Страница 22 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

180. Найдите координаты вектора $ \overrightarrow{DE} $ (рис. 12).

Рис. 12

180. Найдите координаты вектора $ \vec{DE} $ (рис. 12).

Рис. 12

Для того чтобы найти координаты вектора $\vec{DE}$, нужно из координат его конечной точки $E$ вычесть соответствующие координаты его начальной точки $D$. Координаты вектора $\vec{v}(x; y)$ с началом в точке $D(x_D; y_D)$ и концом в точке $E(x_E; y_E)$ вычисляются по формуле: $\vec{DE} = (x_E - x_D; y_E - y_D)$.

1. Найдем координаты точек $D$ и $E$.

Из рисунка видно, что точка $D$ лежит на оси абсцисс ($x$) и её расстояние от начала координат равно 8. Таким образом, её координаты $D(8; 0)$.

Точка $A$ лежит на оси ординат ($y$) на расстоянии 6 от начала координат. Её координаты $A(0; 6)$.

Фигура $OACD$ является прямоугольником, поэтому сторона $AC$ параллельна оси $x$ и её длина равна длине стороны $OD$, то есть 8. Все точки на отрезке $AC$ имеют ординату $y=6$.

Отрезок $AC$ разделен метками на 4 равные части. Длина каждой части равна $8 \div 4 = 2$.

Точка $E$ находится на второй метке от точки $A$. Следовательно, расстояние по горизонтали от точки $A$ до точки $E$ равно $2 \times 2 = 4$. Абсцисса точки $E$ будет равна сумме абсциссы точки $A$ и этого расстояния: $x_E = 0 + 4 = 4$. Ордината точки $E$ такая же, как и у точки $A$, то есть $y_E = 6$. Таким образом, координаты точки $E$ — $(4; 6)$.

2. Вычислим координаты вектора $\vec{DE}$.

Теперь, зная координаты точек $D(8; 0)$ и $E(4; 6)$, мы можем найти координаты вектора $\vec{DE}$, подставив значения в формулу:

$\vec{DE} = (4 - 8; 6 - 0) = (-4; 6)$.

Ответ: $(-4; 6)$.

181. От точки $A (4; -3)$ отложен вектор $\vec{m}(-1; 8)$. Найдите ко- ординаты конца вектора $\vec{m}$.

181. От точки $A (4; -3)$ отложен вектор $\vec{m}(-1; 8)$. Найдите координаты конца вектора $\vec{m}$.

Пусть начало вектора находится в точке $A(x_A; y_A)$, а конец — в точке $B(x_B; y_B)$. По условию задачи, координаты начальной точки $A(4; -3)$ и координаты вектора $\vec{m}(-1; 8)$.

Координаты вектора $\vec{m}$ равны разности соответствующих координат его конца и начала:
$\vec{m} = (x_B - x_A; y_B - y_A)$

Чтобы найти координаты конца вектора, точки $B$, нужно к координатам его начала, точки $A$, прибавить соответствующие координаты самого вектора $\vec{m}$:
$x_B = x_A + m_x$
$y_B = y_A + m_y$

Подставим известные значения:
$x_A = 4$, $y_A = -3$
$m_x = -1$, $m_y = 8$

Вычислим координаты точки $B$:
$x_B = 4 + (-1) = 3$
$y_B = -3 + 8 = 5$

Следовательно, координаты конца вектора $\vec{m}$ — это точка с координатами (3; 5).

Ответ: (3; 5)

182. Докажите, что четырёхугольник ABCD с вершинами в точках A (3; -4), B (-2; 7), C (-4; 16) и D (1; 5) является параллелограммом.

182. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами в точках $A (3; -4)$, $B (-2; 7)$, $C (-4; 16)$ и $D (1; 5)$ является параллелограммом.

Для доказательства того, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, можно использовать один из его признаков. Например, четырехугольник является параллелограммом, если его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Другой признак: четырехугольник является параллелограммом, если две его противолежащие стороны равны и параллельны. Проверим этот признак с помощью векторов.

Даны координаты вершин: $A(3; -4)$, $B(-2; 7)$, $C(-4; 16)$ и $D(1; 5)$.

Условие равенства и параллельности сторон AB и DC эквивалентно равенству векторов $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$.

Нахождение координат векторов противолежащих сторон

Координаты вектора, соединяющего точки $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$, вычисляются как $(x_2 - x_1; y_2 - y_1)$.

Для стороны AB найдем координаты вектора $\vec{AB}$:

$\vec{AB} = (-2 - 3; 7 - (-4)) = (-5; 11)$

Для стороны DC найдем координаты вектора $\vec{DC}$:

$\vec{DC} = (-4 - 1; 16 - 5) = (-5; 11)$

Сравнение векторов и вывод

Поскольку координаты векторов $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ совпадают, то векторы равны: $\vec{AB} = \vec{DC}$.

Равенство векторов означает, что они коллинеарны (а значит, соответствующие отрезки AB и DC параллельны) и их длины равны. Таким образом, противолежащие стороны AB и DC четырехугольника ABCD равны и параллельны.

По признаку параллелограмма (если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны), четырехугольник ABCD является параллелограммом.

Ответ: Что и требовалось доказать.

183. Даны координаты трёх вершин параллелограмма $ABCD$: $A (3; -2)$, $B (-4; 1)$, $C (-2; -3)$. Найдите координаты вершины $D$.

183. Даны координаты трёх вершин параллелограмма $\text{ABCD}$: $\text{A} (3; -2)$, $\text{B} (-4; 1)$, $\text{C} (-2; -3)$. Найдите координаты вершины $\text{D}$.

Для нахождения координат четвертой вершины параллелограмма $D(x; y)$ можно воспользоваться одним из свойств параллелограмма. Поскольку в названии параллелограмма $ABCD$ вершины, как правило, перечисляются последовательно, мы можем применить два основных метода.

Способ 1: Использование векторов

В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны, следовательно, векторы, соответствующие этим сторонам, равны. Например, вектор $\vec{AD}$ должен быть равен вектору $\vec{BC}$.

1. Найдем координаты вектора $\vec{BC}$. Координаты вектора равны разности соответствующих координат его конца и начала.

Дано: $B(-4; 1)$ и $C(-2; -3)$.

$\vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B) = (-2 - (-4); -3 - 1) = (2; -4)$

2. Запишем координаты вектора $\vec{AD}$, используя координаты точки $A(3; -2)$ и неизвестные координаты точки $D(x; y)$.

$\vec{AD} = (x_D - x_A; y_D - y_A) = (x - 3; y - (-2)) = (x - 3; y + 2)$

3. Так как $\vec{AD} = \vec{BC}$, их соответствующие координаты должны быть равны. Приравниваем их и решаем систему уравнений:

$\begin{cases} x - 3 = 2 \\ y + 2 = -4\end{cases}$

Из первого уравнения находим $x$: $x = 2 + 3 = 5$.

Из второго уравнения находим $y$: $y = -4 - 2 = -6$.

Таким образом, координаты вершины $D$ равны $(5; -6)$.

Способ 2: Использование свойства диагоналей

Диагонали параллелограмма $ABCD$ (отрезки $AC$ и $BD$) пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Это означает, что середины диагоналей $AC$ и $BD$ совпадают.

1. Найдем координаты середины диагонали $AC$, обозначим ее точкой $O$. Координаты середины отрезка равны полусумме соответствующих координат его концов.

Дано: $A(3; -2)$ и $C(-2; -3)$.

$x_O = \frac{x_A + x_C}{2} = \frac{3 + (-2)}{2} = \frac{1}{2}$

$y_O = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{-2 + (-3)}{2} = -\frac{5}{2}$

Таким образом, точка $O$ имеет координаты $(\frac{1}{2}; -\frac{5}{2})$.

2. Точка $O$ также является серединой диагонали $BD$. Запишем формулы для координат середины отрезка $BD$, используя известные координаты точки $B(-4; 1)$ и искомой точки $D(x; y)$.

$x_O = \frac{x_B + x_D}{2} = \frac{-4 + x}{2}$

$y_O = \frac{y_B + y_D}{2} = \frac{1 + y}{2}$

3. Приравняем координаты середины, найденные в шагах 1 и 2, и решим полученные уравнения:

$\frac{-4 + x}{2} = \frac{1}{2} \implies -4 + x = 1 \implies x = 5$

$\frac{1 + y}{2} = -\frac{5}{2} \implies 1 + y = -5 \implies y = -6$

Оба способа дали одинаковый результат.

Ответ: $D(5; -6)$.

шины D.

184. Среди векторов $ \vec{a}(3; -4) $, $ \vec{b}(-4; 2) $, $ \vec{c}(3; \sqrt{11}) $, $ \vec{d}(-2; -4) $, $ \vec{e}(-1; -2\sqrt{6}) $, $ \vec{f}(-4; 5) $ найдите те, которые имеют равные модули.

184. Среди векторов $\vec{a}(3; -4)$, $\vec{b}(-4; 2)$, $\vec{c}(3; \sqrt{11})$, $\vec{d}(-2; -4)$, $\vec{e}(-1; -2\sqrt{6})$, $\vec{f}(-4; 5)$ найдите те, которые имеют равные модули.

Чтобы найти векторы с равными модулями, необходимо вычислить модуль (длину) каждого данного вектора. Модуль вектора с координатами $(x; y)$ вычисляется по формуле: $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

Вычисление модуля вектора $\vec{a}(3; -4)$

$|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Вычисление модуля вектора $\vec{b}(-4; 2)$

$|\vec{b}| = \sqrt{(-4)^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}$.

Вычисление модуля вектора $\vec{c}(3; \sqrt{11})$

$|\vec{c}| = \sqrt{3^2 + (\sqrt{11})^2} = \sqrt{9 + 11} = \sqrt{20}$.

Вычисление модуля вектора $\vec{d}(-2; -4)$

$|\vec{d}| = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}$.

Вычисление модуля вектора $\vec{e}(-1; -2\sqrt{6})$

$|\vec{e}| = \sqrt{(-1)^2 + (-2\sqrt{6})^2} = \sqrt{1 + 4 \cdot 6} = \sqrt{1 + 24} = \sqrt{25} = 5$.

Вычисление модуля вектора $\vec{f}(-4; 5)$

$|\vec{f}| = \sqrt{(-4)^2 + 5^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}$.

Сравнив полученные значения модулей, находим группы векторов с равными модулями:

• $|\vec{a}| = 5$ и $|\vec{e}| = 5$. Следовательно, модули этих векторов равны.
• $|\vec{b}| = \sqrt{20}$, $|\vec{c}| = \sqrt{20}$ и $|\vec{d}| = \sqrt{20}$. Следовательно, модули этих трех векторов равны.

Ответ: Равные модули имеют следующие группы векторов: 1) $\vec{a}$ и $\vec{e}$; 2) $\vec{b}$, $\vec{c}$ и $\vec{d}$.

185. Модуль вектора $\vec{m}(-5; y)$ равен 13. Найдите $y$.

185. Модуль вектора $\vec{m}(-5; y)$ равен 13. Найдите $y$.

Модуль (или длина) вектора $\vec{m}(x; y)$ вычисляется по формуле: $|\vec{m}| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

По условию, нам дан вектор $\vec{m}(-5; y)$, и его модуль равен 13. Подставим известные значения в формулу:

$|\vec{m}| = \sqrt{(-5)^2 + y^2} = 13$

Для того чтобы найти $y$, решим полученное уравнение. Сначала возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от знака корня:

$(\sqrt{(-5)^2 + y^2})^2 = 13^2$

$(-5)^2 + y^2 = 169$

Вычислим квадрат числа -5:

$25 + y^2 = 169$

Перенесем 25 в правую часть уравнения, чтобы выразить $y^2$:

$y^2 = 169 - 25$

$y^2 = 144$

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Следует помнить, что у этого уравнения будет два решения:

$y = \pm\sqrt{144}$

$y = \pm12$

Таким образом, возможны два значения для $y$: 12 и -12.

Ответ: -12; 12.

186. Модуль вектора $\vec{c}$ равен 2, а его координаты равны.

Найдите координаты вектора $\vec{c}$.

186. Модуль вектора $\vec{c}$ равен 2, а его координаты равны. Найдите координаты вектора $\vec{c}$.

Пусть вектор $\vec{c}$ имеет координаты $(x, y)$.

Согласно условию задачи, его координаты равны, то есть $x = y$. Следовательно, вектор можно представить в виде $\vec{c}=(x, x)$.

Модуль (длина) вектора с координатами $(x, y)$ вычисляется по формуле: $|\vec{c}| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

В условии сказано, что модуль вектора $\vec{c}$ равен 2. Подставим наши данные в формулу:

$|\vec{c}| = \sqrt{x^2 + x^2} = 2$

Упростим выражение под корнем:

$\sqrt{2x^2} = 2$

Для того чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{2x^2})^2 = 2^2$

$2x^2 = 4$

Разделим обе части уравнения на 2:

$x^2 = 2$

Из этого уравнения находим два возможных значения для $x$:

$x = \sqrt{2}$ или $x = -\sqrt{2}$

Так как $y = x$, то мы получаем два возможных варианта для координат вектора $\vec{c}$:

1. Если $x = \sqrt{2}$, то $y = \sqrt{2}$. Вектор $\vec{c}$ имеет координаты $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$.

2. Если $x = -\sqrt{2}$, то $y = -\sqrt{2}$. Вектор $\vec{c}$ имеет координаты $(-\sqrt{2}, -\sqrt{2})$.

Ответ: $(\sqrt{2}; \sqrt{2})$ или $(-\sqrt{2}; -\sqrt{2})$.

187. Модуль вектора $\vec{m}(x; y)$ равен $\sqrt{5}$, а координата $x$ этого вектора больше координаты $y$ на 1. Найдите координаты вектора $\vec{m}$.

187. Модуль вектора $\vec{m}(x; y)$ равен $\sqrt{5}$, а координата $x$ этого вектора больше координаты $y$ на 1. Найдите координаты вектора $\vec{m}$.

Пусть искомый вектор $\vec{m}$ имеет координаты $(x; y)$.

Модуль (длина) вектора с координатами $(x; y)$ вычисляется по формуле $|\vec{m}| = \sqrt{x^2 + y^2}$. По условию задачи, модуль вектора $\vec{m}$ равен $\sqrt{5}$. Составим первое уравнение: $\sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{5}$

Чтобы избавиться от знака корня, возведем обе части уравнения в квадрат: $x^2 + y^2 = 5$

Также по условию известно, что координата $x$ этого вектора больше координаты $y$ на 1. Это дает нам второе уравнение: $x = y + 1$

Теперь мы имеем систему из двух уравнений с двумя переменными: $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 5 \\ x = y + 1 \end{cases} $

Для решения этой системы подставим выражение для $x$ из второго уравнения в первое: $(y + 1)^2 + y^2 = 5$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение относительно $y$:
$y^2 + 2y + 1 + y^2 = 5$
$2y^2 + 2y + 1 - 5 = 0$
$2y^2 + 2y - 4 = 0$

Для упрощения разделим все члены уравнения на 2: $y^2 + y - 2 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. Можно воспользоваться теоремой Виета: сумма корней равна $-1$, а их произведение равно $-2$. Этим условиям удовлетворяют числа $1$ и $-2$.
$y_1 = 1$
$y_2 = -2$

Теперь для каждого найденного значения $y$ найдем соответствующее значение $x$, используя уравнение $x = y + 1$:

1. Если $y_1 = 1$, то $x_1 = 1 + 1 = 2$.
Таким образом, первая пара координат вектора: $(2; 1)$.

2. Если $y_2 = -2$, то $x_2 = -2 + 1 = -1$.
Таким образом, вторая пара координат вектора: $(-1; -2)$.

Задача имеет два решения.

Ответ: $(2; 1)$ или $(-1; -2)$.

188. С помощью правила треугольника постройте сумму векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, изображённых на рисунке 13.

Рис. 13

а

б

в

г

188. С помощью правила треугольника постройте сумму векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, изображённых на рисунке 13.

Рис. 13

а

б

в

г

Для построения суммы двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ с помощью правила треугольника необходимо выполнить следующие шаги:

1. Выбрать начальную точку на плоскости и отложить от неё вектор, равный вектору $\vec{a}$.
2. От конца построенного вектора $\vec{a}$ отложить вектор, равный вектору $\vec{b}$.
3. Соединить начальную точку первого вектора ($\vec{a}$) с конечной точкой второго вектора ($\vec{b}$). Полученный вектор и будет являться суммой векторов $\vec{a} + \vec{b}$.

Применим это правило для каждого случая, представленного на рисунке.

1. Определим координаты векторов по сетке. Примем сторону одной клетки за единицу. Вектор $\vec{a}$ смещается на 2 клетки вправо и на 2 клетки вверх, следовательно, его координаты $\vec{a} = \{2; 2\}$. Вектор $\vec{b}$ смещается на 2 клетки вправо и на 2 клетки вниз, его координаты $\vec{b} = \{2; -2\}$.

2. Чтобы найти сумму $\vec{a} + \vec{b}$, мысленно перенесём начало вектора $\vec{b}$ в конец вектора $\vec{a}$.

3. Результирующий вектор $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ будет соединять начало вектора $\vec{a}$ и конец перенесённого вектора $\vec{b}$. Его координаты можно вычислить, сложив соответствующие координаты векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$: $\vec{c} = \{2+2; 2+(-2)\} = \{4; 0\}$.

4. Таким образом, искомый вектор будет направлен горизонтально вправо и иметь длину 4 единицы.

Ответ: Результирующий вектор — это вектор с координатами $\{4; 0\}$, направленный горизонтально вправо на 4 клетки.

1. Определим координаты векторов. Вектор $\vec{a}$ смещается на 2 клетки вправо и 1 клетку вверх: $\vec{a} = \{2; 1\}$. Вектор $\vec{b}$ смещается на 2 клетки вправо и 3 клетки вниз: $\vec{b} = \{2; -3\}$.

2. На данном рисунке векторы уже расположены так, что начало вектора $\vec{a}$ совпадает с концом вектора $\vec{b}$ (показана сумма $\vec{b} + \vec{a}$). Поскольку сложение векторов коммутативно ($\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$), результирующий вектор соединит начало вектора $\vec{b}$ с концом вектора $\vec{a}$.

3. Вычислим координаты суммарного вектора $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$: $\vec{c} = \{2+2; 1+(-3)\} = \{4; -2\}$.

4. Искомый вектор смещается на 4 клетки вправо и на 2 клетки вниз.

Ответ: Результирующий вектор — это вектор с координатами $\{4; -2\}$, направленный на 4 клетки вправо и 2 клетки вниз.

1. Определим координаты векторов. Вектор $\vec{a}$ смещается на 3 клетки вправо и 1 клетку вверх: $\vec{a} = \{3; 1\}$. Вектор $\vec{b}$ смещается на 2 клетки вниз: $\vec{b} = \{0; -2\}$.

2. Перенесём начало вектора $\vec{b}$ в конец вектора $\vec{a}$.

3. Суммарный вектор $\vec{c}$ будет соединять начало $\vec{a}$ и конец перенесённого $\vec{b}$. Вычислим его координаты: $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b} = \{3+0; 1+(-2)\} = \{3; -1\}$.

4. Искомый вектор смещается на 3 клетки вправо и на 1 клетку вниз.

Ответ: Результирующий вектор — это вектор с координатами $\{3; -1\}$, направленный на 3 клетки вправо и 1 клетку вниз.

1. Определим координаты векторов. Вектор $\vec{a}$ смещается на 1 клетку вправо и 2 клетки вверх: $\vec{a} = \{1; 2\}$. Вектор $\vec{b}$ смещается на 2 клетки вправо и 3 клетки вверх: $\vec{b} = \{2; 3\}$.

2. Перенесём начало вектора $\vec{b}$ в конец вектора $\vec{a}$.

3. Суммарный вектор $\vec{c}$ соединит начало $\vec{a}$ с концом перенесённого $\vec{b}$. Его координаты: $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b} = \{1+2; 2+3\} = \{3; 5\}$.

4. Искомый вектор смещается на 3 клетки вправо и на 5 клеток вверх.

Ответ: Результирующий вектор — это вектор с координатами $\{3; 5\}$, направленный на 3 клетки вправо и 5 клеток вверх.