Страница 24 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

200. Даны векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ (рис. 15). Постройте вектор:

1) $2\vec{a}$;

2) $-\frac{2}{3}\vec{b}$;

3) $\frac{1}{2}\vec{b}-\vec{a}$.

200. Даны векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ (рис. 15). Постройте вектор:

1) $2\vec{a}$;

2) $-\frac{2}{3}\vec{b}$;

3) $\frac{1}{2}\vec{b}-\vec{a}$.

Рис. 15

Для решения задачи сначала определим координаты данных векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ по сетке на рисунке. Примем сторону одной клетки за единицу измерения.

• Вектор $\vec{a}$ соответствует смещению на 3 клетки влево и 2 клетки вверх. Следовательно, его координаты: $\vec{a} = (-3, 2)$.
• Вектор $\vec{b}$ соответствует смещению на 6 клеток вправо и 1 клетку вверх. Следовательно, его координаты: $\vec{b} = (6, 1)$.

Теперь построим требуемые векторы.

1) $2\vec{a}$

Умножение вектора на число (скаляр) $k$ изменяет его длину в $|k|$ раз. Если $k > 0$, направление вектора сохраняется. Если $k < 0$, направление меняется на противоположное. В данном случае $k=2$. Вектор $2\vec{a}$ будет сонаправлен вектору $\vec{a}$, а его длина будет в два раза больше.

Вычислим координаты вектора $2\vec{a}$:

$2\vec{a} = 2 \cdot (-3, 2) = (2 \cdot (-3), 2 \cdot 2) = (-6, 4)$

Для построения этого вектора необходимо из произвольной начальной точки отложить 6 клеток влево и 4 клетки вверх.

Ответ: Вектор $2\vec{a}$ имеет координаты $(-6, 4)$. Для его построения от начальной точки нужно сместиться на 6 клеток влево и 4 клетки вверх.

2) $-\frac{2}{3}\vec{b}$

В данном случае скаляр $k = -\frac{2}{3}$. Так как $k < 0$, результирующий вектор будет направлен в противоположную сторону относительно вектора $\vec{b}$. Его длина будет составлять $\frac{2}{3}$ от длины вектора $\vec{b}$.

Вычислим координаты вектора $-\frac{2}{3}\vec{b}$:

$-\frac{2}{3}\vec{b} = -\frac{2}{3} \cdot (6, 1) = (-\frac{2}{3} \cdot 6, -\frac{2}{3} \cdot 1) = (-4, -2/3)$

Для построения этого вектора необходимо из произвольной начальной точки отложить 4 клетки влево и $\frac{2}{3}$ клетки вниз.

Ответ: Вектор $-\frac{2}{3}\vec{b}$ имеет координаты $(-4, -2/3)$. Для его построения от начальной точки нужно сместиться на 4 клетки влево и на $2/3$ клетки вниз.

3) $\frac{1}{2}\vec{b} - \vec{a}$

Разность векторов $\vec{x} - \vec{y}$ можно представить как сумму векторов $\vec{x} + (-\vec{y})$. Таким образом, нам нужно построить вектор, равный сумме векторов $\frac{1}{2}\vec{b}$ и $-\vec{a}$.

Найдем координаты этих векторов:

• $\frac{1}{2}\vec{b} = \frac{1}{2} \cdot (6, 1) = (3, 1/2) = (3, 0.5)$
• $-\vec{a} = -(-3, 2) = (3, -2)$

Теперь сложим их координаты, чтобы найти координаты итогового вектора:

$\frac{1}{2}\vec{b} - \vec{a} = (3, 0.5) + (3, -2) = (3+3, 0.5-2) = (6, -1.5)$

Для построения этого вектора можно из произвольной начальной точки сместиться на 6 клеток вправо и на 1.5 клетки (полторы клетки) вниз. Также можно использовать правило треугольника: сначала отложить вектор $\frac{1}{2}\vec{b}$ (3 клетки вправо, 0.5 клетки вверх), а затем из его конца отложить вектор $-\vec{a}$ (3 клетки вправо, 2 клетки вниз). Результирующий вектор соединит начало первого и конец второго.

Ответ: Вектор $\frac{1}{2}\vec{b} - \vec{a}$ имеет координаты $(6, -1.5)$. Для его построения от начальной точки нужно сместиться на 6 клеток вправо и на 1.5 клетки вниз.

201. Постройте два неколлинеарных вектора $ \vec{m} $ и $ \vec{n} $. Отметьте произвольную точку и отложите от неё вектор:

1) $ 3\vec{m} - 2\vec{n} $;

2) $ \frac{1}{4}\vec{m} + \frac{2}{5}\vec{n} $.

201. Постройте два неколлинеарных вектора $ \vec{m} $ и $ \vec{n} $. Отметьте произвольную точку и отложите от неё вектор:

1) $3\vec{m} - 2\vec{n}$;

2) $\frac{1}{4}\vec{m} + \frac{2}{5}\vec{n}$.

Для решения задачи сначала построим два произвольных неколлинеарных вектора $\vec{m}$ и $\vec{n}$. Неколлинеарные векторы — это векторы, которые не лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Затем выберем произвольную точку $O$, которая будет служить началом для построения искомых векторов.

1) $3\vec{m} - 2\vec{n}$
Чтобы построить вектор $\vec{c} = 3\vec{m} - 2\vec{n}$, необходимо выполнить следующие действия:
1. От произвольной точки $O$ отложить вектор $\vec{OA}$, который сонаправлен вектору $\vec{m}$ и имеет длину в 3 раза большую, чем у вектора $\vec{m}$. Таким образом, $\vec{OA} = 3\vec{m}$.
2. Далее необходимо построить вектор $-2\vec{n}$. Этот вектор противоположен по направлению вектору $\vec{n}$ и его длина в 2 раза больше длины вектора $\vec{n}$.
3. Для нахождения искомого вектора воспользуемся правилом сложения векторов (правилом треугольника). Для этого от конца вектора $\vec{OA}$ (то есть от точки $A$) отложим вектор $\vec{AB}$, равный вектору $-2\vec{n}$.
4. Вектор $\vec{OB}$, соединяющий начало первого вектора (точка $O$) с концом второго вектора (точка $B$), и будет являться искомым вектором: $\vec{OB} = \vec{OA} + \vec{AB} = 3\vec{m} - 2\vec{n}$.
Ответ: Искомый вектор является замыкающей стороной треугольника, построенного на последовательно отложенных векторах $3\vec{m}$ и $-2\vec{n}$.

2) $\frac{1}{4}\vec{m} + \frac{2}{5}\vec{n}$
Чтобы построить вектор $\vec{d} = \frac{1}{4}\vec{m} + \frac{2}{5}\vec{n}$, выполним следующие действия:
1. От точки $O$ отложим вектор $\vec{OC}$, который сонаправлен вектору $\vec{m}$ и имеет длину, равную $\frac{1}{4}$ длины вектора $\vec{m}$. Таким образом, $\vec{OC} = \frac{1}{4}\vec{m}$. Геометрически для этого нужно разделить вектор $\vec{m}$ на четыре равные части.
2. Построим вектор, равный $\frac{2}{5}\vec{n}$. Этот вектор сонаправлен вектору $\vec{n}$, а его длина составляет $\frac{2}{5}$ длины вектора $\vec{n}$. Геометрически для этого нужно разделить вектор $\vec{n}$ на пять равных частей и взять две такие части.
3. Для нахождения суммы векторов воспользуемся правилом треугольника. От конца вектора $\vec{OC}$ (то есть от точки $C$) отложим вектор $\vec{CD}$, равный вектору $\frac{2}{5}\vec{n}$.
4. Вектор $\vec{OD}$, соединяющий начало первого вектора (точка $O$) с концом второго вектора (точка $D$), и будет являться искомым вектором: $\vec{OD} = \vec{OC} + \vec{CD} = \frac{1}{4}\vec{m} + \frac{2}{5}\vec{n}$.
Ответ: Искомый вектор является замыкающей стороной треугольника, построенного на последовательно отложенных векторах $\frac{1}{4}\vec{m}$ и $\frac{2}{5}\vec{n}$.

202. $|\vec{a}|=3$. Чему равен модуль вектора:

1) $4\vec{a}$;

2) $-0,7\vec{a}$?

202. $|\vec{a}|=3$. Чему равен модуль вектора:

1) $4\vec{a}$;

2) $-0,7\vec{a}$?

Модуль (или длина) вектора, полученного умножением исходного вектора $\vec{a}$ на скаляр (число) $k$, вычисляется по формуле: $|k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|$. Это означает, что нужно умножить модуль числа $k$ на модуль исходного вектора $\vec{a}$.

По условию задачи, модуль вектора $\vec{a}$ равен 3, то есть $|\vec{a}| = 3$.

1) Найдем модуль вектора $4\vec{a}$.

В этом случае скаляр $k=4$.

Применим формулу:

$|4\vec{a}| = |4| \cdot |\vec{a}| = 4 \cdot 3 = 12$.

Ответ: 12

2) Найдем модуль вектора $-0,7\vec{a}$.

В этом случае скаляр $k=-0,7$.

Применим формулу:

$|-0,7\vec{a}| = |-0,7| \cdot |\vec{a}|$.

Модуль числа $-0,7$ равен $0,7$. Подставим известные значения:

$0,7 \cdot 3 = 2,1$.

Ответ: 2,1

203. Найдите модуль вектора $ \vec{m} = -3\vec{p} $, где $ p(4; -3) $.

203. Найдите модуль вектора $\vec{m} = -3\vec{p}$, где $p(4; -3)$.

Для того чтобы найти модуль вектора $\vec{m}$, сначала необходимо определить его координаты. Вектор $\vec{m}$ является произведением вектора $\vec{p}$ с координатами $(4; -3)$ на скаляр $-3$. Чтобы найти координаты вектора $\vec{m}$, нужно каждую координату вектора $\vec{p}$ умножить на $-3$.
$\vec{m} = -3\vec{p} = (-3 \cdot 4; -3 \cdot (-3)) = (-12; 9)$.

Модуль (или длина) вектора с координатами $(x; y)$ вычисляется по формуле: $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$.
Применим эту формулу для вектора $\vec{m}(-12; 9)$:
$|\vec{m}| = \sqrt{(-12)^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225}$.

Извлекая квадратный корень из 225, получаем:
$|\vec{m}| = 15$.

Ответ: 15

204. Даны векторы $\vec{a}(2; -3)$ и $\vec{b}(4; -5)$. Найдите координаты вектора:

1) $2\vec{a} + \vec{b};$

2) $3\vec{b} - 4\vec{a}.$

204. Даны векторы $\vec{a}(2;-3)$ и $\vec{b}(4;-5)$. Найдите координаты вектора:

1) $2\vec{a} + \vec{b}$;

2) $3\vec{b} - 4\vec{a}$.

Даны векторы $\vec{a}(2; -3)$ и $\vec{b}(4; -5)$. Для нахождения координат результирующих векторов воспользуемся правилами операций над векторами, заданными в координатной форме.

1) $2\vec{a} + \vec{b}$
Чтобы найти координаты вектора $2\vec{a} + \vec{b}$, сначала необходимо найти координаты вектора $2\vec{a}$, умножив каждую координату вектора $\vec{a}$ на скаляр 2.
$2\vec{a} = (2 \cdot 2; 2 \cdot (-3)) = (4; -6)$.
Затем выполним сложение векторов $2\vec{a}$ и $\vec{b}$, сложив их соответствующие координаты:
$2\vec{a} + \vec{b} = (4; -6) + (4; -5) = (4+4; -6+(-5)) = (8; -11)$.
Ответ: $(8; -11)$.

2) $3\vec{b} - 4\vec{a}$
Чтобы найти координаты вектора $3\vec{b} - 4\vec{a}$, сначала найдем координаты векторов $3\vec{b}$ и $4\vec{a}$.
Умножим координаты вектора $\vec{b}$ на 3:
$3\vec{b} = (3 \cdot 4; 3 \cdot (-5)) = (12; -15)$.
Умножим координаты вектора $\vec{a}$ на 4:
$4\vec{a} = (4 \cdot 2; 4 \cdot (-3)) = (8; -12)$.
Теперь выполним вычитание векторов, вычитая из координат вектора $3\vec{b}$ соответствующие координаты вектора $4\vec{a}$:
$3\vec{b} - 4\vec{a} = (12; -15) - (8; -12) = (12-8; -15 - (-12)) = (4; -15+12) = (4; -3)$.
Ответ: $(4; -3)$.

205. Найдите модуль вектора $ \vec{n} = 3\vec{a} - 4\vec{b} $, где $ \vec{a}(1; -2) $; $ \vec{b}(-1; 3) $.

205. Найти модуль вектора $ \vec{n} = 3\vec{a} - 4\vec{b} $, где $ \vec{a}(1; -2) $; $ \vec{b}(-1; 3) $.

Для того чтобы найти модуль вектора $\vec{n}$, сначала необходимо найти его координаты. Вектор $\vec{n}$ задан как линейная комбинация векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$: $\vec{n} = 3\vec{a} - 4\vec{b}$.

1. Найдем координаты вектора $3\vec{a}$. Для этого умножим каждую координату вектора $\vec{a}(1; -2)$ на число 3:
$3\vec{a} = (3 \cdot 1; 3 \cdot (-2)) = (3; -6)$.

2. Найдем координаты вектора $4\vec{b}$. Для этого умножим каждую координату вектора $\vec{b}(-1; 3)$ на число 4:
$4\vec{b} = (4 \cdot (-1); 4 \cdot 3) = (-4; 12)$.

3. Теперь найдем координаты вектора $\vec{n}$ путем вычитания соответствующих координат векторов:
$\vec{n} = 3\vec{a} - 4\vec{b} = (3; -6) - (-4; 12) = (3 - (-4); -6 - 12) = (7; -18)$.

4. Модуль (длина) вектора с координатами $(x; y)$ вычисляется по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}$. Применим эту формулу для вектора $\vec{n}(7; -18)$:
$|\vec{n}| = \sqrt{7^2 + (-18)^2} = \sqrt{49 + 324} = \sqrt{373}$.

Ответ: $\sqrt{373}$.

206. Точки E и F — середины сторон AB и BC параллелограмма ABCD (рис. 16). Выразите вектор $ \vec{FE} $ через векторы $ \vec{AB} = \vec{a} $ и $ \vec{AD} = \vec{b} $.

Рис. 15

Рис. 16

206. Точки E и F — середины сторон AB и BC параллелограмма ABCD (рис. 16). Выразите вектор $\overrightarrow{FE}$ через векторы $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{b}$.

Рис. 16

Чтобы выразить вектор $\vec{FE}$, воспользуемся правилом сложения векторов (правилом треугольника). Представим вектор $\vec{FE}$ как сумму двух других векторов, например, идя из точки F в точку E через точку B:

$\vec{FE} = \vec{FB} + \vec{BE}$

Рассмотрим каждый вектор в этой сумме отдельно.

По условию, точка $E$ является серединой стороны $AB$. Это означает, что вектор $\vec{BE}$ направлен противоположно вектору $\vec{AB}$ и его длина равна половине длины $AB$. Следовательно:

$\vec{BE} = -\frac{1}{2}\vec{AB}$

Так как по условию $\vec{AB} = \vec{a}$, то:

$\vec{BE} = -\frac{1}{2}\vec{a}$

Аналогично, точка $F$ является серединой стороны $BC$. Вектор $\vec{FB}$ направлен противоположно вектору $\vec{BC}$ и его длина равна половине длины $BC$:

$\vec{FB} = -\frac{1}{2}\vec{BC}$

Поскольку $ABCD$ — это параллелограмм, его противоположные стороны равны и параллельны, поэтому $\vec{BC} = \vec{AD}$. По условию $\vec{AD} = \vec{b}$, следовательно, $\vec{BC} = \vec{b}$. Подставим это в выражение для $\vec{FB}$:

$\vec{FB} = -\frac{1}{2}\vec{b}$

Теперь подставим найденные выражения для $\vec{BE}$ и $\vec{FB}$ в исходное равенство:

$\vec{FE} = \vec{FB} + \vec{BE} = (-\frac{1}{2}\vec{b}) + (-\frac{1}{2}\vec{a})$

Запишем в более привычном порядке:

$\vec{FE} = -\frac{1}{2}\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b}$

Ответ: $\vec{FE} = -\frac{1}{2}\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b}$

207. Точки K и P — середины сторон AB и BC трапеции ABCD (рис. 17). Выразите вектор $ \vec{KP} $ через векторы $ \vec{AD} = \vec{a} $ и $ \vec{CD} = \vec{b} $.

207. Точки K и P — середины сторон AB и BC трапеции ABCD (рис. 17). Выразите вектор $\vec{KP}$ через векторы $\vec{AD} = \vec{a}$ и $\vec{CD} = \vec{b}$.

Рис. 17

Для того чтобы выразить вектор $\vec{KP}$ через векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, мы можем представить вектор $\vec{KP}$ как сумму векторов, идущих по сторонам трапеции. Один из способов — использовать правило треугольника для векторов.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Точка $K$ — середина стороны $AB$, а точка $P$ — середина стороны $BC$. Следовательно, отрезок $KP$ является средней линией треугольника $ABC$. По свойству средней линии, выраженному в векторах, вектор, соединяющий середины двух сторон треугольника, равен половине вектора третьей стороны. Таким образом, мы можем записать:

$\vec{KP} = \frac{1}{2}\vec{AC}$

Теперь нам нужно выразить вектор $\vec{AC}$ через заданные векторы $\vec{AD} = \vec{a}$ и $\vec{CD} = \vec{b}$. Для этого рассмотрим треугольник $ADC$. По правилу сложения векторов (правило треугольника):

$\vec{AC} = \vec{AD} + \vec{DC}$

По условию, $\vec{AD} = \vec{a}$. Вектор $\vec{DC}$ является противоположным вектору $\vec{CD}$, поэтому $\vec{DC} = -\vec{CD}$. Так как по условию $\vec{CD} = \vec{b}$, то:

$\vec{DC} = -\vec{b}$

Подставим полученные выражения для векторов $\vec{AD}$ и $\vec{DC}$ в формулу для $\vec{AC}$:

$\vec{AC} = \vec{a} + (-\vec{b}) = \vec{a} - \vec{b}$

Наконец, подставим найденное выражение для вектора $\vec{AC}$ в формулу для вектора $\vec{KP}$:

$\vec{KP} = \frac{1}{2}(\vec{a} - \vec{b})$

Ответ: $\vec{KP} = \frac{1}{2}(\vec{a} - \vec{b})$

208. O — точка пересечения диагоналей выпуклого четырёхугольника ABCD, $AO : OC = 5 : 7$, $BO : OD = 3 : 4$.

Выразите векторы $\vec{AB}, \vec{BC}, \vec{CD}$ и $\vec{DA}$ через векторы $\vec{OA} = \vec{a}$ и $\vec{OB} = \vec{b}$.

208. O — точка пересечения диагоналей выпуклого четырёхугольника ABCD, $AO : OC = 5 : 7$, $BO : OD = 3 : 4$.

Выразите векторы $\vec{AB}$, $\vec{BC}$, $\vec{CD}$ и $\vec{DA}$ через векторы $\vec{OA} = \vec{a}$ и $\vec{OB} = \vec{b}$.

По условию задачи, $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ выпуклого четырехугольника $ABCD$. Векторы $\vec{OA}$ и $\vec{OC}$ коллинеарны (лежат на одной прямой) и направлены в противоположные стороны, так как точка $O$ лежит между $A$ и $C$. Из заданного соотношения длин $AO : OC = 5 : 7$ следует, что $|\vec{OC}| = \frac{7}{5}|\vec{OA}|$.
Следовательно, вектор $\vec{OC}$ можно выразить через вектор $\vec{OA} = \vec{a}$ следующим образом:
$\vec{OC} = -\frac{7}{5}\vec{OA} = -\frac{7}{5}\vec{a}$.

Аналогично, векторы $\vec{OB}$ и $\vec{OD}$ коллинеарны и противоположно направлены. Из соотношения длин $BO : OD = 3 : 4$ следует, что $|\vec{OD}| = \frac{4}{3}|\vec{OB}|$.
Следовательно, вектор $\vec{OD}$ можно выразить через вектор $\vec{OB} = \vec{b}$:
$\vec{OD} = -\frac{4}{3}\vec{OB} = -\frac{4}{3}\vec{b}$.

Теперь, используя правило разности векторов (которое следует из правила треугольника), выразим векторы сторон четырехугольника через базисные векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

$\vec{AB}$
Вектор $\vec{AB}$ можно представить как разность векторов $\vec{OB}$ и $\vec{OA}$, проведенных из точки $O$ в концы вектора $\vec{AB}$:
$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = \vec{b} - \vec{a}$.
Ответ: $\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}$.

$\vec{BC}$
Вектор $\vec{BC}$ представим как разность векторов $\vec{OC}$ и $\vec{OB}$:
$\vec{BC} = \vec{OC} - \vec{OB} = -\frac{7}{5}\vec{a} - \vec{b}$.
Ответ: $\vec{BC} = -\frac{7}{5}\vec{a} - \vec{b}$.

$\vec{CD}$
Вектор $\vec{CD}$ представим как разность векторов $\vec{OD}$ и $\vec{OC}$:
$\vec{CD} = \vec{OD} - \vec{OC} = \left(-\frac{4}{3}\vec{b}\right) - \left(-\frac{7}{5}\vec{a}\right) = \frac{7}{5}\vec{a} - \frac{4}{3}\vec{b}$.
Ответ: $\vec{CD} = \frac{7}{5}\vec{a} - \frac{4}{3}\vec{b}$.

$\vec{DA}$
Вектор $\vec{DA}$ представим как разность векторов $\vec{OA}$ и $\vec{OD}$:
$\vec{DA} = \vec{OA} - \vec{OD} = \vec{a} - \left(-\frac{4}{3}\vec{b}\right) = \vec{a} + \frac{4}{3}\vec{b}$.
Ответ: $\vec{DA} = \vec{a} + \frac{4}{3}\vec{b}$.