Страница 8 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

43. Диагонали равнобокой трапеции перпендикулярны. Найдите радиус окружности, описанной около трапеции, если её боковая сторона равна $5\sqrt{2}$ см.

43. Диагонали равнобокой трапеции перпендикулярны. Найдите радиус окружности, описанной около трапеции, если её боковая сторона равна $5\sqrt{2}$ см.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, боковой стороной $CD = 5\sqrt{2}$ см. Диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны и пересекаются в точке $O$.

Окружность, описанная около трапеции, является также описанной окружностью для любого треугольника, образованного тремя ее вершинами, например, для треугольника $ACD$. Радиус $R$ этой окружности можно найти, используя следствие из теоремы синусов:

$R = \frac{CD}{2 \sin \angle CAD}$

Для вычисления радиуса необходимо найти величину угла $\angle CAD$.

В равнобокой трапеции диагонали равны ($AC = BD$), а боковые стороны равны ($AB = CD$). Рассмотрим треугольники $\triangle ADC$ и $\triangle DAB$. У них сторона $AD$ — общая, $CD = AB$ и $AC = BD$ по свойствам равнобокой трапеции. Следовательно, $\triangle ADC \cong \triangle DAB$ по трем сторонам.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle CAD = \angle BDA$.

Рассмотрим треугольник $AOD$, образованный пересечением диагоналей. Углы $\angle OAD$ (тот же, что и $\angle CAD$) и $\angle ODA$ (тот же, что и $\angle BDA$) являются углами при его основании $AD$. Так как эти углы равны, треугольник $AOD$ является равнобедренным, то есть $AO = DO$.

По условию задачи, диагонали трапеции перпендикулярны, а значит, угол между ними равен $90^\circ$. Таким образом, $\angle AOD = 90^\circ$.

Следовательно, треугольник $AOD$ является прямоугольным равнобедренным треугольником. Углы при основании такого треугольника равны:

$\angle CAD = \angle OAD = \frac{180^\circ - 90^\circ}{2} = 45^\circ$.

Теперь мы можем вычислить радиус описанной окружности, подставив известные значения в формулу:

$R = \frac{CD}{2 \sin \angle CAD} = \frac{5\sqrt{2}}{2 \sin 45^\circ}$.

Зная, что значение синуса $45^\circ$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$R = \frac{5\sqrt{2}}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 5$ см.

Ответ: 5 см.

44. В равнобокой трапеции диагональ является биссектрисой острого угла, а основания относятся как $5:11$. Найдите диагональ трапеции, если радиус окружности, описанной около трапеции, равен 6 см.

44. В равнобокой трапеции диагональ является биссектрисой острого угла, а основания относятся как 5 : 11. Найдите диагональ трапеции, если радиус окружности, описанной около трапеции, равен 6 см.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания, причем $AD > BC$. По условию, радиус описанной окружности $R=6$ см.

Диагональ $AC$ является биссектрисой острого угла $\angle BAD$. Обозначим $\angle CAD = \alpha$. Тогда, по определению биссектрисы, $\angle BAC = \alpha$, и весь острый угол трапеции $\angle BAD = 2\alpha$.

Так как основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), то накрест лежащие углы при секущей $AC$ равны: $\angle BCA = \angle CAD = \alpha$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. В нем два угла равны: $\angle BAC = \angle BCA = \alpha$. Следовательно, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$, и его боковые стороны равны: $AB = BC$.

Поскольку трапеция $ABCD$ равнобокая, ее боковые стороны равны: $AB = CD$. Из этого и предыдущего равенства следует, что боковые стороны трапеции равны ее меньшему основанию: $AB = BC = CD$.

По условию, основания относятся как $5:11$. Пусть коэффициент пропорциональности равен $x$. Тогда меньшее основание $BC = 5x$, а большее основание $AD = 11x$. Соответственно, боковые стороны также равны $5x$: $AB = CD = 5x$.

Рассмотрим треугольник $ACD$. Его вершины $A$, $C$, $D$ лежат на описанной около трапеции окружности. Стороны этого треугольника: $CD = 5x$, $AD = 11x$. Обозначим диагональ $AC = d$. Углы треугольника: $\angle CAD = \alpha$. Угол при основании трапеции $\angle ADC = \angle BAD = 2\alpha$ (углы при основании равнобокой трапеции равны). Третий угол треугольника $\angle ACD = 180^\circ - (\angle CAD + \angle ADC) = 180^\circ - (\alpha + 2\alpha) = 180^\circ - 3\alpha$.

Применим обобщенную теорему синусов для треугольника $ACD$. Отношение длины стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности ($2R$).

$\frac{CD}{\sin(\angle CAD)} = \frac{AD}{\sin(\angle ACD)} = \frac{AC}{\sin(\angle ADC)} = 2R$

Подставим известные значения:

$\frac{5x}{\sin \alpha} = \frac{11x}{\sin(180^\circ - 3\alpha)} = \frac{d}{\sin(2\alpha)} = 2 \cdot 6 = 12$

Из первого равенства $\frac{5x}{\sin \alpha} = \frac{11x}{\sin(3\alpha)}$ (поскольку $\sin(180^\circ - \theta) = \sin\theta$), получим соотношение для нахождения угла $\alpha$:

$\frac{5}{\sin \alpha} = \frac{11}{\sin(3\alpha)}$

$5 \sin(3\alpha) = 11 \sin \alpha$

Используем формулу синуса тройного угла $\sin(3\alpha) = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha$:

$5(3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha) = 11 \sin \alpha$

Поскольку $\alpha$ — острый угол в треугольнике, $\sin\alpha \neq 0$. Можно разделить обе части уравнения на $\sin\alpha$:

$5(3 - 4\sin^2\alpha) = 11$

$15 - 20\sin^2\alpha = 11$

$20\sin^2\alpha = 4$

$\sin^2\alpha = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$

Так как $\alpha$ — острый угол, $\sin\alpha > 0$, следовательно, $\sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$.

Теперь найдем искомое значение диагонали $d$. Из теоремы синусов мы имеем соотношение:

$\frac{d}{\sin(2\alpha)} = 12$

$d = 12 \sin(2\alpha)$

Для нахождения $\sin(2\alpha)$ сначала найдем $\cos\alpha$. Так как $\angle BAD = 2\alpha$ — острый угол, то $2\alpha < 90^\circ$, и $\alpha < 45^\circ$. Значит, $\cos\alpha > 0$.

$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$

$\cos\alpha = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

Теперь по формуле синуса двойного угла:

$\sin(2\alpha) = 2 \sin\alpha \cos\alpha = 2 \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{2\sqrt{5}}{5} = \frac{4 \cdot 5}{25} = \frac{20}{25} = \frac{4}{5}$

Наконец, подставим значение $\sin(2\alpha)$ в формулу для диагонали $d$:

$d = 12 \cdot \frac{4}{5} = \frac{48}{5} = 9,6$ см.

Ответ: 9,6 см.

45. На стороне $AB$ треугольника $ABC$ отметили точку $D$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ADC$, если радиус окружности, описанной около треугольника $BDC$, равен 12 см, $AC = 6$ см, $BC = 8$ см.

45. На стороне $AB$ треугольника $ABC$ отметили точку $D$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ADC$, если радиус окружности, описанной около треугольника $BDC$, равен 12 см, $AC = 6$ см, $BC = 8$ см.

Для решения задачи воспользуемся обобщенной теоремой синусов, которая гласит, что для любого треугольника отношение длины стороны к синусу противолежащего ей угла является величиной постоянной, равной удвоенному радиусу описанной около треугольника окружности:

$\frac{a}{\sin \alpha} = 2R$

Рассмотрим треугольник $BDC$. Нам известны радиус описанной около него окружности $R_{BDC} = 12$ см и длина стороны $BC = 8$ см. Применим теорему синусов для стороны $BC$ и противолежащего ей угла $\angle BDC$:

$\frac{BC}{\sin(\angle BDC)} = 2R_{BDC}$

Подставим известные значения и найдем синус угла $\angle BDC$:

$\frac{8}{\sin(\angle BDC)} = 2 \cdot 12$

$\frac{8}{\sin(\angle BDC)} = 24$

$\sin(\angle BDC) = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}$

Теперь рассмотрим треугольник $ADC$. Нам нужно найти радиус описанной около него окружности $R_{ADC}$. Известна длина стороны $AC = 6$ см. Снова применим теорему синусов для стороны $AC$ и противолежащего ей угла $\angle ADC$:

$\frac{AC}{\sin(\angle ADC)} = 2R_{ADC}$

По условию, точка $D$ лежит на стороне $AB$. Это означает, что углы $\angle ADC$ и $\angle BDC$ являются смежными, а их сумма составляет $180^\circ$:

$\angle ADC + \angle BDC = 180^\circ$

Синусы смежных углов равны, поэтому:

$\sin(\angle ADC) = \sin(180^\circ - \angle BDC) = \sin(\angle BDC) = \frac{1}{3}$

Теперь мы можем подставить все известные значения в формулу для треугольника $ADC$ и найти $R_{ADC}$:

$\frac{6}{\sin(\angle ADC)} = 2R_{ADC}$

$\frac{6}{\frac{1}{3}} = 2R_{ADC}$

$6 \cdot 3 = 2R_{ADC}$

$18 = 2R_{ADC}$

$R_{ADC} = \frac{18}{2} = 9$

Таким образом, радиус окружности, описанной около треугольника $ADC$, равен 9 см.

Ответ: 9 см.

46. Найдите неизвестные стороны и углы треугольника ABC, если:

1) $AC = 8$ см, $\angle B = 48^\circ$, $\angle C = 56^\circ$;

2) $AB = 4$ см, $BC = 5$ см, $\angle B = 110^\circ$;

3) $AB = 3$ см, $BC = 4$ см, $AC = 6$ см;

4) $AB = 4$ см, $BC = 6$ см, $\angle A = 100^\circ$;

5) $AB = 8$ см, $BC = 9$ см, $\angle A = 40^\circ$;

6) $AB = 6$ см, $BC = 5$ см, $\angle A = 20^\circ$;

7) $AB = 6$ см, $BC = 3$ см, $\angle A = 40^\circ$.

46. Найдите неизвестные стороны и углы треугольника ABC, если:

1) $AC = 8$ см, $\angle B = 48^\circ$, $\angle C = 56^\circ$;

2) $AB = 4$ см, $BC = 5$ см, $\angle B = 110^\circ$;

3) $AB = 3$ см, $BC = 4$ см, $AC = 6$ см;

4) $AB = 4$ см, $BC = 6$ см, $\angle A = 100^\circ$;

5) $AB = 8$ см, $BC = 9$ см, $\angle A = 40^\circ$;

6) $AB = 6$ см, $BC = 5$ см, $\angle A = 20^\circ$;

7) $AB = 6$ см, $BC = 3$ см, $\angle A = 40^\circ$.

Для решения данных задач будем использовать теорему синусов, теорему косинусов и свойство суммы углов треугольника (равна $180°$).

Теорема синусов: Отношение сторон треугольника к синусам противолежащих углов равно:
$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} $

Теорема косинусов: Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:
$ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A $

1) Дано: $AC = 8$ см, $∠B = 48°$, $∠C = 56°$.

Сначала найдем третий угол треугольника, зная, что сумма углов в треугольнике равна $180°$.

$∠A = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 48° - 56° = 76°$.

Теперь воспользуемся теоремой синусов для нахождения неизвестных сторон $AB$ (сторона $c$) и $BC$ (сторона $a$):

$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C}$

$\frac{BC}{\sin 76°} = \frac{8}{\sin 48°} = \frac{AB}{\sin 56°}$

Найдем сторону $BC$:

$BC = \frac{8 \cdot \sin 76°}{\sin 48°} \approx \frac{8 \cdot 0.9703}{0.7431} \approx 10.45$ см.

Найдем сторону $AB$:

$AB = \frac{8 \cdot \sin 56°}{\sin 48°} \approx \frac{8 \cdot 0.8290}{0.7431} \approx 8.92$ см.

Ответ: $∠A = 76°$, $BC \approx 10.45$ см, $AB \approx 8.92$ см.

2) Дано: $AB = 4$ см, $BC = 5$ см, $∠B = 110°$.

Найдем сторону $AC$ по теореме косинусов:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B$

$AC^2 = 4^2 + 5^2 - 2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot \cos 110° = 16 + 25 - 40 \cdot (-0.3420) \approx 41 + 13.68 = 54.68$.

$AC = \sqrt{54.68} \approx 7.39$ см.

Теперь найдем углы $A$ и $C$ по теореме синусов:

$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} \implies \sin A = \frac{BC \cdot \sin B}{AC}$

$\sin A \approx \frac{5 \cdot \sin 110°}{7.39} \approx \frac{5 \cdot 0.9397}{7.39} \approx 0.6358$.

$∠A = \arcsin(0.6358) \approx 39.47°$.

Найдем угол $C$ из суммы углов треугольника:

$∠C = 180° - ∠A - ∠B \approx 180° - 39.47° - 110° = 30.53°$.

Ответ: $AC \approx 7.39$ см, $∠A \approx 39.47°$, $∠C \approx 30.53°$.

3) Дано: $AB = 3$ см, $BC = 4$ см, $AC = 6$ см.

Так как известны все три стороны, мы можем найти углы с помощью теоремы косинусов.

Найдем угол $A$ (противолежащий стороне $BC$):

$\cos A = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} = \frac{3^2 + 6^2 - 4^2}{2 \cdot 3 \cdot 6} = \frac{9 + 36 - 16}{36} = \frac{29}{36} \approx 0.8056$.

$∠A = \arccos(0.8056) \approx 36.34°$.

Найдем угол $B$ (противолежащий стороне $AC$):

$\cos B = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC} = \frac{3^2 + 4^2 - 6^2}{2 \cdot 3 \cdot 4} = \frac{9 + 16 - 36}{24} = \frac{-11}{24} \approx -0.4583$.

$∠B = \arccos(-0.4583) \approx 117.28°$.

Найдем угол $C$ из суммы углов треугольника:

$∠C = 180° - ∠A - ∠B \approx 180° - 36.34° - 117.28° = 26.38°$.

Ответ: $∠A \approx 36.34°$, $∠B \approx 117.28°$, $∠C \approx 26.38°$.

4) Дано: $AB = 4$ см, $BC = 6$ см, $∠A = 100°$.

Используем теорему синусов, чтобы найти угол $C$, противолежащий стороне $AB$.

$\frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A}$

$\sin C = \frac{AB \cdot \sin A}{BC} = \frac{4 \cdot \sin 100°}{6} \approx \frac{4 \cdot 0.9848}{6} \approx 0.6565$.

Так как угол $A$ тупой ($100°$), углы $B$ и $C$ должны быть острыми. Поэтому для $C$ существует только одно решение.

$∠C = \arcsin(0.6565) \approx 41.04°$.

Найдем угол $B$ из суммы углов треугольника:

$∠B = 180° - ∠A - ∠C \approx 180° - 100° - 41.04° = 38.96°$.

Теперь найдем сторону $AC$ по теореме синусов:

$\frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A}$

$AC = \frac{BC \cdot \sin B}{\sin A} \approx \frac{6 \cdot \sin 38.96°}{\sin 100°} \approx \frac{6 \cdot 0.6288}{0.9848} \approx 3.83$ см.

Ответ: $AC \approx 3.83$ см, $∠B \approx 38.96°$, $∠C \approx 41.04°$.

5) Дано: $AB = 8$ см, $BC = 9$ см, $∠A = 40°$.

Используем теорему синусов, чтобы найти угол $C$:

$\frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A}$

$\sin C = \frac{AB \cdot \sin A}{BC} = \frac{8 \cdot \sin 40°}{9} \approx \frac{8 \cdot 0.6428}{9} \approx 0.5714$.

Существует два возможных угла, синус которых равен $0.5714$: $∠C_1 \approx 34.85°$ и $∠C_2 = 180° - 34.85° = 145.15°$.

Проверим оба случая:

1) Если $∠C = 145.15°$, то сумма углов $A$ и $C$ будет $40° + 145.15° = 185.15°$, что больше $180°$. Этот случай невозможен.

2) Если $∠C \approx 34.85°$, то сумма углов $A$ и $C$ меньше $180°$, значит, такое решение существует.

Найдем угол $B$:

$∠B = 180° - ∠A - ∠C \approx 180° - 40° - 34.85° = 105.15°$.

Найдем сторону $AC$ по теореме синусов:

$AC = \frac{BC \cdot \sin B}{\sin A} \approx \frac{9 \cdot \sin 105.15°}{\sin 40°} \approx \frac{9 \cdot 0.9652}{0.6428} \approx 13.51$ см.

Ответ: $AC \approx 13.51$ см, $∠B \approx 105.15°$, $∠C \approx 34.85°$.

6) Дано: $AB = 6$ см, $BC = 5$ см, $∠A = 20°$.

Используем теорему синусов для нахождения угла $C$:

$\sin C = \frac{AB \cdot \sin A}{BC} = \frac{6 \cdot \sin 20°}{5} \approx \frac{6 \cdot 0.3420}{5} \approx 0.4104$.

Так как $\sin C < 1$ и сторона, противолежащая данному углу ($BC=5$ см), меньше другой данной стороны ($AB=6$ см), то задача может иметь два решения. Найдем оба возможных угла $C$:

$∠C_1 = \arcsin(0.4104) \approx 24.23°$.

$∠C_2 = 180° - 24.23° = 155.77°$.

Проверим оба случая.

Случай 1: $∠C_1 \approx 24.23°$.

Сумма углов $A$ и $C_1$ равна $20° + 24.23° = 44.23° < 180°$, значит, такое решение существует.

$∠B_1 = 180° - 20° - 24.23° = 135.77°$.

$AC_1 = \frac{BC \cdot \sin B_1}{\sin A} \approx \frac{5 \cdot \sin 135.77°}{\sin 20°} \approx \frac{5 \cdot 0.6975}{0.3420} \approx 10.20$ см.

Случай 2: $∠C_2 \approx 155.77°$.

Сумма углов $A$ и $C_2$ равна $20° + 155.77° = 175.77° < 180°$, значит, такое решение тоже существует.

$∠B_2 = 180° - 20° - 155.77° = 4.23°$.

$AC_2 = \frac{BC \cdot \sin B_2}{\sin A} \approx \frac{5 \cdot \sin 4.23°}{\sin 20°} \approx \frac{5 \cdot 0.0738}{0.3420} \approx 1.08$ см.

Таким образом, задача имеет два решения.

Ответ: Существует два возможных треугольника: 1) $AC \approx 10.20$ см, $∠B \approx 135.77°$, $∠C \approx 24.23°$; 2) $AC \approx 1.08$ см, $∠B \approx 4.23°$, $∠C \approx 155.77°$.

7) Дано: $AB = 6$ см, $BC = 3$ см, $∠A = 40°$.

Попробуем найти угол $C$ с помощью теоремы синусов:

$\frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A}$

$\sin C = \frac{AB \cdot \sin A}{BC} = \frac{6 \cdot \sin 40°}{3} = 2 \cdot \sin 40°$.

Так как $\sin 40° \approx 0.6428$, то $\sin C \approx 2 \cdot 0.6428 = 1.2856$.

Значение синуса угла не может быть больше 1. Следовательно, треугольника с заданными параметрами не существует.

Ответ: Треугольника с такими параметрами не существует.

47. В треугольнике $ABC$ $AB = BC = 6 \text{ см}$, $\angle B = 40^\circ$. Найдите:

1) сторону $AC$;

2) высоту $AD$;

3) медиану $AM$;

4) биссектрису $BK$;

5) радиус описанной окружности треугольника $ABC$;

6) радиус вписанной окружности треугольника $ABC$.

47. В треугольнике $ABC$ $AB = BC = 6$ см, $\angle B = 40^\circ$. Найдите:

1) сторону $AC$;

2) высоту $AD$;

3) медиану $AM$;

4) биссектрису $BK$;

5) радиус описанной окружности треугольника $ABC$;

6) радиус вписанной окружности треугольника $ABC$.

Дан треугольник $ABC$, в котором $AB = BC = 6$ см. Так как две стороны треугольника равны, он является равнобедренным с основанием $AC$. Угол при вершине, противолежащей основанию, $\angle B = 40°$.

Сумма углов в любом треугольнике составляет $180°$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому: $\angle A = \angle C = \frac{180° - \angle B}{2} = \frac{180° - 40°}{2} = \frac{140°}{2} = 70°$.

Для нахождения длины стороны $AC$ воспользуемся теоремой синусов для треугольника $ABC$: $\frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{AB}{\sin(\angle C)}$

Подставим известные значения: $\frac{AC}{\sin(40°)} = \frac{6}{\sin(70°)}$

Отсюда выразим $AC$: $AC = \frac{6 \cdot \sin(40°)}{\sin(70°)}$

Используя формулу двойного угла $\sin(40°) = 2\sin(20°)\cos(20°)$ и формулу приведения $\sin(70°) = \sin(90°-20°) = \cos(20°)$, можем упростить выражение: $AC = \frac{6 \cdot 2\sin(20°)\cos(20°)}{\cos(20°)} = 12\sin(20°)$ см.

Вычислим приближенное значение: $AC \approx 12 \cdot 0.3420 \approx 4.104$ см.

Ответ: $AC = 12\sin(20°)$ см $\approx 4.104$ см.

Высота $AD$ — это перпендикуляр, опущенный из вершины $A$ на сторону $BC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADB$, в котором $\angle ADB = 90°$, гипотенуза $AB = 6$ см и $\angle B = 40°$.

Катет $AD$, противолежащий углу $B$, находится по формуле: $AD = AB \cdot \sin(\angle B) = 6\sin(40°)$ см.

Вычислим приближенное значение: $AD \approx 6 \cdot 0.6428 \approx 3.857$ см.

Ответ: $AD = 6\sin(40°)$ см $\approx 3.857$ см.

Медиана $AM$ соединяет вершину $A$ с серединой стороны $BC$. Следовательно, $BM = \frac{BC}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

Для нахождения длины медианы $AM$ применим теорему косинусов к треугольнику $ABM$: $AM^2 = AB^2 + BM^2 - 2 \cdot AB \cdot BM \cdot \cos(\angle B)$ $AM^2 = 6^2 + 3^2 - 2 \cdot 6 \cdot 3 \cdot \cos(40°)$ $AM^2 = 36 + 9 - 36\cos(40°) = 45 - 36\cos(40°)$

$AM = \sqrt{45 - 36\cos(40°)}$ см.

Вычислим приближенное значение: $AM \approx \sqrt{45 - 36 \cdot 0.7660} \approx \sqrt{45 - 27.576} = \sqrt{17.424} \approx 4.174$ см.

Ответ: $AM = \sqrt{45 - 36\cos(40°)}$ см $\approx 4.174$ см.

В равнобедренном треугольнике $ABC$ биссектриса $BK$, проведенная из вершины $B$ к основанию $AC$, является также медианой и высотой. Поэтому треугольник $ABK$ является прямоугольным ($\angle BKA = 90°$), а угол $\angle ABK = \frac{\angle B}{2} = \frac{40°}{2} = 20°$.

Из прямоугольного треугольника $ABK$ находим катет $BK$: $BK = AB \cdot \cos(\angle ABK) = 6\cos(20°)$ см.

Вычислим приближенное значение: $BK \approx 6 \cdot 0.9397 \approx 5.638$ см.

Ответ: $BK = 6\cos(20°)$ см $\approx 5.638$ см.

Радиус описанной окружности $R$ найдем, используя следствие из теоремы синусов: $R = \frac{AC}{2\sin(\angle B)} = \frac{12\sin(20°)}{2\sin(40°)} = \frac{12\sin(20°)}{2 \cdot 2\sin(20°)\cos(20°)} = \frac{3}{\cos(20°)}$ см.

Можно также использовать другую сторону: $R = \frac{AB}{2\sin(\angle C)} = \frac{6}{2\sin(70°)} = \frac{3}{\sin(70°)}$ см.

Вычислим приближенное значение: $R \approx \frac{3}{0.9397} \approx 3.193$ см.

Ответ: $R = \frac{3}{\sin(70°)}$ см $\approx 3.193$ см.

Радиус вписанной окружности $r$ можно найти по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $S$ - площадь треугольника, а $p$ - его полупериметр.

Найдем площадь $S$: $S = \frac{1}{2}AB \cdot BC \cdot \sin(\angle B) = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 \cdot \sin(40°) = 18\sin(40°)$ см$^2$.

Найдем полупериметр $p$: $p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{6 + 6 + 12\sin(20°)}{2} = 6 + 6\sin(20°) = 6(1 + \sin(20°))$ см.

Теперь найдем радиус $r$. Удобнее использовать формулу $r = (p-a)\tan(\frac{A}{2})$, где $a = BC = 6$ и $A = 70°$. $p - BC = (6 + 6\sin(20°)) - 6 = 6\sin(20°)$. $\frac{A}{2} = \frac{70°}{2} = 35°$. $r = 6\sin(20°)\tan(35°)$ см.

Вычислим приближенное значение: $r \approx 6 \cdot 0.3420 \cdot 0.7002 \approx 1.437$ см.

Ответ: $r = 6\sin(20°)\tan(35°)$ см $\approx 1.437$ см.

48. Диагональ равнобокой трапеции $ABCD$ ($BC \parallel AD$) равна 4 см, $\angle CDB = 36^\circ$, $\angle BDA = 48^\circ$. Найдите:

1) стороны трапеции;

2) радиус окружности, описанной около треугольника $BCD$.

48. Диагональ равнобокой трапеции $ABCD$ ($BC \parallel AD$) равна 4 см, $\angle CDB = 36^\circ$, $\angle BDA = 48^\circ$. Найдите:

1) стороны трапеции;

2) радиус окружности, описанной около треугольника $BCD$.

Дано: равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ ($BC \parallel AD$), диагональ $BD = 4$ см, $\angle CDB = 36^\circ$, $\angle BDA = 48^\circ$.

Для начала найдем углы трапеции. Угол при большем основании $AD$ состоит из двух данных углов: $\angle CDA = \angle CDB + \angle BDA = 36^\circ + 48^\circ = 84^\circ$. Так как трапеция равнобокая, углы при основаниях равны, поэтому $\angle DAB = \angle CDA = 84^\circ$. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^\circ$, поэтому углы при меньшем основании $BC$ равны: $\angle ABC = \angle BCD = 180^\circ - 84^\circ = 96^\circ$.

1) стороны трапеции

Рассмотрим треугольник $ABD$. Мы знаем два его угла: $\angle DAB = 84^\circ$ и $\angle BDA = 48^\circ$. Найдем третий угол: $\angle ABD = 180^\circ - (\angle DAB + \angle BDA) = 180^\circ - (84^\circ + 48^\circ) = 180^\circ - 132^\circ = 48^\circ$. Поскольку $\angle ABD = \angle BDA = 48^\circ$, треугольник $ABD$ является равнобедренным с основанием $BD$, следовательно, боковые стороны этого треугольника равны: $AB = AD$.

Применим теорему синусов для треугольника $ABD$: $\frac{AB}{\sin(\angle BDA)} = \frac{AD}{\sin(\angle ABD)} = \frac{BD}{\sin(\angle DAB)}$ $\frac{AB}{\sin(48^\circ)} = \frac{AD}{\sin(48^\circ)} = \frac{4}{\sin(84^\circ)}$ Отсюда находим боковую сторону трапеции $AB$ и ее большее основание $AD$: $AB = AD = \frac{4 \sin(48^\circ)}{\sin(84^\circ)}$ см.

Так как трапеция равнобокая, то ее боковые стороны равны: $CD = AB$. $CD = \frac{4 \sin(48^\circ)}{\sin(84^\circ)}$ см.

Теперь найдем меньшее основание $BC$. Рассмотрим треугольник $BCD$. Мы знаем углы этого треугольника: $\angle BCD = 96^\circ$ и $\angle CDB = 36^\circ$. Угол $\angle CBD$ является накрест лежащим с углом $\angle BDA$ при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $BD$, поэтому $\angle CBD = \angle BDA = 48^\circ$. Применим теорему синусов для треугольника $BCD$: $\frac{BC}{\sin(\angle CDB)} = \frac{BD}{\sin(\angle BCD)}$ $\frac{BC}{\sin(36^\circ)} = \frac{4}{\sin(96^\circ)}$ $BC = \frac{4 \sin(36^\circ)}{\sin(96^\circ)}$ см. Используя свойство синуса $\sin(96^\circ) = \sin(180^\circ - 96^\circ) = \sin(84^\circ)$, получаем: $BC = \frac{4 \sin(36^\circ)}{\sin(84^\circ)}$ см.

Ответ: $AB = CD = AD = \frac{4 \sin(48^\circ)}{\sin(84^\circ)}$ см, $BC = \frac{4 \sin(36^\circ)}{\sin(84^\circ)}$ см.

2) радиус окружности, описанной около треугольника BCD

Пусть $R$ - радиус окружности, описанной около треугольника $BCD$. Согласно обобщенной теореме синусов: $2R = \frac{BD}{\sin(\angle BCD)}$ Подставим известные значения: $BD = 4$ см и $\angle BCD = 96^\circ$. $2R = \frac{4}{\sin(96^\circ)}$ $R = \frac{2}{\sin(96^\circ)}$ см. Так как $\sin(96^\circ) = \sin(180^\circ - 96^\circ) = \sin(84^\circ)$, то $R = \frac{2}{\sin(84^\circ)}$ см.

Ответ: $R = \frac{2}{\sin(84^\circ)}$ см.

49. Большая сторона треугольника равна 6 см, а вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, градусные меры которых относятся как $1 : 4 : 7$. Найдите неизвестные стороны треугольника.

49. Большая сторона треугольника равна 6 см, а вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, градусные меры которых относятся как $1 : 4 : 7$. Найдите неизвестные стороны треугольника.

1. Нахождение градусных мер дуг
Сумма градусных мер всех дуг окружности составляет $360°$. По условию, вершины треугольника делят описанную окружность на три дуги, градусные меры которых относятся как $1:4:7$.
Пусть $x$ - коэффициент пропорциональности. Тогда градусные меры дуг равны $x$, $4x$ и $7x$.
Составим и решим уравнение:
$x + 4x + 7x = 360°$
$12x = 360°$
$x = \frac{360°}{12} = 30°$
Следовательно, градусные меры дуг равны:
Дуга 1: $1 \cdot 30° = 30°$
Дуга 2: $4 \cdot 30° = 120°$
Дуга 3: $7 \cdot 30° = 210°$

2. Нахождение углов треугольника
Величина вписанного в окружность угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Углы нашего треугольника $(\alpha, \beta, \gamma)$ опираются на найденные дуги:
$\alpha = \frac{1}{2} \cdot 30° = 15°$
$\beta = \frac{1}{2} \cdot 120° = 60°$
$\gamma = \frac{1}{2} \cdot 210° = 105°$
Для проверки сложим углы: $15° + 60° + 105° = 180°$. Сумма верна.

3. Нахождение неизвестных сторон треугольника
В треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Наибольший угол треугольника равен $105°$, следовательно, сторона, лежащая против этого угла, является наибольшей. По условию, её длина равна 6 см.
Пусть стороны треугольника, лежащие против углов $15°$, $60°$ и $105°$, равны $a$, $b$ и $c$ соответственно. Тогда $c=6$ см.
Для нахождения неизвестных сторон $a$ и $b$ воспользуемся теоремой синусов:
$\frac{a}{\sin 15°} = \frac{b}{\sin 60°} = \frac{c}{\sin 105°}$
Подставим известные значения:
$\frac{a}{\sin 15°} = \frac{b}{\sin 60°} = \frac{6}{\sin 105°}$
Сначала вычислим значения синусов для углов $105°$ и $15°$ через формулы суммы и разности углов:
$\sin 105° = \sin(60° + 45°) = \sin 60° \cos 45° + \cos 60° \sin 45° = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
$\sin 15° = \sin(60° - 45°) = \sin 60° \cos 45° - \cos 60° \sin 45° = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$
Теперь найдем сторону $b$, лежащую против угла $60°$:
$b = \frac{6 \cdot \sin 60°}{\sin 105°} = \frac{6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}} = \frac{3\sqrt{3} \cdot 4}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = \frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$
Избавимся от иррациональности в знаменателе:
$b = \frac{12\sqrt{3}(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})} = \frac{12(\sqrt{18}-\sqrt{6})}{6-2} = \frac{12(3\sqrt{2}-\sqrt{6})}{4} = 3(3\sqrt{2}-\sqrt{6})$ см.
Далее найдем сторону $a$, лежащую против угла $15°$:
$a = \frac{6 \cdot \sin 15°}{\sin 105°} = \frac{6 \cdot \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}} = \frac{6(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$
Избавимся от иррациональности в знаменателе:
$a = \frac{6(\sqrt{6}-\sqrt{2})^2}{(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})} = \frac{6(6-2\sqrt{12}+2)}{6-2} = \frac{6(8-4\sqrt{3})}{4} = \frac{24(2-\sqrt{3})}{4} = 6(2-\sqrt{3})$ см.

Ответ: $3(3\sqrt{2}-\sqrt{6})$ см и $6(2-\sqrt{3})$ см.