Страница 7 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

32. В треугольнике ABC $AB = 6 \text{ см}$, $\angle C = 30^\circ$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC.

32. В треугольнике $ABC$ $AB = 6 \text{ см}$, $\angle C = 30^\circ$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$.

Для нахождения радиуса окружности, описанной около треугольника, используется следствие из теоремы синусов. Оно гласит, что отношение любой стороны треугольника к синусу противолежащего ей угла постоянно и равно диаметру ($2R$) описанной окружности.

Формула выглядит так: $ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R $, где $a, b, c$ — стороны треугольника, $A, B, C$ — противолежащие им углы, а $R$ — радиус описанной окружности.

В данной задаче нам известны сторона $AB = 6$ см и противолежащий ей угол $\angle C = 30°$. Используем соответствующую часть формулы:

$ \frac{AB}{\sin \angle C} = 2R $

Подставим известные значения в уравнение:

$ \frac{6}{\sin 30°} = 2R $

Значение $ \sin 30° $ является табличным и равно $ \frac{1}{2} $. Подставим это значение в нашу формулу:

$ \frac{6}{\frac{1}{2}} = 2R $

$ 6 \cdot 2 = 2R $

$ 12 = 2R $

Чтобы найти радиус $R$, разделим обе части уравнения на 2:

$ R = \frac{12}{2} = 6 $ см.

Ответ: 6 см.

33. Сторона треугольника равна 16 см, а радиус окружности, описанной около треугольника, — $8\sqrt{2}$ см. Чему равен угол треугольника, противолежащий данной стороне?

33. Сторона треугольника равна 16 см, а радиус окружности, описанной около треугольника, — $8\sqrt{2}$ см. Чему равен угол треугольника, противолежащий данной стороне?

Для нахождения угла треугольника, противолежащего данной стороне, воспользуемся следствием из теоремы синусов. Эта теорема связывает сторону треугольника ($a$), синус противолежащего ей угла ($\sin \alpha$) и радиус описанной окружности ($R$) следующим соотношением:
$ \frac{a}{\sin \alpha} = 2R $

Из этой формулы выразим синус искомого угла $\alpha$:
$ \sin \alpha = \frac{a}{2R} $

По условию задачи нам даны следующие значения:
Сторона треугольника $a = 16$ см.
Радиус описанной окружности $R = 8\sqrt{2}$ см.

Подставим эти значения в формулу для нахождения синуса угла:
$ \sin \alpha = \frac{16}{2 \cdot 8\sqrt{2}} = \frac{16}{16\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} $

Для упрощения выражения избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{2}$:
$ \sin \alpha = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $

Угол треугольника может иметь значение от $0^\circ$ до $180^\circ$. В этом диапазоне существует два угла, синус которых равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$:
1. Острый угол: $\alpha_1 = 45^\circ$.
2. Тупой угол: $\alpha_2 = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

Поскольку в условии задачи нет дополнительной информации (например, о других углах или сторонах), которая позволила бы выбрать один из вариантов, то задача имеет два возможных решения.

Ответ: $45^\circ$ или $135^\circ$.

34. Две стороны треугольника равны $3\sqrt{2}$ см и 4 см. Найдите третью сторону треугольника, если она относится к радиусу описанной окружности как $\sqrt{2} : 1$.

34. Две стороны треугольника равны $3\sqrt{2}$ см и 4 см. Найдите третью сторону треугольника, если она относится к радиусу описанной окружности как $\sqrt{2} : 1$.

Пусть стороны треугольника равны $a = 3\sqrt{2}$ см, $b = 4$ см, а искомая третья сторона — $c$. Пусть $R$ — радиус описанной около треугольника окружности.

Согласно условию задачи, отношение третьей стороны к радиусу описанной окружности составляет $\sqrt{2} : 1$. Математически это записывается как: $\frac{c}{R} = \frac{\sqrt{2}}{1}$ Из этого соотношения выразим сторону $c$: $c = R\sqrt{2}$

Для решения задачи воспользуемся следствием из теоремы синусов, которое связывает сторону треугольника, противолежащий ей угол и радиус описанной окружности: $\frac{c}{\sin C} = 2R$ где $C$ — угол, противолежащий стороне $c$.

Подставим выражение $c = R\sqrt{2}$ в формулу теоремы синусов: $\frac{R\sqrt{2}}{\sin C} = 2R$

Поскольку для любого невырожденного треугольника радиус описанной окружности $R \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $R$: $\frac{\sqrt{2}}{\sin C} = 2$ Отсюда находим значение синуса угла $C$: $\sin C = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Угол в треугольнике может принимать значения от $0^\circ$ до $180^\circ$. В этом интервале синус равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$ для двух углов: $C_1 = 45^\circ$ и $C_2 = 135^\circ$. Это означает, что задача может иметь два решения.

Теперь мы можем найти длину стороны $c$ для каждого из возможных значений угла $C$, используя теорему косинусов: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$

1. Если угол $C = 45^\circ$.

Значение косинуса этого угла: $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Подставим все известные значения в теорему косинусов: $c^2 = (3\sqrt{2})^2 + 4^2 - 2 \cdot (3\sqrt{2}) \cdot 4 \cdot \cos 45^\circ$ $c^2 = (9 \cdot 2) + 16 - 24\sqrt{2} \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ $c^2 = 18 + 16 - \frac{24 \cdot 2}{2}$ $c^2 = 34 - 24 = 10$ $c = \sqrt{10}$ см.

2. Если угол $C = 135^\circ$.

Значение косинуса этого угла: $\cos 135^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Снова подставим значения в теорему косинусов: $c^2 = (3\sqrt{2})^2 + 4^2 - 2 \cdot (3\sqrt{2}) \cdot 4 \cdot \cos 135^\circ$ $c^2 = 18 + 16 - 24\sqrt{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ $c^2 = 34 + \frac{24 \cdot 2}{2}$ $c^2 = 34 + 24 = 58$ $c = \sqrt{58}$ см.

Оба полученных значения являются возможными длинами третьей стороны треугольника.

Ответ: $\sqrt{10}$ см или $\sqrt{58}$ см.

35. В треугольнике $ABC$ $\angle A = 54^\circ$, $\angle B = 66^\circ$, отрезок $AK$ — высота треугольника. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABK$, если радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, равен $4\sqrt{3}$ см.

35. В треугольнике $ABC$ $\angle A = 54^{\circ}$, $\angle B = 66^{\circ}$, отрезок $AK$ — высота треугольника. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABK$, если радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, равен $4\sqrt{3}$ см.

Для нахождения радиуса окружности, описанной около треугольника ABK, выполним следующие действия.

1. Найдем величину третьего угла в треугольнике $ABC$. Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$.
$\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (54^\circ + 66^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

2. Воспользуемся обобщенной теоремой синусов для треугольника $ABC$. Согласно этой теореме, отношение длины стороны треугольника к синусу противолежащего ей угла равно двум радиусам описанной окружности ($R_{ABC}$).
$\frac{AB}{\sin\angle C} = 2R_{ABC}$
Сторона $AB$ является общей для треугольников $ABC$ и $ABK$. Найдем ее длину, зная, что радиус описанной окружности треугольника $ABC$ равен $4\sqrt{3}$ см.
$AB = 2R_{ABC} \cdot \sin\angle C = 2 \cdot 4\sqrt{3} \cdot \sin 60^\circ$.
Так как значение $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:
$AB = 8\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4 \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}) = 4 \cdot 3 = 12$ см.

3. Теперь рассмотрим треугольник $ABK$. По условию задачи, $AK$ является высотой, проведенной к стороне $BC$. Это означает, что угол $\angle AKB$ прямой, то есть $\angle AKB = 90^\circ$.
Следовательно, треугольник $ABK$ — прямоугольный, а сторона $AB$ является его гипотенузой.

4. Известно, что центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, находится на середине его гипотенузы, а радиус этой окружности ($R_{ABK}$) равен половине длины гипотенузы.
$R_{ABK} = \frac{AB}{2}$.
Подставим найденное значение длины $AB$:
$R_{ABK} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Ответ: 6 см.

36. В треугольнике $ABC$ $BC = a$, $\angle B = \beta$, $\angle C = \gamma$. Найдите стороны $AC$ и $AB$.

36. В треугольнике $ABC$ $BC = a$, $\angle B = \beta$, $\angle C = \gamma$. Найдите стороны $AC$ и $AB$.

В данной задаче нам известен треугольник $ABC$, в котором задана длина стороны $BC = a$ и два прилежащих к ней угла $\angle B = \beta$ и $\angle C = \gamma$. Требуется найти длины двух других сторон: $AC$ и $AB$. Для решения этой задачи мы будем использовать теорему синусов.

1. Найдём третий угол треугольника.
Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Поэтому угол $\angle A$ можно найти следующим образом:$\angle A = 180^\circ - (\angle B + \angle C) = 180^\circ - (\beta + \gamma)$.

2. Применим теорему синусов.
Теорема синусов гласит, что отношение сторон треугольника к синусам противолежащих углов равны:$\frac{BC}{\sin(\angle A)} = \frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{AB}{\sin(\angle C)}$.

Подставим известные нам значения в эту формулу:$\frac{a}{\sin(180^\circ - (\beta + \gamma))} = \frac{AC}{\sin(\beta)} = \frac{AB}{\sin(\gamma)}$.

Используя формулу приведения $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)$, мы можем упростить выражение в знаменателе первой дроби:$\sin(180^\circ - (\beta + \gamma)) = \sin(\beta + \gamma)$.

Таким образом, теорема синусов для нашего треугольника принимает вид:$\frac{a}{\sin(\beta + \gamma)} = \frac{AC}{\sin(\beta)} = \frac{AB}{\sin(\gamma)}$.

3. Выразим искомые стороны.
Теперь из полученного соотношения мы можем выразить длины сторон $AC$ и $AB$.

Чтобы найти $AC$, воспользуемся пропорцией:$\frac{AC}{\sin(\beta)} = \frac{a}{\sin(\beta + \gamma)}$.Отсюда получаем:$AC = \frac{a \cdot \sin(\beta)}{\sin(\beta + \gamma)}$.

Чтобы найти $AB$, воспользуемся пропорцией:$\frac{AB}{\sin(\gamma)} = \frac{a}{\sin(\beta + \gamma)}$.Отсюда получаем:$AB = \frac{a \cdot \sin(\gamma)}{\sin(\beta + \gamma)}$.

Ответ: $AC = \frac{a \sin\beta}{\sin(\beta + \gamma)}$, $AB = \frac{a \sin\gamma}{\sin(\beta + \gamma)}$.

37. На рисунке 1 $AB = c, \angle B = 90^\circ,$

$\angle BAC = \alpha, \angle CAD = \beta, \angle D = \gamma.$

Найдите отрезок $AD.$

Рис. 1

37. На рисунке 1 $AB = c$, $\angle B = 90^\circ$, $\angle BAC = \alpha$, $\angle CAD = \beta$, $\angle D = \gamma$.

Найдите отрезок $AD$.

Для решения задачи разобьем ее на два этапа. Сначала найдем длину общего отрезка AC из прямоугольного треугольника ABC, а затем, используя теорему синусов в треугольнике ACD, найдем искомую сторону AD.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. По условию, $\angle B = 90^{\circ}$, катет $AB = c$ и прилежащий к нему острый угол $\angle BAC = \alpha$. Сторона AC является гипотенузой. Согласно определению косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике: $\cos(\alpha) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AB}{AC}$ Подставим известные значения и выразим длину гипотенузы AC: $AC = \frac{AB}{\cos(\alpha)} = \frac{c}{\cos(\alpha)}$

2. Рассмотрим треугольник ACD. В этом треугольнике нам известны углы $\angle CAD = \beta$ и $\angle D = \gamma$, а также длина стороны AC, найденная на предыдущем шаге. Чтобы найти длину стороны AD, воспользуемся теоремой синусов, которая гласит, что стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов: $\frac{AD}{\sin(\angle ACD)} = \frac{AC}{\sin(\angle D)}$ Сумма углов в любом треугольнике равна $180^{\circ}$, поэтому третий угол, $\angle ACD$, можно найти так: $\angle ACD = 180^{\circ} - (\angle CAD + \angle D) = 180^{\circ} - (\beta + \gamma)$ Теперь подставим известные значения в формулу теоремы синусов: $\frac{AD}{\sin(180^{\circ} - (\beta + \gamma))} = \frac{AC}{\sin(\gamma)}$ Применим формулу приведения $\sin(180^{\circ} - x) = \sin(x)$: $\sin(180^{\circ} - (\beta + \gamma)) = \sin(\beta + \gamma)$ Таким образом, соотношение принимает вид: $\frac{AD}{\sin(\beta + \gamma)} = \frac{AC}{\sin(\gamma)}$ Выразим отсюда искомую сторону AD: $AD = AC \cdot \frac{\sin(\beta + \gamma)}{\sin(\gamma)}$

3. Найдем итоговое выражение для AD. Подставим выражение для AC, полученное в первом пункте, в формулу для AD: $AD = \left(\frac{c}{\cos(\alpha)}\right) \cdot \frac{\sin(\beta + \gamma)}{\sin(\gamma)}$ Запишем окончательное выражение в виде одной дроби: $AD = \frac{c \sin(\beta + \gamma)}{\cos(\alpha) \sin(\gamma)}$

Ответ: $AD = \frac{c \sin(\beta + \gamma)}{\cos(\alpha) \sin(\gamma)}$

38. В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен $\alpha$, а биссектриса угла при основании равна $m$. Найдите стороны треугольника.

38. В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен $\alpha$, а биссектриса угла при основании равна $m$. Найдите стороны треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. Боковые стороны равны $AB = BC$. Угол при вершине $\angle B = \alpha$. Так как треугольник равнобедренный, углы при основании равны, и их можно найти из условия, что сумма углов треугольника равна $180^\circ$:
$\angle BAC = \angle BCA = \frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$.

Пусть $AD$ – биссектриса угла при основании $\angle BAC$, проведенная к боковой стороне $BC$. По условию, длина биссектрисы $AD = m$.
Так как $AD$ – биссектриса, она делит угол $\angle BAC$ пополам:
$\angle DAC = \frac{\angle BAC}{2} = \frac{90^\circ - \frac{\alpha}{2}}{2} = 45^\circ - \frac{\alpha}{4}$.

Рассмотрим треугольник $ADC$. Найдем все его углы:
• Угол $\angle DAC = 45^\circ - \frac{\alpha}{4}$.
• Угол $\angle ACD$ равен углу при основании исходного треугольника: $\angle ACD = \angle BCA = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$.
• Третий угол $\angle ADC$ найдем из суммы углов треугольника:
$\angle ADC = 180^\circ - (\angle DAC + \angle ACD) = 180^\circ - (45^\circ - \frac{\alpha}{4} + 90^\circ - \frac{\alpha}{2}) = 180^\circ - (135^\circ - \frac{3\alpha}{4}) = 45^\circ + \frac{3\alpha}{4}$.

Теперь, зная все углы и одну сторону ($AD = m$) в треугольнике $ADC$, мы можем найти остальные его стороны, в частности сторону $AC$, которая является основанием исходного треугольника. Применим теорему синусов для треугольника $ADC$:
$\frac{AC}{\sin(\angle ADC)} = \frac{AD}{\sin(\angle ACD)}$
Подставим известные значения:
$\frac{AC}{\sin(45^\circ + \frac{3\alpha}{4})} = \frac{m}{\sin(90^\circ - \frac{\alpha}{2})}$
Используя формулу приведения $\sin(90^\circ - x) = \cos(x)$, получаем:
$\frac{AC}{\sin(45^\circ + \frac{3\alpha}{4})} = \frac{m}{\cos(\frac{\alpha}{2})}$
Отсюда находим длину основания $AC$:
$AC = \frac{m \cdot \sin(45^\circ + \frac{3\alpha}{4})}{\cos(\frac{\alpha}{2})}$.

Для нахождения боковой стороны $AB$ применим теорему синусов к исходному треугольнику $ABC$:
$\frac{AB}{\sin(\angle BCA)} = \frac{AC}{\sin(\angle ABC)}$
$\frac{AB}{\sin(90^\circ - \frac{\alpha}{2})} = \frac{AC}{\sin(\alpha)}$
Выразим $AB$:
$AB = AC \cdot \frac{\sin(90^\circ - \frac{\alpha}{2})}{\sin(\alpha)} = AC \cdot \frac{\cos(\frac{\alpha}{2})}{\sin(\alpha)}$
Подставим найденное ранее выражение для $AC$:
$AB = \frac{m \cdot \sin(45^\circ + \frac{3\alpha}{4})}{\cos(\frac{\alpha}{2})} \cdot \frac{\cos(\frac{\alpha}{2})}{\sin(\alpha)} = \frac{m \cdot \sin(45^\circ + \frac{3\alpha}{4})}{\sin(\alpha)}$
Поскольку треугольник равнобедренный, $BC = AB$.

Ответ:
Боковые стороны треугольника равны $ \frac{m \sin(45^\circ + \frac{3\alpha}{4})}{\sin(\alpha)} $.
Основание треугольника равно $ \frac{m \sin(45^\circ + \frac{3\alpha}{4})}{\cos(\frac{\alpha}{2})} $.

39. В треугольнике ABC провели биссектрису BD. Найдите стороны треугольника ABC, если $BD = m$, $\angle A = \alpha$, $\angle C = \gamma$.

39. В треугольнике $ABC$ провели биссектрису $BD$. Найдите стороны треугольника $ABC$, если $BD = m$, $\angle A = \alpha$, $\angle C = \gamma$.

Для нахождения сторон треугольника $ABC$ воспользуемся теоремой синусов. Сначала найдем все углы в треугольниках $ABD$ и $CBD$.

1. Сумма углов в треугольнике $ABC$ равна $180^\circ$, поэтому угол $\angle B$ равен:
$\angle B = 180^\circ - (\angle A + \angle C) = 180^\circ - (\alpha + \gamma)$.

2. Так как $BD$ — биссектриса, она делит угол $\angle B$ пополам:
$\angle ABD = \angle DBC = \frac{\angle B}{2} = \frac{180^\circ - (\alpha + \gamma)}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha + \gamma}{2}$.

3. Рассмотрим $\triangle ABD$. Найдем третий угол $\angle BDA$:
$\angle BDA = 180^\circ - \angle A - \angle ABD = 180^\circ - \alpha - \left(90^\circ - \frac{\alpha + \gamma}{2}\right) = 90^\circ - \alpha + \frac{\alpha + \gamma}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha - \gamma}{2}$.

4. Применим теорему синусов к $\triangle ABD$, зная сторону $BD=m$ и все углы:
$\frac{AB}{\sin(\angle BDA)} = \frac{BD}{\sin(\angle A)}$
$AB = \frac{BD \cdot \sin(\angle BDA)}{\sin(\angle A)} = \frac{m \cdot \sin\left(90^\circ - \frac{\alpha - \gamma}{2}\right)}{\sin(\alpha)}$.
Используя формулу приведения $\sin(90^\circ - x) = \cos(x)$, получаем выражение для стороны $AB$:

$AB = \frac{m \cos\left(\frac{\alpha - \gamma}{2}\right)}{\sin(\alpha)}$.

5. Теперь рассмотрим $\triangle CBD$. Найдем третий угол $\angle BDC$:
$\angle BDC = 180^\circ - \angle C - \angle DBC = 180^\circ - \gamma - \left(90^\circ - \frac{\alpha + \gamma}{2}\right) = 90^\circ - \gamma + \frac{\alpha + \gamma}{2} = 90^\circ + \frac{\alpha - \gamma}{2}$.

6. Применим теорему синусов к $\triangle CBD$ для нахождения стороны $BC$ :
$\frac{BC}{\sin(\angle BDC)} = \frac{BD}{\sin(\angle C)}$
$BC = \frac{BD \cdot \sin(\angle BDC)}{\sin(\angle C)} = \frac{m \cdot \sin\left(90^\circ + \frac{\alpha - \gamma}{2}\right)}{\sin(\gamma)}$.
Используя формулу приведения $\sin(90^\circ + x) = \cos(x)$, получаем выражение для стороны $BC$:

$BC = \frac{m \cos\left(\frac{\alpha - \gamma}{2}\right)}{\sin(\gamma)}$.

7. Наконец, найдем сторону $AC$. Для этого применим теорему синусов к исходному треугольнику $ABC$:
$\frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{AB}{\sin(\angle C)}$
$AC = \frac{AB \cdot \sin(\angle B)}{\sin(\angle C)} = \frac{AB \cdot \sin(180^\circ - (\alpha + \gamma))}{\sin(\gamma)}$.
Так как $\sin(180^\circ - x) = \sin(x)$, то $\sin(\angle B) = \sin(\alpha + \gamma)$. Подставим найденное ранее выражение для $AB$:

$AC = \frac{m \cos\left(\frac{\alpha - \gamma}{2}\right)}{\sin(\alpha)} \cdot \frac{\sin(\alpha + \gamma)}{\sin(\gamma)} = \frac{m \sin(\alpha + \gamma) \cos\left(\frac{\alpha - \gamma}{2}\right)}{\sin(\alpha)\sin(\gamma)}$.

Ответ:
$AB = \frac{m \cos\left(\frac{\alpha - \gamma}{2}\right)}{\sin(\alpha)}$
$BC = \frac{m \cos\left(\frac{\alpha - \gamma}{2}\right)}{\sin(\gamma)}$
$AC = \frac{m \sin(\alpha + \gamma) \cos\left(\frac{\alpha - \gamma}{2}\right)}{\sin(\alpha)\sin(\gamma)}$

40. Высоты треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, если радиус окружности, описанной около треугольника $AHB$, равен 9 см.

40. Высоты треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, если радиус окружности, описанной около треугольника $AHB$, равен 9 см.

Пусть $R$ – радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, а $R_{AHB}$ – радиус окружности, описанной около треугольника $AHB$. По условию задачи $R_{AHB} = 9$ см.
Согласно обобщенной теореме синусов, для треугольника $ABC$ справедливо равенство: $ \frac{AB}{\sin(\angle C)} = 2R $, откуда $R = \frac{AB}{2 \sin(\angle C)} $.
Аналогично, для треугольника $AHB$: $ \frac{AB}{\sin(\angle AHB)} = 2R_{AHB} $, откуда $R_{AHB} = \frac{AB}{2 \sin(\angle AHB)} $.
Найдем связь между углами $\angle C$ и $\angle AHB$. Пусть $AA_1$ и $BB_1$ – высоты треугольника $ABC$, проведенные из вершин $A$ и $B$ соответственно. Точка $H$ – ортоцентр, точка пересечения высот. Рассмотрим четырехугольник $CA_1HB_1$. В нем $\angle HA_1C = 90^\circ$ и $\angle HB_1C = 90^\circ$, так как $AA_1$ и $BB_1$ – высоты. Сумма углов четырехугольника равна $360^\circ$, следовательно, $\angle A_1HB_1 + \angle C = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ = 180^\circ$.
Углы $\angle AHB$ и $\angle A_1HB_1$ являются вертикальными, поэтому $\angle AHB = \angle A_1HB_1$. Отсюда следует, что $\angle AHB = 180^\circ - \angle C$.
Подставим это выражение в формулу для $R_{AHB}$:$ R_{AHB} = \frac{AB}{2 \sin(180^\circ - \angle C)} $.
Используя формулу приведения $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)$, получаем:$ R_{AHB} = \frac{AB}{2 \sin(\angle C)} $.
Сравнивая выражения для $R$ и $R_{AHB}$, видим, что $R = R_{AHB}$.
Так как по условию $R_{AHB} = 9$ см, то и радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, равен 9 см.
Ответ: 9 см.

41. Найдите радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника с основанием 12 см и боковой стороной 10 см.

41. Найдите радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника с основанием 12 см и боковой стороной 10 см.

Для нахождения радиуса $R$ окружности, описанной около треугольника, воспользуемся формулой:

$R = \frac{abc}{4S}$

где $a, b, c$ – длины сторон треугольника, а $S$ – его площадь.

В условии дан равнобедренный треугольник с боковыми сторонами $a = 10$ см, $b = 10$ см и основанием $c = 12$ см.

1. Найдем площадь треугольника (S)

Для вычисления площади проведем высоту $h$ к основанию. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой. Следовательно, она делит основание на два равных отрезка:

$\frac{12}{2} = 6$ см.

Эта высота образует два одинаковых прямоугольных треугольника, в каждом из которых гипотенуза — это боковая сторона (10 см), один катет — половина основания (6 см), а второй катет — сама высота $h$.

По теореме Пифагора найдем высоту $h$:

$h^2 + 6^2 = 10^2$

$h^2 + 36 = 100$

$h^2 = 100 - 36 = 64$

$h = \sqrt{64} = 8$ см.

Теперь вычислим площадь треугольника по формуле:

$S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48$ см².

2. Найдем радиус описанной окружности (R)

Подставим полученные значения сторон и площади в формулу для радиуса:

$R = \frac{10 \cdot 10 \cdot 12}{4 \cdot 48}$

$R = \frac{1200}{192}$

Сократим дробь:

$R = \frac{100 \cdot 12}{16 \cdot 12} = \frac{100}{16} = \frac{25}{4} = 6,25$ см.

Ответ: 6,25 см.

42. Основания равнобокой трапеции равны 5 см и 21 см, а боковая сторона — 17 см. Найдите радиус окружности, описанной около трапеции.

42. Основания равнобокой трапеции равны 5 см и 21 см, а боковая сторона — 17 см. Найдите радиус окружности, описанной около трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. По условию, $AD = 21$ см, $BC = 5$ см, а боковые стороны $AB = CD = 17$ см.

Радиус окружности, описанной около трапеции, совпадает с радиусом окружности, описанной около треугольника, образованного тремя любыми вершинами трапеции. Найдем радиус окружности, описанной около треугольника $ABD$.

Радиус $R$ описанной около треугольника окружности можно найти по формуле $R = \frac{s_1 s_2 s_3}{4S}$, где $s_1, s_2, s_3$ — стороны треугольника, а $S$ — его площадь. Для треугольника $ABD$ сторонами являются $AB$, $AD$ и диагональ $BD$.

Для нахождения диагонали $BD$ и площади треугольника $ABD$ сначала найдем высоту трапеции. Проведем из вершины $B$ высоту $BH$ к основанию $AD$. В равнобокой трапеции отрезок $AH$, который высота отсекает от большего основания, равен полуразности оснований:

$AH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{21 - 5}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. По теореме Пифагора найдем высоту $BH$:

$BH^2 = AB^2 - AH^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225$

$BH = \sqrt{225} = 15$ см.

Теперь найдем длину диагонали $BD$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BHD$. Катет $HD$ равен:

$HD = AD - AH = 21 - 8 = 13$ см.

По теореме Пифагора для треугольника $BHD$:

$BD^2 = BH^2 + HD^2 = 15^2 + 13^2 = 225 + 169 = 394$

$BD = \sqrt{394}$ см.

Теперь у нас есть все три стороны треугольника $ABD$: $AB=17$ см, $AD=21$ см, $BD=\sqrt{394}$ см.Найдем площадь треугольника $ABD$:

$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 21 \cdot 15 = \frac{315}{2}$ см$^2$.

Наконец, вычислим радиус описанной окружности:

$R = \frac{AB \cdot AD \cdot BD}{4 \cdot S_{ABD}} = \frac{17 \cdot 21 \cdot \sqrt{394}}{4 \cdot \frac{315}{2}} = \frac{17 \cdot 21 \cdot \sqrt{394}}{2 \cdot 315}$

Упростим выражение, зная, что $315 = 15 \cdot 21$:

$R = \frac{17 \cdot 21 \cdot \sqrt{394}}{2 \cdot 15 \cdot 21} = \frac{17\sqrt{394}}{30}$ см.

Ответ: $\frac{17\sqrt{394}}{30}$ см.