Страница 15 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

118. На катете $BC$ прямоугольного треугольника $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) как на диаметре построена полуокружность, которая пересекает гипотенузу. Найдите длину дуги этой полуокружности, расположенной вне треугольника, если $\angle B = 36^\circ$, $BC = 6$ см.

118. На катете $BC$ прямоугольного треугольника $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) как на диаметре построена полуокружность, которая пересекает гипотенузу. Найдите длину дуги этой полуокружности, расположенной вне треугольника, если $\angle B = 36^\circ$, $BC = 6$ см.

Пусть O — центр полуокружности, построенной на катете BC как на диаметре. Тогда точка O является серединой отрезка BC. Диаметр полуокружности равен длине катета $BC = 6$ см. Следовательно, радиус полуокружности $R$ равен: $R = \frac{BC}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

Пусть D — точка пересечения полуокружности с гипотенузой AB. Дуга полуокружности, расположенная вне треугольника ABC, это дуга DB. Чтобы найти ее длину, нужно определить величину центрального угла $\angle DOB$, который стягивает эту дугу.

Рассмотрим треугольник $\triangle OBD$. В этом треугольнике стороны OB и OD являются радиусами полуокружности, поэтому они равны: $OB = OD = R = 3$ см. Это означает, что треугольник $\triangle OBD$ — равнобедренный с основанием BD.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Угол $\angle OBD$ является частью угла $\angle B$ треугольника ABC, то есть $\angle OBD = \angle B = 36^\circ$. Следовательно, угол при основании $\angle ODB$ также равен $36^\circ$: $\angle ODB = \angle OBD = 36^\circ$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Найдем угол при вершине O в треугольнике $\triangle OBD$, который и является искомым центральным углом $\angle DOB$: $\angle DOB = 180^\circ - (\angle OBD + \angle ODB) = 180^\circ - (36^\circ + 36^\circ) = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ$.

Теперь найдем длину дуги DB по формуле длины дуги окружности: $L = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi R$, где $\alpha$ — градусная мера центрального угла, а $R$ — радиус. Подставим известные значения: $\alpha = 108^\circ$ и $R = 3$ см. $L_{DB} = \frac{108^\circ}{360^\circ} \cdot 2\pi \cdot 3 = \frac{108}{360} \cdot 6\pi$. Сократим дробь $\frac{108}{360}$: $\frac{108}{360} = \frac{3 \cdot 36}{10 \cdot 36} = \frac{3}{10} = 0.3$. $L_{DB} = 0.3 \cdot 6\pi = 1.8\pi$ см.

Ответ: $1.8\pi$ см.

119. В треугольнике $ABC$ $AB = 8 \text{ см}$, $\angle A = 50^\circ$, $\angle B = 60^\circ$.
Окружность с центром $A$ касается стороны $BC$. Найдите длину дуги этой окружности, принадлежащей треугольнику.

119. В треугольнике $ABC$ $AB = 8$ см, $\angle A = 50^{\circ}$, $\angle B = 60^{\circ}$.

Окружность с центром $A$ касается стороны $BC$. Найдите длину дуги этой окружности, принадлежащей тре-угольнику.

По условию задачи, окружность с центром в точке A касается стороны BC. Это означает, что радиус окружности R равен длине высоты AH, опущенной из вершины A на сторону BC.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH, где $\angle AHB = 90^\circ$. В этом треугольнике известны гипотенуза $AB = 8$ см и острый угол $\angle B = 60^\circ$.

Радиус R, который является катетом AH, можно найти через синус угла B:

$\sin(\angle B) = \frac{AH}{AB}$

Отсюда выразим AH:

$AH = AB \cdot \sin(\angle B)$

Подставим известные значения и вычислим радиус:

$R = AH = 8 \cdot \sin(60^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см.

Дуга окружности, принадлежащая треугольнику, ограничена сторонами AB и AC. Так как центр окружности находится в вершине A, то центральный угол этой дуги равен углу A треугольника.

По условию, $\angle A = 50^\circ$.

Длина дуги $L$ с центральным углом $\alpha$ и радиусом $R$ вычисляется по формуле:

$L = \frac{2\pi R \alpha}{360^\circ}$

Подставим наши значения $R = 4\sqrt{3}$ см и $\alpha = 50^\circ$:

$L = \frac{2 \pi \cdot 4\sqrt{3} \cdot 50}{360} = \frac{400\pi\sqrt{3}}{360}$

Сократим полученную дробь:

$L = \frac{40\pi\sqrt{3}}{36} = \frac{10\pi\sqrt{3}}{9}$ см.

Ответ: $\frac{10\pi\sqrt{3}}{9}$ см.

120. Радиус круга равен 5 см. Найдите площадь сектора, если градусная мера его дуги равна $150^\circ$.

120. Радиус круга равен 5 см. Найдите площадь сектора, если градусная мера его дуги равна 150°.

Для нахождения площади сектора круга используется формула:

$S_{сектора} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360^\circ}$

где $R$ — это радиус круга, а $\alpha$ — это градусная мера дуги сектора.

Согласно условию задачи, мы имеем следующие данные:

Радиус круга $R = 5$ см.

Градусная мера дуги $\alpha = 150$°.

Теперь подставим эти значения в формулу для расчета площади сектора:

$S_{сектора} = \frac{\pi \cdot (5\text{ см})^2 \cdot 150^\circ}{360^\circ}$

Сначала возведем радиус в квадрат:

$5^2 = 25$

Теперь формула выглядит так:

$S_{сектора} = \frac{\pi \cdot 25 \cdot 150}{360} \text{ см}^2 = \frac{3750\pi}{360} \text{ см}^2$

Для упрощения дроби сократим ее. Сначала можно сократить на 10:

$\frac{3750\pi}{360} = \frac{375\pi}{36}$

Числитель и знаменатель делятся на 3:

$375 \div 3 = 125$

$36 \div 3 = 12$

В результате получаем:

$S_{сектора} = \frac{125\pi}{12} \text{ см}^2$

Ответ: $\frac{125\pi}{12}$ см².

121. Какую часть площади круга составляет площадь сектора, если соответствующий сектору центральный угол равен $300^\circ$?

121. Какую часть площади круга составляет площадь сектора, если соответствующий сектору центральный угол равен $300^\circ$?

Площадь всего круга соответствует полному центральному углу, который равен $360^\circ$. Площадь сектора круга прямо пропорциональна величине его центрального угла.

Чтобы определить, какую часть площади круга составляет площадь сектора, нужно найти отношение величины центрального угла сектора к величине полного угла круга.

Центральный угол сектора по условию равен $300^\circ$.

Найдем искомое отношение:

$\frac{300^\circ}{360^\circ}$

Теперь сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для 300 и 360 равен 60. Разделим числитель и знаменатель на 60:

$\frac{300}{360} = \frac{300 \div 60}{360 \div 60} = \frac{5}{6}$

Следовательно, площадь сектора составляет $\frac{5}{6}$ от площади всего круга.

Ответ: $\frac{5}{6}$

122. Площадь сектора составляет $ \frac{3}{8} $ площади круга. Найдите центральный угол, соответствующий данному сектору.

122. Площадь сектора составляет $\frac{3}{8}$ площади круга. Найдите центральный угол, соответствующий данному сектору.

Отношение площади сектора к площади всего круга равно отношению центрального угла этого сектора к полному углу в 360°.

Пусть $S_{сектора}$ — площадь сектора, $S_{круга}$ — площадь круга, а $\alpha$ — искомый центральный угол в градусах.

Тогда справедливо соотношение:
$\frac{S_{сектора}}{S_{круга}} = \frac{\alpha}{360^\circ}$

Из условия задачи мы знаем, что это отношение равно $\frac{3}{8}$:
$\frac{S_{сектора}}{S_{круга}} = \frac{3}{8}$

Приравняем правые части двух равенств:
$\frac{\alpha}{360^\circ} = \frac{3}{8}$

Теперь выразим $\alpha$:
$\alpha = \frac{3}{8} \cdot 360^\circ$

Вычислим значение угла:
$\alpha = 3 \cdot \frac{360^\circ}{8} = 3 \cdot 45^\circ = 135^\circ$

Следовательно, центральный угол, соответствующий данному сектору, равен 135°.

Ответ: 135°.

123. Найдите радиус круга, если площадь сектора этого круга равна $7,5\pi \text{ см}^2$, а центральный угол, соответствующий этому сектору, — $108^\circ$.

123. Найдите радиус круга, если площадь сектора этого круга равна $7.5\pi \text{ см}^2$, а центральный угол, соответствующий этому сектору, — $108^\circ$.

Для решения этой задачи воспользуемся формулой площади сектора круга:
$S_{сект} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360^{\circ}}$
где $S_{сект}$ — площадь сектора, $R$ — радиус круга, а $\alpha$ — центральный угол сектора в градусах.

Из условия задачи нам даны:
$S_{сект} = 7,5\pi$ см²
$\alpha = 108^{\circ}$

Подставим известные значения в формулу и выразим радиус $R$.
$7,5\pi = \frac{\pi R^2 \cdot 108}{360}$

Разделим обе части уравнения на $\pi$:
$7,5 = \frac{R^2 \cdot 108}{360}$

Теперь выразим $R^2$:
$R^2 = \frac{7,5 \cdot 360}{108}$

Выполним вычисления. Сократим дробь $\frac{360}{108}$. Наибольший общий делитель для 360 и 108 равен 36.
$360 \div 36 = 10$
$108 \div 36 = 3$
Таким образом, $\frac{360}{108} = \frac{10}{3}$.
Подставим это значение в уравнение для $R^2$:
$R^2 = 7,5 \cdot \frac{10}{3}$
$R^2 = \frac{75}{3}$
$R^2 = 25$

Найдем радиус, извлекая квадратный корень из 25. Так как радиус является положительной величиной:
$R = \sqrt{25} = 5$ (см)

Ответ: 5 см.

124. Найдите площадь круга, вписанного в сектор круга радиуса 3 см с хордой 2 см.

124. Найдите площадь круга, вписанного в сектор круга радиуса 3 см с хордой 2 см.

Пусть дан сектор круга с центром в точке $O$ и радиусом $R=3$ см. Концы радиусов, образующих сектор, обозначим $A$ и $B$. Хорда, стягивающая дугу сектора, равна $AB=2$ см.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $\triangle AOB$, где $OA=OB=R=3$ см. Проведем высоту $OM$ к основанию $AB$. В равнобедренном треугольнике высота является также медианой и биссектрисой. Следовательно, $M$ — середина $AB$, и $AM = MB = \frac{AB}{2} = \frac{2}{2} = 1$ см.

Из прямоугольного треугольника $\triangle OMA$ по теореме Пифагора найдем высоту $OM$:$OM = \sqrt{OA^2 - AM^2} = \sqrt{3^2 - 1^2} = \sqrt{9 - 1} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ см.

Пусть в данный сектор вписан круг с центром в точке $O'$ и радиусом $r$. Центр вписанного круга лежит на биссектрисе угла сектора, то есть на луче $OM$. Вписанный круг касается радиусов $OA$, $OB$ и дуги $AB$.

Расстояние от центра $O'$ до радиуса $OA$ равно радиусу $r$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный точками $O$, $O'$ и точкой касания $T$ на радиусе $OA$. В этом треугольнике $\triangle OTO'$ катет $O'T=r$. Угол при вершине $O$ равен половине центрального угла сектора, $\angle AOM$. Обозначим этот угол $\alpha$.

Найдем синус этого угла из треугольника $\triangle OMA$:$\sin(\alpha) = \frac{AM}{OA} = \frac{1}{3}$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle OTO'$ имеем: $\sin(\alpha) = \frac{O'T}{OO'} = \frac{r}{OO'}$.Отсюда выразим расстояние $OO'$ между центром сектора $O$ и центром вписанного круга $O'$:$OO' = \frac{r}{\sin(\alpha)} = \frac{r}{1/3} = 3r$.

Так как вписанный круг касается дуги сектора, расстояние от центра сектора $O$ до точки касания на дуге равно радиусу сектора $R$. Эта точка касания также лежит на линии центров $OO'$. Таким образом, расстояние $R$ можно представить как сумму расстояния между центрами $OO'$ и радиуса вписанного круга $r$:$R = OO' + r$.

Подставим известные значения и полученное выражение для $OO'$:$3 = 3r + r$$3 = 4r$$r = \frac{3}{4}$ см.

Теперь найдем площадь вписанного круга по формуле $S = \pi r^2$:$S = \pi \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \pi \frac{9}{16} = \frac{9\pi}{16}$ см$^2$.

Ответ: $\frac{9\pi}{16}$ см$^2$.

125. Найдите площадь заштрихованной фигуры, изображённой на рисунке 6 (длины отрезков даны в сантиметрах).

Рис. 6

а

Прямоугольник $ABCD$. Длина стороны $AD = 2$. Длина стороны $AB = 6$.

Из прямоугольника вырезаны два полукруга. Верхний полукруг имеет центр $O$ на стороне $BC$. Диаметр верхнего полукруга равен $BC = 2$. Диаметр нижнего полукруга равен $AD = 2$.

Радиус каждого полукруга составляет $1$.

б

Треугольник $O_1O_2O_3$. Длины сторон треугольника: $O_1O_2 = 2$, $O_2O_3 = 2$, $O_1O_3 = 3$.

Из вершин треугольника вырезаны три круговых сектора. Радиус сектора при вершине $O_1$ равен $1$. Радиус сектора при вершине $O_2$ равен $1$. Радиус сектора при вершине $O_3$ равен $1$.

в

Три касающиеся окружности с центрами $O_1, O_2, O_3$.

Радиус окружности с центром $O_1$ равен $2$.

Радиус окружности с центром $O_2$ равен $2$.

Радиус окружности с центром $O_3$ равен $2$.

125. Найдите площадь заштрихованной фигуры, изображённой на рисунке 6 (длины отрезков даны в сантиметрах).

a

B O C

A D

2 6

б

$O_2$

2 2

1

3 1 3

$O_1$ $O_3$

1 2 3

в

2

$O_1$

2

$O_2$

2

$O_3$

а

Площадь заштрихованной фигуры равна площади прямоугольника ABCD за вычетом площадей двух вырезанных частей: полукруга сверху и четверти круга снизу.

1. Площадь прямоугольника.Стороны прямоугольника равны 6 см и 2 см.$S_{прям} = 6 \times 2 = 12$ см².

2. Площадь верхнего полукруга.Диаметр полукруга равен стороне BC, которая равна стороне AD = 2 см. Следовательно, радиус полукруга $r_1 = 2 / 2 = 1$ см.$S_{полукр} = \frac{1}{2} \pi r_1^2 = \frac{1}{2} \pi (1)^2 = \frac{\pi}{2}$ см².

3. Площадь нижнего четверть круга.Четверть круга имеет центр в точке D и проходит через точку A. Следовательно, его радиус $r_2$ равен длине отрезка AD, то есть $r_2 = 2$ см.$S_{четв.кр} = \frac{1}{4} \pi r_2^2 = \frac{1}{4} \pi (2)^2 = \frac{4\pi}{4} = \pi$ см².

4. Площадь заштрихованной фигуры.$S_{фигуры} = S_{прям} - S_{полукр} - S_{четв.кр} = 12 - \frac{\pi}{2} - \pi = 12 - \frac{3\pi}{2}$ см².

Ответ: $(12 - \frac{3\pi}{2})$ см².

б

Площадь заштрихованной фигуры равна площади треугольника $O_1O_2O_3$ за вычетом площадей трех секторов с центрами в его вершинах. Аннотации на рисунке можно интерпретировать как описание трех взаимно касающихся окружностей с центрами в точках $O_1, O_2, O_3$ и радиусами $r_1, r_2, r_3$. Числа у вершин указывают на радиусы: $r_1=1$ см, $r_2=2$ см, $r_3=3$ см. Стороны треугольника равны суммам соответствующих радиусов.

1. Стороны и тип треугольника.- $O_1O_2 = r_1 + r_2 = 1 + 2 = 3$ см.- $O_2O_3 = r_2 + r_3 = 2 + 3 = 5$ см.- $O_3O_1 = r_3 + r_1 = 3 + 1 = 4$ см.Поскольку $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$, по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник $O_1O_2O_3$ является прямоугольным. Прямой угол находится в вершине $O_1$, напротив самой длинной стороны (гипотенузы) $O_2O_3$.

2. Площадь треугольника.Катеты треугольника равны 3 см и 4 см.$S_{\triangle} = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6$ см².

3. Площади секторов.Площадь сектора вычисляется по формуле $S_{сект} = \frac{1}{2} r^2 \theta$, где $\theta$ — угол в радианах.- Угол при вершине $O_1$ равен $\theta_1 = 90^\circ = \frac{\pi}{2}$ радиан. Радиус сектора $r_1=1$ см.$S_1 = \frac{1}{2} r_1^2 \theta_1 = \frac{1}{2} (1)^2 \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}$ см².- Угол при вершине $O_2$ ($\theta_2$) имеет $\cos(\theta_2) = \frac{O_1O_2}{O_2O_3} = \frac{3}{5}$.- Угол при вершине $O_3$ ($\theta_3$) имеет $\cos(\theta_3) = \frac{O_1O_3}{O_2O_3} = \frac{4}{5}$.Площади двух других секторов:$S_2 = \frac{1}{2} r_2^2 \theta_2 = \frac{1}{2} (2)^2 \theta_2 = 2\theta_2 = 2\arccos(\frac{3}{5})$ см².$S_3 = \frac{1}{2} r_3^2 \theta_3 = \frac{1}{2} (3)^2 \theta_3 = \frac{9}{2}\theta_3 = \frac{9}{2}\arccos(\frac{4}{5})$ см².

4. Площадь заштрихованной фигуры.$S_{фигуры} = S_{\triangle} - (S_1 + S_2 + S_3) = 6 - \left(\frac{\pi}{4} + 2\arccos(\frac{3}{5}) + \frac{9}{2}\arccos(\frac{4}{5})\right)$.Используя тождество $\arccos(x) + \arcsin(x) = \frac{\pi}{2}$ и то, что $\theta_2+\theta_3=\frac{\pi}{2}$ (так как $\cos\theta_2 = \sin\theta_3 = 3/5$), преобразуем выражение:$S_{фигуры} = 6 - \left( \frac{\pi}{4} + 2\theta_2 + \frac{9}{2}(\frac{\pi}{2} - \theta_2) \right) = 6 - \left( \frac{\pi}{4} + 2\theta_2 + \frac{9\pi}{4} - \frac{9}{2}\theta_2 \right) = 6 - \left( \frac{10\pi}{4} - \frac{5}{2}\theta_2 \right) = 6 - \frac{5\pi}{2} + \frac{5}{2}\arccos(\frac{3}{5})$.

Ответ: $(6 - \frac{5\pi}{2} + \frac{5}{2}\arccos(\frac{3}{5}))$ см².

в

Заштрихованная фигура — это область, заключенная между тремя одинаковыми, взаимно касающимися окружностями. Ее площадь можно найти, вычтя из площади треугольника, соединяющего центры окружностей, площади трех секторов, находящихся внутри этого треугольника.

1. Площадь треугольника.Центры окружностей $O_1, O_2, O_3$ образуют равносторонний треугольник, так как все радиусы равны $r=2$ см. Сторона треугольника $a = r + r = 2 + 2 = 4$ см.$S_{\triangle} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{4^2\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}$ см².

2. Площадь секторов.Углы в равностороннем треугольнике равны $60^\circ$. Таким образом, каждый из трех секторов имеет угол $60^\circ$ и радиус $r=2$ см.Площадь одного сектора: $S_{сект} = \frac{60^\circ}{360^\circ} \pi r^2 = \frac{1}{6} \pi (2)^2 = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$ см².Общая площадь трех секторов: $S_{секторов} = 3 \times S_{сект} = 3 \times \frac{2\pi}{3} = 2\pi$ см².

3. Площадь заштрихованной фигуры.$S_{фигуры} = S_{\triangle} - S_{секторов} = 4\sqrt{3} - 2\pi$ см².

Ответ: $(4\sqrt{3} - 2\pi)$ см².