Страница 9 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

50. Меньшая сторона треугольника равна 4 см. В треугольник вписана окружность, которая делится точками касания со сторонами на дуги, градусные меры которых относятся как $3 : 8 : 9$. Найдите неизвестные стороны треугольника.

50. Меньшая сторона треугольника равна 4 см. В треугольник вписана окружность, которая делится точками касания со сторонами на дуги, градусные меры которых относятся как $3 : 8 : 9$. Найдите неизвестные стороны треугольника.

Пусть вписанная в треугольник окружность делится точками касания на дуги, градусные меры которых, согласно условию, относятся как $3:8:9$.

Сумма градусных мер дуг полной окружности составляет $360^\circ$. Обозначим коэффициент пропорциональности через $x$. Тогда градусные меры дуг равны $3x$, $8x$ и $9x$. Составим уравнение:

$3x + 8x + 9x = 360^\circ$

$20x = 360^\circ$

$x = 18^\circ$

Таким образом, градусные меры дуг составляют:

$3 \cdot 18^\circ = 54^\circ$

$8 \cdot 18^\circ = 144^\circ$

$9 \cdot 18^\circ = 162^\circ$

Величины углов треугольника ($A$, $B$, $C$) связаны с градусными мерами дуг вписанной окружности, находящихся между точками касания на сторонах этих углов ($\alpha_{\text{дуги}}$), соотношением: $A = 180^\circ - \alpha_{\text{дуги}}$.

Следовательно, углы нашего треугольника равны:

$A = 180^\circ - 54^\circ = 126^\circ$

$B = 180^\circ - 144^\circ = 36^\circ$

$C = 180^\circ - 162^\circ = 18^\circ$

В треугольнике напротив меньшей стороны лежит меньший угол. По условию, меньшая сторона равна 4 см. Это означает, что она лежит напротив наименьшего угла, равного $18^\circ$. Обозначим эту сторону как $c$, тогда $c=4$ см, и угол напротив нее $C = 18^\circ$.

Для нахождения длин двух других сторон, $a$ (напротив угла $A=126^\circ$) и $b$ (напротив угла $B=36^\circ$), применим теорему синусов:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

Подставляем известные значения:

$\frac{a}{\sin 126^\circ} = \frac{b}{\sin 36^\circ} = \frac{4}{\sin 18^\circ}$

Вычислим сторону $a$:

$a = \frac{4 \cdot \sin 126^\circ}{\sin 18^\circ}$

Используя тождества $\sin 126^\circ = \sin(180^\circ-54^\circ) = \sin 54^\circ = \cos 36^\circ$, а также известные значения $\sin 18^\circ = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$ и $\cos 36^\circ = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$, получаем:

$a = \frac{4 \cdot \cos 36^\circ}{\sin 18^\circ} = \frac{4 \cdot \frac{\sqrt{5}+1}{4}}{\frac{\sqrt{5}-1}{4}} = \frac{4(\sqrt{5}+1)}{\sqrt{5}-1} = \frac{4(\sqrt{5}+1)^2}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)} = \frac{4(\sqrt{5}+1)^2}{4} = (\sqrt{5}+1)^2 = 6+2\sqrt{5}$ см.

Вычислим сторону $b$:

$b = \frac{4 \cdot \sin 36^\circ}{\sin 18^\circ}$

Используя формулу синуса двойного угла $\sin 36^\circ = 2\sin 18^\circ \cos 18^\circ$:

$b = \frac{4 \cdot 2\sin 18^\circ \cos 18^\circ}{\sin 18^\circ} = 8\cos 18^\circ$ см.

Таким образом, длины двух неизвестных сторон равны $6+2\sqrt{5}$ см и $8\cos 18^\circ$ см. (Значение $8\cos 18^\circ$ также можно записать как $2\sqrt{10+2\sqrt{5}}$).

Ответ: $6+2\sqrt{5}$ см и $8\cos 18^\circ$ см.

51. Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 4 см и 7 см, а угол между ними равен:

1) $30^\circ$;

2) $120^\circ$.

51. Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 4 см и 7 см, а угол между ними равен:

1) $30^{\circ}$;

2) $120^{\circ}$.

Для нахождения площади треугольника по двум сторонам и углу между ними используется формула:

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\gamma)$

где $a$ и $b$ — длины известных сторон, а $\gamma$ — угол между ними.

По условию задачи, стороны треугольника равны $a = 4$ см и $b = 7$ см.

1) 30°

Если угол между сторонами $\gamma = 30^\circ$, то площадь треугольника равна:

$S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 7 \cdot \sin(30^\circ)$

Зная, что $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, подставляем это значение в формулу:

$S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 7 \cdot \frac{1}{2} = \frac{28}{4} = 7$ см².

Ответ: 7 см².

2) 120°

Если угол между сторонами $\gamma = 120^\circ$, то площадь треугольника равна:

$S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 7 \cdot \sin(120^\circ)$

Используя формулу приведения, находим значение синуса: $\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставляем это значение в формулу площади:

$S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 7 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{28\sqrt{3}}{4} = 7\sqrt{3}$ см².

Ответ: $7\sqrt{3}$ см².

52. Найдите площадь параллелограмма, стороны которого равны 8 см и 14 см, а угол между ними — $150^\circ$.

52. Найдите площадь параллелограмма, стороны которого равны 8 см и 14 см, а угол между ними – $150^\circ$.

Площадь параллелограмма можно найти по формуле произведения двух его смежных сторон на синус угла между ними:

$S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$

где $a$ и $b$ — смежные стороны, а $\alpha$ — угол между ними.

По условию задачи даны стороны $a = 8$ см, $b = 14$ см, и угол между ними $\alpha = 150°$.

Подставим данные в формулу. Для этого сначала вычислим значение $\sin(150°)$. Используя формулы приведения, получим:

$\sin(150°) = \sin(180° - 30°) = \sin(30°)$

Известно, что $\sin(30°) = \frac{1}{2}$.

Теперь можем рассчитать площадь параллелограмма:

$S = 8 \cdot 14 \cdot \frac{1}{2} = 4 \cdot 14 = 56$

Таким образом, площадь параллелограмма составляет 56 см².

Ответ: 56 см².

53. Стороны параллелограмма равны 6 см и 8 см. Может ли его площадь быть равной $49\text{ см}^2$?

53. Стороны параллелограмма равны 6 см и 8 см. Может ли его площадь быть равной $49\text{ см}^2$?

Площадь параллелограмма ($S$) со сторонами $a$ и $b$ и углом $\alpha$ между ними вычисляется по формуле: $S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$.

По условию задачи, стороны параллелограмма равны $a = 6$ см и $b = 8$ см. Подставив эти значения в формулу, получим: $S = 6 \cdot 8 \cdot \sin(\alpha) = 48 \cdot \sin(\alpha)$.

Значение синуса угла $\alpha$ в параллелограмме (где $0^\circ < \alpha < 180^\circ$) всегда находится в интервале $0 < \sin(\alpha) \le 1$.

Площадь параллелограмма достигает своего максимального значения, когда $\sin(\alpha)$ максимален, то есть $\sin(\alpha) = 1$. Это происходит, когда угол между сторонами равен $90^\circ$ (т.е. когда параллелограмм является прямоугольником).

Вычислим максимально возможную площадь для данного параллелограмма:

$S_{max} = 48 \cdot 1 = 48$ см².

Таким образом, площадь параллелограмма со сторонами 6 см и 8 см не может быть больше 48 см². Поскольку $49$ см² > $48$ см², площадь данного параллелограмма не может быть равной 49 см².

Ответ: нет, не может.

54. Найдите площадь ромба, сторона которого равна $7\sqrt{2}$ см, а один из углов — $135^{\circ}$.

54. Найдите площадь ромба, сторона которого равна $7\sqrt{2}$ см, а один из углов — $135^{\circ}$.

Для нахождения площади ромба воспользуемся формулой, связывающей его сторону и угол между сторонами:

$S = a^2 \cdot \sin(\alpha)$

где $a$ – сторона ромба, а $\alpha$ – угол между двумя смежными сторонами.

По условию задачи даны:

• сторона ромба $a = 7\sqrt{2}$ см;
• один из углов равен $135^\circ$.

Сумма углов, прилежащих к одной стороне ромба, равна $180^\circ$. Поэтому, если один угол равен $135^\circ$ (тупой), то смежный с ним угол будет острым и равен:

$180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$

Для вычисления площади можно использовать синус любого из этих углов, так как $\sin(135^\circ) = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin(45^\circ)$.

Найдем значение синуса для угла $45^\circ$:

$\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Теперь подставим известные значения в формулу площади:

$S = (7\sqrt{2})^2 \cdot \sin(45^\circ)$

Выполним вычисления:

$S = (7^2 \cdot (\sqrt{2})^2) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = (49 \cdot 2) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 98 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 49\sqrt{2}$

Таким образом, площадь ромба равна $49\sqrt{2} \text{ см}^2$.

Ответ: $49\sqrt{2} \text{ см}^2$.

55. Две стороны треугольника равны 4 см и 8 см. Может ли его площадь быть равной:

1) 12 $\text{см}^2$;

2) 18 $\text{см}^2$?

55. Две стороны треугольника равны 4 см и 8 см. Может ли его площадь быть равной: 1) 12 $см^2$; 2) 18 $см^2$?

1)

Площадь треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$, где $a$ и $b$ — длины двух сторон, а $\gamma$ — угол между ними. По условию, $a = 4$ см и $b = 8$ см. Таким образом, площадь треугольника равна $S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 8 \cdot \sin\gamma = 16\sin\gamma$. Значение синуса для любого угла треугольника ($\gamma$) находится в пределах $0 < \sin\gamma \le 1$. Максимальная площадь достигается при $\sin\gamma = 1$ (когда угол $\gamma$ прямой) и составляет $S_{max} = 16 \cdot 1 = 16$ см². Чтобы площадь была равна 12 см², необходимо, чтобы выполнялось равенство $12 = 16\sin\gamma$. Отсюда $\sin\gamma = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}$. Так как $0 < \frac{3}{4} \le 1$, такое значение синуса возможно, следовательно, и треугольник с такой площадью существует.

Ответ: да, может.

2)

Как было определено ранее, максимальная возможная площадь треугольника со сторонами 4 см и 8 см составляет 16 см². Поскольку $18 \text{ см}^2 > 16 \text{ см}^2$, площадь треугольника не может быть равной 18 см². Если бы мы предположили, что это возможно, то получили бы уравнение $18 = 16\sin\gamma$, из которого следует, что $\sin\gamma = \frac{18}{16} = \frac{9}{8}$. Это значение больше 1, что невозможно для синуса угла.

Ответ: нет, не может.

56. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен $120^\circ$, а его площадь — $150\sqrt{3}$ $см^2$. Найдите боковую сторону треугольника.

56. Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 120°, а его площадь — $150\sqrt{3}\text{ см}^2$. Найдите боковую сторону треугольника.

Пусть боковая сторона равнобедренного треугольника равна $a$. Угол при вершине, то есть угол между двумя боковыми сторонами, равен $120°$.

Площадь треугольника можно вычислить по формуле, использующей две стороны и угол между ними:

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin\gamma$

Для равнобедренного треугольника, где $a$ и $b$ - боковые стороны, эта формула принимает вид:

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a \cdot \sin(120°) = \frac{1}{2}a^2\sin(120°)$

Известно, что площадь $S = 150\sqrt{3}$ см². Найдем значение $\sin(120°)$:

$\sin(120°) = \sin(180° - 60°) = \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь подставим известные значения в формулу площади и решим уравнение относительно $a$:

$150\sqrt{3} = \frac{1}{2}a^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$150\sqrt{3} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{3}$:

$150 = \frac{a^2}{4}$

Умножим обе части на 4:

$a^2 = 150 \cdot 4$

$a^2 = 600$

Найдем $a$, извлекая квадратный корень. Так как длина стороны не может быть отрицательной, берем только положительное значение:

$a = \sqrt{600} = \sqrt{100 \cdot 6} = 10\sqrt{6}$

Таким образом, длина боковой стороны треугольника составляет $10\sqrt{6}$ см.

Ответ: $10\sqrt{6}$ см.

57. Отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$ (рис. 2), $AO = OB$, $CO = 3$ см, $OD = 5$ см. Найдите отношение площадей треугольников $AOC$ и $DOB$.

57. Отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$ (рис. 2), $AO = OB$, $CO = 3 \text{ см}$, $OD = 5 \text{ см}$. Найдите отношение площадей треугольников $AOC$ и $DOB$.

Рис. 2

Для нахождения отношения площадей треугольников $AOC$ и $DOB$ воспользуемся формулой площади треугольника через две стороны и угол между ними: $S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma$.

Площадь треугольника $AOC$ можно выразить как:

$S_{AOC} = \frac{1}{2} \cdot AO \cdot CO \cdot \sin(\angle AOC)$

Площадь треугольника $DOB$ можно выразить как:

$S_{DOB} = \frac{1}{2} \cdot DO \cdot OB \cdot \sin(\angle DOB)$

Углы $\angle AOC$ и $\angle DOB$ являются вертикальными, так как они образованы пересечением прямых $AB$ и $CD$. Следовательно, эти углы равны: $\angle AOC = \angle DOB$. Это также означает, что синусы этих углов равны: $\sin(\angle AOC) = \sin(\angle DOB)$.

Теперь найдем отношение площадей:

$\frac{S_{AOC}}{S_{DOB}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AO \cdot CO \cdot \sin(\angle AOC)}{\frac{1}{2} \cdot DO \cdot OB \cdot \sin(\angle DOB)}$

Сократим в дроби $\frac{1}{2}$ и равные синусы. Также из условия задачи известно, что $AO = OB$. Сократим и эти равные отрезки:

$\frac{S_{AOC}}{S_{DOB}} = \frac{AO \cdot CO}{DO \cdot OB} = \frac{CO}{DO}$

Подставим известные значения $CO = 3$ см и $OD = 5$ см:

$\frac{S_{AOC}}{S_{DOB}} = \frac{3}{5}$

Ответ: $\frac{3}{5}$

58. На сторонах угла A отложены отрезки $AB = 4$ см, $BC = 5$ см, $AD = 6$ см и $DE = 2$ см (рис. 3). Найдите отношение площадей треугольника ABD и четырёхугольника BCED.

Рис. 2

Рис. 3

58. На сторонах угла $A$ отложены отрезки $AB = 4$ см, $BC = 5$ см, $AD = 6$ см и $DE = 2$ см (рис. 3). Найдите отношение площадей треугольника $ABD$ и четырёхугольника $BCED$.

Рис. 3

Для нахождения отношения площадей воспользуемся формулой площади треугольника через две стороны и синус угла между ними: $S = \frac{1}{2}ab \sin \alpha$.

Треугольники $ABD$ и $ACE$ имеют общий угол $A$. Пусть $\angle A = \alpha$.

1. Найдем длины сторон $AC$ и $AE$, которые являются сторонами треугольника $ACE$.Согласно условию, $AB = 4$ см, $BC = 5$ см, $AD = 6$ см и $DE = 2$ см.Длина стороны $AC$ равна сумме длин отрезков $AB$ и $BC$:$AC = AB + BC = 4 + 5 = 9$ см.Длина стороны $AE$ равна сумме длин отрезков $AD$ и $DE$:$AE = AD + DE = 6 + 2 = 8$ см.

2. Вычислим площадь треугольника $ABD$ (обозначим $S_{ABD}$):$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin \alpha = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 \cdot \sin \alpha = 12 \sin \alpha$.

3. Площадь четырехугольника $BCED$ (обозначим $S_{BCED}$) можно найти как разность площадей треугольника $ACE$ и треугольника $ABD$.Сначала вычислим площадь треугольника $ACE$ ($S_{ACE}$):$S_{ACE} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AE \cdot \sin \alpha = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 8 \cdot \sin \alpha = 36 \sin \alpha$.Теперь найдем площадь четырехугольника $BCED$:$S_{BCED} = S_{ACE} - S_{ABD} = 36 \sin \alpha - 12 \sin \alpha = 24 \sin \alpha$.

4. Найдем искомое отношение площади треугольника $ABD$ к площади четырехугольника $BCED$:$\frac{S_{ABD}}{S_{BCED}} = \frac{12 \sin \alpha}{24 \sin \alpha}$.

Поскольку угол $A$ является углом треугольника, его синус не равен нулю ($\sin \alpha \neq 0$), поэтому мы можем сократить дробь на $\sin \alpha$:$\frac{12}{24} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$