Страница 20 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

169. Найдите угловой коэффициент прямой, проходящей через точки:

1) A $(3; 2)$ и B $(-4; 1)$;

2) A $(5; -7)$ и B $(4; -7)$.

169. Найдите угловой коэффициент прямой, проходящей через точки:

1) $A (3; 2)$ и $B (-4; 1);$

2) $A (5; -7)$ и $B (4; -7).$

Для нахождения углового коэффициента прямой, проходящей через две точки с координатами $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$, используется следующая формула:

$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

1) A (3; 2) и B (-4; 1);

Подставим координаты точек A и B в формулу. Здесь $x_1 = 3$, $y_1 = 2$, $x_2 = -4$ и $y_2 = 1$.

$k = \frac{1 - 2}{-4 - 3} = \frac{-1}{-7} = \frac{1}{7}$

Ответ: $\frac{1}{7}$

2) A (5; -7) и B (4; -7).

Подставим координаты точек A и B в формулу. Здесь $x_1 = 5$, $y_1 = -7$, $x_2 = 4$ и $y_2 = -7$.

$k = \frac{-7 - (-7)}{4 - 5} = \frac{-7 + 7}{-1} = \frac{0}{-1} = 0$

Угловой коэффициент равен 0, что означает, что прямая параллельна оси абсцисс (горизонтальная линия).

Ответ: 0

170. Составьте уравнение прямой, которая проходит через точку K $(-2; 5)$ и параллельна прямой $y = 4x - 2$.

170. Составьте уравнение прямой, которая проходит через точку $K(-2; 5)$ и параллельна прямой $y = 4x - 2$.

Уравнение прямой в общем виде записывается как $y = kx + b$, где $k$ — это угловой коэффициент, а $b$ — свободный член, отвечающий за сдвиг графика вдоль оси Y.

По условию задачи, искомая прямая должна быть параллельна прямой $y = 4x - 2$. Прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны. Угловой коэффициент данной прямой $y = 4x - 2$ равен $k=4$. Следовательно, угловой коэффициент искомой прямой также будет равен $4$.

Таким образом, уравнение нашей прямой принимает вид $y = 4x + b$.

Чтобы найти значение $b$, воспользуемся тем, что прямая проходит через точку $K(-2; 5)$. Подставим координаты этой точки ($x = -2$, $y = 5$) в уравнение прямой:

$5 = 4 \cdot (-2) + b$

$5 = -8 + b$

Теперь выразим $b$:

$b = 5 + 8$

$b = 13$

Мы нашли оба параметра: $k = 4$ и $b = 13$. Подставим их в общее уравнение прямой.

Ответ: $y = 4x + 13$

171. Составьте уравнение прямой, которая проходит через точку $F (3; -5)$ и образует с положительным направлением оси абсцисс угол:

171. Составьте уравнение прямой, которая проходит через точку F (3; -5) и образует с положительным направлением оси абсцисс угол: 1) 45°; 2) 135°.

Для нахождения уравнения прямой воспользуемся уравнением прямой, проходящей через заданную точку $M(x_0; y_0)$ с известным угловым коэффициентом $k$: $y - y_0 = k(x - x_0)$.

Угловой коэффициент $k$ равен тангенсу угла $\alpha$, который прямая образует с положительным направлением оси абсцисс: $k = \tan(\alpha)$.

По условию задачи, прямая проходит через точку $F(3; -5)$, значит $x_0 = 3$ и $y_0 = -5$.

1) Угол $\alpha = 45^\circ$.

Сначала найдем угловой коэффициент $k$:

$k = \tan(45^\circ) = 1$

Теперь подставим координаты точки $F(3; -5)$ и найденный угловой коэффициент $k=1$ в уравнение прямой:

$y - (-5) = 1 \cdot (x - 3)$

$y + 5 = x - 3$

Выразим $y$ для получения уравнения в виде $y = kx + b$:

$y = x - 3 - 5$

$y = x - 8$

Ответ: $y = x - 8$.

2) Угол $\alpha = 135^\circ$.

Сначала найдем угловой коэффициент $k$:

$k = \tan(135^\circ) = \tan(180^\circ - 45^\circ) = -\tan(45^\circ) = -1$

Теперь подставим координаты точки $F(3; -5)$ и найденный угловой коэффициент $k=-1$ в уравнение прямой:

$y - (-5) = -1 \cdot (x - 3)$

$y + 5 = -x + 3$

Выразим $y$ для получения уравнения в виде $y = kx + b$:

$y = -x + 3 - 5$

$y = -x - 2$

Ответ: $y = -x - 2$.

172. Запишите уравнение прямой, изображённой на рисунке 8.

Рис. 8

a

$y = \sqrt{3}x$

б

$y = -x + 4$

в

$y = \frac{\sqrt{3}}{3}x + \frac{4\sqrt{3}}{3}$

172. Запишите уравнение прямой, изображённой на рисунке 8.

Рис. 8

a

$y$, $x$, $0$, $60^\circ$

б

$y$, $x$, $0$, $4$, $135^\circ$

В

$y$, $x$, $0$, $-4$, $30^\circ$

Общий вид уравнения прямой — $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, равный тангенсу угла наклона прямой $\alpha$ к положительному направлению оси $x$ ($k = \tan \alpha$), а $b$ — ордината точки пересечения прямой с осью $y$.

а

Из рисунка видно, что прямая проходит через начало координат $(0, 0)$, следовательно, $b = 0$. Угол наклона прямой к положительному направлению оси $x$ составляет $\alpha = 60^\circ$. Найдем угловой коэффициент $k$:
$k = \tan(60^\circ) = \sqrt{3}$.
Подставив $k$ и $b$ в общее уравнение прямой, получаем:
$y = \sqrt{3}x + 0$ или $y = \sqrt{3}x$.

Ответ: $y = \sqrt{3}x$.

б

Из рисунка видно, что прямая пересекает ось $y$ в точке $(0, 4)$, следовательно, $b = 4$. Угол наклона прямой к положительному направлению оси $x$ составляет $\alpha = 135^\circ$. Найдем угловой коэффициент $k$:
$k = \tan(135^\circ) = \tan(180^\circ - 45^\circ) = -\tan(45^\circ) = -1$.
Подставив $k$ и $b$ в общее уравнение прямой, получаем:
$y = -1 \cdot x + 4$ или $y = -x + 4$.

Ответ: $y = -x + 4$.

в

Из рисунка видно, что угол наклона прямой к положительному направлению оси $x$ составляет $\alpha = 30^\circ$. Найдем угловой коэффициент $k$:
$k = \tan(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Уравнение прямой имеет вид $y = \frac{\sqrt{3}}{3}x + b$. Прямая проходит через точку $(-4, 0)$. Подставим координаты этой точки в уравнение, чтобы найти $b$:
$0 = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot (-4) + b$
$0 = -\frac{4\sqrt{3}}{3} + b$
$b = \frac{4\sqrt{3}}{3}$.
Таким образом, уравнение прямой:
$y = \frac{\sqrt{3}}{3}x + \frac{4\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $y = \frac{\sqrt{3}}{3}x + \frac{4\sqrt{3}}{3}$.

173. Среди данных прямых укажите пары параллельных прямых:

1) $3x - 4 = -8;$

2) $6x - 8y = 9;$

3) $4x - 7y = -6;$

4) $5x - 10y = -7;$

5) $x - 2y = 1.$

173. Среди данных прямых укажите пары параллельных прямых:

1) $3x - 4 = -8;$

2) $6x - 8y = 9;$

3) $4x - 7y = -6;$

4) $5x - 10y = -7;$

5) $x - 2y = 1.$

Для того чтобы определить, какие из данных прямых параллельны, необходимо найти их угловые коэффициенты. Две невертикальные прямые параллельны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты равны. Приведем уравнения прямых к виду $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент.

1) 3x - 4 = -8
Упростим уравнение: $3x = -8 + 4$, что дает $3x = -4$, или $x = -\frac{4}{3}$. Это уравнение задает вертикальную прямую, параллельную оси OY. Ее угловой коэффициент не определен. Среди остальных уравнений нет других вертикальных прямых, поэтому эта прямая не параллельна ни одной из них.

2) 6x - 8y = 9
Выразим $y$ через $x$:
$-8y = -6x + 9$
$y = \frac{-6}{-8}x + \frac{9}{-8}$
$y = \frac{3}{4}x - \frac{9}{8}$
Угловой коэффициент $k_2 = \frac{3}{4}$.

3) 4x - 7y = -6
Выразим $y$ через $x$:
$-7y = -4x - 6$
$y = \frac{-4}{-7}x + \frac{-6}{-7}$
$y = \frac{4}{7}x + \frac{6}{7}$
Угловой коэффициент $k_3 = \frac{4}{7}$.

4) 5x - 10y = -7
Выразим $y$ через $x$:
$-10y = -5x - 7$
$y = \frac{-5}{-10}x + \frac{-7}{-10}$
$y = \frac{1}{2}x + \frac{7}{10}$
Угловой коэффициент $k_4 = \frac{1}{2}$.

5) x - 2y = 1
Выразим $y$ через $x$:
$-2y = -x + 1$
$y = \frac{-1}{-2}x + \frac{1}{-2}$
$y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$
Угловой коэффициент $k_5 = \frac{1}{2}$.

Теперь сравним полученные угловые коэффициенты:
$k_2 = \frac{3}{4}$
$k_3 = \frac{4}{7}$
$k_4 = \frac{1}{2}$
$k_5 = \frac{1}{2}$
Угловые коэффициенты прямых 4) и 5) равны ($k_4 = k_5 = \frac{1}{2}$), следовательно, эти прямые параллельны. Свободные члены в их уравнениях ($b_4 = \frac{7}{10}$ и $b_5 = -\frac{1}{2}$) не равны, значит прямые не совпадают.

Ответ: параллельными являются прямые 4) $5x - 10y = -7$ и 5) $x - 2y = 1$.

174. На рисунке 9 изображён вектор $\vec{AC}$. Укажите начало и конец этого вектора. Отложите от точки $M$ вектор, равный вектору $\vec{AC}$, и вектор, противоположно направленный вектору $\vec{AC}$, модуль которого равен модулю вектора $\vec{AC}$.

Рис. 9

174. На рисунке 9 изображён вектор $\vec{AC}$. Укажите начало и конец этого вектора. Отложите от точки $M$ вектор, равный вектору $\vec{AC}$, и вектор, противоположно направленный вектору $\vec{AC}$, модуль которого равен модулю вектора $\vec{AC}$.

Рис. 9

Укажите начало и конец этого вектора
Вектор, который изображен в виде направленного отрезка от точки A до точки C, обозначается как $\vec{AC}$. В этом обозначении первая буква (A) указывает на начало вектора (точку приложения), а вторая буква (C) — на его конец.

Ответ: Начало вектора — точка A, конец вектора — точка C.

Отложите от точки М вектор, равный вектору $\vec{AC}$, и вектор, противоположно направленный вектору $\vec{AC}$, модуль которого равен модулю вектора $\vec{AC}$
Для выполнения этого задания сначала найдем характеристики вектора $\vec{AC}$. Глядя на рисунок, можно определить его смещение по осям (координаты вектора), приняв сторону одной клетки за единицу. Чтобы переместиться из начальной точки A в конечную точку C, необходимо сдвинуться на 4 клетки вправо (положительное направление по оси абсцисс) и на 2 клетки вниз (отрицательное направление по оси ординат). Таким образом, координаты вектора $\vec{AC}$ равны $(4; -2)$.

1. Построение вектора, равного $\vec{AC}$, от точки M:
Равные векторы имеют одинаковые координаты. Следовательно, искомый вектор, начинающийся в точке M, должен также иметь координаты $(4; -2)$. Для его построения от точки M откладываем 4 клетки вправо и 2 клетки вниз. Конечную точку этого вектора назовем, например, N. Полученный вектор $\vec{MN}$ будет равен вектору $\vec{AC}$.

2. Построение вектора, противоположного $\vec{AC}$, от точки M:
Вектор, который противоположно направлен вектору $\vec{AC}$ и имеет тот же модуль (длину), является противоположным вектором, обозначаемым как $-\vec{AC}$. Его координаты имеют противоположные знаки по сравнению с координатам исходного вектора. Если $\vec{AC} = (4; -2)$, то $-\vec{AC} = (-4; 2)$. Это соответствует смещению на 4 клетки влево и на 2 клетки вверх. Для построения этого вектора от точки M откладываем 4 клетки влево и 2 клетки вверх. Конечную точку этого вектора назовем, например, P. Полученный вектор $\vec{MP}$ будет искомым вектором.

Ответ: Чтобы построить вектор, равный $\vec{AC}$, нужно от точки M отступить 4 клетки вправо и 2 клетки вниз. Чтобы построить вектор, противоположный $\vec{AC}$ (противоположно направленный и равный по модулю), нужно от точки M отступить 4 клетки влево и 2 клетки вверх.