Страница 10 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

59. Найдите площадь треугольника со сторонами 3 см, 25 см и 26 см.

59. Найдите площадь треугольника со сторонами 3 см, 25 см и 26 см.

Для нахождения площади треугольника, зная длины всех его трех сторон, используется формула Герона:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

где $a$, $b$, $c$ — длины сторон треугольника, а $p$ — его полупериметр.

В данном случае стороны треугольника равны: $a = 3$ см, $b = 25$ см, $c = 26$ см.

1. Сначала найдем полупериметр $p$:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{3 + 25 + 26}{2} = \frac{54}{2} = 27$ см.

2. Теперь подставим найденные значения в формулу Герона для вычисления площади $S$:

$S = \sqrt{27 \cdot (27-3) \cdot (27-25) \cdot (27-26)}$

$S = \sqrt{27 \cdot 24 \cdot 2 \cdot 1}$

$S = \sqrt{1296}$

$S = 36$

Площадь треугольника равна 36 квадратным сантиметрам.

Ответ: $36 \text{ см}^2$.

60. Три окружности, радиусы которых равны $12\text{ см}$, $14\text{ см}$ и $16\text{ см}$, попарно касаются друг друга внешним образом. Найдите площадь треугольника, вершинами которого являются центры этих окружностей.

60. Три окружности, радиусы которых равны 12 см, 14 см и 16 см, попарно касаются друг друга внешним образом. Найдите площадь треугольника, вершинами которого являются центры этих окружностей.

Пусть центры трех окружностей являются вершинами треугольника. Обозначим радиусы окружностей как $r_1 = 12$ см, $r_2 = 14$ см и $r_3 = 16$ см.

Поскольку окружности касаются друг друга внешним образом, расстояние между центрами любых двух касающихся окружностей равно сумме их радиусов. Таким образом, мы можем найти длины сторон треугольника, образованного центрами этих окружностей. Обозначим стороны треугольника как $a$, $b$ и $c$.
Сторона $a$, соединяющая центры окружностей с радиусами $r_1$ и $r_2$: $a = r_1 + r_2 = 12 + 14 = 26$ см.
Сторона $b$, соединяющая центры окружностей с радиусами $r_1$ и $r_3$: $b = r_1 + r_3 = 12 + 16 = 28$ см.
Сторона $c$, соединяющая центры окружностей с радиусами $r_2$ и $r_3$: $c = r_2 + r_3 = 14 + 16 = 30$ см.

Для нахождения площади треугольника, зная длины всех трех его сторон, воспользуемся формулой Герона:
$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр треугольника.

Сначала вычислим полупериметр $p$:
$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{26 + 28 + 30}{2} = \frac{84}{2} = 42$ см.

Теперь найдем разности, необходимые для формулы:
$p - a = 42 - 26 = 16$
$p - b = 42 - 28 = 14$
$p - c = 42 - 30 = 12$

Подставим все вычисленные значения в формулу Герона:
$S = \sqrt{42 \cdot 16 \cdot 14 \cdot 12}$

Для удобства вычислений разложим числа под корнем на простые множители:
$42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$
$16 = 2^4$
$14 = 2 \cdot 7$
$12 = 2^2 \cdot 3$

$S = \sqrt{(2 \cdot 3 \cdot 7) \cdot (2^4) \cdot (2 \cdot 7) \cdot (2^2 \cdot 3)} = \sqrt{2^{1+4+1+2} \cdot 3^{1+1} \cdot 7^{1+1}} = \sqrt{2^8 \cdot 3^2 \cdot 7^2}$

Извлечем квадратный корень:
$S = \sqrt{(2^4)^2 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2^4 \cdot 3 \cdot 7 = 16 \cdot 21 = 336$ см².

Ответ: $336$ см².

61. Стороны треугольника равны 9 см, 10 см и 17 см. Найдите наименьшую высоту треугольника, радиусы вписанной в него и описанной около него окружностей.

61. Стороны треугольника равны 9 см, 10 см и 17 см. Найдите наименьшую высоту треугольника, радиусы вписанной в него и описанной около него окружностей.

Для решения задачи нам понадобятся площадь треугольника, его полупериметр и соответствующие формулы. Обозначим стороны треугольника как $a = 9$ см, $b = 10$ см, $c = 17$ см.

1. Найдем площадь треугольника по формуле Герона.

Сначала вычислим полупериметр $p$:

$p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{9 + 10 + 17}{2} = \frac{36}{2} = 18$ см.

Теперь найдем площадь $S$ по формуле Герона:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

$S = \sqrt{18(18-9)(18-10)(18-17)} = \sqrt{18 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 1} = \sqrt{1296} = 36$ см².

Теперь, зная площадь, мы можем найти требуемые величины.

наименьшую высоту треугольника

Наименьшая высота треугольника проведена к его наибольшей стороне. В нашем случае наибольшая сторона $c = 17$ см. Площадь треугольника также можно выразить через высоту $h_c$ к стороне $c$:

$S = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c$

Отсюда выразим наименьшую высоту $h_c$:

$h_c = \frac{2S}{c} = \frac{2 \cdot 36}{17} = \frac{72}{17}$ см.

Ответ: наименьшая высота треугольника равна $\frac{72}{17}$ см.

радиусы вписанной в него и описанной около него окружностей

1. Радиус вписанной окружности ($r$)

Радиус вписанной окружности находится по формуле:

$r = \frac{S}{p}$

Подставим известные значения площади $S$ и полупериметра $p$:

$r = \frac{36}{18} = 2$ см.

Ответ: радиус вписанной окружности равен 2 см.

2. Радиус описанной окружности ($R$)

Радиус описанной окружности находится по формуле:

$R = \frac{abc}{4S}$

Подставим известные значения сторон $a, b, c$ и площади $S$:

$R = \frac{9 \cdot 10 \cdot 17}{4 \cdot 36} = \frac{9 \cdot 10 \cdot 17}{144} = \frac{1530}{144}$

Сократим дробь:

$R = \frac{1530 : 18}{144 : 18} = \frac{85}{8}$ см.

Ответ: радиус описанной окружности равен $\frac{85}{8}$ см (или 10,625 см).

62. В треугольник со сторонами 26 см, 15 см и 37 см вписана окружность, центр которой соединён с вершинами треугольника. Найдите площади трёх образовавшихся треугольников.

62. В треугольник со сторонами 26 см, 15 см и 37 см вписана окружность, центр которой соединён с вершинами треугольника. Найдите площади трёх образовавшихся треугольников.

Пусть дан треугольник со сторонами $a = 26$ см, $b = 15$ см и $c = 37$ см. Центр вписанной в него окружности ($O$) соединен с вершинами, образуя три новых треугольника. Основаниями этих треугольников являются стороны исходного треугольника, а их общей высотой — радиус вписанной окружности ($r$).

Площадь каждого из трех получившихся треугольников ($S_1, S_2, S_3$) вычисляется как половина произведения его основания на высоту:
$S_1 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot r$
$S_2 = \frac{1}{2} \cdot b \cdot r$
$S_3 = \frac{1}{2} \cdot c \cdot r$

Чтобы найти эти площади, необходимо сначала вычислить радиус вписанной окружности $r$. Радиус можно найти по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь исходного треугольника, а $p$ — его полупериметр.

Вычисление полупериметра и площади исходного треугольника

Сначала найдем полупериметр $p$:
$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{26+15+37}{2} = \frac{78}{2} = 39$ см.

Теперь, используя формулу Герона, найдем площадь $S$:
$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$
$S = \sqrt{39(39-26)(39-15)(39-37)} = \sqrt{39 \cdot 13 \cdot 24 \cdot 2}$
$S = \sqrt{24336} = 156$ см².

Вычисление радиуса вписанной окружности

Теперь мы можем найти радиус $r$:
$r = \frac{S}{p} = \frac{156}{39} = 4$ см.

Вычисление площадей трех образовавшихся треугольников

Зная радиус, находим площади искомых треугольников, где основаниями служат соответствующие стороны исходного треугольника:
Площадь первого треугольника: $S_1 = \frac{1}{2} \cdot 26 \cdot 4 = 52$ см².
Площадь второго треугольника: $S_2 = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 4 = 30$ см².
Площадь третьего треугольника: $S_3 = \frac{1}{2} \cdot 37 \cdot 4 = 74$ см².

Ответ: площади трёх образовавшихся треугольников равны 52 см², 30 см² и 74 см².

63. Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки длиной 5 см и 6 см. Меньшая из двух других сторон равна 15 см. Найдите площадь треугольника.

63. Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки длиной 5 см и 6 см. Меньшая из двух других сторон равна 15 см. Найдите площадь треугольника.

Пусть дан треугольник $ABC$, в котором проведена биссектриса $BD$ к стороне $AC$. Биссектриса делит сторону $AC$ на отрезки $AD = 5$ см и $DC = 6$ см. Тогда вся сторона $AC$ равна $5 + 6 = 11$ см.

По свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:

$\frac{AB}{BC} = \frac{AD}{DC}$

Подставим длины отрезков:

$\frac{AB}{BC} = \frac{5}{6}$

Из этого соотношения следует, что сторона $AB$ меньше стороны $BC$ ($AB = \frac{5}{6}BC$).

По условию, меньшая из двух других сторон равна 15 см. Следовательно, $AB = 15$ см.

Теперь найдем длину стороны $BC$:

$\frac{15}{BC} = \frac{5}{6}$

$5 \cdot BC = 15 \cdot 6$

$BC = \frac{90}{5} = 18$ см.

Таким образом, мы имеем треугольник со сторонами $a = 15$ см, $b = 18$ см и $c = 11$ см.

Для нахождения площади треугольника воспользуемся формулой Герона:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр треугольника.

Сначала вычислим полупериметр:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{15 + 18 + 11}{2} = \frac{44}{2} = 22$ см.

Теперь подставим значения в формулу Герона:

$S = \sqrt{22(22-15)(22-18)(22-11)}$

$S = \sqrt{22 \cdot 7 \cdot 4 \cdot 11}$

$S = \sqrt{(2 \cdot 11) \cdot 7 \cdot 4 \cdot 11} = \sqrt{4 \cdot 11^2 \cdot 14}$

$S = \sqrt{4} \cdot \sqrt{11^2} \cdot \sqrt{14} = 2 \cdot 11 \cdot \sqrt{14} = 22\sqrt{14}$ см².

Ответ: $22\sqrt{14}$ см².

64. Углы ромба относятся как 1 : 3, а его сторона равна 8 см. Найдите площадь ромба.

64. Углы ромба относятся как 1 : 3, а его сторона равна 8 см. Найдите площадь ромба.

Сумма углов ромба, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Пусть один из углов ромба равен $x$, тогда, согласно условию, смежный с ним угол равен $3x$. Составим и решим уравнение:

$x + 3x = 180^\circ$

$4x = 180^\circ$

$x = \frac{180^\circ}{4} = 45^\circ$

Следовательно, углы ромба равны $45^\circ$ и $3 \cdot 45^\circ = 135^\circ$.

Площадь ромба можно найти по формуле произведения квадрата его стороны на синус угла между сторонами:

$S = a^2 \sin \alpha$

Подставим в формулу известные значения: сторона $a = 8$ см и угол $\alpha = 45^\circ$.

$S = 8^2 \cdot \sin(45^\circ) = 64 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 32\sqrt{2}$ (см²).

Ответ: $32\sqrt{2}$ см².

65 Площадь прямоугольника равна $16\sqrt{3}$ $\text{см}^2$, а угол между его диагоналями — $60^\circ$. Найдите стороны прямоугольника.

65 Площадь прямоугольника равна $16\sqrt{3} \text{ см}^2$, а угол между его диагоналями — $60^\circ$. Найдите стороны прямоугольника.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$, а его диагональ равна $d$. Площадь прямоугольника $S$ можно выразить через его диагонали и угол $\alpha$ между ними. Так как в прямоугольнике диагонали равны, формула площади имеет вид: $S = \frac{1}{2}d^2 \sin(\alpha)$.

Согласно условию задачи, площадь $S = 16\sqrt{3}$ см², а угол между диагоналями $\alpha = 60°$. Подставим эти значения в формулу, чтобы найти длину диагонали $d$: $16\sqrt{3} = \frac{1}{2}d^2 \sin(60°)$.

Мы знаем, что значение синуса $60°$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Подставим это в уравнение: $16\sqrt{3} = \frac{1}{2}d^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$
$16\sqrt{3} = \frac{d^2\sqrt{3}}{4}$.

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{3}$: $16 = \frac{d^2}{4}$.

Отсюда находим квадрат длины диагонали: $d^2 = 16 \cdot 4 = 64$.

Следовательно, длина диагонали равна: $d = \sqrt{64} = 8$ см.

Диагонали прямоугольника в точке пересечения делятся пополам и образуют четыре равнобедренных треугольника. Рассмотрим один из этих треугольников, у которого угол при вершине (в точке пересечения диагоналей) равен $60°$. Боковые стороны этого треугольника равны половине диагонали, то есть $d/2 = 8/2 = 4$ см.

Равнобедренный треугольник с углом при вершине $60°$ является равносторонним. Это означает, что все его стороны равны. Основание этого треугольника является одной из сторон прямоугольника. Обозначим ее как $a$. Таким образом, мы нашли одну из сторон прямоугольника: $a = 4$ см.

Теперь, зная площадь прямоугольника $S = a \cdot b$ и одну из его сторон $a$, мы можем найти вторую сторону $b$: $16\sqrt{3} = 4 \cdot b$.

$b = \frac{16\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}$ см.

Таким образом, стороны прямоугольника равны 4 см и $4\sqrt{3}$ см.

Ответ: 4 см и $4\sqrt{3}$ см.

66. Диагонали четырёхугольника равны 4 см и 8 см, а угол между ними — $30^\circ$. Найдите площадь четырёхугольника.

66. Диагонали четырёхугольника равны 4 см и 8 см, а угол между ними — $30^{\circ}$. Найдите площадь четырёхугольника.

Для нахождения площади произвольного выпуклого четырёхугольника используется формула, которая связывает длины его диагоналей и синус угла между ними:

$S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin(\alpha)$

где $d_1$ и $d_2$ — это длины диагоналей, а $\alpha$ — угол между ними.

По условию задачи нам даны:

• длина первой диагонали $d_1 = 4$ см;
• длина второй диагонали $d_2 = 8$ см;
• угол между диагоналями $\alpha = 30°$.

Подставим известные значения в формулу. Значение синуса угла 30° является табличным: $\sin(30°) = \frac{1}{2}$.

$S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 8 \cdot \sin(30°) = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2}$

Выполним вычисления:

$S = \frac{4 \cdot 8}{2 \cdot 2} = \frac{32}{4} = 8$

Таким образом, площадь четырёхугольника составляет 8 см².

Ответ: 8 см².

67. Диагонали четырёхугольника равны 5 см и 8 см, а его площадь — $10\sqrt{3}$ $\text{см}^2$. Найдите угол между диагоналями четырёхугольника.

67. Диагонали четырёхугольника равны 5 см и 8 см, а его площадь – $10\sqrt{3}$ см$^2$. Найдите угол между диагоналями четырёхугольника.

Площадь произвольного четырехугольника можно вычислить по формуле, использующей длины его диагоналей и синус угла между ними:

$S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin(\alpha)$

где $S$ — это площадь четырехугольника, $d_1$ и $d_2$ — длины его диагоналей, а $\alpha$ — это угол между диагоналями.

Из условия задачи нам известны следующие величины:

• длина первой диагонали $d_1 = 5$ см;
• длина второй диагонали $d_2 = 8$ см;
• площадь четырехугольника $S = 10\sqrt{3}$ см².

Подставим эти значения в формулу площади:

$10\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 \cdot \sin(\alpha)$

Выполним умножение в правой части уравнения:

$10\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot \sin(\alpha)$

$10\sqrt{3} = 20 \cdot \sin(\alpha)$

Теперь, чтобы найти $\sin(\alpha)$, разделим обе части уравнения на 20:

$\sin(\alpha) = \frac{10\sqrt{3}}{20}$

$\sin(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Угол $\alpha$, синус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$, может быть $60^\circ$ или $120^\circ$. Это связано с тем, что при пересечении диагоналей образуются две пары углов: одна пара острых углов и одна пара тупых (если диагонали не перпендикулярны). Если один из углов равен $60^\circ$, то смежный ему угол будет равен $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Оба эти угла могут считаться углами между диагоналями.

Ответ: $60^\circ$ или $120^\circ$.

68. Катет равнобедренного прямоугольного треугольника равен 4 см. На сторонах треугольника во внешнюю сторону построены квадраты. Найдите площадь шестиугольника, вершинами которого являются вершины квадратов, не принадлежащих данному треугольнику.

68. Катет равнобедренного прямоугольного треугольника равен 4 см. На сторонах треугольника во внешнюю сторону построены квадраты. Найдите площадь шестиугольника, вершинами которого являются вершины квадратов, не принадлежащих данному треугольнику.

Пусть дан равнобедренный прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. По условию, его катеты равны 4 см: $AC = BC = 4$ см.

1. Найдем характеристики исходного треугольника.
Площадь треугольника $ABC$ вычисляется как половина произведения катетов: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8$ см$^2$.
Длину гипотенузы $AB$ найдем по теореме Пифагора: $AB^2 = AC^2 + BC^2 = 4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32$.
$AB = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ см.
Так как треугольник равнобедренный и прямоугольный, его острые углы равны $45^\circ$: $\angle CAB = \angle CBA = 45^\circ$.

2. Рассмотрим построенные квадраты.
На сторонах треугольника во внешнюю сторону построены три квадрата. Найдем их площади:

• Площадь квадрата, построенного на катете $AC$: $S_1 = AC^2 = 4^2 = 16$ см$^2$.
• Площадь квадрата, построенного на катете $BC$: $S_2 = BC^2 = 4^2 = 16$ см$^2$.
• Площадь квадрата, построенного на гипотенузе $AB$: $S_3 = AB^2 = (4\sqrt{2})^2 = 32$ см$^2$.

3. Определим структуру шестиугольника.
Шестиугольник, о котором идет речь в задаче, — это фигура, образованная внешними границами построенных квадратов. Его площадь складывается из площадей исходного треугольника, трех квадратов на его сторонах и трех дополнительных треугольников, которые заполняют "промежутки" между квадратами у вершин исходного треугольника. Таким образом, общая площадь $S_{шест}$ равна: $S_{шест} = S_{ABC} + S_1 + S_2 + S_3 + S_{T1} + S_{T2} + S_{T3}$, где $S_{T1}, S_{T2}, S_{T3}$ — площади трех дополнительных треугольников.

4. Найдем площади дополнительных треугольников.

• Треугольник у вершины C. Его стороны являются сторонами квадратов, построенных на катетах, поэтому их длины равны $4$ см. Угол между этими сторонами равен $360^\circ$ минус сумма углов, сходящихся в точке C: угол треугольника ($90^\circ$) и два угла квадратов (по $90^\circ$). Угол = $360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Площадь этого треугольника: $S_{T_C} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 \cdot \sin(90^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 1 = 8$ см$^2$.
• Треугольник у вершины A. Его стороны являются сторонами квадратов, построенных на катете $AC$ (длина $4$ см) и гипотенузе $AB$ (длина $4\sqrt{2}$ см). Угол между ними равен $360^\circ$ минус угол треугольника ($45^\circ$) и два угла квадратов (по $90^\circ$). Угол = $360^\circ - 45^\circ - 90^\circ - 90^\circ = 135^\circ$. Площадь этого треугольника: $S_{T_A} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4\sqrt{2} \cdot \sin(135^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 16\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 8$ см$^2$.
• Треугольник у вершины B. Аналогично треугольнику у вершины A, его стороны равны $4$ см и $4\sqrt{2}$ см, а угол между ними $135^\circ$. Его площадь также равна $8$ см$^2$.

Интересно, что площадь каждого из трех дополнительных треугольников равна площади исходного треугольника $ABC$.

5. Вычислим итоговую площадь шестиугольника.
Сложим площади всех составляющих его частей: $S_{шест} = S_{ABC} + S_1 + S_2 + S_3 + S_{T_A} + S_{T_B} + S_{T_C}$
$S_{шест} = 8 + 16 + 16 + 32 + 8 + 8 + 8$
$S_{шест} = (16 + 16 + 32) + (8 + 8 + 8 + 8) = 64 + 32 = 96$ см$^2$.

Ответ: 96 см$^2$.

69. Диагонали выпуклого четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $M$. Площади треугольников $AMB$, $BMC$ и $CMD$ соответственно равны $6 \text{ см}^2$, $4 \text{ см}^2$ и $8 \text{ см}^2$. Найдите площадь четырёхугольника $ABCD$.

69. Диагонали выпуклого четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $M$. Площади треугольников $AMB$, $BMC$ и $CMD$ соответственно равны $6 \text{ см}^2$, $4 \text{ см}^2$ и $8 \text{ см}^2$. Найдите площадь четырёхугольника $ABCD$.

Пусть диагонали выпуклого четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $M$. Они разбивают четырёхугольник на четыре треугольника: $\triangle AMB$, $\triangle BMC$, $\triangle CMD$ и $\triangle DMA$. Площадь всего четырёхугольника $S_{ABCD}$ равна сумме площадей этих четырёх треугольников.

По условию задачи известны площади трёх из них:

• $S_{\triangle AMB} = 6 \text{ см}^2$
• $S_{\triangle BMC} = 4 \text{ см}^2$
• $S_{\triangle CMD} = 8 \text{ см}^2$

Для нахождения площади всего четырёхугольника необходимо найти площадь четвёртого треугольника, $S_{\triangle DMA}$.

Воспользуемся свойством площадей треугольников, на которые выпуклый четырёхугольник делится диагоналями: произведение площадей треугольников, прилежащих к противоположным вершинам, равны. Математически это свойство выражается формулой:

$S_{\triangle AMB} \cdot S_{\triangle CMD} = S_{\triangle BMC} \cdot S_{\triangle DMA}$

Это свойство легко доказать. Треугольники $\triangle AMB$ и $\triangle BMC$ имеют общую высоту, проведённую из вершины $B$ к диагонали $AC$. Поэтому отношение их площадей равно отношению их оснований: $\frac{S_{\triangle AMB}}{S_{\triangle BMC}} = \frac{AM}{MC}$. Аналогично, для треугольников $\triangle DMA$ и $\triangle CMD$, имеющих общую высоту из вершины $D$ к диагонали $AC$, справедливо: $\frac{S_{\triangle DMA}}{S_{\triangle CMD}} = \frac{AM}{MC}$. Приравнивая правые части этих двух равенств, получаем $\frac{S_{\triangle AMB}}{S_{\triangle BMC}} = \frac{S_{\triangle DMA}}{S_{\triangle CMD}}$, откуда и следует основное свойство.

Подставим известные значения в формулу свойства, чтобы найти $S_{\triangle DMA}$:

$6 \cdot 8 = 4 \cdot S_{\triangle DMA}$

$48 = 4 \cdot S_{\triangle DMA}$

Отсюда находим площадь треугольника $DMA$:

$S_{\triangle DMA} = \frac{48}{4} = 12 \text{ см}^2$.

Теперь можем вычислить площадь всего четырёхугольника $ABCD$ как сумму площадей четырёх треугольников:

$S_{ABCD} = S_{\triangle AMB} + S_{\triangle BMC} + S_{\triangle CMD} + S_{\triangle DMA}$

$S_{ABCD} = 6 + 4 + 8 + 12 = 30 \text{ см}^2$.

Ответ: $30 \text{ см}^2$.

70. В окружность вписан четырёхугольник, стороны которого последовательно равны 3 см, 5 см, 8 см и 10 см. Найдите площадь четырёхугольника.

70. В окружность вписан четырёхугольник, стороны которого последовательно равны 3 см, 5 см, 8 см и 10 см. Найдите площадь четырёхугольника.

Поскольку четырехугольник вписан в окружность, для нахождения его площади можно использовать формулу Брахмагупты. Эта формула позволяет вычислить площадь вписанного четырехугольника по его сторонам.

Формула Брахмагупты для площади $S$ выглядит следующим образом:

$S = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$

Здесь $a, b, c, d$ — длины сторон четырехугольника, а $p$ — его полупериметр, который вычисляется по формуле:

$p = \frac{a+b+c+d}{2}$

В нашем случае стороны четырехугольника равны $a = 3$ см, $b = 5$ см, $c = 8$ см и $d = 10$ см.

1. Вычислим полупериметр $p$.

Подставим длины сторон в формулу для полупериметра:

$p = \frac{3 + 5 + 8 + 10}{2} = \frac{26}{2} = 13$ см.

2. Вычислим площадь $S$ по формуле Брахмагупты.

Теперь подставим найденный полупериметр и длины сторон в формулу площади:

$S = \sqrt{(13-3)(13-5)(13-8)(13-10)}$

Выполним вычитание в скобках:

$S = \sqrt{10 \cdot 8 \cdot 5 \cdot 3}$

Перемножим числа под корнем:

$S = \sqrt{1200}$

Упростим полученное значение, вынеся множитель из-под знака корня:

$S = \sqrt{400 \cdot 3} = \sqrt{400} \cdot \sqrt{3} = 20\sqrt{3}$

Таким образом, площадь четырехугольника равна $20\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $20\sqrt{3}$ см$^2$.