каких точек при таком параллельном переносе являются точки M(−2; 1) и N(5; 0)

Чтобы найти координаты исходной точки (прообраза), зная координаты ее образа $(x'; y')$, необходимо из координат образа вычесть соответствующие координаты вектора переноса. Формулы для нахождения исходных координат $(x; y)$ выглядят так:

$x = x' - a$
$y = y' - b$

Найдем прообраз для точки $M(-2; 1)$:
$x = -2 - 3 = -5$
$y = 1 - (-4) = 1 + 4 = 5$
Следовательно, точка M является образом точки с координатами $(-5; 5)$.

Найдем прообраз для точки $N(5; 0)$:
$x = 5 - 3 = 2$
$y = 0 - (-4) = 0 + 4 = 4$
Следовательно, точка N является образом точки с координатами $(2; 4)$.

Ответ: точки M(−2; 1) и N(5; 0) являются образами точек (−5; 5) и (2; 4) соответственно.

248. Найдите вектор, при параллельном переносе на который образом точки A (3; 1) будет точка B (-1; 4), и вектор, при параллельном переносе на который образом точки B будет точка A.

248. Найдите вектор, при параллельном переносе на который образом точки $A (3; 1)$ будет точка $B (-1; 4)$, и вектор, при параллельном переносе на который образом точки $B$ будет точка $A$.

Найдем вектор, при параллельном переносе на который образом точки A(3; 1) будет точка B(-1; 4)

Параллельный перенос точки $A(x_A; y_A)$ в точку $B(x_B; y_B)$ осуществляется с помощью вектора переноса $\vec{p}(a; b)$, координаты которого находятся как разность координат конечной и начальной точек.

Формулы для нахождения координат вектора переноса $\vec{p}$:
$a = x_B - x_A$
$b = y_B - y_A$

В данном случае начальная точка — $A(3; 1)$, а конечная — $B(-1; 4)$. Подставим их координаты в формулы:
$a = -1 - 3 = -4$
$b = 4 - 1 = 3$

Таким образом, вектор переноса, который переводит точку A в точку B, это вектор $\vec{p}(-4; 3)$. Этот вектор также является вектором $\vec{AB}$.

Ответ: $\vec{p}(-4; 3)$

Найдем вектор, при параллельном переносе на который образом точки B будет точка A

Теперь начальной точкой является $B(-1; 4)$, а конечной — $A(3; 1)$. Найдем координаты вектора переноса $\vec{q}(c; d)$.

Формулы для нахождения координат вектора переноса $\vec{q}$:
$c = x_A - x_B$
$d = y_A - y_B$

Подставим координаты точек $B(-1; 4)$ и $A(3; 1)$:
$c = 3 - (-1) = 3 + 1 = 4$
$d = 1 - 4 = -3$

Таким образом, вектор переноса, который переводит точку B в точку A, это вектор $\vec{q}(4; -3)$. Этот вектор также является вектором $\vec{BA}$. Стоит заметить, что $\vec{BA} = -\vec{AB}$.

Ответ: $\vec{q}(4; -3)$