Страница 17 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

136. Точки $C_1 (2; -3)$ и $A_1 (-4; 1)$ — середины сторон $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ соответственно. Вершина $A$ имеет координаты $(5; 6)$. Найдите координаты вершин $B$ и $C$.

136. Точки $C_1 (2; -3)$ и $A_1 (-4; 1)$ — середины сторон $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ соответственно. Вершина $A$ имеет координаты $(5; 6)$. Найдите координаты вершин $B$ и $C$.

Пусть координаты вершин треугольника $ABC$ будут $A(x_A, y_A)$, $B(x_B, y_B)$ и $C(x_C, y_C)$.
По условию задачи нам даны:
Координаты вершины $A(5; 6)$.
Координаты точки $C_1(2; -3)$, которая является серединой стороны $AB$.
Координаты точки $A_1(-4; 1)$, которая является серединой стороны $BC$.

Координаты $(x_m, y_m)$ середины отрезка с концами в точках $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ вычисляются по формулам:
$x_m = \frac{x_1 + x_2}{2}$
$y_m = \frac{y_1 + y_2}{2}$

Координаты вершины B

Точка $C_1(2; -3)$ является серединой отрезка $AB$. Используя формулы для координат середины отрезка, мы можем записать:
$x_{C_1} = \frac{x_A + x_B}{2}$
$y_{C_1} = \frac{y_A + y_B}{2}$
Подставим известные значения координат точек $A(5; 6)$ и $C_1(2; -3)$ и выразим координаты точки $B$:
$2 = \frac{5 + x_B}{2} \Rightarrow 4 = 5 + x_B \Rightarrow x_B = 4 - 5 = -1$
$-3 = \frac{6 + y_B}{2} \Rightarrow -6 = 6 + y_B \Rightarrow y_B = -6 - 6 = -12$
Следовательно, вершина $B$ имеет координаты $(-1; -12)$.
Ответ: $B(-1; -12)$.

Координаты вершины C

Точка $A_1(-4; 1)$ является серединой отрезка $BC$. Используя те же формулы, мы можем записать:
$x_{A_1} = \frac{x_B + x_C}{2}$
$y_{A_1} = \frac{y_B + y_C}{2}$
Подставим известные значения координат точек $B(-1; -12)$ и $A_1(-4; 1)$ и выразим координаты точки $C$:
$-4 = \frac{-1 + x_C}{2} \Rightarrow -8 = -1 + x_C \Rightarrow x_C = -8 + 1 = -7$
$1 = \frac{-12 + y_C}{2} \Rightarrow 2 = -12 + y_C \Rightarrow y_C = 2 + 12 = 14$
Следовательно, вершина $C$ имеет координаты $(-7; 14)$.
Ответ: $C(-7; 14)$.

137. В треугольнике $ABC$ $A (3; -1)$, $B (-5; 7)$, $C (1; 5)$. Найдите среднюю линию $KP$ треугольника $ABC$, где точки $K$ и $P$ — середины сторон $AB$ и $BC$ соответственно.

137. В треугольнике $ABC$ $A(3; -1)$, $B(-5; 7)$, $C(1; 5)$. Найдите среднюю линию $KP$ треугольника $ABC$, где точки $K$ и $P$ — середины сторон $AB$ и $BC$ соответственно.

Для нахождения длины средней линии $KP$ можно воспользоваться одним из двух способов.

Способ 1: Использование свойства средней линии

Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна её половине. Средняя линия $KP$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$, следовательно, её длина равна половине длины стороны $AC$.

1. Найдём длину стороны $AC$, используя формулу расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

Координаты вершин: $A(3; -1)$ и $C(1; 5)$.

$|AC| = \sqrt{(1 - 3)^2 + (5 - (-1))^2} = \sqrt{(-2)^2 + (6)^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40}$.

2. Упростим полученное значение: $\sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10}$.

3. Длина средней линии $KP$ равна половине длины $AC$:

$|KP| = \frac{1}{2} |AC| = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{10} = \sqrt{10}$.

Способ 2: Нахождение координат середин сторон

1. Найдём координаты точки $K$ — середины стороны $AB$ по формулам $x_K = \frac{x_A + x_B}{2}$ и $y_K = \frac{y_A + y_B}{2}$.

Координаты вершин: $A(3; -1)$ и $B(-5; 7)$.

$x_K = \frac{3 + (-5)}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

$y_K = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Таким образом, координаты точки $K(-1; 3)$.

2. Найдём координаты точки $P$ — середины стороны $BC$.

Координаты вершин: $B(-5; 7)$ и $C(1; 5)$.

$x_P = \frac{-5 + 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

$y_P = \frac{7 + 5}{2} = \frac{12}{2} = 6$

Таким образом, координаты точки $P(-2; 6)$.

3. Найдём длину отрезка $KP$ по формуле расстояния между точками $K(-1; 3)$ и $P(-2; 6)$.

$|KP| = \sqrt{(-2 - (-1))^2 + (6 - 3)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $\sqrt{10}$.

138. Расстояние между точками $A (x; 3)$ и $B (1; -5)$ равно 10.
Найдите $x$.

138. Расстояние между точками $A(x; 3)$ и $B(1; -5)$ равно 10.
Найдите $x$.

Для решения задачи воспользуемся формулой расстояния между двумя точками на плоскости. Расстояние $d$ между точками $A(x_1; y_1)$ и $B(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

По условию задачи, у нас есть точки $A(x; 3)$ и $B(1; -5)$, и расстояние между ними $d = 10$. Подставим эти значения в формулу:

$10 = \sqrt{(1 - x)^2 + (-5 - 3)^2}$

Упростим выражение под корнем:

$10 = \sqrt{(1 - x)^2 + (-8)^2}$

$10 = \sqrt{(1 - x)^2 + 64}$

Чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе части уравнения в квадрат:

$10^2 = (1 - x)^2 + 64$

$100 = (1 - x)^2 + 64$

Теперь найдем значение выражения $(1 - x)^2$:

$(1 - x)^2 = 100 - 64$

$(1 - x)^2 = 36$

Это уравнение распадается на два случая, так как извлекая квадратный корень из 36, мы получаем два значения: 6 и -6.

1) $1 - x = 6$

$x = 1 - 6$

$x_1 = -5$

2) $1 - x = -6$

$x = 1 - (-6)$

$x = 1 + 6$

$x_2 = 7$

Таким образом, существуют два возможных значения $x$, при которых расстояние между точками A и B будет равно 10.

Ответ: $x = -5$ или $x = 7$.

139. На оси абсцисс найдите точку, равноудалённую от точек $A(3; -2)$ и $B(1; 2)$.

139. На оси абсцисс найдите точку, равноудалённую от точек $A(3; -2)$ и $B(1; 2)$.

Пусть искомая точка $C$ лежит на оси абсцисс (оси $Ox$). Любая точка, лежащая на оси абсцисс, имеет ординату (координату $y$), равную нулю. Следовательно, координаты точки $C$ можно записать как $(x; 0)$, где $x$ — неизвестная абсцисса.

По условию задачи, точка $C$ равноудалена от точек $A(3; -2)$ и $B(1; 2)$. Это означает, что расстояние от $C$ до $A$ равно расстоянию от $C$ до $B$:
$AC = BC$.

Расстояние $d$ между двумя точками с координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле:
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

Чтобы упростить вычисления, будем использовать квадраты расстояний. Если расстояния равны, то и их квадраты равны:
$AC^2 = BC^2$.

Вычислим квадрат расстояния $AC$ между точками $A(3; -2)$ и $C(x; 0)$:
$AC^2 = (x - 3)^2 + (0 - (-2))^2 = (x - 3)^2 + 2^2 = x^2 - 6x + 9 + 4 = x^2 - 6x + 13$.

Вычислим квадрат расстояния $BC$ между точками $B(1; 2)$ и $C(x; 0)$:
$BC^2 = (x - 1)^2 + (0 - 2)^2 = (x - 1)^2 + (-2)^2 = x^2 - 2x + 1 + 4 = x^2 - 2x + 5$.

Теперь приравняем полученные выражения для квадратов расстояний и решим уравнение относительно $x$:
$x^2 - 6x + 13 = x^2 - 2x + 5$
Перенесем все члены с $x$ в одну сторону, а постоянные члены — в другую:
$-6x + 2x = 5 - 13$
$-4x = -8$
$x = \frac{-8}{-4}$
$x = 2$

Таким образом, абсцисса искомой точки равна 2. Координаты точки $C$ — $(2; 0)$.

Ответ: $(2; 0)$

140. На прямой, содержащей биссектрисы первого и третьего координатных углов, найдите точку, равноудалённую от точек $A (1; 3)$ и $B (3; 5)$.

140. На прямой, содержащей биссектрисы первого и третьего координатных углов, найдите точку, равноудалённую от точек $A (1; 3)$ и $B (3; 5)$.

Прямая, содержащая биссектрисы первого и третьего координатных углов, представляет собой множество точек, у которых абсцисса равна ординате. Уравнение этой прямой: $y=x$.

Пусть искомая точка $M$ имеет координаты $(x_M; y_M)$. Так как точка $M$ лежит на прямой $y=x$, ее координаты равны: $x_M = y_M$. Обозначим координаты этой точки как $M(x; x)$.

По условию, точка $M$ равноудалена от точек $A(1; 3)$ и $B(3; 5)$. Это означает, что расстояние от $M$ до $A$ равно расстоянию от $M$ до $B$, то есть $MA = MB$. Для удобства вычислений будем использовать равенство квадратов этих расстояний: $MA^2 = MB^2$.

Формула квадрата расстояния между двумя точками $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ выглядит так: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.

Вычислим квадрат расстояния $MA^2$ от точки $M(x; x)$ до точки $A(1; 3)$:
$MA^2 = (x - 1)^2 + (x - 3)^2$

Вычислим квадрат расстояния $MB^2$ от точки $M(x; x)$ до точки $B(3; 5)$:
$MB^2 = (x - 3)^2 + (x - 5)^2$

Теперь приравняем эти два выражения:
$MA^2 = MB^2$
$(x - 1)^2 + (x - 3)^2 = (x - 3)^2 + (x - 5)^2$

В обеих частях уравнения есть одинаковый член $(x - 3)^2$, который можно сократить:
$(x - 1)^2 = (x - 5)^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$x^2 - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2$
$x^2 - 2x + 1 = x^2 - 10x + 25$

Перенесем все члены с $x$ в левую часть, а постоянные члены — в правую, сократив $x^2$:
$-2x + 10x = 25 - 1$
$8x = 24$
$x = \frac{24}{8}$
$x = 3$

Мы нашли абсциссу искомой точки. Так как ордината равна абсциссе ($y = x$), то $y = 3$. Таким образом, координаты искомой точки $M$ — $(3; 3)$.

Ответ: $(3; 3)$.

141. Найдите координаты точки, делящей отрезок AB в отношении 3 : 1, считая от точки A, если A $(3; -5)$, B $(-1; 7)$.

141. Найдите координаты точки, делящей отрезок $AB$ в отношении $3 : 1$, считая от точки $A$, если $A (3; -5)$, $B (-1; 7)$.

Для нахождения координат точки C(x; y), которая делит отрезок AB, соединяющий точки $A(x_A; y_A)$ и $B(x_B; y_B)$, в отношении $m:n$, считая от точки A, используются следующие формулы:

$x = \frac{n \cdot x_A + m \cdot x_B}{m+n}$

$y = \frac{n \cdot y_A + m \cdot y_B}{m+n}$

По условию задачи имеем:

Координаты точки A: $(x_A; y_A) = (3; -5)$.

Координаты точки B: $(x_B; y_B) = (-1; 7)$.

Отношение, в котором точка делит отрезок, равно $3:1$. Это означает, что $m=3$ и $n=1$.

Подставим эти значения в формулы для вычисления координат искомой точки.

Найдем абсциссу (координату x):

$x = \frac{1 \cdot 3 + 3 \cdot (-1)}{3+1} = \frac{3 - 3}{4} = \frac{0}{4} = 0$

Найдем ординату (координату y):

$y = \frac{1 \cdot (-5) + 3 \cdot 7}{3+1} = \frac{-5 + 21}{4} = \frac{16}{4} = 4$

Следовательно, искомая точка имеет координаты (0; 4).

Ответ: (0; 4)

142. Четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм, $A (-3; -2)$, $B (5; 3)$, $C (3; -5)$. Найдите координаты вершины $D$.

142. Четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм, $A (-3; -2)$, $B (5; 3)$, $C (3; -5)$. Найдите координаты вершины $D$.

Для решения задачи воспользуемся свойством параллелограмма: его диагонали пересекаются и в точке пересечения делятся пополам. Это означает, что середина диагонали $AC$ совпадает с серединой диагонали $BD$.

Пусть координаты вершины $D$ равны $(x, y)$.

1. Найдём координаты середины диагонали $AC$.

Координаты середины отрезка находятся по формулам:
$x_M = \frac{x_1 + x_2}{2}$
$y_M = \frac{y_1 + y_2}{2}$

Для диагонали $AC$ с вершинами $A(-3; -2)$ и $C(3; -5)$ координаты её середины (назовём её точкой $O$) будут:
$x_O = \frac{-3 + 3}{2} = \frac{0}{2} = 0$
$y_O = \frac{-2 + (-5)}{2} = \frac{-7}{2} = -3.5$
Таким образом, точка пересечения диагоналей $O$ имеет координаты $(0; -3.5)$.

2. Найдём координаты вершины $D$.

Точка $O(0; -3.5)$ также является серединой диагонали $BD$ с вершинами $B(5; 3)$ и $D(x; y)$. Составим уравнения, используя те же формулы для середины отрезка:
$x_O = \frac{x_B + x_D}{2} \Rightarrow 0 = \frac{5 + x}{2}$
$y_O = \frac{y_B + y_D}{2} \Rightarrow -3.5 = \frac{3 + y}{2}$

Решим эти уравнения:
Для координаты $x$:
$0 \cdot 2 = 5 + x$
$0 = 5 + x$
$x = -5$

Для координаты $y$:
$-3.5 \cdot 2 = 3 + y$
$-7 = 3 + y$
$y = -7 - 3$
$y = -10$

Следовательно, вершина $D$ имеет координаты $(-5; -10)$.

Ответ: $D(-5; -10)$.

143. Докажите, что четырёхугольник ABCD с вершинами в точках $A (3; -4)$, $B (-6; 1)$, $C (-5; 2)$ и $D (4; -3)$ является параллелограммом.

143. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами в точках $A (3; -4)$, $B (-6; 1)$, $C (-5; 2)$ и $D (4; -3)$ является параллелограммом.

Чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD является параллелограммом, можно воспользоваться одним из его признаков. Согласно одному из признаков, четырёхугольник является параллелограммом, если его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Это означает, что середины его диагоналей AC и BD должны иметь одинаковые координаты.

Координаты вершин четырёхугольника: A(3; -4), B(-6; 1), C(-5; 2) и D(4; -3).

Координаты $(x_m; y_m)$ середины отрезка с концами в точках $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ вычисляются по формулам:

$x_m = \frac{x_1 + x_2}{2}$

$y_m = \frac{y_1 + y_2}{2}$

Найдём середину диагонали AC

Концами этой диагонали являются точки A(3; -4) и C(-5; 2). Пусть O₁ — середина AC. Найдём её координаты:

$x_{O_1} = \frac{3 + (-5)}{2} = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

$y_{O_1} = \frac{-4 + 2}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Таким образом, середина диагонали AC — это точка O₁ с координатами (-1; -1).

Найдём середину диагонали BD

Концами этой диагонали являются точки B(-6; 1) и D(4; -3). Пусть O₂ — середина BD. Найдём её координаты:

$x_{O_2} = \frac{-6 + 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

$y_{O_2} = \frac{1 + (-3)}{2} = \frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Таким образом, середина диагонали BD — это точка O₂ с координатами (-1; -1).

Поскольку координаты середин диагоналей AC и BD совпадают ($O_1(-1; -1) = O_2(-1; -1)$), диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. Это доказывает, что четырёхугольник ABCD является параллелограммом.

Ответ: Так как середины диагоналей AC и BD совпадают в точке с координатами (-1; -1), четырёхугольник ABCD является параллелограммом, что и требовалось доказать.

144. Найдите длину отрезка, концы которого лежат на осях координат, а серединой является точка $M (-4; 3)$.

144. Найдите длину отрезка, концы которого лежат на осях координат, а серединой является точка $M(-4; 3)$.

Пусть концы отрезка — это точки A и B. По условию, они лежат на осях координат. Пусть точка A лежит на оси Ox, а точка B — на оси Oy. Тогда их координаты можно записать в следующем виде: $A(x; 0)$ и $B(0; y)$.

Серединой отрезка AB является точка $M(-4; 3)$. Координаты середины отрезка вычисляются как полусумма соответствующих координат его концов. Формулы для координат середины отрезка $M(x_M; y_M)$ с концами в точках $A(x_A; y_A)$ и $B(x_B; y_B)$ выглядят так:

$x_M = \frac{x_A + x_B}{2}$

$y_M = \frac{y_A + y_B}{2}$

Подставим известные значения в эти формулы. Для точки A имеем $x_A = x$ и $y_A = 0$. Для точки B имеем $x_B = 0$ и $y_B = y$. Для точки M имеем $x_M = -4$ и $y_M = 3$.

Найдем координату $x$ точки A:

$-4 = \frac{x + 0}{2}$

$-4 = \frac{x}{2}$

$x = -4 \cdot 2 = -8$

Теперь найдем координату $y$ точки B:

$3 = \frac{0 + y}{2}$

$3 = \frac{y}{2}$

$y = 3 \cdot 2 = 6$

Таким образом, концы отрезка имеют координаты $A(-8; 0)$ и $B(0; 6)$.

Теперь найдем длину отрезка AB, используя формулу расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$:

$d = \sqrt{(0 - (-8))^2 + (6 - 0)^2} = \sqrt{(8)^2 + (6)^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$.

Ответ: 10.

145. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами в точках $A (-2; 1)$, $B (1; 4)$, $C (5; 0)$ и $D (2; -3)$ является прямоугольником.

145. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами в точках $A (-2; 1)$, $B (1; 4)$, $C (5; 0)$ и $D (2; -3)$ является прямоугольником.

Для того чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является прямоугольником, мы воспользуемся методом координат. Мы докажем, что ABCD — это параллелограмм, у которого есть прямой угол.

Сначала найдем угловые коэффициенты сторон четырехугольника по формуле $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$. Координаты вершин: A(-2; 1), B(1; 4), C(5; 0) и D(2; -3).

Угловой коэффициент стороны AB: $k_{AB} = \frac{4 - 1}{1 - (-2)} = \frac{3}{3} = 1$.
Угловой коэффициент стороны BC: $k_{BC} = \frac{0 - 4}{5 - 1} = \frac{-4}{4} = -1$.
Угловой коэффициент стороны CD: $k_{CD} = \frac{-3 - 0}{2 - 5} = \frac{-3}{-3} = 1$.
Угловой коэффициент стороны DA: $k_{DA} = \frac{1 - (-3)}{-2 - 2} = \frac{4}{-4} = -1$.

Теперь сравним угловые коэффициенты противолежащих сторон.
Так как $k_{AB} = k_{CD} = 1$, то стороны AB и CD параллельны ($AB \parallel CD$).
Так как $k_{BC} = k_{DA} = -1$, то стороны BC и DA параллельны ($BC \parallel DA$).
Поскольку противолежащие стороны четырехугольника попарно параллельны, ABCD является параллелограммом.

Далее проверим, есть ли у этого параллелограмма прямой угол. Две прямые перпендикулярны, если произведение их угловых коэффициентов равно -1 ($k_1 \cdot k_2 = -1$). Проверим это условие для смежных сторон AB и BC:
$k_{AB} \cdot k_{BC} = 1 \cdot (-1) = -1$.
Поскольку произведение угловых коэффициентов сторон AB и BC равно -1, эти стороны перпендикулярны ($AB \perp BC$), следовательно, угол $\angle ABC$ — прямой.

Так как ABCD является параллелограммом с прямым углом, по определению он является прямоугольником. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Четырехугольник ABCD является прямоугольником, поскольку его противолежащие стороны попарно параллельны ($k_{AB} = k_{CD}$ и $k_{BC} = k_{DA}$), а смежные стороны перпендикулярны ($k_{AB} \cdot k_{BC} = -1$).

146. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами в точках $A (2; 1)$, $B (5; -3)$, $C (9; 0)$ и $D (6; 4)$ является квадратом.

146. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами в точках $A (2; 1)$, $B (5; -3)$, $C (9; 0)$ и $D (6; 4)$ является квадратом.

Для того чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является квадратом, необходимо установить, что все его стороны равны между собой, и что его диагонали также равны.

Для нахождения длин отрезков будем использовать формулу расстояния между двумя точками с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

Координаты вершин заданы: A(2; 1), B(5; -3), C(9; 0) и D(6; 4).

Сначала найдем длины всех сторон четырехугольника:

• Длина стороны AB: $AB = \sqrt{(5 - 2)^2 + (-3 - 1)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$
• Длина стороны BC: $BC = \sqrt{(9 - 5)^2 + (0 - (-3))^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$
• Длина стороны CD: $CD = \sqrt{(6 - 9)^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$
• Длина стороны DA: $DA = \sqrt{(2 - 6)^2 + (1 - 4)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$

Поскольку $AB = BC = CD = DA = 5$, все стороны четырехугольника равны. Это означает, что ABCD является ромбом.

Теперь найдем длины диагоналей AC и BD:

• Длина диагонали AC: $AC = \sqrt{(9 - 2)^2 + (0 - 1)^2} = \sqrt{7^2 + (-1)^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50}$
• Длина диагонали BD: $BD = \sqrt{(6 - 5)^2 + (4 - (-3))^2} = \sqrt{1^2 + 7^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50}$

Поскольку $AC = BD = \sqrt{50}$, диагонали четырехугольника равны.

Так как четырехугольник ABCD является ромбом (все стороны равны) и его диагонали равны, то по определению он является квадратом. Что и требовалось доказать.

Ответ: утверждение доказано.

147. Найдите координаты вершины $A$ равностороннего треугольника $ABC$, если известны координаты вершин $B$ $(-2; 0)$ и $C$ $(4; 0)$.

147. Найдите координаты вершины $A$ равностороннего треугольника $ABC$, если известны координаты вершин $B$ $(-2; 0)$ и $C$ $(4; 0)$.

Пусть искомая вершина A имеет координаты $(x, y)$.

По условию, треугольник $ABC$ является равносторонним. Это означает, что все его стороны равны: $AB = BC = AC$.

1. Найдём длину стороны BC.

Длину отрезка между точками $B(-2; 0)$ и $C(4; 0)$ можно найти по формуле расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$: $BC = \sqrt{(4 - (-2))^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{(4 + 2)^2 + 0^2} = \sqrt{6^2} = 6$.

Так как треугольник равносторонний, то длины сторон $AB$ и $AC$ также равны 6. $AB = 6 \implies AB^2 = 36$ $AC = 6 \implies AC^2 = 36$

2. Составим уравнения для длин сторон AB и AC.

Расстояние от точки $A(x, y)$ до точки $B(-2, 0)$: $AB^2 = (x - (-2))^2 + (y - 0)^2 = (x + 2)^2 + y^2$.

Расстояние от точки $A(x, y)$ до точки $C(4, 0)$: $AC^2 = (x - 4)^2 + (y - 0)^2 = (x - 4)^2 + y^2$.

3. Составим и решим систему уравнений.

Так как $AB^2 = 36$ и $AC^2 = 36$, мы получаем систему: $\begin{cases} (x + 2)^2 + y^2 = 36 \\ (x - 4)^2 + y^2 = 36 \end{cases}$

Поскольку правые части уравнений равны, мы можем приравнять их левые части: $(x + 2)^2 + y^2 = (x - 4)^2 + y^2$ $(x + 2)^2 = (x - 4)^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы и квадрата разности: $x^2 + 4x + 4 = x^2 - 8x + 16$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а константы — в правую: $4x + 8x = 16 - 4$ $12x = 12$ $x = 1$

4. Найдем координату y.

Подставим найденное значение $x=1$ в любое из уравнений системы, например, в первое: $(1 + 2)^2 + y^2 = 36$ $3^2 + y^2 = 36$ $9 + y^2 = 36$ $y^2 = 36 - 9$ $y^2 = 27$ $y = \pm\sqrt{27} = \pm\sqrt{9 \cdot 3} = \pm 3\sqrt{3}$

Таким образом, существуют две возможные точки для вершины A, которые симметричны относительно прямой, содержащей сторону BC (в данном случае, оси Ox).

Ответ: $(1; 3\sqrt{3})$ или $(1; -3\sqrt{3})$.

148. Точки $A(-3; 1)$, $B(2; 4)$ и $C(1; -3)$ — середины сторон некоторого треугольника. Найдите координаты его вершин.

148. Точки $A(-3; 1)$, $B(2; 4)$ и $C(1; -3)$ — середины сторон некоторого треугольника. Найдите координаты его вершин.

Пусть вершины искомого треугольника имеют координаты $V_1(x_1, y_1)$, $V_2(x_2, y_2)$ и $V_3(x_3, y_3)$.

Точки $A(-3; 1)$, $B(2; 4)$ и $C(1; -3)$ являются серединами его сторон. Допустим, что точка $A$ — середина стороны $V_1V_2$, точка $B$ — середина стороны $V_2V_3$, а точка $C$ — середина стороны $V_3V_1$.

Координаты середины отрезка с концами в точках $(x_a, y_a)$ и $(x_b, y_b)$ вычисляются по формулам: $x_m = \frac{x_a + x_b}{2}$ и $y_m = \frac{y_a + y_b}{2}$.

Применяя эти формулы, мы можем составить две системы уравнений: одну для $x$-координат и одну для $y$-координат.

Система уравнений для $x$-координат:
Для середины $A$: $\frac{x_1 + x_2}{2} = -3 \implies x_1 + x_2 = -6$ (1)
Для середины $B$: $\frac{x_2 + x_3}{2} = 2 \implies x_2 + x_3 = 4$ (2)
Для середины $C$: $\frac{x_3 + x_1}{2} = 1 \implies x_3 + x_1 = 2$ (3)

Система уравнений для $y$-координат:
Для середины $A$: $\frac{y_1 + y_2}{2} = 1 \implies y_1 + y_2 = 2$ (4)
Для середины $B$: $\frac{y_2 + y_3}{2} = 4 \implies y_2 + y_3 = 8$ (5)
Для середины $C$: $\frac{y_3 + y_1}{2} = -3 \implies y_3 + y_1 = -6$ (6)

Сначала решим систему для $x$-координат. Сложим все три уравнения (1), (2) и (3):
$(x_1 + x_2) + (x_2 + x_3) + (x_3 + x_1) = -6 + 4 + 2$
$2x_1 + 2x_2 + 2x_3 = 0$
$x_1 + x_2 + x_3 = 0$

Теперь, вычитая из этого результата поочередно уравнения (1), (2) и (3), находим значения $x_1, x_2, x_3$:
$x_3 = (x_1 + x_2 + x_3) - (x_1 + x_2) = 0 - (-6) = 6$
$x_1 = (x_1 + x_2 + x_3) - (x_2 + x_3) = 0 - 4 = -4$
$x_2 = (x_1 + x_2 + x_3) - (x_3 + x_1) = 0 - 2 = -2$

Далее решим систему для $y$-координат. Сложим все три уравнения (4), (5) и (6):
$(y_1 + y_2) + (y_2 + y_3) + (y_3 + y_1) = 2 + 8 - 6$
$2y_1 + 2y_2 + 2y_3 = 4$
$y_1 + y_2 + y_3 = 2$

Аналогично, вычитая из этого результата поочередно уравнения (4), (5) и (6), находим значения $y_1, y_2, y_3$:
$y_3 = (y_1 + y_2 + y_3) - (y_1 + y_2) = 2 - 2 = 0$
$y_1 = (y_1 + y_2 + y_3) - (y_2 + y_3) = 2 - 8 = -6$
$y_2 = (y_1 + y_2 + y_3) - (y_3 + y_1) = 2 - (-6) = 8$

Таким образом, координаты вершин треугольника:
$V_1(-4; -6)$
$V_2(-2; 8)$
$V_3(6; 0)$

Ответ: Координаты вершин треугольника: $(-4; -6)$, $(-2; 8)$, $(6; 0)$.