Страница 11 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

71. Найдите углы правильного пятиугольника.

71. Найдите углы правильного пятиугольника.

Правильный пятиугольник — это многоугольник, у которого пять равных сторон и пять равных внутренних углов.

Для нахождения величины внутреннего угла правильного n-угольника существует формула, которая выводится из формулы суммы углов многоугольника. Сумма внутренних углов любого выпуклого n-угольника равна $(n - 2) \cdot 180^\circ$.

Поскольку в правильном n-угольнике все $n$ углов равны, для нахождения одного угла нужно разделить сумму на их количество:

$\alpha = \frac{(n - 2) \cdot 180^\circ}{n}$

В нашем случае мы имеем правильный пятиугольник, значит, количество его сторон и углов $n = 5$.

Подставим значение $n = 5$ в формулу:

$\alpha = \frac{(5 - 2) \cdot 180^\circ}{5}$

Теперь произведем вычисления:

$\alpha = \frac{3 \cdot 180^\circ}{5}$

$\alpha = \frac{540^\circ}{5}$

$\alpha = 108^\circ$

Следовательно, каждый из пяти углов правильного пятиугольника равен $108^\circ$.

Ответ: $108^\circ$.

72. Найдите количество сторон правильного многоугольника, если:

1) его угол равен $168^{\circ}$;

2) угол, смежный с углом многоугольника, равен $18^{\circ}$.

72. Найдите количество сторон правильного многоугольника, если:

1) его угол равен $168^\circ$;

2) угол, смежный с углом многоугольника, равен $18^\circ$.

1) его угол равен 168°

Пусть $n$ — количество сторон правильного многоугольника. Величина внутреннего угла $\alpha$ правильного $n$-угольника связана с количеством сторон формулой $\alpha = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$.

Также можно использовать формулу для внешнего угла многоугольника. Внешний угол $\beta$ — это угол, смежный с внутренним углом, поэтому их сумма равна $180^\circ$.
$\beta = 180^\circ - \alpha$

По условию, внутренний угол $\alpha = 168^\circ$. Найдем внешний угол:
$\beta = 180^\circ - 168^\circ = 12^\circ$

Величина внешнего угла правильного $n$-угольника вычисляется по формуле $\beta = \frac{360^\circ}{n}$. Подставим найденное значение $\beta$ и найдем количество сторон $n$:
$12^\circ = \frac{360^\circ}{n}$
$n = \frac{360^\circ}{12^\circ}$
$n = 30$

Ответ: 30.

2) угол, смежный с углом многоугольника, равен 18°

Угол, смежный с внутренним углом многоугольника, является его внешним углом. Обозначим его как $\beta$. По условию, $\beta = 18^\circ$.

Сумма всех внешних углов любого выпуклого многоугольника равна $360^\circ$. Для правильного $n$-угольника, у которого все $n$ внешних углов равны, величина одного внешнего угла вычисляется по формуле:
$\beta = \frac{360^\circ}{n}$

Подставим известное значение внешнего угла в формулу и найдем количество сторон $n$:
$18^\circ = \frac{360^\circ}{n}$
$n = \frac{360^\circ}{18^\circ}$
$n = 20$

Ответ: 20.

73. На рисунке 4 изображён правильный шестиугольник $ABCDEF$, $K$ — точка пересечения прямых $DE$ и $AF$. Найдите угол $AKD$.

Рис. 4

73. На рисунке 4 изображён правильный шестиугольник $ABCDEF$, $K$ — точка пересечения прямых $DE$ и $AF$. Найдите угол $AKD$.

Рис. 4

Поскольку $ABCDEF$ — правильный шестиугольник, все его стороны равны, и все его внутренние углы равны.

Сумма внутренних углов n-угольника вычисляется по формуле $(n-2) \times 180^\circ$. Для шестиугольника (где $n=6$) сумма углов равна $(6-2) \times 180^\circ = 4 \times 180^\circ = 720^\circ$.

Каждый внутренний угол правильного шестиугольника равен $720^\circ / 6 = 120^\circ$. Таким образом, $\angle EFA = 120^\circ$ и $\angle DEF = 120^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle EFK$. Точка $K$ — точка пересечения прямых $DE$ и $AF$. Это означает, что точки $A, F, K$ лежат на одной прямой, и точки $D, E, K$ также лежат на одной прямой.

Угол $\angle KFE$ является смежным с внутренним углом шестиугольника $\angle EFA$. Следовательно, их сумма равна $180^\circ$.

$\angle KFE = 180^\circ - \angle EFA = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Аналогично, угол $\angle KEF$ является смежным с внутренним углом $\angle DEF$.

$\angle KEF = 180^\circ - \angle DEF = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Теперь у нас есть два угла в треугольнике $\triangle EFK$: $\angle KFE = 60^\circ$ и $\angle KEF = 60^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Найдем третий угол, $\angle FKE$.

$\angle FKE = 180^\circ - (\angle KFE + \angle KEF) = 180^\circ - (60^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Угол $\angle AKD$ является тем же углом, что и $\angle FKE$, так как они образованы пересечением тех же прямых $AF$ и $DE$.

Таким образом, $\angle AKD = \angle FKE = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.

74. Определите количество сторон правильного многоугольника, если угол, смежный с углом многоугольника, составляет $\frac{2}{3}$ угла многоугольника.

74. Определите количество сторон правильного многоугольника, если угол, смежный с углом многоугольника, составляет $ \frac{2}{3} $ угла многоугольника.

Пусть $\alpha$ – это внутренний угол правильного многоугольника, а $\beta$ – это смежный с ним внешний угол.

По определению смежных углов, их сумма равна $180^\circ$. Таким образом, мы можем записать первое уравнение:
$\alpha + \beta = 180^\circ$

Согласно условию задачи, внешний угол составляет $\frac{2}{3}$ от внутреннего угла. Это дает нам второе уравнение:
$\beta = \frac{2}{3}\alpha$

Теперь у нас есть система из двух уравнений. Подставим второе уравнение в первое, чтобы найти значение угла $\alpha$:
$\alpha + \frac{2}{3}\alpha = 180^\circ$
$\frac{3}{3}\alpha + \frac{2}{3}\alpha = 180^\circ$
$\frac{5}{3}\alpha = 180^\circ$
$\alpha = 180^\circ \cdot \frac{3}{5} = 36^\circ \cdot 3 = 108^\circ$

Зная внутренний угол, мы можем найти внешний угол $\beta$:
$\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$

Сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника равна $360^\circ$. Для правильного $n$-угольника все внешние углы равны, поэтому величину одного внешнего угла можно найти по формуле:
$\beta = \frac{360^\circ}{n}$
где $n$ – количество сторон многоугольника.

Выразим из этой формулы количество сторон $n$:
$n = \frac{360^\circ}{\beta}$

Подставим найденное значение $\beta = 72^\circ$:
$n = \frac{360^\circ}{72^\circ} = 5$

Таким образом, искомый многоугольник имеет 5 сторон. Это правильный пятиугольник.

Ответ: 5.

75. Найдите центральный угол правильного тридцатиугольника.

75. Найдите центральный угол правильного тридцатиугольника.

Центральный угол правильного n-угольника — это угол, под которым видна его сторона из центра описанной окружности. Сумма всех центральных углов правильного n-угольника равна $360^\circ$. Так как у правильного многоугольника все стороны и углы равны, то и все центральные углы равны между собой.

Для нахождения величины одного центрального угла $(\alpha)$ необходимо разделить $360^\circ$ на количество сторон многоугольника $n$. Формула выглядит следующим образом:

$\alpha = \frac{360^\circ}{n}$

В данной задаче рассматривается правильный тридцатиугольник, у которого количество сторон $n = 30$.

Подставим это значение в формулу и произведем вычисление:

$\alpha = \frac{360^\circ}{30} = 12^\circ$

Таким образом, центральный угол правильного тридцатиугольника равен $12^\circ$.

Ответ: $12^\circ$

76. Центральный угол правильного многоугольника равен $15^\circ$. Найдите количество сторон многоугольника.

76. Центральный угол правильного многоугольника равен $15^\circ$. Найдите количество сторон многоугольника.

Центральный угол правильного n-угольника вычисляется по формуле, где полный круг $360^\circ$ делится на количество сторон $n$.

Формула для центрального угла $α$ выглядит так: $α = \frac{360^\circ}{n}$

По условию задачи, центральный угол равен $15^\circ$. Подставим это значение в формулу: $15^\circ = \frac{360^\circ}{n}$

Теперь выразим из этой формулы количество сторон $n$: $n = \frac{360^\circ}{15^\circ}$

Вычислим значение $n$: $n = 24$

Следовательно, правильный многоугольник имеет 24 стороны.

Ответ: 24.

77. Пусть $a_3$ — сторона правильного треугольника, $R$ и $r$ — соответственно радиусы описанной около него и вписанной в него окружностей. Заполните таблицу (размеры даны в сантиметрах).

$a_3$ $R$ $r$

$9\sqrt{3}$

$2\sqrt{3}$

$4$

77. Пусть $a_3$ — сторона правильного треугольника, $R$ и $r$ — соответственно радиусы описанной около него и вписанной в него окружностей. Заполните таблицу (размеры даны в сантиметрах).

Для заполнения таблицы необходимо использовать формулы, связывающие сторону правильного (равностороннего) треугольника $a_3$ с радиусом описанной около него окружности $R$ и радиусом вписанной в него окружности $r$.

Основные формулы:

• Связь стороны и радиуса описанной окружности: $R = \frac{a_3}{\sqrt{3}}$, откуда $a_3 = R\sqrt{3}$.
• Связь стороны и радиуса вписанной окружности: $r = \frac{a_3}{2\sqrt{3}}$, откуда $a_3 = 2r\sqrt{3}$.
• Связь между радиусами описанной и вписанной окружностей: $R = 2r$.

Используя эти соотношения, вычислим недостающие значения для каждой строки таблицы.

Для первой строки, где $a_3 = 9\sqrt{3}$

Дана сторона $a_3 = 9\sqrt{3}$.
Найдём радиус описанной окружности $R$:
$R = \frac{a_3}{\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 9$.
Теперь найдём радиус вписанной окружности $r$, используя соотношение $R=2r$:
$r = \frac{R}{2} = \frac{9}{2} = 4,5$.

Ответ: $R=9$, $r=4,5$.

Для второй строки, где $R = 2\sqrt{3}$

Дан радиус описанной окружности $R = 2\sqrt{3}$.
Найдём сторону треугольника $a_3$:
$a_3 = R\sqrt{3} = 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 2 \cdot 3 = 6$.
Найдём радиус вписанной окружности $r$:
$r = \frac{R}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.

Ответ: $a_3=6$, $r=\sqrt{3}$.

Для третьей строки, где $r = 4$

Дан радиус вписанной окружности $r = 4$.
Найдём радиус описанной окружности $R$:
$R = 2r = 2 \cdot 4 = 8$.
Теперь найдём сторону треугольника $a_3$:
$a_3 = 2r\sqrt{3} = 2 \cdot 4 \cdot \sqrt{3} = 8\sqrt{3}$.

Ответ: $a_3=8\sqrt{3}$, $R=8$.

78. Найдите радиусы описанной около правильного треугольника и вписанной в него окружностей, если их разность равна 8 см.

78. Найдите радиусы описанной около правильного треугольника и вписанной в него окружностей, если их разность равна 8 см.

Пусть $R$ — радиус описанной окружности, а $r$ — радиус вписанной окружности.

Для правильного (равностороннего) треугольника существует простое соотношение между радиусами вписанной и описанной окружностей. Если $a$ — сторона треугольника, то:

Радиус описанной окружности: $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Радиус вписанной окружности: $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$

Сравнивая эти две формулы, мы видим, что радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной:

$R = 2 \cdot \frac{a}{2\sqrt{3}} = 2r$

По условию задачи, разность радиусов равна 8 см:

$R - r = 8$

Теперь подставим в это уравнение выражение $R = 2r$:

$2r - r = 8$

$r = 8$ см

Мы нашли радиус вписанной окружности. Теперь найдем радиус описанной окружности, используя соотношение $R = 2r$:

$R = 2 \cdot 8 = 16$ см

Проверим: $R - r = 16 - 8 = 8$ см, что соответствует условию.

Ответ: радиус вписанной окружности равен 8 см, радиус описанной окружности равен 16 см.

79. Найдите отношение площадей правильных треугольника и четырехугольника, стороны которых равны.

79. Найдите отношение площадей правильных треугольника и четырехугольника, стороны которых равны.

Для решения задачи необходимо найти площади правильного треугольника и правильного четырехугольника (квадрата), а затем найти их отношение.

Пусть сторона правильного треугольника и квадрата равна $a$.

1. Площадь правильного треугольника ($S_{\triangle}$) со стороной $a$ вычисляется по формуле:
$S_{\triangle} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

2. Площадь правильного четырехугольника (квадрата) ($S_{\square}$) со стороной $a$ вычисляется по формуле:
$S_{\square} = a^2$

3. Отношение площадей. Найдем отношение площади треугольника к площади квадрата:
$\frac{S_{\triangle}}{S_{\square}} = \frac{\frac{a^2 \sqrt{3}}{4}}{a^2}$

Сократим $a^2$ в числителе и знаменателе дроби:
$\frac{S_{\triangle}}{S_{\square}} = \frac{\sqrt{3}}{4}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{4}$.